CC BY
14
УДК 517.9
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, СУММИРУЕМЫХ С ПЕРЕМЕННОЙ СТЕПЕНЬЮ
© 2014 г. В.С. Пилиди
Пилиди Владимир Ставрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и вычислительного эксперимента, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, Ростов-на-Дону, 344090, e-mail:[email protected]._
Pilidi Vladimir Stavrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Department of Computer Science and Computational Experiment, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov- on-Don, 344090, Russia, e-mail:[email protected].
Для сингулярного интегрального оператора с кусочно-непрерывными коэффициентами, действующего в пространстве функций, суммируемых с переменной степенью, доказана равносильность фредгольмовости и наличия двух априорныхLp -оценок. Доказательство основано на локальном подходе, позволяющем вывести обратимость локальных представителей (в смысле И.Б. Симоиенко) рассматриваемого оператора из априорных •оценок.
Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, кусочно-непрерывные коэффициенты, пространство функций, суммируемых с переменной степенью, фредгольмовость, априорная оценка.
For a singular integral operator with piecewise continuos coefficients acting in the variable exponent space there is proved equivalence of the Fredholm property and existence of two a priori Lp -estimates. The proof is based on the local
approach which permits to deduce invcrtibiiity of the local representa-tives (in the sense of 1.B. Simonenko) of the operator under consideration from a priori estimates.
Keywords: singular integral operator, piecewise continuous coefficients, variable exponent space, Fredholm property, a priori estimate.
Настоящая работа продолжает исследования автора, посвященные связи фредгольмовости операторов типа сингулярных и наличию для них априорных оценок в шкалах пространств с некомпактными вложениями [1-6]. Напомним сначала некоторые известные факты.
Пусть X, Y - банаховы пространства и имеет место непрерывное вложение X с Y . Априорной для линейного непрерывного оператора A , действующего в пространстве X, называется оценка следующего вида: || x ||X < const • (\\Ax ||X +1| x \\Y), x e X, с константой, не зависящей от x.
Предположим дополнительно, что вложение X с Y является компактным и имеет место компактное вложение X* с Z сопряженного пространства X * в некоторое банахово пространство Z . Тогда справедливо следующее утверждение [7, теорема 7.1].
Предложение 1. Следующие условия равносильны:
1) оператор A является Ф -оператором;
2) имеют место априорные оценки:
|| x |X < const • (|| Ax | X +1| x | \), x e X,
X '
.< const • (\\Ay\\X. + \\y\Z ), y e Z.
В доказательстве импликации 1)^2) этого утверждения не используется компактность вложений
X с У , X* с 2, эта часть остается верной и в случае непрерывных вложений. Поэтому в доказательстве приводимой ниже теоремы анализируется только одна импликация: из априорной оценки следует фредгольмовость рассматриваемого оператора.
В [1] доказана равносильность фредгольмовости полного сингулярного интегрального оператора с непрерывными коэффициентами, действующего в «классическом» Ьр -пространстве, и наличия для
него одной априорной Ьр -оценки. В дальнейшем
этот результат был перенесен на сингулярные интегральные операторы с разрывными коэффициентами из некоторого класса (включающего кусочно-непрерывные функции) [2]. В этом случае фред-гольмовость оказывается равносильной двум априорным Ьр -оценкам по аналогии с предложением 1.
Отметим также, что в работе [2] приведен пример оператора, не являющегося оператором Фредголь-ма, для которого выполняются обе априорные Ьр -
оценки рассматриваемого вида.
Через Г здесь и всюду далее обозначается простая замкнутая кривая типа Ляпунова в комплексной плоскости C . На кривой Г выберем ориентацию стандартным способом.
Приведем некоторые предварительные сведения о пространствах функций, суммируемых с переменной степенью [8].
Определенную на Г функцию p(t), принимающую вещественные значения, будем называть допустимым показателем, если выполняются условия:
1) имеет место неравенство
|p(ti) -p(t2) I <:
A 1
-,t1,t2 еГ, 0 <|t, -12 |<—,
|ln(|ti -12 |)| 12 1 1 21 2
где константа A зависит только от функции p ;
2) выполняется неравенство min p(t) > 1.
ter
Через Lp( . )(Г) обозначается банахово пространство всех определенных на Г измеримых ком-плекснозначных функций с конечной нормой
||/||p(.) = infk:X>0, J
f (t)
X
p(t)
| dt |< 1k
Всюду далее предполагается, что показатели р(), ?(•) и т.д. являются допустимыми. Как и в случае постоянных показателей, пространство, сопряженное к Ьр(• )(Г), изоморфно пространству
• )(Г), где сопряженный показатель q определяется формулой р(0
q(t) = -
t еГ.
р(0 -1
Если для показателей р1 и р2 выполняется условие Р2У) <Р1 У) для всех I еГ , то имеет место непрерывное вложение Ьр ( • )(Г) с Ь^ ( • )(Г). Подчеркнем, что это вложение не является компактным.
Как обычно, действующий в пространстве Ьр(• )(Г) оператор сингулярного интегрирования
определяется формулой
t еГ,
(/)( t) =1J^ dz,
всех t еГ выполняются неравенства pi(t) <p(t), qi (t) < q(t). Здесь и всюду далее через A = aI + bS будем обозначать полный сингулярный интегральный оператор в пространстве Lp( . )(Г). Предполагаем, что комплекснозначные коэффициенты a и b кусочно-непрерывны на Г. Кроме того, будем предполагать, что каждый из показателей p, pi, qi является постоянным в некоторой окрестности каждой из точек, в которых хотя бы один из коэффициентов a, b терпит разрыв.
Основным результатом работы является Теорема. Для того чтобы оператор A был Ф -оператором в пространстве Lp( . )(Г), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись априорные оценки
| | f | |p(. ) < const -(|| Af | |p(. ) +1 | f | (. )), f е Lp(. )(Г),
| | g | |q( . ) < const. (| | A*g | |q( . ) +1 | g | ^ (. ) ), g е Lq{. ) (Г).
Перейдем к некоторым предварительным построениям.
Пусть Г0 - единичная окружность в комплексной плоскости: Г0 = {z : z е C,| z |= 1}. Как обычно, тригонометрическим полиномом будем называть
определенную на Го функцию вида f (t) = 2 fntn ,
n=—да
t е Го, где последовательность комплексных чисел {fn }^=_^ является финитной. Множество всех тригонометрических полиномов всюду плотно в пространстве Lp( . )(Го) •
Пусть u с Го - измеримое множество; %u - определенная на Г0 характеристическая функция множества u; | u | - мера множества u; p(t) - допустимый показатель. Обозначим:
p+ = sup{p(t): t е u}, p_ = inf{p(t): t е u}. В этих предположениях и обозначениях справедливо утверждение.
Лемма 1. Предположим, что | u |< 1. Тогда имеет
место оценка | u 1p_ <| | х„ | |p( . )<| u 1p+ . Доказательство. Введем функцию
Гт-1
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Известно [8], что оператор 5 является ограниченным в случае любого допустимого показателя. С оператором 5 свяжем стандартным образом
проекторы Р+ = 1(1 + 5), действующие в пространстве Ьр( • )(Г).
Пусть р, р1, д1 - допустимые показатели, q является показателем, сопряженным к р , и для
h(X) = J
го
Хм (t)
X
p(t)
| dt |, X> 0.
По определению
11Хм | |p( -) = infiX: X > 0,h(X) < 1}.
Учитывая вид функции хм , получаем
h(X) = JX-p(t)| dt |, X > 0.
(1)
Отсюда следует, что к(1) = и |< 1, и для оценки величины ||хи || дальнейшему анализу подлежат только значения X е (0,1].
г
u
Из неравенства p_ < p(t) < p+, t e u, для любого X e (0,1] получаем, что X_p_ < X_p(t) < X_p+ , t e u . Отсюда и из (1) следует, что
X_p_ | u | < h(X) < X_p+ | u |. (2)
Если 0 < X <| u | 1 p_ , то X_p_ >| u | _1, и из (2) выводим, что h(X) > 1. Это означает, что
| | ги | |p(0 >| u | 1 p_ . Полагая Xo =| u | 1 p+ , из (2) получаем h(Xo) < X0p+ • | u |= 1. Отсюда следует неравенство ||Х„ | |pC.) <Xo =|u 1 p+ . Лемма доказана.
Нам потребуется следующее утверждение [9, p. 595, Corollary 2.2].
Предложение 2. Пусть p, q , r - допустимые показатели и для всех t e Г0 выполняется неравенство p(t) < q(t) < r(t). Тогда существуют такие положительные константы c, a o , а,1, Po, Pi, что для любого тригонометрического полинома f выпол-
няется неравенство
Ia
I I f I |q(.) < | f | Р(.)| f | ß(.
где
a =
ao, апёе |\f ^> 1 Jßo, апёе | | f ||г(.)> 1, a,, апёе || f| | „п< 1, ß = 1 ßi, Мёе || f| ^< 1.
выполняется неравенство pi(to) < p(to). Q - один
;
из четырех операторов P+, P+, действующих в пространстве ¿р(.)(Г). Тогда существует последовательность (<рп}ПП=1 элементов пространства Lp(.)(r), обладающая следующим свойствами:
1) !1фи iip(-) = 1, n = 1, 2 , ...;
2) lim !|бфи !|p(.) = 0, lim !|Фп |p (.) = 0 ;
3) для любой окрестности u с Г точки to имеет место равенство
lim !!(1 "Xu)Фи !!p(.) = 0 •
Доказательство. Рассмотрим сначала случай Г = Го , Q = P+. Выберем такую окрестность v с Го точки to , чтобы неравенство pi (t) < p(t) выполнялось для всех t из замыкания этой окрестности. Построим последовательность {un}да= окрестностей точки to, стягивающуюся к этой точке. Не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что для всех значений n un с v и ! un !< 1. Рассмотрим последовательность функций
J„ XUn (t)
Фи (t) = t
t еГп, n = 1,2,.
ai, ШЬ!!/!!Р(.)<i,F"\ßi,
Для произвольного целого m определим действующий в пространстве £р(.)(Го) изометрический
оператор Um : f (t) ^ tmf (t), t e Го .
Лемма 2. Для произвольной функции f e Lp(.)(Гo) имеют место равенства
lim ! ! P"Unf! !p(. ) = o, lim ! ! P+U"nf! Р( . ) = o.
Доказательство. В силу равномерной ограниченности по норме операторов U n и ограниченности операторов P+ достаточно доказать указанное соотношение для тригонометрических полиномов f . При постоянном показателе p = 2 это утверждение тривиально следует из равенства Парсева-ля. В общем случае соотношение может быть выведено из предложения 2.
Лемма доказана.
В доказательстве следующей леммы через P+ обозначим действующие в пространстве Lp(. )(Г) операторы, сопряженные к операторам P+, действующим в Lq(. )(Г), где q(•) - сопряженный к p( •) показатель.
Лемма 3. Предположим, что p, pi - допустимые показатели, для всех t еГ выполняется неравенство pi (t) < p(t) и для некоторой точки to е Г
!! Xu n (t)! p( • )
где {¿n}^=i - последовательность целых чисел, для которой выполняется соотношение
lim !! Qфи ! !p(. ) = o . Существование этой последовательности вытекает из леммы 2.
Обозначим: p_ = infp(t): t e v}, p+ = sup{p(t): t e v} . Из леммы 1 получаем
!!ф! p 0 =! ! Xun! !pi( • ) < ^o
! ! Ф! pi( ) !!Xun! p(.) !un 1p_
i i n
при n ^ да , поскольку---> o .
p+ p_
Переход к случаю общего контура может быть осуществлен по схеме, предложенной в [1]. Учитывая связь между операторами S и S* [10, гл. 1, теорема 7.1], случай операторов Q = P+ сводим к предыдущему.
Лемма доказана.
Перепишем рассматриваемый оператор A в виде A = a+P+ + a_P_.
Коэффициенты a+ являются кусочно-непрерывными функциями. Введем обозначения: V - конечное множество точек, в каждой из которых хотя бы одна из функций a+ терпит разрыв; R - вещественная ось; S - оператор сингулярного интегри-
рования в пространстве Lr (R), где величина r постоянная, 1 < r < да; P+ - действующие в пространстве Lr (R) проекторы, связанные с оператором S . Определенной на контуре Г кусочно-непрерывной функции a поставим в соответствие семейство определенных на вещественной оси R функций ~(t), t еГ, следующим образом:
~(t)(x) = Ja(t + 0), änee x > 0, ( ) [a(t - 0), änee x < 0.
Для каждой точки t е V введем действующий в
пространстве l (i)(R) оператор A(t) = a++t)P++ o-t)P- .
Подчеркнем, что эти операторы действуют в пространствах функций, суммируемых с постоянным показателем.
Справедливо утверждение [11]. Предложение 3. Оператор A является Ф-опе-ратором в том и только том случае, когда для каждой точки t е V обратим оператор A~(t) и для каждой точки t еГ \ V a+ (t) Ф 0 .
Перейдем к доказательству теоремы. Предположим, что выполняются указанные в формулировке теоремы априорные оценки, и докажем выполнение условий предложения 3. Рассмотрим случаи t е V и t еГ \ V отдельно.
Предположим, что выполняется априорная оценка
|| f | p(. ) < C • (|| Af | |p(. ) + 11 f| p (• )), f е Lp(. )(Г), (3) и допустим, что одна из функций a+ обращается в нуль в некоторой точке t0 е Г \ V. Пусть a+ (t0) = 0.
Рассмотрим последовательность функций (фи }^=i, удовлетворяющую условию леммы 3 с оператором Q = P-. Подставляя функции фп в оценку (3), получаем
I < C. (|| Aфи| |p0 +| | фи| |p (.)), n = 1,2,... (4) Покажем, что lim || Aфn | |p( . ) = 0 . Учитывая это
n—^да
соотношение и равенство lim ||фп ||p ( . ) = 0, пере-
n—да
ходя к пределу в (4) при n — да, получаем противоречие.
Имеем оценку
^Mn ||p( • )< (5)
<| a+фn | |p( • ) + 11 a+ P^n | |p( • ) + 11 a-P-Фn | |p( • ) . ( ) Из равенства lim ||Р-фп ||p( . ) = 0 выводим, что
n—да
второе и третье слагаемые в правой части (5) стремятся к нулю при n — да. Выберем произвольную окрестность u с Г точки t0 . Тогда
II ^n | |p( • ) < | Xu^n | |p( • ) + ||(1 - Xu )a+Фn | |p( • ) <
< max | a+ (t) | + max | a+ (t) | •||(1 - Xu )фп | |p(. ) . tеu /еГ
Отсюда легко вывести, что lim |^+фп ||p( . ) = 0.
n—да
Из (5) получаем требуемое соотношение: lim || Афп ||p( . ) = 0 . Анализ случая точки из множе-
n—да
ства Г \ V завершен.
Покажем, что из наличия двух указанных в формулировке теоремы априорных оценок следует обратимость операторов At для всех точек t е V. Анализ проводим по схеме, предложенной в [2], с изменениями, связанными с более широким классом пространств. Эта схема представляет собой некоторый локальный принцип анализа априорных оценок рассматриваемого вида.
Пусть t0 еГ, u Ф Г - дуга, обладающая следующими свойствами: u содержит свои концы и точка t0 лежит внутри этой дуги. Обозначим через u- (u+) множество всех точек дуги u, предшествующих точке t0 (следующих за точкой t0 ). Предположим, что функция a определена и кусочно-непрерывна на дуге u . Обозначим через a(t0 - 0) и a(t0 + 0) односторонние пределы функции a в соответствии с выбранной на контуре Г ориентацией. Определим на множестве u функцию a(t0) условием
a(t0) (t) = Ja(t0 + 0), änee t е u+, () [a(t0 - 0), änee t е u-.
Продолжим функцию a(t()) на весь контур Г так, чтобы продолженная функция была кусочно-непрерывной на Г . Для приводимых ниже построений неоднозначность выбора рассматриваемого продолжения роли не играет. Рассматриваемому оператору A поставим в соответствие семейство действующих в пространстве Lp( .)(Г) операторов At (t еГ) вида At = a+t)P++ a-t)P_. Для измеримого множества v с Г обозначим через Pv действующий в пространстве Lp( .)(Г) оператор
умножения на характеристическую функцию множества v. Справедливо следующее простое утверждение.
Лемма 4. Имеют место равенства
lim11Pv(A - A0) | = 0, lim||(A -At ^ | = 0,
v v
где пределы берутся по направленному по убыванию семейству окрестностей {v} точки t0 в Г .
Предположим, что функция ф определена на контуре Г и имеет на Г непрерывную производную. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 5. Оператор Аф1 - фА допускает ограниченное продолжение до оператора из пространства Lp(. )(Г) в пространство Lpi ( . )(Г).
Доказательство. Обозначим: В = Аф/ -фА.
Этот оператор действует по формуле
(В/ХО = -1А, , ег.
т г 1 -I
В силу гладкости функции ф ядро оператора В является ограниченным. Отсюда следует ограниченность оператора В из пространства Ь1(Г) в пространство Ьда (Г). Остается воспользоваться непрерывностью вложений
Ьр( .)(Г) с Ь1(Г), Ьда(Г) с Ьрг(. ).
Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть Р с Г - произвольное измеримое множество. Продолжая каждую функцию / е Ьр(. ) (Р) нулем на
множество Г \ Р, получаем изометрическое вложение Ьр( . )(Р) с Ьр( . )(Г) .
Пусть /0 е V . Выберем окрестность м0 с Г точки /0 , в которой показатели р, р1 и ^ являются постоянными. Из первой априорной оценки для оператора А следует, что для любой окрестности w с Г, замыкание которой содержится в «о , выполняется оценка
| | /| |р(.) < ООП81-( 11 РиАРи/\|р(.) +| | /| |р (.)), / е Ьр( . (6)
Это утверждение в случае постоянных показателей доказано в [2]. Для переменных показателей оно доказывается аналогично и выводится из леммы 5. Отсюда, снова пользуясь леммой 5 и результатами работы [2, леммы 2, 3], получаем, что оценка, аналогичная (6), имеет место для оператора Из леммы 5 работы [2] следует ограниченность снизу оператора А (/ 0), т.е. выполнение условия тЯ||А(/о)/| |р(,о):|| /| ^) = 1}>0. Из второй априорной оценки для оператора А следует ограниченность снизу оператора (А('о))* , т.е. оператор А('о)
обратим.
Поступила в редакцию_
Литература
1. Пилиди В.С. Априорные оценки для одномерных
сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами // Мат. зам. 1975. Вып. 17, № 6. С. 851-856.
2. Пилиди В.С. Априорные оценки для некоторого клас-
са одномерных сингулярных интегральных операторов с разрывными коэффициентами // Мат. зам. 1979. Вып. 26, № 2. С. 227-234.
3. Пилиди В.С. Априорные оценки для бисингулярных
операторов с непрерывными коэффициентами // Мат. зам. 1991. Вып. 49, № 4. С. 105-109.
4. Пилиди В.С. Обобщенная фредгольмовость и априор-
ные оценки для линейных операторов в тензорных произведениях гильбертовых пространств // Мат. зам. 1998. Вып. 64, № 6. С. 902-912.
5. Пилиди В.С. Априорные оценки для одномерных
сингулярных интегральных операторов в пространствах функций, суммируемых с переменной степенью. М., 2010. 13 c. Деп. в ВИНИТИ 24.08.2010. № 497-В2010.
6. Пилиди В.С. Априорные оценки для сингулярных
интегральных операторов в пространствах функций, суммируемых с переменной степенью // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения: тез. докл. междунар. конф. Ростов н/Д, 2012. С. 23-24.
7. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом про-
странстве. М., 1971. 104 с.
8. Diening L., Harjulehto P., Hästö P., Rüzicka M.
Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. Springer-Verlag, 2011. 526 p.
9. Koväcik O., Räkosnik J. On spaces Lp(x) and W1,p(x)
// Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41 (116). Р. 592618.
10. Гохберг И. Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию од-
номерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.
11. Kokilashvili V., Samko S. Singular Integral Equations
in the Lebesgue Spaces with Variable Exponent // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2003. Vol. 131. P. 61 -78.
2 октября 2014 г.
