Обоснование сходимости в равномерной норме метода прямоугольников для полного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами на окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

ОБОСНОВАНИЕ СХОДИМОСТИ В РАВНОМЕРНОЙ НОРМЕ МЕТОДА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ПОЛНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОКРУЖНОСТИ

© 2008 г. М.Э. Абрамян

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov Str., 8a,

[email protected] [email protected]

Рассматривается полное сингулярное интегральное уравнение (aI + bS + K ) f = g , где S - оператор сингулярного интегрирования на единичной окружности Г; I — единичный оператор; a, b, g — комплекснозначные функции, определенные на Г и удовлетворяющие условию Гельдера с показателем ае(0,1); К — интегральный оператор с ядром к, определенным на Г х Г и удовлетворяющим условию Гельдера с показателем а по совокупности переменных. Исследуется приближенный метод решения данного уравнения, основанный на аппроксимации интегралов с помощью составных квадратурных формул типа прямоугольников. Дается обоснование сходимости метода в равномерной норме в предположении, что интегральный оператор aI + bS + К обратим в L2 (Г) и для функций а, b выполняется условие сильной эллиптичности.

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, дискретизация интеграла по формуле прямоугольников, условие сильной эллиптичности.

Lx -convergence of the approximation method based on the compound quadrature formula of rectangular type for singular integral operators with continuous coefficients is proved.

Keywords: singular integral equation, discretization of integral operators by the rectangular method, strong ellipticity condition.

Работа продолжает исследования приближенного метода решения сингулярных интегральных уравнений в классах гельдеровских функций, основанного на аппроксимации сингулярного интеграла посредством составной квадратурной формулы типа прямоугольников [1-3]. Ранее подобные методы изучались С.М. Белоцерковским и И.К. Лифановым в связи с методом дискретных вихрей [4, 5].

В частности, ими был рассмотрен вариант формулы прямоугольников, в котором подынтегральная функция f вычисляется на концах участка разбиения (отрезка или дуги окружности), а приближенное значение интеграла Sf находится в средних точках участков разбиения. Такая схема работает в случае простейшего уравнения вида Б/ = g на отрезке или на окружности [4, с. 73-78, 105-106; 5, с. 366-371]. Однако из-за того, что дискретизация функций f и g проводится по разным наборам узлов, перенос подобной схемы на уравнения вида (а1 + ЪБ)/ = g оказывается невозможным.

В предлагаемом методе используется вариант формулы прямоугольников для сингулярного интеграла на окружности, в котором как подынтегральная функция, так и приближенное значение интеграла вычисляются на одном и том же множестве точек (образующем равномерное разбиение окружности). Это позволяет применять данную формулу для сингулярных уравнений вида (а1 + ЪБ)/ = g и (а1 + ЪБ+К)/ = g [1, 3], а также для бисингулярных интегральных уравнений вида (а1 + ЪБ1 + сБ2 + dБlБ2)f = g [2].

В настоящей работе дается обоснование сходимости метода прямоугольников в векторной Ьх -норме. Как и в [3], рассматривается полное сингулярное интегральное уравнение вида (а1 + ЪБ+К)/ = g, где a и Ь - гельдеровские функции; K - интегральный оператор с гельдеровским ядром. Предполагается, что данное уравнение разрешимо в Ь2 (Г), а коэффициенты a и Ь удовлетворяют условию сильной эллиптичности.

1. Формулировка основного результата и схема доказательства

Пусть Г - единичная окружность в комплексной плоскости С. Обозначим через Иа(Г) множество

всех определенных на Г комплекснозначных функций f удовлетворяющих условию Гельдера с показателем

а (е(0,1)): /(^)- Д^)| < А\г1 -^|а , 1 ^ еГ, где

А = А(/) - коэффициент Гельдера для функции f,

независящий от выбора точек 11, 1 2.

Через На(ГхГ) будем обозначать множество

всех определенных на Г комплекснозначных функций двух переменных, удовлетворяющих условию Гель-дера с показателем а (е (0,1)) по совокупности переменных:

/(Ч,*1) -/(12,) < А(| 11 -12Г+^1 -\а) , ?1,12,Ч,Т2 еГ.

Через На , ае(0,1), обозначим множество всех интегральных операторов с ядром из класса На (Г х Г), действующих на множестве иае(0,1) На(Г). Используем следующие обозначения: На_о = ире(0,а)Нр ,

Н = иае(0,1)На .

Пусть - оператор сингулярного интегрирования ^^^ 1 г /(т)с1т „

(Ь/)(() = — ] --, ( еГ, где интеграл понимается

7Г1 г t

в смысле главного значения по Коши.

Рассмотрим полное сингулярное интегральное уравнение

(а1 + ЪЬ + К )х = у, (1)

где а, Ъ, у е На(Г), I - единичный оператор, К е На . Будем предполагать, что оператор О = а1+ЪЬ+К является обратимым в ¿2 (Г). Это, в частности, означает, что для любой функции у е На (Г) существует единственное решение ~ уравнения (1), также принадлежащее На (Г).

Зафиксируем п еN и определим на контуре Г точки ^ = ((п)т , т е N, где (п = ехр(2от' /п).

Будем называть п-мерной дискретизацией непрерывной на Г функции / вектор [/](п) = (//(^),

...,/((Щ_1)) е Сп ; п-мерной дискретизацией сингулярного интегрального оператора S по формуле прямоугольников - оператор умножения на матрицу

Sn —

'ml

n—1

с элементами

(n)

s j — i

ml

i,l—0

1 tl+1 — tl 1 ln ln

Tri tl — tm

nn

m — l,

m Ф l.

Определим п-мерную дискретизацию оператора K е Н с ядром к как оператор умножения на матрицу

п_1 (п) т I

с элементами k ^ = k ((Щ , (п ) х

m,l=0

[K ]n —

k (n) ml

х (П1 _(П), т,I = 0,.,п_1.

Для непрерывной на Г функции / обозначим через йп (/) диагональную матрицу порядка п с диагональными элементами /((°),/((\),...,/((%_1); в частности, (1) = 1п - единичная матрица порядка п.

В пространстве Сп будем рассматривать следую-= тахт=0,.,п_1 I гт} I. Матрич-

щую норму:

7(n)

(n)

ная норма, подчиненная данной векторной норме, имеет вид [6, п. 14.58] ||ЛИ||(п) = тахт=0,.,п_1 ^=01 аЩ |.

Поставим уравнению (1) в соответствие систему линейных уравнений

(йп (а) + 4 (Ъ)Ьп + [К]п)х(п) = [у](п), (2)

где [ у](п) - п-мерная дискретизация функции У е На (Г) .

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть оператор В является обратимым в ¿2 (Г), а для функций а и Ь выполняется условие сильной эллиптичности:

а(() + ЛЪ(() Ф 0, 1е[_1,1], (еГ. (3)

Тогда для всех nеN, начиная с некоторого п0 = п0 (О), система (2) имеет единственное решение

~(п), которое связано с решением ~ уравнения (1)

следующим образом:

ч2/а+4

[~ ](n) — ~(n)

(n)

х (1п п +1) , где С = С (О, у) не зависит от п.

В дальнейшем константы, не зависящие от п, обозначаются буквой С. На протяжении всей работы используются следующие обозначения: О0 = Зп (а) + +йп (Ъ)Ь„; Оп = впо) + [К]п; О^ = а(£)1„ + Ъ(^)Ьп, #еГ.

Кратко опишем схему доказательства. Используем некоторую модификацию схемы, примененной в [3]. Необходимость модификации обусловлена тем, что в

[3] рассматривалась другая векторная норма в Сп, а

именно

Л")

(2,n)

- n-1/2 fc—gw )1/2,

являю-

щаяся дискретным аналогом ¿2 -нормы. В данной норме матрицы Оп равномерно ограничены по п, а матрицы Б„4, кроме того, равномерно обратимы по п, начиная с некоторого п0, для любого £, еГ (данный факт установлен в [1]). Это позволило ввести в рассмотрение банахову алгебру А ограниченных последовательностей матриц и свести обоснование равномерной обратимости матриц Оп к обратимости соответствующего смежного класса в фактор-алгебре А по идеалу 3 всех семейств матриц {Лп} таких, что

1|Лп||(2 п) ^ 0 при п ^ да. Для обоснования обратимости {Оп +З0} в фактор-алгебре А / 3 использован прием из [7], состоящий во введении в рассмотрение двух вспомогательных идеалов 3£ и 3 ^, выбранных таким образом, что обратимость в соответствующих фактор-алгебрах влечет обратимость в А / 3.

В случае дискретного аналога -нормы, рассматриваемого в настоящей работе, матрицы Оп не являются равномерно ограниченными по п (для нормы Ь п имеет место логарифмический рост), поэтому методы банаховых алгебр применить не удается. Однако и в этой ситуации доказано существование обратных матриц 1, начиная с некоторого щ, и обоснован не более чем логарифмический рост норм этих матриц по п, что оказалось достаточным для доказательства теоремы 1 (см. п. 7-8). Построение семейства обратных

< Cn ~а х

0

матриц {-О-1} проводится с помощью двух вспомогательных семейств матриц {О®} и {О^2^}, причем

способ построения семейства {О^2^} (см. п. 6) аналогичен способу построения в [3] обратного смежного класса в фактор-алгебре по (требуется лишь провести более точные оценки). Построение семейства {О^} является более сложным. Это объясняется тем, что аналогичное построение в [3] обратного смежного класса в фактор-алгебре по было основано на равномерной обратимости матриц Бп £ и проводилось с

использованием локального принципа Гохберга-Круп-ника [8, гл. XII, § 1]. В нашем случае равномерная обратимость матриц Оп,£ не имеет места, поэтому применить результат локального принципа не удается. Однако семейство {ОП1^} можно построить, проводя рассуждения, аналогичные тем, которые применялись для обоснования локального принципа (см. п. 5). При этом используется специальное семейство локализующих функций, описание которых приводится в п. 4.

2. Свойства матрицы Бп

Доказательства приведенных в данном пункте свойств основаны на теории циркулянтов и содержатся в [1].

1. Пусть / е На (Г), а е (0,1). Тогда для любого

[Б/](п) - Бп [/](п)

n eN справедлива оценка

(n)

< Cn а (lnn +1)||f | , где C не зависит от f, n и а ; || • || - гельдеровская норма порядка а : \f\ =

= maxieT I f (t)l + SUP treT

rei

t ФТ

If (t)~ f (t)| |t "t |а

ва

2. Для матрицы Dn £ при любом ^еГ справедли-

оценка \D„ Л < C(ln n +1), где C

II 'Ь II(n)

не зависит от

п и £. Аналогичная оценка справедлива и для матрицы бП0 .

3. Если a и Ь удовлетворяют условию (3), то существует такое по = щ(а, Ъ) е N, что для п > щ и любых £ еГ матрицы Бп £ являются обратимыми, причем для данных п ->-1

D

n,£

(n)

< C(ln n +1),

(4)

где C не зависит от n и £.

3. Свойства дискретизаций интегральных операторов К е Н

Доказательства данных результатов содержатся в [9]. 1. Пусть nеN, К е Н - интегральный оператор с ядром к(1, т). Тогда

||[K] К

<2жх х maxm i=0 _ n—ll k(t n ,tn) 1 .

Il(n)

Отметим, что из данного свойства и свойства 2 п. 2 вытекает оценка

||Д |(п) < С(1пп + 1). (5)

2. Пусть К1,К2 е На, ае (0,1). Тогда для дискретизаций интегрального оператора К1К2 (е На )

имеет место оценка: ||[K1K2]n — [K1]n[K2]n|

(n)

< Cn

3. Пусть f e На(Г), K e Ha, ае (0,1). Тогда для любого n eN справедлива оценка

[ Kf ](n) — [K ]n [f ]

(n)

(n)

< Cn

4. Пусть K e Ha, ae (0,1). Тогда SK e Ha—0, KS e Ha—0 и имеют место оценки ||[SK]n — „-а,

— Sn[K]„||(и) <Cn"а(1пn +1), ||[KS]n — [K]nS^|(n) <

< Cn ~а (ln n +1).

5. Для K e Ha, ae (0,1), имеет место оценка

(in—s2)[K ],

< Cn

(n)

4. Описание семейства локализующих функций

Будем считать, что ветвь функции arg определена в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной вещественной полуоси: —ж<argz<ж.

Пусть £eT, S e (0 ,1). Введем обозначения: £(±) = £exp(+S), £(±) = £exp(±S/2), £f] = £х хexp(±3iS/2), Г« = {t e Г, | arg(t/ £) | < S/2}, T<(±) =

= {t e Г, | arg(t/£(±)) | < S/2} , S = {t eT, | arg(t/ £) | > >3S/2}.

Определим функцию, которую будем называть локализующей функцией порядка S в точке £ :

t e ^^,

exp

0,

1 —-

S2

S2 — arg2(t /£±0

(±h

(±)

t eГ

t e^.

Эта функция непрерывна на Г, равна 1 на дуге длины 3, центром которой является точка £, и равна 0 вне дуги длины 33 с центром в этой же точке. Нетрудно показать [9], что данная функция бесконечно дифференцируема на всем контуре Г .

5. Построение вспомогательного семейства матриц

D (1)

Dn

Данное построение проведем по схеме, использованной при обосновании локального принципа Гох-берга-Крупника [8, гл. XII, § 1]. Сформулируем две леммы, доказательство которых содержится в [9].

<

а

1

v

/

Лемма 1. Для любых пеN, ^еГ, 8е (0,1) имеет место оценка

dn (W^s )(ВпЛ —Dn0))

(n)

< C(ln n + i)Sc

(6)

нормы которой справедлива оценка

¡ЧвА С(^п)_1,

н "" 11(п) где С не зависит от п, £, 8.

(7)

Рассмотрим матрицу йп(^,8)(Оп^ и

подберем 8 таким образом, чтобы ее норма была меньше 1. В силу (4) и (6),

dn (W4,s )(Dn,t —D^)^

(n)

< C(lnn +1)2 Sa . (8)

Следовательно, в качестве 8 можно взять 8'п = (1пп + 1)_2/а(2С)_1/а , где С - константа из правой части (8).

(9)

Обозначив

Un4 — dn (WS )(Dn,4 —D^ D^,

In—Un^ обратима и

(In—U„4)—1

< 2.

(n)

(10)

Mn < C(ln n +1)2 Далее Sn <S'n/3

(11)

dn (W^,Sn ) • dn (W^,Sn )

—(Dn4 —-Dn0))DniJ =

|1/Wn(t)l< 1, t еГ.

Теперь рассмотрим семейство матриц

(14)

D(n) — SM—0—1dn(W{m))D~ 1 m (In —Un r )—1 dn(1/Wn)

n,bn n

где а - показатель Гельдера функций а и Ь, входящих в определение оЩ0 и Оп^, С не зависит от п, £, 8.

Лемма 2. Для любых пеN, £еГ, 8е(0,1) имеет место следующее соотношение: оЯ0)йп(^

(^,8)О{п0 = dn(Ъ)([К#>8]п +Д#,8,п), где К£,8 -интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром; - диагональная матрица, для

получаем 1ипе < 1/2. Следовательно, матрица || "(п)

Положим Мп = [6я/8'п ] + 1, 8п = 2ж/Ып . В силу (9) для Мп справедлива оценка

ч2/а

(12)

и, следовательно, ^А (()'(() = ((), (еГ.

Учитывая последнее равенство, выполним следующие преобразования:

dn (щ,8я)' О0 оп;^ =

С учетом (4), (10), (11), (14) их нормы оцениваются следующим образом:

D (1)

(n)

< C(ln n +1)

2/a+1

(15)

Обратимся к произведению оЩ0оЩ1. Учитывая лемму 2 и (13) и используя обозначение

Vn — dn (b)SM—0_1([K^ s ]n +A,m s n)

bn '^n bn

X D —1 m (In—Un,m Г1 dn (1/Wn )

1

n,£

(16)

/п _dn(У8 )(Оп4 _О^0))Оп-;1#] = = dя ) ' (1п_ип,£) .

В силу обратимости /и ~ип^ окончательно получаем

dn(^А ) = dn(^8п )' О0Оп";1#(/п _ип;£)_1. (13) Введем в рассмотрение систему функций ^пт)(() = ^£т 8 ((), где £пт = М , т = 0,...Мп-1, а

Ъп ;8п п

также функцию у/п(() = ЕМ=о" 1¥пт\(). Легко видеть, что уп (() е (1,3), (еГ, и, следовательно,

данное произведение можно представить в виде

Оп0)оп1 = Е^Ч(^пт)^п(1/^п) + Кп = 1п + Кп .

Для О яО^Я1, таким образом, имеем

ОщО^^ = 1п + ^ + [К^О®. (17)

6. Построение вспомогательного семейства матриц оп2)

~ 2 2 ~ 2 2 Положим а = а /(а _Ъ ), Ъ = _Ъ /(а _Ъ ). В силу (3) Ъ е На (Г); кроме того, (а/ + ЪЬ) х х (~/ + ~Ь) = / .

Рассмотрим оператор О' = О(~/ + Ъ Ь) = / + К', где К' = К (а/ + ЪЬ) е На_ 0 (см. п. 3, свойство 4). Так как оператор В по условию обратим, получаем, что оператор О' также обратим, и (О')"1 = (а/ + ЪЬ)О_1. Учитывая, что О'= / + К', где К' принадлежит На_0 и, следовательно, имеет непрерывное ядро,

заключаем, что оператор (О')_1 представим в виде (О')_1 = / + К', где К' является интегральным оператором с непрерывным ядром к' [10, § 4, п. 4.2]. Используя этот факт, нетрудно показать [9], что

К' е На_0 . Таким образом, оператор О представим в виде О~1 = (а/ + ЪЬ)(О')_1 = + ЪЬ + К, где К = (а/ + ЪЬ)К' е На_0 в силу свойства 4 из п. 3.

Введем в рассмотрение следующее семейство матриц: Оп2 = dn (~) + dn (Ъ )Ьп + [К]п, п е N. Используя свойство 2 из п. 2 и свойство 1 из п. 3, получаем оценку

D(2)

(n)

< C(ln n +1).

(18)

Лемма 3. Для любого интегрального оператора В е На справедлива следующая оценка:

(DnDn2 —In )[B]t

(n)

< Cn~a+0 (lnn +1)2 .

Доказательство данной леммы содержится в [9]. Используется свойство 2 из п. 2, свойства 2, 5 из п. 3, а также следующее соотношение, которому удовлетворяет оператор К :

х

(а1 + ЪБ)К + К (о/ + ЪБ) + КК + + Ъ(Б~/ - ~Б) + Ъ(БbI - ~Б)Б = 0.

7. Построение матрицы, обратной к Бп

Воспользуемся идеей из [7] и положим = Оп2) + ~О{п) ОпО(;1). В силу (5), (15) и (18) норма данной матрицы оценивается следующим образом:

D (3)

(n)

< C (ln n +1)

2/а+3

(19)

( DnDi2) —In )[K ]n

(n)

V'

(n)

(23)

и в силу леммы 3

( dD2) —In )[bK^S ]n

(n)

< Сп а+0 (1пп +1)2. Таким образом, учитывая оценку (11) для Мп, а также (23), выражение (21) можно

оценить величиной Сп"а+0(1пп + 1)2/а+3 .

Для выражения (22) воспользуемся оценкой (7) нормы матрицы Д, т „ . Поскольку в силу (9) и (12)

£п ,3п,п

3п < С(1пп + 1)-2/а, имеем

Дт , <Сп_1(1пп + 1)2/а .

£п А ,п (п)

В силу (5) и (18)

D D(2) — I

(n)

< C (ln n +1)2. Учи-

Объединяя полученные оценки, имеем Оп Оп(3)

—In = К =

где К

\(n)

< C(n ~а+0 + пХ х (ln n + 1)2/а) х

ч2/а+3

Легко убедиться в справедливости соотношения О О(3)-I = -(О О(2)-I )(О О(1)-I ) С учетом (17) правая часть последнего соотношения принимает вид

- (—п2)-1пУп - (-п-п2)-/п)[К]п-п1 . (20)

Оценим норму последнего слагаемого. Так как К е На, то в силу леммы 3

х (1пп +1)2

Таким образом, для всех «еN, начиная с некоторого «0 , матрица Iп + Дп является обратимой, норма

матрицы (}п +Дп )-1 равномерно по п ограничена, и в качестве матрицы, обратной Оп , можно взять

О-1 = -D«3")(In +Дп )-1, причем, согласно (19), для всех п > п0 имеет место оценка

D

(n)

< C (ln n +1)

2/а+3

(24)

< Сп а+0(1пп +1)2 и с учетом (15) норма последнего слагаемого в (20) оценивается величиной Сп"а+0(1пп + 1)2/а+3 .

Теперь обратимся к первому слагаемому в (20). Согласно определению (16) матрицы Уп , достаточно проанализировать следующие выражения: (А—^ - ^ )ТМ=п-1[ЪК£т 3 ]п ■Уп£т , (21)

(ОПО{П) -К К (Ъ)ЕМ=0_1Д£т 3 п У £т , (22)

где £т = 1 т (In-Un £т У^ Кп (1/Уп ) , ПрИЧем в

силу (4), (10) и (14)

< С(1пп +1) .

Таким образом, существование единственного решения системы уравнений (2) доказано для всех п > п0.

8. Доказательство оценки теоремы 1

Пусть ~ - решение уравнения (1), ~(п) - решение системы уравнений (2). Разность Оп[~](п) -Оп~(п) можно преобразовать к виду Кп (Ъ)(Бп [~](п)-

-[Б~](п)) + ([К]п[~](п) -[К~](п)) . Учитывая свойство 1 из п. 2 и свойство 3 из п. 3, получаем

Dn [~ ](n) —Dn ~

(n)

(n)

< Cn ^(ln n +1).

Осталось применить оценку

[~ ](n)—~(n)

(n)

D—

(n)

Dn [~ ](n) —Dn ~(n)

(n)

и воспользоваться

Согласно лемме 2, оператор К£,з для любых £ еГ , 3 е (0,1) является интегральным оператором с бесконечно дифференцируемым ядром, поэтому ЪК£з е На

тывая два последних неравенства, а также оценки (11) и (23), получаем, что выражение (22) можно оценить

величиной Сп_1(1пп + 1)4/а+3 .

оценкой (24). Теорема 1 полностью доказана.

Автор глубоко признателен профессору В.С. Пи-

лиди за обсуждение настоящей работы и высказанные

при этом многочисленные полезные замечания.

Литература

1. Абрамян М.Э., Пилиди В.С. Обоснование метода прямоугольников для сингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами на окружности. Ростов н/Д, 1998. Деп. в ВИНИТИ 27.07.1998. № 2385-В98.

2. Абрамян М.Э., Пилиди В.С. О сходимости метода прямоугольников для бисингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами на окружности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодиф. уравнения и некоторые проблемы мат. физики. С. 13-21.

3. Абрамян М.Э. Обоснование сходимости метода прямоугольников для полного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами на окружности // Мат. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 2. С. 163-175.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М., 1985.

5. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М., 1995.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М., 1984.

-1

<

<

<

7. Пилиди В.С. Критерии равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Серия мат. 1990. Т. 54. № 6. С. 1270-1294.

8. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973.

Поступила в редакцию_

9. Абрамян М.Э. О сходимости в Ьх -норме метода

прямоугольников для полного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами на окружности. Ростов н/Д, 2007. Деп. в ВИНИТИ 13.06.2007. № 633-В2007.

10. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. М., 1968.

26 ноября 2007 г.