Критерий сходимости метода сглаживания для сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 54-60

УДК 517.9

КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ МЕТОДА СГЛАЖИВАНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В. С. Пилиди

Для полного сингулярного интегрального оператора с кусочно-непрерывными коэффициентами на вещественной оси получен критерий применимости приближенного метода по семейству полных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, непрерывными на одноточечной ком-пактификации вещественной оси.

Ключевые слова: полный сингулярный интегральный оператор, кусочно-непрерывные коэффициенты, сходимость приближенного метода, равномерная обратимость, локальный принцип.

Как обычно, определенную на вещественной оси М комплекснозначную функцию а будем называть кусочно-непрерывной, если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек, в которых имеет разрывы первого рода, и существуют конечные пределы а(±то) = а (ж). Введем действующий в пространстве ЬР(М) (1 < р < то) об-

ратимый полный сингулярный интегральный оператор

А = а+Р+ + а-Р- + Т, (1)

где а± — кусочно-непрерывные функции на Ж, Р± = ^(/¿й1), Б — оператор сингулярного интегрирования, Т — компактный оператор в пространстве ЬР(М).

Рассмотрим следующую задачу. Найти последовательность {Ап} полных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, непрерывными на одноточечной ком-пактификации ИМ = М и {то} вещественной оси М, такую, что к оператору А применим приближенный метод по семейству операторов {Ап} при п ^ то. Последнее означает чт0 операторы Ап обратимы при всех достаточно больших п и для любой функции д £ ЬР(М) решения /п £ ЬР(М) уравнений А„/„ = д, находимые единственным образом при указанных значениях п, сходятся то норме при п ^ то к решению / уравнения А/ = д. Сходимость приближенного метода равносильна существованию такого П1, что все операторы Ап обратимы при п ^ П1 и 8ирп^п1 ||А-11| < то. Последнее свойство называется равномерной обратимостью семейства {Ап}п^п1.

Работа является продолжением исследования, начатого в [2]. В отличие от [2], здесь рассматриваются широкие классы аппроксимаций и получен критерий сходимости приближенного метода. В [2] рассматривалась фиксированная схема приближения, и вопрос о критерии там не возникал. Результаты работы докладывались на международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-1У» [3].

© 2014 Пилиди В. С.

Обозначим через Ф множество всех функций определенных и непрерывных на отрезке [-1; 1] и удовлетворяющих условиям ^>(-1) = 0 ^(1) = 1. Пусть а — кусочно-непрерывная функция на М, Ж1, Х2,..., хп — все ее (конечные) точки разрыва. Для е > О и N > О обозначим

иг(е) := {х е М : |х - хг| < е}, г = 1, 2,

,п,

(2)

Ц»^) := {х е М : |х| > N}.

(3)

Выберем такие е0 > 0 N0 > О, чтобы окрестности иг(е0), г = 1,2,..., п, и ио(^э) попарно не пересекались. Обозначим через и(е, N) объединение всех окрестностей (2), (3) при фиксированных е е (О, ео), N е (N0, го). Выберем произвольные функции ^2, • • •, ^П, е Ф. Определим функции а(е'М) (О < е < е0, N > N0) условиями: а(е'М^(х) = а(х), если х е и(е, N),

а(е,ЛГ) (ж) = (1 - </?» ( -—— ) ) а(жг - е) + </?» ( -—— I а(ж» + е),

если х е иг(е,N), г = 1,2,..., п,

а(^)(ж) = (1 _ ^ ( ^ГЛ а(_дг) + <^оо ) а(М),

если х е ).

Отметим, что функции а(е'М) (х) непрерывны на М.

Для той же функции а введем семейство определеиных на М функций а®, £ е условиями: а(^(х) = а(£), х е М, если £ е М \ {х1,х2,... ,хп},

а(х) (х) =

(1 - ^(х - х»)) а(х» - О) + ^¿(х - хг) а(хг + О), |х - х»| < 1, a(xi - О), х ^ хг - 1,

а(хг + О), х ^ хг + 1,

' (1 - ¥>оо Ш) а(-оо) + </?оо а(+оо), |ж| > 1, а(,)(х) = а(-го), -1 < х< О,

^а(+го), О < х ^ 1.

Оператору (1) поставим в соответствие действующие в пространстве РР(М) операторы

А^ = а^ )Р+ + а_'М )Р_ + Т,

А® = а+ Р+ + а_^Р_, £ е М,

А(о) = а+оо)Р+ + а_оо) Р_.

При этом предполагается, что для функции а+ и а_ в случае совпадения точек

Ф

друга. Подчеркнем, что введенные операторы

А«), А(~) являются характеристическими сингулярными интегральными операторами с кусочно-непрерывными коэффициентами, для которых критерий обратимости может быть сформулирован в стандартных эффективных терминах [5] (необращение в нуль некоторых функций и равенство нулю индекса функции). Отметим также, что при е ^ О N ^ го операторы Ае>^ сходятся

к оператору A в сильной операторной топологии и аналогичное соотношение связывает соответствующие сопряженные операторы.

A

ного метода по семейству операторов {A£,n} при е ^ 0 N ^ то. Определение этого свойства аналогично приведенному выше для простейшего случая последовательностей операторов с заменой условия n > ni условием 0 < е < ei, N > N1. Аналогичная замена имеет место в утверждении о равносильности сходимости приближенного метода и равномерной обратимости некоторого подсемейства аппроксимирующего семейства. Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. К действующему в пространстве Lp(R) (1 < p < то) обратимому полному

A

применим приближенный метод по семейству операторов {A£,n } при е ^ 0 N ^ то в том и только том случае, когда для каждой точки £ € Ж, в которой хотя бы одна из функций a+ a_ терпит разрыв, обратим оператор A® и обратим опер а тор

Доказательство теоремы 1. Оно использует конструкции, предложенные в [2, 4]. Поэтому мы достаточно кратко останавливаемся на них, уделяя внимание только существенным особенностям. Заметим также, что в [4] имеются подробные ссылки на предшествующие работы по теории сходимости приближенных методов, а также приведено изложение основных определений и утверждений используемого ниже локального принципа Гохберга — Крупника. Слово «оператор» в доказательстве теоремы всюду означает «линейный непрерывный оператор, действующий в пространстве Lp(R)». Че-A

ный оператор с кусочно-непрерывными коэффициентами, а через A£,n (е > 0 N > 0) — введенное семейство полных сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, непрерывными на R.

В дальнейшем считаем, что все пределы имеют место при е ^ 0 N ^ то. Обозначим через A множество всех семейств {B£,n : е > 0, N > 0} операторов, удовлетворяющих следующим условиям:

sup {||Be>NII : е > 0, N > 0} < то,

существует предел операторов B£,n в сильной операторной топологии, который мы обозначаем через s- lim B£,n, и аналогичный предел существует для семейства сопряженных операторов. Множество A с «покоординатно» выполняемыми операциями и нормой

{B£,n} ^ sup {||B£,nII : е > 0, N > 0}

становится банаховой алгеброй.

Введем следующие подмножества множества A:

1о = {{B£,n} € A : lim HB^n|| = 0},

Is = {{B£,n} € A : s-lim B^n = 0}.

Обозначим через Ik множество всех семейств операторов вида

{T + A£,N : е > 0, N > 0}, где T — компактный oneратор, {A£,n} € 1о-

Множества 1о, 1SJ Ik являются собственными замкнутыми двусторонними идеалами в алгебре A. Имеет место равенство Is П Ik = 1о- Из него следует, что для элемента {B£,n } G A обратимость смежного класса

|B£;N } + 1о G А/1о

равносильна обратимости двух смежных классов

{B£,N} + Ik G A/Ik, {Be,w} + Is G A/Is.

Обратимость последнего смежного класса равносильна обратимости оператора s-lim B£,N.

Применимость к рассматриваемому оператору A приближенного метода по семейству операторов A£,n при е ^ 0 N ^ го равносильна равномерной обратимости семейства

{A£,n : 0 < е < ei, N > N1}

при подходящих ei, N1 > 0. Последнее свойство равносильно обратимости смежного класса

{A£,N } + 1о G А/1о. (4)

A

тогда, когда обратим смежный класс

{A£,N } + Ik G A/Ik. (5)

Мы получим критерий обратимости последнего смежного класса.

Замечание. Несовпадение областей определения операторов A£,n и операторов из алгебры A несущественно, поскольку рассматриваемые смежные классы не зависят от продолжения семейства A£,n на R+ х R+.

Для получения критерия обратимости смежного класса (5) воспользуемся локальным принципом Гохберга — Крупника [5], основные положения которого предполагаются известными.

Обозначим через M^ (£ G R) множество всех определенных и непрерывных на R функций обладающих следующими свойствами: 0 ^ ^(x) ^ 1 для всех x G R, множество ^>-1 ({1}) С R является некоторой окрестностью точки Пусть M^ (£ G R) — множество всех элементов алгебры A/Ik вида : е > 0, N > 0} + Ik, где ^ G M^. Элементы этих смежных классов порождаются семействами, не зависящими от ей N. Семейство {M^является покрывающей системой локализующих классов в алгебре A/Ik и анализируемый смежный класс {A£,n } + Ik коммутирует со всеми элементами этих локализующих классов.

Введем операторы Ua (А > 0) и H (£ G R), действующие в пространстве Lp(R) по формулам

(UAf)(x) = A1/pf (Ах), x G R,

(Hf )(x) = f (x - £), x G R.

Это изометрические обратимые операторы, коммутирующие с оператором S, а, следовательно, и с операторами P±.

Для £ G R и е > 0 определим операторы A£^ формулой

A£« = н U^A® U£H-f.

Определим операторы A№ ^ (N > 0) формул ой A№ ^ = U1/n A( 00 ^Un-

Приведем некоторые вспомогательные утверждения. Лемма 1. Для любого £ £ М смежные классы {Ае,^} + 1к и

{А<*> : е > 0, N > 0} + 1к

являются М^-эквивалентными.

< Достаточно рассмотреть частный случай А = а/, где а — кусочно-непрерывная функция на М. Если £ — точка непрерывности функции а, то А^ = а(£)/. В этом случае утверждение тривиально.

Предположим, что £ — точка разрыва функции а. Пусть ^ £ Ф — функция, определяющая функцию а(е'М ^окрестности т очки £, т. е.

а(е>Л° (х) =(\-ч> ) а(£ - е) + <р а(£ + е),

если |ж — £| < е.

Оператор А^ является оператором умножения на функцию 6е(ж), задаваемую в окрестности {ж : |ж — £| < е} формулой

мж) ={\-ч> (■а(£ - 0) + р а(£ + 0).

Требуемая локальная эквивалентность следует из равенства

lim sup |a(e,N) (ж) - &£(ж)| =0. >

Лемма 2. Смежные классы {A£,n} + Ik и

{A№} : е > 0, N > 0} + Ik

являются M^ -эквивалентными.

< Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1, и мы его опускаем. > Лемма 3. Смежный класс

{A£« } + Ik (£ € R Mg-обратим тогда и только тогда,

когда обратим оператор A®.

<3 Предположим, что £ € Ж и обратим оператор

A«), В силу обратимости и изомет-ричности операторов Я^ и Ue, семейство {A£« : е > 0} равномерно обратимо. Тогда обратим и элемент

{A£?) : е > 0, N > 0} € A.

Следовательно, обратим, а тогда и M^-обратим смежный класс {A£^} € A/Ik-

Обратное утверждение докажем от противного. Предположим, что смежный класс

{A£«

} € A/Ik M^-обратим, а оператор A«) необратим. Последнее означает, что

inf {||A(« f H : f € Lp(R), ||f || = 1} =0 (6)

или аналогичное утверждение верно для оператора, сопряженного к A(^). Мы рассмотрим первый случай, второй рассматривается аналогично. Выпишем условие M^-обратимости элемента

{A£« } + Ik слева: Be,N A£V = р/ + T + Ae,N, (7)

где } € А ^ ^ Т — компактный оператор в пространстве £Р(М), {А£,^} С 1о-

Пусть {фп} — последовательность функций из носители которых стягиваются к точке Операторы, сопряженные к фга/, сильно сходятся к нулевому оператору. Отсюда следует, что Ишп^. <*> ||Тфп/1| = 0. Выберем функцию ф из этой последовательности, такую, что (рф = и ||Т?/>/|| ^ Умножая обе части (7) справа на оператор ?/>/, получаем:

А£« ф/ = ф/ + Тф/ + Ае>м ф/. (8)

Выберем такие е,Й > 0, чтобы выполнялось неравенство ||Д£;лН| ^ \ Для всех е £ (0, е), N € (У, го). Тогда для тех же значений е, N соотношение (8) с учетом вида операторов А£^ может быть переписано так:

Н Ц^А® и£Я-? ф/ = ф/ + А£;М, (9)

где А£;дг = Тф1 + А£;л?/. Следовательно, ||Д£;лН1 <

Обозначим с = 8ир£^ ||В£)^||- Выберем функцию / € £Р(М) такую, что ||/|| = 1, 11-^^/11 < Не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что функция / финитная.

Рассмотрим семейство функций д£ = НЦ^//, е > 0. При е ^ 0 носители функций д£ стягиваются к точке Выберем и зафиксируем такое е, 0 < е < е, чтобы выполнялось равенство фд£ = д£. Применяя к функции д£ операторы в левой и правой частях (9), соответственно получаем:

\\Ве,мЩи1/еА^иеН_^де\\ < с||Д«)[/£Я_^5£|| = с||А«)/|| < р

+ А£,м)д£\\ > \\Ф9е\\ ~ ||Де>лг&|| ^

Полученные неравенства противоречат соотношению (9).

В случае, когда аналог соотношения (6) выполняется для оператора, сопряженного к А«) , выписывается условие М^-обратимости смежного класса {А£« }+1к справа. В нем нужно перейти к сопряженным операторам, остальные построения проводятся по той же схеме. >

По аналогии с леммой 3 доказывается следующее утверждение.

Лемма 4. Смежный класс {Д№ )} + 1к М^-обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор А(ос ).

Завершим доказательство теоремы. Необходимость условий теоремы вытекает из лемм 1-4 и локального принципа Гохберга — Крупника.

Для доказательства достаточности отметим дополнительно, что из обратимости оператора А следует выполнение условия а±(£) = 0 во всех точках, в которых обе эти функции непрерывны. Поэтому для этих точек обратимы операторы А«). Следовательно, равномерно обратимо семейство : е > 0}. Отсюда вытекает обратимость, а тогда и М^-обратимость смежного класса

{А£« } + 1к € А/1к.

Остается воспользоваться леммами 1-4 и рассматриваемым локальным принципом. Теорема 1 доказана.

Приведенные построения могут быть перенесены на случай пространств РР(Г) (1 < р < то) в предположении, что Г — контур в комплексной плоскости, состоящий из конечного числа простых замкнутых попарно непересекающихся кривых, удовлетворяющих условию Ляпунова. Соответствующие построения для частного случая приведены в [2], и мы не будем на этом останавливаться.

Литература

1. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.-432 с.

2. Пилиди В. С. Обоснование метода сглаживания коэффициентов для сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. ВЫСШИХ учебных зав бдений. Сев.-Кавк. per.-2004.-Vol. 128, № 4.-С. 9-12.

3. Пилиди В. С. О методе сглаживания коэффициентов для сингулярных интегральных операторов // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-1У. Тезисы докладов. —Ростов н/Д: ЗАО «Центр универсальной полиграфии», 2014,— С. 38.

4. Пилиди В. С. Критерии равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1990.—Т. 54, № 6.-С. 1270-1294.

5. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев : «Штиинца», 1973.—426 с.

Статья поступила 19 июня 2014 г.

Пилиди Владимир Ставрович Южный федеральный университет,

зав. кафедрой информатики и вычислительного эксперимента РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

A CONVERGENCE CRITERION OF A SMOOTHING METHOD FOR SINGULAR INTEGRAL OPERATORS WITH PIECEWISE CONTINUOUS COEFFICIENTS

Pilidi V. S.

For a complete singular integral operator with piecewise continuous coefficients on the real axis a criterion of convergence of an approximation method by a family of complete singular integral operators with the coefficients being continuous on the one-point compactification of the real axis is obtained.

Key words: complete singular integral operator, piecewise continuous coefficients, convergence of the approximation method, uniform invertibility, local principle.