Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ГЁЛЬДЕРОВСКИЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ШЕСТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ОБЩЕЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ*) С, В, Попов, С, В, Потапова

В работе, продолжающей статьи авторов [1,2], изучаются параболические уравнения шестого порядка с меняющимся направлением эволюции, связанные с применением теории сингулярных интегральных уравнений [3-6], а также систем этих уравнений [7].

В области Q+ = R+ х (О, T) будем рассматривать систему уравнений ^

и\ = Ьих, -u2t=Lu2 (1)

Из пространства Гёльдера H%.'p/6, р = 6/ + 7, 0 <y < 1, ищется решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям

U^O) = ^i(x), u2(x,T) = ф2{х), x > 0, (2)

и условиям склеивания

Tiu1^) =T2U2(0,i), (3)

где иk = (uk,ul,uXx,ulxx,ukxxxx,ukxxxxx), Tu T2 — невырожденные матрицы с постоянными действительными коэффициентами.

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^ 2011 гг.)» (per. номер проекта 2.1.1/13607), также в рамках реализации фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^ 2013 гг. (мероприятие 1.3.1).

© 2011 Попов С. В., Потапова С. В.

Будем предполагать, что ^ (х) £ Нр (М) (к = 1,2). Тогда функции

К (4)

к

являются решениями уравнений (1), удовлетворяющими условиям (2) М

Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (1):

г 2 г

и1(х,1) = J и (х, р 0, т)др(т) ¿Т + J Уг(х,^0,г)аг(г) ¿т + ^(х,^,

о ®=1 о

т 2 т

и2(х,г) = ! и(0,т;х,г)13о(т) ¿т + ¿У Ш^0,т;х,Р)/3^т) ¿т + ш2(х,г),

г ^ г

(5)

где и — фундаментальное решение, VI, — элементарные решения Каттабрига [8,9].

В силу общих результатов [10,11] плотности а^, & (г = ОД, 2) должны принадлежать пространству НЧ((),Т) (</ = причем

а\"\0) = 13^ (Т) = 0 (* = 0,...,1 -1). (6)

Условия склеивания (3) перепишем в виде

и1^) = (Т— ■ Т2) й2(0,Р) = (Р— 7Р)и2(0,Р), (7)

где Р, 7 — невырожденная преобразующая и жорданова матрицы Т— Т2

соответственно. Предполагаем, что все характеристические корни матрицы Т—1являются действительными числами. Далее вместо условий склеивания (7) будем рассматривать условия склеивания вида

й1^) = 7й2(0,Р), (8)

предполагая, что в поставленной краевой задаче можно ввести замены: Ри1 = V1, Ри2 = V2. Пусть матрица 7 состоит из одной или двух жордановых клеток. Без ограничения общности рассмотрим случай матрицы

О 0 0 \ ООО ООО -а3 О 0 ' О а4 1 О 0 —а5 /

Заметим также, что в случае симметричности матрицы 7 мы находимся в условиях работы [12]. Будем считать, что коэффициенты а^ (] = 0,..., 5) матрицы 7 удовлетворяют условию единственности решения краевой задачи (1), (2), (8):

/11 11,11,22 22 ,22\| п ^и и — и и ™г и и ™г и и — и и ™г и и у | = и

Общие условия сопряжения для параболических уравнений шестого порядка исследованы в работах [12,13], и для них найдены зависимости показателей гёльдеровских пространств от весовых функций склеивания (сопряжения). В частности, замечено, что при р — [р] ^2 — 60(ак) > О гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных начальных данных. Цель настоящей работы — показать, что гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени также в некоторых случаях форм условий склеивания зависят от нецелого показателя Гёльдера при выполнении необходимых и достаточных 6/ условий на

Из условий склеивания (3) получим систему интегральных урав-

/а0 0 0

0 —а 0

0 0

0 0 0

0 0 0

V 0 0 0

нений с операторами Абеля относительно а^, в%-

(о) / ^о^ Ат + £ ди) (0) | ^^

0 («-т) е ¿=1 0 (4-т) 6

= (-) 3

i=l т

/№(0 )/~ЯЧг<1т

I (т-Ь) е

1=1 4 (т-г) е

(¿ = 0,...,3),

/(4)(0) / 77^ ^ + Е 5г(4)(0) / <*г + ^(о,*)

о (4-т)6 ¿=1 о (¿-т)6

= а4

/(4) (0) ] ш + £ (0) | ¿г + ^ (0, *)

4 (т-«)6 ¿=1 4 ("Г —«) е

i=l 2 0

+ /%(*) / Д^+Е /Ш / <м)

— о — о

оо 2 оо

«оИ/ Е <*(*)/ лМ^-^Чо,*)

+ а5

/Ш / /

(9)

.

При получении последнего равенства (9) использовались

х,Р;0,

дх5

аДт)3,т = -а4{Ь) / дДц)вщ,

х=0

д5ШД0,т; х,Р)

дх5

^^^ -АР / пИп

х

Т

уравнений из (9) применим формулы обращения оператора Абеля [3,5] и получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравне-

а

з

г

нии шестого порядка:

I (1)1-41 Пт = £ } с1т и = 0,..., 3),

О О («-1-) 6

/ -¿Щ- Лт = а4 / -^Щ- д,т + Ф4(*)

О I (т-*)*

(10)

е

3(а0(^) + а5во(^)) + «1 (*) + =

где

2

-( 3

А (г) = 1( з)(о Ь(*) + £зП0К И,

¿=1 2

В,- (*) = / 3(о Ш^ + ^Зо Ш

¿

тм-^М ^Чгл-^Пп!

6

ФЛг) = —

и = 0,... ,5).

Пятое уравнение в системе (10) с помощью шестого перепишем так:

г 1

Г А4(Т) Г ВАТ) ,

/ 1 5 (1т = <74 / +

.} [Ь — т) е .! (т — ¿) е

о г

1 б д^и?

(За0(*) + aj.it) + Фб(*)) + _ / с \ я '(О,*).

а5Г(|) ^ ^ ' ^ ' - - тгГ(§) Введем обозначения:

г ф("+1) Т — ф («+1)(0)

У - г) е

^ г«"т —*'"(о)

Г 48)(т) } В(^(т) } В(^(т)

—--^¿т-о^ / --+0-4 / -5-¿Т

и — т) е .! (т — Л 6 .! те

Ю I о

— Ф ^ (¿) + Ф ^(0)

6о~5

д5+^ ^ . д5+

в.

дх58Ь3 ' дх5дЬ8

ГЦ¿) = Ф« (*) — Ф«(О),

1

л ?Ф Мт-Ф(8) м ^(¿) = (-1)1+^- I 3(Т _ (« = 0,...,/-1, ^ = 1,2,3).

Так как [11] Ф^1 еЯ®, й = 1 + функции ^(г), С^) = О,... , 5) принадлежат пространству Н10,1), причем

Г— (¿) = , С-1 (¿) = 0((1 - ^

для малых ¿и 1 — £ соответственно. Определители матриц [12,13]

01

9?'

У1 У2 /

в нуле отличны от нуля.

Мы доказываем существование решений аг, вг системы уравнений (10) из пространства Н4 (д = (р — 3 )/6, р = 6/ + 7, 0<7< 1), удовлетворяющих условиям (6).

Предположим, что функции аг, вг принадлежат искомому пространству. Тогда из второго, четвертого и шестого уравнений системы

аг

чтобы

= (, = 1,3),

о т е (П)

I 01 92

I'' 9' 92

11У 9Г 9^

—а5(Зво(0) + в1(0)) = Ф5(0),

Из первого, третьего и пятого уравнений системы (10) следует выполнение условий

= Ф,(0) 0 = 0,2),

О т 6

a4fä±М^ + ф4(0) =

е а5и

(12)

-М-

г 6 ' • ^¡Щ)

При выполнении условий (11), (12) систему уравнений (10) можно переписать так:

^ A0(t) + *0 ctg

6 о

Т(1+Л

= 6%(Ö)ti+F§(t), Mt)+ajCtglil±2lBj(t)

-%f(±)42^dT = F°(t) 0 = 1,2,3), о

(13)

-3at + a5ß0(t) - ^A,(0))

-+ ) - «et) = Fit.

Система (13) имеет вид

\ Aia(t) + A1D11A1ß(t) - i I AlCl2SAl/3(T) dr =

о

A2a{t) + A2D21A2ß(t) - i f ^ =

о

где Ж^) — векторы с компонентами ßi{t) (i = 0Д, 2)

ветствеппо;

/ Л 02 \ /0

= I /" ffi' 02' ) , ^ I 0 ffi" 02"

3 10/ V з i о

(14)

соот-

^¿j (ij = 1, 2) — диагональные матрицы:

Du =

cos f 0 0 0 0 0 0 0 0

Аз - =

sin

6 \т) 0 о

о

sin 4т • ( 0

f -(т)1

TT / t

£»21 = I о cos Ц- О О О

К ! t \i

^ smf.(i)i О

'a0 О О Аг = | 0 ст2 0 | , Д2 = О 0 а4

J?°(t) = (sin £ + F$(t)], sin |f°(î), F%(t) J ,

Положим

m = (i5)

где

m) = м.^жг.^зз) = ( ^ ( / ^+g»(O)

y ^ (1 -r)3r

03 W (l-r)sr y 0-5

Легко показать (см. [12,15]), что первые два условия (15):

( т)\_( 9Î & у1 (n t

U(o)y U" V-^t,

эквивалентны условиям Д(1) = вг(1) = 0.

Введем в системе (13) новые искомые функции

т = т - т( 1-1)-

Тогда система (14) представима в виде

Aia(t) + АгБггАгт - ± / ¿М^М dr =

о

A2a(t) + A2D21A2f3(t) - ± / ^М^Щт) dj_ =

(16)

где ^i(í)

' -7, 2 sin ZaoBo(0)F(-¡, 1, f ; t)ti + 6 sin £Ф£,(0+ sin f F§(t) ' -4 sin £CT2B¿'(0)F(-§, 1, |; t)ti + sin f F,°(í)

_ -4,5sinf<7iB¿(0)F(-|,l,|;í)íf\

^2(í)= ( -4,5sinfa3B¿"(0)JF1(-¡,l,f;t)tt+Smfí13°(t) .

(3CT6ft(0) + CT6A(0))t - ^(í) /

Таким образом, при выполнении шести условий (11), (12) получили систему (16). Далее, если l > 1, аналогично [12,13] при выполнении 61 условий вида

La( = 8 = l,...,6l, (17)

придем к системе уравнений

Aia( l-1] W + (í)

-I / A^^C^ggA^C-^Çr) dT =

0 (18) A2aw + (í)

-I / dr = J?2(í),

o

где

Щ-^it) = a3l3t1](0) = Ut1]( 0)

и функции ^2(г) принадлежат пространству Я^1причем

= (к = 1, 2) для малых

Исключим ^ (г) из системы (18). Имеем

Кр = лт -1-] ВЫШ. Лт = ^ (19)

^ У Т — г

о

где

в — — (г)Л— (г)),

~аз +4а5) "if

A =

&1+&3)

0 j(cri -егз) ^i+^з)

V °~о + "ïf(eri + а/Зсгз) + i(oi -о-з)

В = B(t,t) =

5 <72 + А/ЗСП + ^Зсгз) -5(01-03)

■ #(4а0 + а2) ^|(2а0-а2 + v^i - V3a3) ^(2а0 + ^ + а3) Q(t) = A^i t - 1,

7

матрица B(t, г) получается от матрицы B(t, t) заменой а0 на а0 • (|г)6 j+i

HCTj на <7j • (£) 6 (j = 1,...,5).

Систему сингулярных уравнений (19) можно переписать так: 1 ^ 1

К/3 = Af3(t) - — [ Ê$?ldT+- [ M(t, т)Д(т) d,T = Q(t), (20) n J т - t n J о о

где

ч В - B(t,T) M(t, т) = к ' ;

т -1

Для того чтобы выделить характеристическую часть оператора K в общем случае, перепишем систему сингулярных уравнений (20) в виде

B-K0 = B—Q(t) (21)

и, пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [3,4,7], выделим характеристическую часть K0 оператоpa \B\B-K системы уравнений (21):

1 ^

К°р ее aEf3(t) + — f^-dr, (22)

п J т - t о

где a = a(aj), b = b(oj) j = 0,... , 5) определяются в явном виде, как в работах [12,13].

Полученную систему сингулярных интегральных уравнений

Ко0=О, С=К*\Б\Б—$ - к( (23)

можно решить в классе функций, ограниченных на концах промежутка (0,1).

Имеем [3,4]

(24)

о

где = " Ф, 01 = | " 0, в = 1 апЛё |§ |.

Подставляя в (24) значения 0{Ь), приходим к системе уравнений Фредгольма

Д+ К**к0=ф, (25)

где

1

к**к/з=^ J м(г,т)р(т)(1т.

о

Всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (25) будут, очевидно, принадлежать пространству Гёльдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Разрешимость системы уравнений Фредгольма (25) следует из единственности решения основной задачи (1)-(3) и однозначности представления их через потенциалы.

В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши

на концах контура интегрирования [3—5], легко вывести, что N(1, т) на

,

или

а * — как

причем соответственно [4, § 51] /3(£) принадлежит Не (0,1 — 3) или Н е 1), где е,6 — положительные фиксированные малые числа.

Таким образом, ядро имея подвижные и неподвижные бес-

конечности порядка меньше единицы, удовлетворяет всем условиям, которые накладываются на эти функции в теории интегральных уравнений Фредгольма. Более того [4, § 101], путем замены аргумента интегрирования т можно избавиться от неподвижных бесконечностей. Из указанных свойств ядра N(1, т) и свободного члена (( * следует, что всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (25) на концах 0, 1 ведут себя как

если а и Ь одинакового знака, или как

I е (1

£

аЬ

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [16,17]) при выполнении неравенства < \ —0, т. е. при 7 < 2—60 (9 < |), получим, что реше-пия уравнений Фредгольма (25) принадлежат пространству Н е (0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка Кроме того, решения уравнений Фредгольма (25) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем \ — 9 при 2 — 69 <7 < 1 (| < 9 < |) и условию Гёльдера с показателем \ —9 — е при 7 = 2 — 69.

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть € Нр (р = 6/ + 7). Тогда при выполне-

нии 61 условий (17) существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) из пространства (9 = €

(И))

1) Нрх'р/, если 0 < 7 <2 -69;

2) Н^4/, Ч = Ы + 2 - 69 если 2-69 < 7 < 1;

3) НX £'{ч £/6; если 7 = 2 — 69, где £ — сколь угодно малая положительная постоянная.

Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при в ^ то единственное решение задачи (1)-(3) существует из искомого пространства Нрр/ при выполнении 61 условий (17).

Замечание 2. Если выполнены условия теоремы при в ^ то, как показано в [13,18], единственное решение задачи (1)-(3) существует из искомого пространства Нрр/ при выполнении 101 + 2 условий вида (17).

Замечание 3. Доказанная теорема 1 очевидно остается справедливой, если жорданова матрица 7 будет состоять не меньше, чем из двух клеток.

Если вместо матрицы 7 в условиях склеивания (8) рассмотреть матрицу вида

/^0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 -а3 1 0

0 0 0 0 а4 1

V о 0 0 0 0 -05

то справедлива следующая

Теорема 2. Пусть € Нр (р = 6/ + 7). Тогда при выполнении

6/ условий вида (17) существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (8), из пространства Нр,р/

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов С. В., Потапова, С. В. Гёльдеровские классы решений 2«^параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 5. С. 594-596.

2. Попов С. В., Потапова С. В. Параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 1. С. 109-123.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

4. Мусхелпшвплп П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

5. Терсепов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

6. Монахов В. П. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

7. Векуа П. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

n

Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28, N 2. P. 376-401. 9. Cattabriga L. Equazioni paraboliche in due variabili. I // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, N 1-2. P. 48-79. II // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ. Cagliari. 1962. V. 32, N 3-4. P. 254-267.

10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

11. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

12. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 84-100.

13. Потапова С. В., Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 58-81.

14. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

15. Вейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

16. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

17. Ппнигипа П. Р., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 71-82.

18. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. «Сиб. мат. журнал». Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-В88.

г. Якутск

4 февраля 2011 г.