О равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами в пространствах функций, суммируемых с переменной степенью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О РАВНОМЕРНОЙ ОБРАТИМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, СУММИРУЕМЫХ С ПЕРЕМЕННОЙ СТЕПЕНЬЮ

© 2013 г. А.В. Абрамян, В.С. Пилиди

Абрамян Анна Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительного эксперимента, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090.

Пилиди Владимир Ставрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и вычислительного эксперимента, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail:pilidi@sfedu.ru.

Abramyan Anna Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Senior Lecturer, Department of Computer Science and Computational Experiment, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090. Pilidi Vladimir Stavrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Department of Computer Science and Computational Experiment, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: pilidi@sfedu.ru.

Для полного сингулярного интегрального оператора с кусочно-непрерывными коэффициентами, действующего в пространстве функций на окружности, суммируемых с переменной степенью, вводится семейство сильно аппроксимирующих его операторов, получаемых путем вырезания особенности в операторе сингулярного интегрирования. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости приближенного метода по семейству этих операторов.

Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, равномерная обратимость, сходимость приближенного метода, пространство функций, суммируемых с переменной степенью.

For a complete singular integral operator with piecewise continuous coefficients acting in the variable exponent function spaces on the circle, there is considered the family of its strong approximations obtained by means of cutting out the singularity in the operator of singular integration. There are found necessary and sufficient conditions of convergence of the approximation method by the family of these operators.

Keywords: singular integral operator, uniform invertibility, convergence of the approximation method, variable exponent function space.

Получен критерий применимости к полному сингулярному интегральному оператору с кусочно-непрерывными коэффициентами, действующему в пространстве функций, суммируемых с переменной степенью, приближенного метода по семейству сильно аппроксимирующих его операторов, получаемых путем вырезания особенности ядра Коши. Такое утверждение было получено ранее для случая пространств функций, суммируемых с постоянной степенью, и кусочно-непрерывных коэффициентов [1, 2]. Случай пространств функций, суммируемых с переменной степенью, и непрерывных коэффициентов рассматривалсяв работе [3].

Приведем некоторые предварительные сведения, которые будут сформулированы применительно к рассматриваемому случаю. Большинство этих результатов являются известными [4].

Обозначим через Г единичную окружность в комплексной плоскости. Пусть р - определенная на Г функция, принимающая вещественные значения и

удовлетворяющая следующим двум условиям:

\p(ti) - p(t2) | <

C

ln(1/ \tj -12\ )

для любых t1, ¿2 е Г, удовлетворяющих условию 0 <| ¿1 - ¿2 | < 12, где константа С не зависит от ¿1 и ¿2 , и тт{р(?): t е Г} > 1. Функцию р , удовлетворяющую таким условиям, будем называть допустимым показателем.

Через Ьр(.) (Г) обозначается банахово пространство всех определенных на Г комплекснозначных функций, удовлетворяющих условию

| | /1 |р(.) > 0: /г | /(¿)/X | ^) | Л | < 1}< «>.

Множество всех линейных непрерывных (всех компактных) операторов, действующих в пространстве £р(.)(Г), будет обозначаться через вр(.) (кр(.)). Норму

оператора А е Вр(. ) будем обозначать через || А | |р( . ).

Обозначим через Р всюду плотное в пространстве ^р(-) множество всех тригонометрических многочленов, определенных на Г, т.е. функций вида /(*) = 2и=-да /п*" , * £Г , с финитной последовательностью комплексных коэффициентов {/п} . Последовательность Х = {Xназывается Ьр(. )(Г) - мультипликатором, если определенное на линейном многообразии Р отображение 25?=-»и" ^Х^-^К/п*" продолжается по непрерывности до линейного ограниченного оператора, действующего в пространстве Ьр(. )(Г). Этот оператор будем обозначать через Кх

и называть оператором свертки с символом X. Очевидно, что любые два оператора свертки коммутируют.

Определим действующий в пространстве Ьр( . ) (Г) оператор £е (е > 0) формулой

(5В/)(*) = -|х-,|>е —йх , * еГ . пг 1 х — *

Семейство операторов {^е}е>0 равномерно ограничено по норме, и при е ^ +0 операторы 5"е сильно сходятся к оператору сингулярного интегрирования 5 в пространстве Ьр(.. )(Г). Оператор 5 является

оператором свертки с символом +1)}"?-? .

Приведем теперь необходимые сведения о локальном принципе Гохберга-Крупника [5, гл. 12, §1; 6, р. 22].

Пусть и - банахова алгебра с единицей е . Множество М с и называется локализующим классом, если 0 й М и для любых а, а2 е М существует такой элемент а е М, что а^ = аа1 = а, а2а = аа2 = а. Элементы х, у е и называются М-эквивалентными слева (справа), если

М | | (х - у)а | = 0 ( | | а(х - у) | = 0).

аеМ аеМ

Если элементы х, у е и коммутируют со всеми элементами локализующего класса М , то они М-эквивалентны слева и справа одновременно.

Элемент х е и называется М-обратимым слева (справа), если существуют такие элементы у е и, а е М, что уха = а (аху = а). Элемент х е и называется М -обратимым, если он М-обратим слева и справа. Если элементы х, у е и М-эквивалентны, то они одновременно М-обратимы или нет.

Семейство {Мх}хет локализующих классов называется покрывающим, если для любого семейства элементов {ах }хет , ах е Мх, хеТ , найдется конечное подсемейство ах , ах , ..., ах , сумма элементов

которого является обратимым элементом алгебры и .

Обозначим через и 0 коммутатор множества ихетМх в алгебре и . Множество и0 является банаховой подалгеброй алгебры и .

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. Пусть (Мх}хеТ - покрывающая система локализующих классов в банаховой алгебре U, хeU0 и для каждого хеТ элемент х

Мх-эквивалентен слева (справа) элементу хх е U. Элемент х обратим слева (справа) в алгебре U в том и только том случае, когда для каждого хеТ элемент хх Мх -обратим слева (справа).

Дадим некоторое дополнение к приведенному локальному принципу.

Определение 1. Пусть к е U . Элемент х е U назовем k -обратимым слева (справа), если существует такой элемент у еU, что ухк = к (кху = к).

Пусть М - локализующий класс в алгебре U ; к еU - элемент, коммутирующий со всеми элементами из М .

Определение 2. Будем говорить, что элемент х е U (к,М) -обратим слева (справа), если существуют такие элементы у еU, а е М, что 2хка = ка (ках = ка ).

Доказательства следующих двух утверждений несущественно отличаются от аналогичных утверждений локального метода Гохберга-Крупника, приводимых в цитированных выше работах, и мы их опускаем.

Лемма 1. Предположим, что элементы х, у еU М-эквивалентны слева (справа). Тогда из (к,М) -обратимости слева (справа) одного из них следует (к, М) -обратимость слева (справа) другого.

Предложение 2. Пусть {Мх}хет - покрывающая система локализующих классов в банаховой алгебре U, к е^, х е^ и для каждого хеТ элемент х Мх-эквивалентен слева (справа) элементу ххеU . Элемент х к -обратим слева (справа) в алгебре U в том и только том случае, когда для каждого х е Т элемент хх (к,Мх) -обратим слева (справа).

Пусть A е Bp . ) и {Д;}Е>о - семейство операторов

из B „( . ). Запись s - lim AE = A означает, что опера-

Р( ) е — +0

торы A сильно сходятся к оператору A при е — +0. Если, кроме того, подобное соотношение связывает сопряженные операторы, будем отмечать это следующим образом: s - lim A6 = A .

е—>+0

Определение 3. Семейство операторов {Ae}e>o называется равномерно обратимым, если все операторы

этого семейства обратимы и sup 11 A-11< да.

е>0

Предположим, что оператор A е Bp.) и {Ae}e>o -семейство операторов из Bp(.).

Определение 4. Говорят, что к обратимому оператору A применим приближенный метод по семейству операторов {Ag}e>o при е — +0, если существует такое 60 > 0, что операторы A обратимы для всех е, удовлетворяющих условию 0 < е < 60, и для любой

функции g е Lp(. )(Г) решения fe е Lp(. )(Г) уравнений Aef = g , 0 < e < е0, сходятся при е ^ +0 по норме к решению уравнения Af = g.

Как обычно, функцию а, определенную на контуре Г, назовем кусочно-непрерывной, если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек, в которых имеет разрывы первого рода. Односторонние предельные значения этой функции в точке ее разрыва t будем обозначать через a(t ± 0), где пределы понимаются в соответствии со стандартной ориентацией контура Г .

Рассмотрим действующий в пространстве Lp( .) (Г)

полный сингулярный интегральный оператор A = aI + bS + T, где а, b - кусочно-непрерывные функции на контуре Г, T е Kp(. ). Введем также семейство операторов Ae= aI + bSe + T, e > 0. Отметим, что 5 - lim Ae = A . e^+0

Введем некоторые обозначения. Предполагается, что функции а и b выбраны и зафиксированы. Поэтому зависимость вводимых далее объектов от этих функций не отмечается.

Обозначим через R = R ^ {—»,+»} компактифи-

кацию вещественной оси R двумя бесконечно удаленными точками ±ю такую, что отображение

Ф: [—1,1] ^ R, определяемое формулой лх

ф( х) =-jtgy

апее -1 < х < 1, [+да, апее х = +1, является гомеоморфизмом. Для фиксированного г е (1, да) определим функцию фг на К формулой

Фг (Ц) = + ^

апее апее

-да < ц < +да, ц = ±да.

Функция фг ( ) непрерывна на К , множеством ее значений является дуга окружности (отрезок при г = 2) с концами -1 и 1 .

Для комплексных г!, 22 определим дугу £(21, г2; г) параметрическим уравнением

1 -фг(ц) , „ 1 + фг(ц)

z = Zy

■ + Z2-

, <х><ц<+х>.

2 2 Обозначим через V объединение множеств точек разрыва функций а и Ь . Пусть t е V. Предположим, что а(? - 0) + ХЬ(? - 0) ф 0 при -1 < X < 1. Введем дуги

/ а^ + 0) - Ь^ + 0) а^ + 0) + Ь^ + 0) £1 = £\-,-; г

1 ^ а^ - 0) - Ь^ - 0) а^ - 0) + Ь^ - 0)

= Г a(t + 0) + + 0) : -1 <х< 1

2 [ а^ - 0) + XЬ(t - 0) Обозначим через В(г) замкнутое множество в комплексной плоскости, ограниченное дугами £ 1 и £ 2.

Предположим дополнительно, что функция р является постоянной в некоторой окрестности каждой из точек множества V .

Справедливо следующее утверждение, являющееся основным результатом настоящей работы.

Теорема 1. К действующему в пространстве Lp( ) (Г) обратимому полному сингулярному интегральному оператору A = aI + bS + T с кусочно-непрерывными коэффициентами применим приближенный метод по семейству операторов As = aI + bSE + T при s —^ +0 в том и только том случае, когда:

1) для всех t еГ \ V , Хе[-1,1] выполняется условие a(t) + Xb(?) ф 0 ;

2) для всех точек t е V выполняются условия a(t ± 0) + Xb(t ± 0) ф 0 при X е [-1,1] и 0 g D(p(t)) .

Пусть U - множество всех семейств {As : s > 0} линейных непрерывных операторов, действующих в пространстве Lp(.) (Г), обладающих следующими

свойствами: \ \ {Ag} \ = SUP \\ As \ < и существует

s>0

5* - lim As. Множество U с «покоординатно» вы-

s—+0

полняемыми операциями и указанной нормой образует банахову алгебру.

Обозначим через J множество всех семейств {As} е U таких, что для некоторого T е Kp(.) выполняется соотношение lim \\ As- T \ \p(.) = 0 . Множество J является собственным замкнутым двусторонним идеалом в банаховой алгебре U .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. К действующему в пространстве Lp(.) (Г) обратимому полному сингулярному интегральному оператору A = aI + bS + T с кусочно -непрерывными коэффициентами применим приближенный метод по семейству операторов As= aI + bSs + T при s — +0 в том и только том случае, когда обратим смежный класс {As} + J е U/J.

Доказательство этого утверждения проводится по схеме, изложенной в [2]. Там же имеются ссылки на предшествующие работы. В силу теоремы 2 нам в предположении, что оператор A обратим, нужно доказать, что смежный класс {As} + J еи/J обратим тогда и только тогда, когда выполняются условия 1) и 2) теоремы 1. Доказательству этого утверждения посвящена остальная часть работы.

Всюду ниже через A будет обозначаться указанный выше обратимый полный сингулярный интегральный оператор с кусочно-непрерывными коэффициентами, а через A5 - сильно аппроксимирующие его операторы.

Обозначим через Mt (t е Г) множество всех смежных классов фактор-алгебры U/J вида {ф : s > 0} + J , где функция ф определена и непрерывна на контуре Г и удовлетворяет следующим условиям:

1) 0 < ф(?) < 1 для любого х е Г;

2) существует окрестность и = и(ф) с Г точки t такая, что ф(х) = 1 для всех х е и .

Этот смежный класс порождается семейством операторов, не зависящих от е . Легко проверить, что семейство {Mt : t еГ| является покрывающей системой локализующих классов в фактор-алгебре U/J .

Лемма 2. Для любой функции ф е С(Г) семейство {Аеф1 -фАе}е>0 принадлежит идеалу J .

Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в том, что {5"еф/ -ф^е}е>о е J, если функция ф непрерывно дифференцируема на Г.

Семейство {Se}e>o равномерно ограничено по норме пространства B p(. ), и оператор 5ф/ -фS принадлежит классу Kp(. ) при любом допустимом показателе p(). В силу этого, учитывая аналог интерполяционной теоремы Рисса-Торина для рассматриваемого класса пространств [4, p. 217, Corollary 7.1.4], нам достаточно убедиться в том, что для операторов Ке= (S - Se )ф/ -ф(5 - Se), е > 0 выполняется соотношение lim ||Ке 12 = 0 . е^+0

Учитывая равенство

(Кеf )(t) = 1 ^^^^^*,t еГ ,

ТГ7 1 1

х-1

и оценку ф(х) -ф(/)

х-1

< c, /, хеГ,

t Ф х,

с некоторой константой с, не зависящей от t и х , получаем

1

\\*е\2 JJ

Л | х-1 | <е

2

ф(х) -ф(t)

х-1

2

\d%\ | dt | <

< — Ц| йх| | Л |= О(е), е^+0.

П |х-*|<е

Лемма доказана.

В силу последней леммы элемент {Ае} + ^еи^ коммутирует со всем элементами введенных локализующих классов М * , что позволяет применить к анализу обратимости этого элемента локальный метод по системе этих локализующих классов.

Рассмотрим отдельно случай точек непрерывности обоих коэффициентов сингулярного интегрального оператора (множество Г \ V) и случай, когда хотя бы один из коэффициентов имеет в выбранной точке разрыв (множество V).

Случай 1. Точки непрерывности. Введем функцию 8(е) = 2агсзш(е/2) (0 <е<2). Пусть II = Я-одноточечная компактификация вещественной оси Я . Обозначим через СУ(Л) множество всех определенных и непрерывных на Л функций, имеющих ограниченную вариацию на Л. Для произвольной

функции уе СУ(Л) обозначим через К^е) оператор

свертки с символом {у(п8(е))}?. В силу аналога теоремы С.Б. Стечкина о мультипликаторах для случая пространства функций, суммируемых c перемен-

ной степенью [3], семейство операторов свертки Куе), 0 <е<2, равномерно ограничено по норме.

Нетрудно проверить, что {К^ } е и .

Замечание. Несовпадение областей определения семейств из алгебры и и операторов Ку) несущественно, поскольку нас интересует поведение рассматриваемых операторов при е ^ +0. Более того, смежный класс {К^} + J не зависит от продолжения се-(е)

мейства {Ку)} на значения параметра е> 2. Для

определенности будем полагать, что К^ = 0 при

е > 2.

Обозначим через М^ (£е Л) множество всех смежных классов вида {К^ : е > 0} + J, где функция у е СУ (Л) и удовлетворяет условиям:

1) 0 < у(х) < 1 для всех х е Л ;

2) существует окрестность и = и(у) с Л точки £ такая, что у(х) = 1 для всех х е и ;

3) У(у) < 2 .

Нетрудно показать, что семейство {М^ : £ е Л} является покрывающей системой локализующих классов в фактор-алгебре и^ . Отметим только, что в доказательстве существенно используется упомянутый выше аналог теоремы о мультипликаторах.

Справедливо следующее утверждение [3, лемма 3]. Лемма 3. Для любых функций ф е С(Г)), у е СУ(Л)

выполняется р

равенство lim \ \ Х^ф/ - ф^0 \ \p(.) = 0.

е—+0

Напомним, что функция si(x) определяется фор-

мулой si^) = -J

sin £

d£,-да< х <+да.

£

Определим функцию h(£) , £е Л \{0} формулой 2

J— si(\ £ \).sign£, 0,

h(£) =1 л

£ =

Функция й(£) непрерывна Л \ {0}, и множеством ее значений является интервал (-1,1).

Для произвольных комплексных чисел а, р определим семейство операторов Д(£), £е Л следующим образом:

£ = 0,

£ = л\{0}.

Лемма 4. Для любого £ е Л смежные классы

{аI + Р5е : е > 0} + J и {Д(£)

: е > 0} + J являются М£ -

эквивалентными.

Доказательство может быть проведено по схеме, использованной при доказательстве леммы 4 из [3].

.(%) = Га/ + ßS,

1(а + h(£)ß)/,

Лемма 5. Пусть ¿0 е Г \ V. Смежный класс {А} + 3 еи/3 М1о -обратим тогда и только тогда, когда а(г0) + XЬ(?0) ф 0 для всех X е [-1,1].

Доказательство. Обозначим а = а(^), р = Ь(?0). Рассматриваемый смежный класс М^ эквивалентен смежному классу {а/ + р5Е} + 3. Поэтому м^ - обратимость {А8}+3 равносильна м - обратимости смежного класса {а/ +Р5Е} + 3. Проанализируем м - обратимость

этого смежного класса слева. Это означает, что существуют функция фе М{ (Г) и семейство операторов

{Бе}еи такие, что ВЕ(а/ + Р^Е)ф/ = ф/ + Т + АЕ, е>0, где Т е Кр(.), {АЕ} е и, Нш^ || АЕ | |р(.) = 0 . Иначе говоря, смежный класс {а/ + Р5"Е} + 3 является ({ф/}Е>0 + 3) -обратимым слева.

Учтем также, что смежные классы {а/ + р£Е} + 3 и {ф/}Е>0 + 3 фактор-алгебры и/3 коммутируют. Кроме того, смежный класс {а/ + р£Е } + 3 коммутирует со всеми элементами локализующих классов Ы^ , £ е 11. Для анализа {ф/}Е>0 + 3 -обратимости слева смежного класса {а/ + р£Е } + 3 воспользуемся предложением 2, доказав, что смежные классы {А(£)} + 3 являются ({ф/}Е>0 + 3, Ы£) -обратимыми

для всех £ е 11 тогда и только тогда, когда а + Хр ф 0

для всех X е [-1,1] (определение операторов А(£) дано перед формулировкой леммы 4).

Если а + Хр ф 0 для всех X е [-1,1], то все операторы а(£) (£ е 11) обратимы и, следовательно, смежные классы {А(£)} + 3 ({ф/}Е>0 + 3, Ы£) -обратимы для любой функции ф е С(Г) .

Обратно. Предположим, что все смежные классы {А(£)} + 3 ({ф/}Е>0 + 3, Ы£) -обратимы. Покажем, что а + Xр ф 0 для всех X е [-1,1].

Из обратимости оператора А следует, что а + р ф 0. Допустим, что а + Xр = 0 при некотором

Xе (-1,1). Найдем точку £0 е 11 \{0} такую, что ^(£0) = X. Тогда А(£0) = 0 и смежный класс {А(£0)} + 3 не может быть ({ф/}Е>0 + 3, Ы£) -обратим. Действительно. Допустим противное. Тогда для некоторой функции уе СК(11), равной единице, в окрестности точки £ 0 выполняется соотношение

(ф/ + Т + Ае = 0, е > 0, (1)

где Т е КрС), ^}еи, 11т || Ае ||р(.) = 0 .

^ ' Е^+0 УУ '

Для т е Z определим действующий в пространстве Зр(.)(Г) оператор ит : /(¿) ^ ¿т/(¿), t еГ . Операторы и т являются изометрическими и обратимыми.

(2)

Если £0 Ф да, положим n(e) = [£0/5(s)J, 0 < e < 2. При £0 = да положим n(e) =[(8(е))-2J, 0 <e<2. Из соотношения lim | n(e) |= +да следует, что при e ^ +0

операторы Un(e) сходятся к нулевому оператору в

слабой операторной топологии. Умножая обе части соотношения (1) слева на U-n(e) и справа на Un(e),

получаем

(ф/ + U— n(e)TUn(e) + + U—n(e) AeUn(e))U—n(e) K\^Un(e) = 0

Учтем, что s — lim TU= 0 и, следовательно,

e^+0 n(e)

s — lim U—n(e)TUn(e) = 0 . Кроме того,

e^+0 ( ) ( ) Elim l|U—n(e)AeUn(e) 1 |p(.) = 0 и

s^limU—n(e)K'(v)Un(e) =V(£0)I = I. Переходя в (2)

к сильному пределу при e ^ +0, получаем, что фI = 0, что невозможно, так как функция ф ненулевая. Лемма доказана.

Случай 2. Точки разрыва. Отметим, прежде всего, что нам достаточно ограничиться анализом смежного класса {aI + bSe}e>0 + J eU/3 . Пусть t0 е V . Функция p(.) постоянна в некоторой окрестности u с Г этой точки. Пусть Pu е Bp(.) - оператор умножения

на характеристическую функцию множества u . Очевидно, что Mt — обратимость рассматриваемого

смежного класса равносильна этому же свойству для смежного класса {Pu (aI + bSe )Pu}e>0 + J е U/J.

Будем рассматривать оператор Pu (aI + bSe )Pu действующим в пространстве Lp(t ) (u) . Подчеркнем,

что это пространство функций, суммируемых с постоянной степенью. Теперь локальный анализ можно провести по схеме из [2]. Мы не будем на этом останавливаться. Отметим только, что здесь существенно используются подходы и результаты работы [7] (понятие квазиэквивалентности) и [8] (критерий обратимости оператора Винера-Хопфа с кусочно-непрерывным предсимволом).

Литература

1. Пилиди В.С. О равномерной обратимости регулярных

аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1988. Вып. 299, № 6. С. 1317-1320.

2. Пилиди В.С. Критерии равномерной обратимости регу-

лярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1990. Вып. 54, № 6. С. 1270-1294.

3. Пилиди В.С. О равномерной обратимости регулярных

аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов в пространствах функций, суммируемых с переменной степенью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 1. С. 12-17.

4. DieningL., HarjulehtoP., HästöP., RüzickaM. Lebesgue and

Sobolev Spaces with Variable Exponents. N.Y., 2011. 509 p.

5. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одно-

мерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.

6. Prössdorf S., Silbermann B. Numerical analysis for integral

and related operator equations. Basel, 1991. 542 p.

Поступила в редакцию

7. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования ли-

нейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Вып. 29, № 3. С. 567-586.

8. Дудучава Р.В. Об интегральных операторах Винера-

Хопфа // Math. Nachr. 1975. B. 65. S. 59-82.

4 сентября 2013 г.