Исследование контактных параболических краевых задач в гельдеровских пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1

УДК 517.956.4

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНТАКТНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ГЁЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ С. В. Попов, Л. Ю. Ткаченко

Аннотация. Рассматриваются параболические уравнения второго порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания с переменными коэффициентами по Ь € [0, Т], связанными с применением теории сингулярных интегральных уравнений. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гельдеровские классы их решений зависят как от нецелого показателя Гельдера, так и от знаков коэффициентов условий склеивания на концах интервала [0, Т] при выполнении необходимых и достаточных условий на входные данные задачи.

Ключевые слова: параболические уравнения с меняющимся направлением времени, условия склеивания, корректность, пространство Гельдера, сингулярное интегральное уравнение

В работе [1] предлагается единообразный подход к построению моделей сопряжения различных физических процессов, таких как распространение тепла в неоднородных средах (задачи типа дифракции), взаимодействие фильтрационных и каналовых потоков жидкости (фильтрация в скважину), возвратные течения в пограничном слое за точкой его отрыва и др. В [2-4] устанавливается разрешимость краевых задач в гёльдеровских пространствах для некоторых классов уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени с границей раздела, имитирующей противоположные спутные потоки. В настоящей работе мы рассматриваем общий случай границы раздела двух сред, а именно параболические уравнения с меняющимся направлением времени с условиями склеивания с переменными коэффициентами.

В области Q = О х (0, Т), О = М, рассмотрим уравнение

д(х)щ = пхх, д(х) = sgn х. (1)

В пространстве Гельдера Я£'£/2^±), Q± = М± х (0, Т), р = 21+7, 0 < 7 < 1, ищется решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

и(х, 0) = ^(х), х> 0, и(х,Т) = ^2(х), х< 0, (2)

и условиям склеивания

и(-0,г) = и(+0,г), а(г) ■ их(-0,г) = их(+0,г), (3)

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2014—2016 гг. (проект № 3047).

© 2014 Попов С. В., Ткаченко Л. Ю.

где l > 1 — целое число, ^i(x), tf2(x), a(t) — заданные функции, определенные при x G R, t G [0,Т].

Для удобства вместо уравнения (1), будем рассматривать систему уравнений

u1 = uxx, -ut = uxx (4)

в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания имеют вид

u1(x, 0) = ^1(ж), u2(x,T) = ^t(x), x> 0, (5)

u1(0, t) = u2(0, t), uX(0,t) + a(t) ■ uX(0,t) = 0. (6)

Будем предполагать, что ^¿(x) G Hp(R), i = 1, 2. Тогда функции

(7)

являются решениями уравнений (4), удовлетворяющими условиям (5) в R. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (4):

t t

и1(ж, t) = —¡= / ехр (----- ) (t — а(т) dr + шАх, t),

фг J V 4 (t-T)J

°T t (8)

U2(x,t) = J ехр ^ — ^_ (t - t)-^/3(т) dr + uj2(x,t). t

Функции, представленные формулами (8), удовлетворяют начальным условиям (5) и уравнениям (4) соответственно.

Согласно [5,6] uk(x, t), k = 1, 2, принадлежат пространству HX'p/t(Q+), если введенные нами неизвестные плотности a(t), fî(t) принадлежат пространству H(p-1)/t(0,T), при этом

a(s) (0) = e(s) (T ) = 0, s = 0,...,l - 1. (9)

Из условий склеивания (6) получим систему уравнений относительно a(t),

e(t): t ^

f -^rdr= f -¿^¡-¿т + ФоЮ, , Л

J0 (t-r)i { (r-t)i oy J' (10)

a(t) + a(t)e(t) = Ф^), где

Фо(t) = v^MO.t) -wi(0,i)), Ф^) = a(t) ■ lû2x(0, t) + wix(0, t).

Если первое уравнение в (10) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то получим

а

t t

т?о i.

°2

a(t) + a(t)e(t) = Ф^).

r-t dtJ(t_T)4-> (n)

Введем обозначения: = Ф(в) (£) - Ф(в)(0),

- = 0.....

0

Легко видеть, что принадлежат пространству Гельдера с пока-

зателем (1 + 7)/2, при этом = = 0(£(1+7)/2) для малых I.

Если предположить, что функции а(£), в(^) принадлежат пространству Н(р-1)/2(0,Т), то из системы (11) следует, что

т

I ^<*т = -7гФ„(0), о(0)Ж0) = Ф1(0). (12)

0

При выполнении (12) систему (11) можно переписать так:

т

a(t) -Ц dr = 2Ф^(0)^/2 + Fo{t)j

о

a(t) + a(t)fî(t) - а(0)в(0) = F0(t).

(13)

Введем в системе (13) новые искомые функции /3(4) = /3(^-/3(0)2^. Тогда систему (13) представим в виде

0

= 2Ф^(0)^/2 + F0(i) _ l/g(0)F( _ 1,1, £)(£)*,

a(i) + a(i)/3(i) = a(i)/3(0)£ - /3(0)[a(i) - a(0)] + F^i). Если l > 1, то продифференцируем полученную систему уравнений (14):

(14)

т т

оо

= -%тр( - Ь ^ тК^Г* + фо(0Г^ + 2Ф^'(0)^ + (15)

а'(£) + а,{ф{1) = а'{1) [ - /3(4) + /3(0)| - /3(0)]

Из этой системы следует, что

(16)

т _

0

а(0)в'(0) + а'(0)в(0) = (а(1)в(1))' |*=о = Ф!(0). Систему (15) при выполнении (16) и условия в(Т) = 0 можно переписать в виде

a'(t) + (a(t)e(t))' - (a(t)e(t))'|t=o = F^t).

Уравнения (17) имеют точно такой же вид, как уравнения (13). Легко убедиться, что при выполнении условий

о ~ ^ ° 3 = 1,...,1-2, (18)

(а(г)в(г))(а+г> |<=0 = ф18+1)(0), (т) = о,

получим систему уравнений

«('-!>(*) - 1/ *г = 2Ф^(0)^ + РГИ),

0

а(г-1)(4) + (а(^))(г-1) - (а(^))(г-1) |*=о =

(19)

Введем новую искомую функцию ¡З^1 = ¡З^1 — ¡З^1 Тогда

систему (19) можно переписать в виде

0

где

(20)

+в(1-1) (0)(а(0) - аф) + г-1

Р (¿) = ^ С^а^)^'-1-*^). к=1

Так как а(1-1) (£), в(г-1)(£) € Н(1+т)/2(0, Т), необходимо выполнение условия

= (21)

0

Тогда придем к системе уравнений

= (22)

где

4 N 2 Т

п

Л - 1, -; — ) - 1

2 2 Т

Р^) = Р^1^) " + ^(0) - аф/^-^О) *

Т

принадлежат пространству Н(1+7)/2(0,Т), причем для малых

Исключая а(г-1)(£) в системе (22), получим сингулярное уравнение относительно в(г-1)(£)

т /

+ 11 = (23)

0

где ЯЦ) = Р\ 'ад-^о' '(¿).

Сингулярное интегральное уравнение (23) будем рассматривать как уравнение относительно /?о(£) = (£) з. Найдем решения неограниченные при 4 = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при Ь = Т. Для этого введем кусочно голоморфную функцию (см. [7, 8])

- ЬI

Т во (Т)

йт.

В силу формул Сохоцкого — Племеля уравнение (23) эквивалентно решению краевой задачи Римана

К> "(*)+* У> ьЦа(Ь)+г)' '' (24)

Ф + (Ь) = Ф-(Ь), 4 е (-те, 0) и (0,

при дополнительном условии Ф(оо) = 0. Отметим, что С(£) = и

() ( 21 а^(а(Ь) - г) = -2пг0, а(Ь) > 0, П ( ) I 2г агя(|а(4)| + г) = 2пг0, а(Ь) < 0,

где 0(£) = ¿¡цч^^.

На концах контура интегрирования [0,Т] имеем представления

1 Г 1п С(т) 1п С(0).

о

1 Т 1пС(т) 1пС(Т), . _

о

где 7о(^), 7т(-г) — функции, ограниченные в окрестности концов [0,Т].

Всего могут представиться 4 различных случая: 1) а(0) и а(Т) обе положительны; 2) а(0) и а(Т) обе отрицательны; 3) а(0) положительна, а(Т) отрицательна; 4) а(0) отрицательна, а(Т) положительна.

В случаях 1 и 2 положим, что функция а( ) не меняет знака при

Ь е [0,Т],

а в случаях 3 и 4 а(Ь) меняет знак лишь в одной точке Ьо е [0, Т].

Введем обозначения 01 = 0(0), 02 = 0(Т). Тогда в указанном выше классе каноническая функция равна в случае 1 —

т

(т) 1__-1 + 01 ТЛ1-02

в случае 2 —

х(г) = ехр I У Ат I = (2 - Т)в2ш2{г), я = 0,

Т — 2

в случае 3 —

to T

° ) , Г

x(z) = z 1(z — i0)exp| — J dr + J "v ' ' dr

0 to

i+0i

= 2-1+01 (2 - Т)02), К =0,

в случае 4 —

/ *о т \

= (г — Т) ехр | J ~~~ ~ J ~~ Лт) = ¿-^(г-Т)1-0*^), х=-\. V о *о /

Отметим, что ш^(^) = ехр(7о(.г)) вблизи 2 = 0 и ш^(^) = ехр(7т(г)) вблизи 2 = Т.

Согласно общей теории [7, 8] решение (24) имеет вид

Ф (г) = Х(г)Ф(г), (25)

при этом в случае 4 (к = -1) решение существует при выполнении дополнительного условия

т

[ -^> = 0, (26) 7 т2Х(т)

где

1 г ф(т) йт

фы = — [

о т-2Х(т)(т-г)

Тогда решение сингулярного интегрального уравнения (23) имеет вид

Р-Ч) = **(*+(*)-*-(*)) = ^Щ ~ / ^ (27)

1+ a2(t) п(1+ a2(t))y т3/2х(т)(т - t) ' 0

т. е. в случае 1 имеем

я(г-1)т = g(t)QW , t^Cr-t)1-»^) f_Q(r)dT_

Р [ ) l + a2(t) 7г(1 + a2(t)) j rVHflitT-Tj^UiWtr-t)'

0

(28)

в случае 2 —

д(1-1)m = , t^-^(T-tru;2(t) j Q(r)dr

p u 1 + a2(i) 7г(1 + a2(t)) J t3/2-0i(T-t)0^2(t)(t-î)'

0

(29)

в случае 3 —

я(г-1)т = g(t)Q(t) , tW'CT-t)9^*) i Q(r)dr

P [ ' l+a2(t) 7г(1 + a2(t)) / г1/2+91(г_т)92Шз(т)(т_()'

0

и в случае 4 —

m-1) (f) = a(t)Q(t)

Р U 1 + a2(t) 7г(1 + a2(tj)

х j__ (31)

0

Так как Q(t) принадлежит пространству

H(i+7)/2(0,T), функция /3(1-1)(t), представленная формулами (28)—(31), удовлетворяет условию Гельдера с показателем ■^-jp во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Рассмотрим ее поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Ко-ши на концах контура интегрирования [8, с. 76] легко видеть, что /3(1 1) (0) =

/3(г-1)(т ) = 0.

Для дальнейшего исследования поведения их на концах контура воспользуемся леммой Мусхелишвили — Терсенова [8, с. 82-86; 2, с. 14-17]. В силу этой леммы в случае 1 получаем, что если в\ + (92 > то в формуле (28) функция (t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < 7 < 1 — 202, условию Гельдера с показателем 1 — 02 при 1 — 202 < 7 < 1 и условию Гельдера с показателем 1 — (92 — е при 7 = 1 — 2(92. Кроме того, если Q\ + (92 < то функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ■^-jp при 0 < 7 < 2(9i, с показателем ^ + Q\ при 2в\ < 7 < 1 и с показателем ^ + Q\ — е при 7 = 2Q\.

В случаях 2 и 3 из неравенства (92 < в формулах (29) и (30) функция /3(1 1)(t) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 02. Если потребуем дополнительно

т

Г Q{t)-dr = q

J тЦТ-т)Х(т)

то функция 1-) (i) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ^тр- при всех 0 < y < 1.

В случае 4 в формуле (31) функция /3(1-1)(t) удовлетворяет условию Гельдера с показателем ПрИ о < 7 < 1 — 2(92, с показателем 1 — (92 при 1 — 2(92 < Y < 1 и с показателем 1 — 02 — е при 7 =1 — 202.

Таким образом, при выполнении условий (12), (16), (18), (21), имеющих вид

т ,

3(/2 от = -TT^ol

0

= - 2^+1)(0), (33)

о

в = 0,1,...,1 - 1, в(к) (Т) = 0, к = 0,1,...,1 - 2,

получим функцию в(£) из пространства Гёльдера, удовлетворяющую условиям (а(^))(8) |*=о = Ф^(0), в = 0,1,..., 1 - 1, в(1-1) (Т) = 0. (34)

В формулах (33) значения в(в)(0) определяются однозначно из (34), а значения в(в)(£) определяются по формуле Тейлора

= Еyzhsy. Iw^ ^ = о, 1,..,Z-2.

0

(k — s)! (l — 2 — s)

Тогда для выполнения условий в(к) (Т) = 0 при к = 0,1,..., 1 — 2 необходимо и достаточно, чтобы

т

+ <ГПЬц / <т- г)"-«<">М . = о,1.....1-2.

к=в 0

(35)

Подставив найденные значения функций в(в)(£) в первые 1 условий из (33), получим

Т 1 I_2

^ /^-3/2^/(1 - = _ Е ^У/Г -тгФо(О),

0 0 к=0

( 0 0

Отметим, что функцию в(1 1(4) можно найти по формуле (27). Таким образом, доказаны следующие теоремы.

(36)

Теорема 1. Пусть € Нр, р = 21 + 7, а(£) € С 1-1([0,Т]) и а(£) > 0 при

4 € [0, Т]. Тогда при выполнении 21 условий (35), (36) существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) из пространства

1) Я£'?/2, если 0 < 7 < шш{20ь 1 — 2^2>;

2) ЯХ'?/2, д = 21 + шш{20ь 1 — 202}, если шш{20ь 1 — 202} < 7 < 1;

3) Не Е е)/2, если 7 = шш{201,1 — 262}, где е — сколь угодно малая

х Ь

положительная постоянная.

Теорема 2. Пусть ^1,^2 € Нр, р =21 + 7, а(£) € С 1-1([0,Т]) и а(0) < 0, а(Т) > 0 и а(£) меняет знак в одной точке. Тогда при выполнении 21 + 1 условий (26), (35), (36) существует хотя бы одно решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) из пространства

1) НХ'?/2, если 0 < 7 < 1 — 202;

2) ЯХ'?/2, д = 21 + 1 — 202, если 1 — 202 < 7 < 1;

3) НХ е)/2, если 7 = 1 — 202, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Теорема 3. Пусть ^1,^2 € Нр, р = 21 + 7, а(£) € С 1-1([0,Т]) и а(£) < 0 при 4 € [0, Т] или а(0) > 0, а(Т) < 0 и а(£) меняет знак в одной точке. Тогда при выполнении 21 + 1 условий (32), (35), (36) существует хотя бы одно решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) из пространства НХ'р/2.

Замечание 1. В случае выполнения 21 условий (35) и (36) в теореме 3 решение краевой задачи (1)—(3) принадлежит более широкому пространству

яХ-1,(Р-1)/2(д±).

Замечание 2. Полученные решения краевых задач (1)—(3) в теоремах 1-3 зависят от индекса к краевой задачи Римана (24) при условии, что функция а(£) меняет знак в произвольном количестве точек при 4 € [0,Т].

ЛИТЕРАТУРА

1. Монахов В. Н., Попов С. В. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000. С. 62-72.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1991. С. 100-113.

4. Туласынов М. С. Первая краевая задача для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 1. С. 57-68.

5. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

6. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.

8. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

Статья поступила 13 февраля 2014 г. Попов Сергей Вячеславович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 шадиФузи.ги

Ткаченко Любовь Юрьевна Мирнинский политехнический институт

(филиал Северо-Восточного федерального ун-та им. М. К. Аммосова), ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170 lyubatk@шail.ги