CC BY
12
УДК 517.9
О РАВНОМЕРНОЙ ОБРАТИМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, СУММИРУЕМЫХ С ПЕРЕМЕННОЙ СТЕПЕНЬЮ
© 2011 г. В.С. Пилиди
Южный федеральный университет, Southern Federal University,
ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090
Рассматривается полный сингулярный интегральный оператор с непрерывными коэффициентами, действующий в пространстве функций на окружности, суммируемых с переменной степенью. Для этого оператора вводится семейство сильно аппроксимирующих его операторов, получаемых путем вырезания особенности в операторе сингулярного интегрирования. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости приближенного метода по семейству этих операторов. Случай пространств функций, суммируемых с постоянной степенью, был рассмотрен автором ранее спомощью схемы анализа, которая не может быть перенесена на рассматриваемый случай. Доказательство базируется на сведении задачи к вопросу об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры и использует локальный метод Гохберга—Крупника.
Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, равномерная обратимость, пространство функций, суммируемых с переменной степенью.
There is considered a complete singular integral operator with continuous coefficients acting in the space of functions on the circle summable with variable exponent. For this operator, there is considered the family of its strong approximations obtained by means of cutting out the singularity in the operator of singular integration. There are found necessary and sufficient conditions of convergence of the approximation method by the family of these operators. The case of the spaces of functions summable with constant exponent, was investigated by the author earlier usingtheschemeofanalysis, which cannot be transferred to the case under consideration. The proof is based on the reduction to the problem of invertibility of the element of some Banach algebra and uses the local method of Gohberg and Krupnik.
Keywords: singular integral operator, uniform invertibility, variable exponent function space.
Теория пространств функций, суммируемых с пе- с непрерывными коэффициентами, действующему в
ременной степенью, и операторов, действующих в этих пространстве функций, суммируемых с переменной
пространствах, в настоящее время интенсивно развива- степенью, приближенного метода по семейству сильно
ется. Упомянем здесь работы [1-4] и цитированную в аппроксимирующих его операторов, получаемых пу-
них литературу. В частности, на рассматриваемые про- тем вырезания особенности ядра Коши. Такое утвер-
странства перенесен ряд утверждений теории сингу- ждение было получено ранее автором для случая про-
лярных интегральных уравнений и операторов, полу- странств функций, суммируемых с постоянной степе-
ченных для случая классических пространств Lp. нью [5, 6]. Отметим, что методы, примененные в цити-
В настоящей работе получен критерий применимо- руемых работах, не могут быть использованы в данном
сти к полному сингулярному интегральному оператору случае, и мы проводим исследование по другой схеме.
Работа построена следующим образом. Сначала приводятся некоторые предварительные сведения о пространствах функций, суммируемых с переменной степенью, и некоторых операторах, действующих в этих пространствах. Исследование проводится с помощью локального принципа Гохберга-Крупника [7, гл. 12, §1], основные положения которого предполагаются известными. Доказательство основного утверждения основано на ставшей уже классической схеме -сведении задачи к исследованию вопроса об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Дальнейший анализ основан на построении адекватной системы локализующих классов и применении упомянутого выше локального принципа.
1. Приведем сначала некоторые предварительные сведения, которые будут сформулированы применительно к рассматриваемому случаю. Большинство этих результатов являются известными, и их доказательства приведены в цитированных выше работах.
Всюду далее через Г обозначается единичная окружность в комплексной плоскости X: Г = {г: 7 е X, | 71= 1}. Пусть р - определенная на окружности Г функция, принимающая вещественные значения и удовлетворяющая условиям:
соп st 1
| р(^) - р(^) |< , /1,/2 еГ , | /1 - /2 |< - ,
1П(1/| - /2 I) 2
шт{р(/): / еГ} > 1.
Первое из них называется обычно ослабленным условием Липшица. Функцию р, удовлетворяющую таким условиям, будем называть допустимым показателем. Всюду, кроме особо оговоренных случаев, будет предполагаться, что р выбрана и зафиксирована.
Через Ьр(. ) (Г) обозначается банахово пространство всех определенных на Г комплекснозначных функций, удовлетворяющих условию
def
\\f = inf^> 0: J
f (t)
p(.)
\ dt \< H < да •
Норму линейного непрерывного оператора A, действующего в пространстве Lp(.) (Г), будем также
обозначать через ||A||p( . ). В дальнейшем множество
всех линейных непрерывных (компактных) операторов, действующих в пространстве Lp( . ) (Г), будет
обозначаться через В p( . ) (соответственно К p( . )).
Обозначим через П множество всех тригонометрических многочленов, определенных на Г , т.е. функций
вида f (t) = fnt" , t еГ , где последовательность
комплексных чисел {fn }да=-да является финитной. Множество П плотно в пространстве Lp(. ) (Г).
Пусть X = {Xn - последовательность комплексных чисел. Определим на линейном многообразии
да да
ПСLp(. )(Г) отображение Kx : Еfntn ^ YXnfnt" ,
п=-да п=-да
t е Г .
Если оно удовлетворяет условию
||Kx f ||p( . ) < const -||f ||p( . ), f еП, т.е. может быть
продолжено по непрерывности до линейного ограниченного оператора, действующего в пространстве Ьр(. .) (Г), то X будем называть Ьр( . ) (Г) -
мультипликатором, а оператор, продолженный на все пространство Ьр(. )(Г), обозначим через Кх и назовем оператором свертки с символом X .
Для произвольных / е Г, е > 0 определим контур Г(/, е) и действующий в пространстве Ьр(. )(Г) оператор £е (е > 0) соотношениями Г(/,е) = {т : х е Г,| х-/ |>е},
£ /)(/) = -, / еГ .
П1 Г т - /
Тогда семейство {£е}е>0 равномерно ограничено по норме, и при е ^ +0 £е сильно сходятся к оператору сингулярного интегрирования £, который является оператором свертки с символом +1)}^=-^ . Легко проверить, что сопряженные операторы £*, действующие в пространстве (Ьр( . )(Г)) *, также сильно сходятся к £ * .
Свяжем с £ стандартным образом проекторы Р = 1/2 (I + £), Q = -2(1 - £), действующие в пространстве Ьр(. )(Г). Для т е2 определим действующий
в пространстве Ьр(. ) (Г) оператор ит : /(/) ^ /т/(/), /еГ . Обозначим через БУ(2) множество всех комплексных последовательностей Х = с ограни-
да
ченной вариацией: Е| Xп+1 - Xп | < да.
п=-да
Нам потребуется следующее обобщение теоремы С.Б. Стечкина о мультипликаторах [8] на рассматриваемый случай.
Предложение 1. Любая последовательность Хе БУ(2) является Ьр(. )(Г) -мультипликатором, и
да
имеет место оценка ||Кх | <| X0 | +coпst Е| Xп+1 -Хп |,
п=-да
где константа зависит только от функции р( ) .
Для доказательства достаточно проверить равенство
да
Kх=XоI + Е(Xп+1 -Xп)ипРи-п -
п=0
да
- Е (X-п -X_n-1)и-пРип.
п=0
Из условия следует, что оба операторных ряда в правой части сходятся в равномерной операторной топологии. Наличие равенства легко проверить на
функциях вида /п , /еГ , п е2", образующих полное множество в пространстве Ьр(. . ) (Г).
Следствие 1. Пусть X = е БУ(2"). Дей-
ствующий в пространстве Ьр(.. )(Г) оператор Kх обратим тогда и только тогда, когда выполняется условие | Xn |> 0 .
г
n
Нам потребуется интерполяционная теорема Рис-са-Торина как в ее классическом варианте [9, гл. 12, § 1], так и ее обобщение на случай функций, суммируемых с переменной степенью [2].
Пусть ро, р-1 - допустимые показатели. Для произвольного а, 0 < а < 1, определим на контуре Г 1 1 -а а
функцию pa
t еГ .
Ра (t) P0(t) Pl(t) Очевидно, что функция ра является допустимым
показателем. Справедливо следующее обобщение интерполяционной теоремы Рисса-Торина [2, следствие A2], которое сформулируем применительно к рассматриваемому случаю.
Предложение 2. Пусть A - линейное отображение, определенное на множестве П и действующее в пространство всех измеримых функций, определенных на Г . Если отображение A допускает одновременно продолжение по непрерывности до операторов из В р ( . ) и В ( . ), то для любого а е (0,1) оно
допускает продолжение по непрерывности до оператора из В Ра ( . ) и имеет место оценка
I I Al Ра О * 4I I Al КО' I I Al О*) •
Пусть A еВр(.) и {As}s>0 - семейство линейных
непрерывных операторов, действующих в пространстве ¿„лч(Г). Запись 5 - lim A = A означает, что
Р( ^ s—+0
операторы As сильно сходятся к A при s — +0. Если, кроме того, подобное соотношение связывает сопряженные операторы, это будет отмечаться следующим образом: 5* - lim As = A.
s—+0
Определение 1. Семейство операторов {Ag}s>0, действующих в пространстве Lp( .)(Г), называется
равномерно обратимым, если все операторы этого семейства обратимы и имеет место оценка
SUpH As IIp(.) <■» • s>0
Напомним следующие стандартные определение и утверждение, относящиеся к сходимости приближенных методов [10, гл. 2].
Предположим, что оператор A е В р( . ) обратим,
{As}s>0 - семейство операторов, действующих в пространстве ¿р( .) (Г).
Определение 2. Говорят, что к оператору A применим приближенный метод по семейству операторов {As}s>0 при s—+0, если существует такое S0 > 0, что операторы As обратимы для всех s , удовлетворяющих условию 0 < s < s0, и для любой функции g е Lp(. )(Г) решения /£е ¿р(.)(Г) уравнений As fs = g , 0 < s < s0, сходятся при s —^ +0 по норме к решению / е ¿р(. )(Г) уравнения A/ = g.
Предложение 3. Предположим, что {As}s>0 - семейство операторов, действующих в пространстве L„r.(Г), 5 - lim As= A и оператор A обратим. К
Р( ) s—+0
оператору A применим приближенный метод по с е-мейству {Ag}E>o при е ^+0 в том и только том случае, когда существует такое 6j > 0, что семейство {Ag : 0 < е < 6j} равномерно обратимо.
Рассмотрим действующий в пространстве Lp( . ) (Г)
обратимый полный сингулярный интегральный оператор A = al + bS + T, где a, b — непрерывные функции на контуре Г, T е Кp( . ). Введем семейство
операторов Ag = al + bSg + T, е > 0. Отметим, что
5* - lim Ag = A.
е^+0
Справедливо следующее утверждение, являющееся основным результатом настоящей работы.
Теорема 1. К действующему в пространстве Lp(.)(r) обратимому полному сингулярному интегральному оператору A = al + bS + T с непрерывными коэффициентами применим приближенный метод по семейству операторов Ae при е ^ +0 в том и только том случае, когда для всех t е Г , X е [-1,1] выполняется условие a(t) + Xb(t) ^ 0 .
2. Пусть a - множество всех семейств {Ag : 0 < е < 2} линейных непрерывных операторов, действующих в пространстве Lp(.)(F) и обладающих свойствами: sup ||As ||p(.)<да и существует
0<е<2
5* - lim Ae = A. Множество a с «покоординатно»
е^+0
выполняемыми операциями и нормой || {Ag } ||a = sup || As | |p(.) образует банахову алгебру.
0<е< 2
Замечание 1. В дальнейшем всюду предполагается, что параметр е принимает значения из промежутка (0,2), и обозначение вида {Aj,: 0 < е < 2} будет сокращаться до {Aj,}.
Обозначим через i множество всех семейств вида
{T + Ае},
где
T екp(.), {ае}е a
lim IIAs Цр(.) = 0 . Легко показать, что множество i
s—+0 Р()
является собственным замкнутым двусторонним идеалом в алгебре a .
Справедливо утверждение (см. [6], где также приведены ссылки на предшествующие работы).
Лемма 1. Пусть {As} е A, A = s* - lim As и опе-
s—+0
ратор A обратим. К оператору A применим приближённый метод по семейству {As} при s — +0 тогда и только тогда, когда обратим смежный класс {As} + i е a/i .
В силу леммы 1 теорема 1 вытекает из следующего утверждения, доказательству которого будет посвящена остальная часть работы.
Теорема 2. Пусть A = al + bS + T, a, b е С(Г), T еК p(.) - действующий в пространстве ¿р(.)(Г)
полный сингулярный интегральный оператор, As = al + bSs + T, 0 < s < 2. Смежный класс
+
и
Доказательство. В силу оценки (1) для любых функций ф е С(Г), у е СУ(Р) имеет место оценка
зир 11 К^ф! -фК;е)||р( . ) < да. (2)
{Ае} + i е а/1 обратим тогда и только тогда, когда а(/) + Xb(/) ф 0 для всех / еГ , Xе [-1,1].
Подчеркнем, что в последнем утверждении в отличие от теоремы 1 не требуется обратимость оператора А .
3. Всюду ниже через А будет обозначаться указанный полный сингулярный интегральный оператор, а через Ае - сильно аппроксимирующие его операторы.
Определим на контуре Г функцию ке (/) (е> 0), полагая ке(/) = 2/(1 -/), если /еГ , | /- 11> е и е^+0 ' ке (/) = 0 для остальных точек конура Г . Обозначим ность операторов ит , задачу сводим к доказательст-
Рассмотрим сначала случай постоянной функции р . Допустим, что р = 2 . Воспользуемся введенными выше операторами ит . Покажем, что для любого т ег выполняется равенство
lim 11K$Um -||2 = 0 . Учитывая
унитар-
через {кП^ }„=-<» последовательность ее коэффициентов Фурье. Оператор Se, 0 < е < 2, является оператором свертки с символом {к^^ }"»=-» . Напомним, что специальная функция si(x) определяется формулой
.. . +» sin I
si(x) = - J -- dq , -да < x < +да .
x 1
Обозначим S(e) = 2 arcsin(е/2) (0 < е < 2). Нам потребуется следующее утверждение, доказанное в [11].
Лемма 2. Коэффициенты Фурье к^ функции ке (t) допускают представление
кП) 2 si^ |2^+118(е) J + R(\ 2n +11,8(s)) Jj • sign(2n +1), где ne Z, 0<е<2, и остаточный член R допускает
оценку | R(| 2n +11,8(е)) |< const--с констан-
| 2n +11
той, не зависящей от е и n .
Пусть 1? =Ри {да} - одноточечная компактифика-ция вещественной оси Р . Обозначим через CV(Р) множество всех непрерывных на Р вещественно-значных функций с ограниченной вариацией. Функции iye CV(R) сопоставим семейство последователь-
ностей
X^ = (V(8(e))«С-да, где 0 <e< 2, 5(e) -
введенная выше функция.
В силу оценок sup | у(8(е))n |< max | у(х) |,
neZ хеР
да да
Е | v(S(e)( n +1)) - v(S(e)n) | < V (у) , 0 <е< 2 , с
n=-да -да
учетом предложения 1 получаем, что последовательности X^ (0 < е < 2) являются Lp(. ) (Г) -
мультипликаторами, и для операторов свертки K^ с p2, находим p2(t) = 9 -
ву соотношения lim ||U_mK<y)Um -K^) ||2 = 0.
Е^+0 у у
Как обычно, через ¡2 обозначим пространство всех двусторонних суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел. Обозначим через Bs действующий в пространстве ¡2 оператор, двойственный по Фурье оператору U-mK^Um - K^ . Оператор Bs действует по формуле BE ^ {(y((n + m)S(e)) - y(n8(e))) \
Тогда 11 U_mK(f )Um _ 12 =| | BE | ¡2 =
= sup | у((n + m)8(e)) - y(n8(e)) |. Последняя величина
neZ
стремится к нулю в силу равномерной непрерывности функции у.
Мы доказали, что lim || Kf-^/ ^K^-* ||2 = 0 для
функции ф(/) = tm , t еГ при любом mеZ . Отсюда легко вывести справедливость последнего соотношения для произвольной функции ф е С(Г) .
Из доказанного, учитывая соотношение (2) для случая постоянной функции p и интерполяционную
теорему Рисса-Торина, получаем, что доказываемое утверждение верно для произвольной постоянной функции p .
Перейдем к случаю произвольного переменного показателя р. Выберем число pj, удовлетворяющее условию 1 < pj < min p(t). Покажем, что существует допус-
ter
тимый показатель p2 (t), удовлетворяющий условию
1 1 -9 9 „ „
■ +--, t еГ при некотором 9 , 0 <9 < 1.
P(t) Pi P2(t)
Разрешая последнее соотношение относительно
P(t) Pi
символами X(ee) выполняется оценка
Pi - (1 -9)p(t)
, t еГ .
да
||Kys)||p(.) < max | у(х)| +const • V (у), 0 <е< 2, (1)
хеР -да
где константа зависит только от функции p .
Лемма 3. Для любых функций ф е С(Г), уе CV(P) имеет место равенство
lim ||K<j,V - ф^ | |p(. ) = 0.
Е^+0 У У p( )
Выберем такое 60, 0 <90 < 1, чтобы величина р - (1 - 9) р(/) не обращалась в нуль при всех значениях 9е (60,1), /еГ . Легко проверить, что для любого 9е(60,1) р2(/) определена для всех /еГ и удовлетворяет условию р2(/) >р(/), / еГ . Тривиально проверяется выполнение для р2 (/) ослабленного условия Липшица. Итак, функция р2(/) явля-
ется допустимым показателем. Из соотношений
supII KfV -9K^s)IIp2 (.) <да,
s
lim IIКрф/-фКр I Р = 0 и аналога теоремы Рис-
s—+0 ^ ^ F1
са-Торина для пространств функций, суммируемых с переменной степенью, (предложение 2) получаем, что
^lim | I <sV -фК^ I Ip(.) = 0 . Лемма доказана.
Введем обозначения. Через m t (Г), t е Г - множество всех определенных и непрерывных на контуре Г функций ф, удовлетворяющих условиям:
0 < ф(т) < 1 для любого х е Г; существует такая окрестность u = и(ф) с Г точки t, что ф(х) = 1 для всех х е u .
Пусть m t (I3) м (i) (^е!3 ) — множество всех
определенных и непрерывных на Р функций у, обладающих свойствами: 0 < у(х) < 1 для любого хеР ; существует такая окрестность u = u(y) с!3
точки £ , что у(х) = 1 для всех х е u ; V (у) < 2 .
-да
Пусть функция у определена и непрерывна на I3
да
и удовлетворяет условию V (у) < да . Тогда числовые
(е)
последовательности {y(n8(s))}n=^, 0<s<2, и их полные вариации равномерно ограничены
да да
sup si у((n + 1)8(e)) _y(n8(s))| < V (у) <да.
0<s<2n=_да п=_да
Из предложения 1 получаем, что семейство операторов свертки K^, 0 < s < 2, равномерно ограничено по норме. Отсюда из очевидного соотношения
lim ||(^;е) -y(0)I)/Up(.) = 0
имеющего место для
е^+0
любой функции /(t) = tn, n е Z , и полноты множества таких функций в пространстве ¿р(.)(Г) следует,
что s - lim К^ = у(0)1. Рассматривая сопряженные
s—+0 у
операторы, получаем, что s* - lim К^ = у(0)1.
s—+0 у
Обозначим через Mt,£ (t еГ , ^е!3 ) множество всех смежных классов вида {фК^} +1 , где ф е m t (Г), у е m ^ (I3). Можно показать, что семейство {Mt £ : t еГ, £ е I} является покрывающей системой локализующих классов в фактор-алгебре AI .
Доказательство теоремы 2. К элементу {As} +1 применим локальный принцип Гохберга-Крупника с построенной выше покрывающей системой локализующих классов {Mt £ : t еГ, £ е I }.
Отметим, прежде всего, что смежный класс (Ae} +1 коммутирует со всеми элементами указанных локализующих классов. Это вытекает из соотношения {t:0<s<2}е i и леммы 3.
Определим функцию h(£), £ е I3 .{0} условиями: 2
h(£) = — si(I £ |)sign(£), если £ ^ да, И(да) = 0. Отме-%
тим, что функция h непрерывна на I3 .\.{0}, и множеством ее значений является интервал (-1,1).
Рассматриваемому оператору A сопоставим семейство операторов A(t°,Z0l), t00 еГ , £0 е I. следующим образом: A(t0,0) = a(t0)I + b(t0)S,
A(t0,Z0) = (a(t0) + h(Z0)b(t0))I, если £0 еo33 .{0}.
Для тех же t0 , £0 введем в рассмотрение смежный класс {A(t0'Z<))} +1 е AI , порождаемый семейством операторов, не зависящих от s .
Лемма 4. Для любых t0 е Г , £,0 е I3. смежные классы {As} +1 и {A(t0,£tl)} +1 являются Mt .£ -
эквивалентными.
Доказательство. В приводимых ниже оценках будет использовано следующее очевидное соотношение:
для {Бг}е a II {Bs} + i IIa/1 < inf sup II Be II p(.). Дос' 0<a<20<s<a PW
таточно ограничиться рассмотрением двух частных случаев: A = al, a е С(Г), и A = S.
Покажем, что inf { inf sup ||(As -
ф,у 0<a<20<s<a
- A(t0, £0) )К(у)ф11 |p(.)} = 0, где первая точная нижняя
грань берется по множеству всех функций ф, у,
удовлетворяющих условиям ф е M i(1 (Г), у е M ^ (I3).
Как и в доказательстве леммы 3, можно свести анализ к случаю р = 2 .
Предположим, что A = al, a е С (Г). Тогда
As = al, A(t0,£0) = a(t0)I . Пусть m k(Г), уе M £(II). Учитывая лемму 3 и равенство 11K^ 12 = 1, получаем
inf sup I I (As-A^^KsVl I2 = 0<a<20<s<a
= inf sup I I (As-A^o^K^ II2< 0<a<20<s<a
< inf sup I I (As- A^Vl 2 = max | a(t) - a(t0Mt)|.
0<a<20<s<a tеГ
Отсюда вытекает искомое соотношение для рассматриваемого случая.
Рассмотрим 2-й случай: A = S. Тогда Ag = Ss
A(t0,£0) = s
если
£0 = 0, A(t°,^0) = h(£)I
е '
если
^о * 0.
Поскольку для любой функции ре м ¿0(Г) выполняется неравенство | р(/) | < 1, t е Г , достаточно доказать, что
да
mf{mf sup ||(As-A^K^ye m £(Р)} = 0.
0<а<20<е<а
Пусть £0 = 0. Для произвольной функции ye M 0(Р), переходя к двойственным по Фурье операторам, находим
inf sup ||(As-A(t0,0))Kys)||2 =
°<a<20<s<a
= inf sup ||(Ss_S)Kys)||2 =
°<a<20<s<a
= inf sup sup| k((S) - sign(2n +1))y(n8(s))| (3)
0<a<20<s<aneZ
Используя лемму 2, получаем, что величина (3) равна
2 /1 2n +11
inf sup sup
°<a<2 0<е<аnsZ
1 + - si л
2
8(е) I 1у(«8(е))
(4)
Учитывая оценку | si(x) - si(y) |<| х - y |, х, y e Р , величину (4) оцениваем сверху значением
inf sup sup
0<а<20<е<аxep
1 + -si(| x | 8(е)) |v(х8(е)) л
= sup
хеР
1 + — si(| x | |y(x)
Остается заметить, что последняя величина может быть сделана сколь угодно малой за счет подходящего выбора функции у, поскольку 81(х) ^ -1 при х ^ 0.
Остальные случаи значений величины £0 анализируются аналогично.
Лемма доказана.
Из леммы 4 получаем такое утверждение:
Лемма 5. Пусть t е Г , £ е Р . Смежный класс {Л} +1 е а/1 является М1£ -обратимым в том и только том случае, когда:
1) а(0 + к(£)Ь(0 ф 0, если £ е Р ,\.{0};
2) а(0 + Ь(0 ф 0, если £ = 0 .
В силу того, что множеством значений функции к является интервал (-1,1), получаем, что условие 1 леммы
5 выполняется для всех t e Г и £ e I3 .\.{0} тогда и только тогда, когда a(t) + Xb(t) Ф 0 для всех t e Г , X e (-1,1).
Утверждение теоремы 2 вытекает из основного утверждения локального принципа Гохберга-Крупника [7, с. 355, теорема 1.1].
Автор выражает глубокую признательность Стефану Григорьевичу Самко и Ларсу Динингу (Lars Diening) за полезные консультации.
Литература
1. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp() and W1 p( )
// Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41, № 116. P. 592-618.
2. Diening L., Hasto P., Nekvinda A. Open problems in varia-
ble exponent Lebesgue and Sobolev spaces // FSDONA04 Proceedings. Milovy, Czech Republic, 2004. P. 38-58.
3. Samko S.G. On a progress in the theory of Lebesgue spaces with
variable exponent: maximal and singular operators // Integr. Transf. and Spec. Funct. 2005. Vol. 16, № 5, 6. P. 461-482.
4. Кокилашвили В.М., Самко С.Г. Сингулярные операторы
и Фурье-мультипликаторы в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Вестн. СПб ун-та. Серия 1. Мат., мех., астрономия. 2008. № 5. С. 56-68.
5. Пилиди В.С. О равномерной обратимости регулярных
аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 6. С. 1317-1320.
6. Пилиди В.С. Критерии равномерной обратимости регу-
лярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Серия мат. 1990. Т. 54, № 6. С. 1270-1294.
7. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одно-
мерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.
8. Стечкин Б. С. О билинейных формах // Докл. АН СССР.
1950. Т. 71, № 2. С. 237-240.
9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 2. М.,
1965. 537 с.
10. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и
проекционные метод их решения. М., 1971. 432 с.
11. Пилиди В.С. Обоснование метода вырезания особенно-
сти для бисингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1990. № 7. С. 51-60.
Поступила в редакцию
17 марта 2010 г.
