Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ГЁЛЬДЕРОВСКИЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ*)

С, В, Попов

В работе, продолжающей статью автора [1], изучаются параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции, связанные с применением теории сингулярных интегральных уравнений [2-5], а также систем этих уравнений [6].

Цель настоящей работы — показать, что гёльдеровские классы решений параболических уравнений переменного типа существенно зависят от нецелого показателя Гёльдера, а также формы условий склеивания.

В области ( = М + х (О,Т) будем рассматривать систему уравнений

Решение системы уравнений ищется из пространства Гёльдера Нр,р/\ р = 41 + 7, 0 < 7 < 1, и удовлетворяет следующим начальным условиям:

и условиям склеивания

Работа поддержана Министерством образования РФ, программа «Университеты России» (код проекта 04.01.047).

(1)

и*(х, 0) = ф\(х), и2(х,Т) = X > 0,

(2)

© 2008 Попов С. В.

Зки1 , . Зки2 , , ,

= *к(- (к = О,1,2,3). (3)

Будем предполагать, что х) € Ир(М) (г = 1,2). Тогда функции

к

являются решениями уравнений (1), удовлетворяющими условиям (2) в М. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (1):

и

г г

(х,Ь) = J ио(х,Р,0,т)ао(г) ¿т + J ¿т + ш1(х,£), (4)

1 1 и2{х,1) = J J и2(0,т;х,1)@1(т) ¿т + ^(х,Ь),

г г

где и.I (г = ОД, 2) — фундаментальное и элементарные решения Б. Пи-ни [7,8,1].

В силу общих результатов [9,10] плотности ак, вк (к = 0,1) должны принадлежать пространству (</ = ^-р), причем

ак8)(0) = № Т) = 0 (* = 0,...,1 -1). (5)

Из условий склеивания (3) получим систему интегральных урав-

нений с операторами Абеля относительно ак, в к'-

о (¿-т)4

= <аГ(1) ]Мг)+Мг)(1т + аоШ2{0Л 4 (т-«)4

_1Г(1) / - ^г(±) ¡-еЩ- ¿т

2 У2> I а-т) 2 2 2

= ]мт)-Мг) Лт + ^

| («о(^) + + ^жжж + ^З^ххх = 0.

(6)

Т

мощи формул обращения оператора Абеля [4] получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравнений

л/2(с«о(*) + <*!(*)) + стоШг) + /Ш)

о о 1

о о

М*) ' ъ J\t) т-г

^(а0(г) - aj.it)) - а2(/30(г) - &&))

<1т = -£! ¿т,

о о 1

(7)

где

<М *) =

^г т)

, дЗщ2

т-^т) и = 0,1,2,3).

Введем обозначения

о о ^ ;

(г = 0,...,/ — 1, о = 1,2).

Так как [4] Ф'"1 = 1 + функции (4) (к = 0,1, 2,3)

принадлежат пространству Н10,1), причем F1— (£) = 7^4)

для малых

Мы доказываем существование решений аг, вг системы уравнений (7) из пространства Н9 (д = (р — 3 )/4, р = 41 + 7, 0 < 7 < 1), удовлетворяющих условиям (5).

Предположим, что функции аг, вг принадлежат искомому пространству. Тогда из второго и четвертого уравнений системы (7) сле-

аг

1

-- [ ¿т = ^(0), а3/ЗЬ(0) = ^Фз(О). (8)

7Г у Т2 2 2

о

Из первого и третьего уравнений системы (7) вытекает выполнение условий

<0 } воМ + в!(т) , ^ <72 Г воМ — АН

¿т = _фо(0), £* Гш-шЛт = _Фз(0)

к ] Т 4

7Г J 7-4 7Г

О о

(9)

При выполнении условий (8), (9) систему уравнений (7) можно пере-

писать так:

V2(a0(t) + ai(t)) + a0({30(t) + fa (t))

-f }(lf4Mr)+_Mr) dT = 4ф, (0)íi/4 + Fo(tl o

a1(t) + ff(±)1/2^dT = F?(t), o

V2(a0(t) - ai(t)) - a2(í30(t) - (h{t))

J(lf4 Mr)-_Mr) dT = Fo(í))

o

«o(í) + - °3l3o(0) = F$(t),

Положим

(10)

i

n J (1 — t)l/¿т ai o

и покажем, что это условие эквивалентно условию Д(1) = 0. В самом деле, второе уравнение системы (7) также эквивалентно уравнению

1 1 /9 1

1 íí 1— Л а^т) , Id f ФЛт) ,

o í

Подставляя в (11) t = 0, а также ai(t) из второго уравнения (10), при

этом имея в виду формулу [11, с. 177]

q

1 Гт a-1(l — т)b— , — / -ат

п J т — t о

= ta-41 - i)6"1 ctg(bTr) - J^ Г (а + Ъ - 1Ш2 - а - Ъ, 1, 2 - 6; 1 -t),

ПГ(6 — 1) (12)

получим

1-[7гЦг^=1- Ф1(1), (13)

ъ } (1-т)2 2

о

которое, очевидно, эквивалентно в1 (1) = О-

Введем в системе (10) новые искомые функции

в® = - А(о)( 1- *) (* = о,1).

Тогда, воспользовавшись формулой (12), представим (10) в виде

' л/2(<*о(*) + М*)) + <г0(А)(*) + А СО)

}(1)1/4 Мт)+Мт) г1т = 4ф/(0^1/4 + ро{г) о

-^(/30(0) + /31(0))^(-|,1,|;^1/4;

о

= +1, §5^/2,

>/2(с«о(*) -"!(*)) -ст2фо(г) - [Ш)

7Т о V т / т —£

о

= ВД - ^(МО) 1.*;Ф3/4>

Далее, если I > 1, то возьмем производные в полученных системах уравнений (14). Имея в виду формулу [12]

^[^(аДс;*)*0-1] = (с- 1;*), (15)

получим

' + а'М) + а,Ст + #(*)) - ^^ } ¿г

4-7Г } Т1/4(Т_Л

О

I Щ^? * = %(0К3/4+4Фцт1/4

о

- ^(М0) + /ШИ-!, 1, Ь*)*-3/4>

1 , ,„ 1

+ 1 2тга1 I Т1/2(Т-4) + 4 тг"71 (Я / Т1/2(Т-4) о о

= ^ФНОГ1/2 + ВД + з^АСО^С-!, 1. §;*)*

-1 /2

(16)

^2К(;) - «НО) - - Ш) - ^^ / ЭДЙг1 (1т

о

I ^Шёг ^ = -адг1/4 + ад

7Г М ■) Т3/4(Т-4)

о 1

<*о(*) + ъШ = °з/3о(0) - |ФИ0) +

Для дальнейшего нам понадобится одно важное свойство сингулярного интеграла. Если € 7(0,1), то (см. [13,2])

11гА11(1т=_т.т+}т(1т. (17)

л.] т - г г 1- г } т - г у '

о о

В силу (17) из второго и четвертого уравнений системы (16) следует, что для того чтобы вг'(1) = 0, необходимо и достаточно, чтобы 1 _

/ ^¿т = 4/31(0) + 7ГФП0), а3^(0) = а3/Зо(0)-^(0). (18) о

Из остальных уравнений системы (16) имеем выполнение условий

-о / <*г = ^(/ЗД + /3,(0)) - 47гФд(0),

^ (19)

-2 / Ш~!1{Т) *Г = ^(/Зо(0) - Ш) + 1^(0). о

а

Так как справедливы равенства

F (—3/4,1,1/4;$ — 1 = —3 F(l/4,l,5/4;t)t, F (— 1 /2,1,1/2;$ — 1 = —F(l/2,1,3/2;Ю)Ю,

П-1/4,1,3/4; *) - 1 = -^(3/4,1, 7/4; *)*,

в силу формулы (17) систему уравнений (16) при выполнении условий (18), (19) можно представить так:

+ оШ + <7„ (Ш + Ш)

о

К (т)+^(т)

о

(*)-«!(*))-<72 да)-#(*))

(20)

^ \Т 0

= ВД + ^(А)(0) - /?1(0))^(|, 1, |;ф3/4, о, ю + ов ю — еда =

Подставляя значения р[(Ю) = р[(Ю) + в«(0) в систему (20) и имея в виду формулу (12), получим

о

¿т = 4Ф£(0/4 + F¿(t),

о

- а'М) - а2(/3^) -/3^))

1(1)3/4 Мг)-Мг)(1т = т1 о

а(, Ю — вт) =

(21)

т—г

т-1

Таким образом, мы получили уравнения (21), имеющие точно такой же вид, как и первоначальные уравнения (10). Легко видеть, что при выполнении условий

гЗ/2

д.т = 20Хр[ я)(0) + пФ 0),

а3^+1)(0) = 1ф^(0),

1 „(а)

г О)-^'(О)

°0 J т5/4 а<

= 4ао(13^(0) + в ) -А пФ (0),

о т

= |а2(/3«(0)-/ЗМ(0)) + |^+1)(0), 8=1,... ,1-2,

мы придем к системе уравнений

^2(а^Чг) + а^Ч*)) + ао^Ч*) + ^ (*))

■ ¿т

= 4Ф^(о г/4 + р— г,

о

1(1)3/4 ^м-еГ1^) Ат = о

а-1)(г)+а3г -4-1)(о)) = р^-1 г,

где

(22)

(23)

т)

1

М8)(0) = - /г/1\'1% ¿г--ОКО), 3=1,..., 1-1. (24)

п ,] (1 - т)1/ 1 т а\ о

Заметим, как и выше, что условия (24) эквивалентны /3[я''(1) = 0 при в = 1,... ,/-1.

т-г

Далее, вводя новые искомые функции

в

0-1)м - М 1-1Ь

(*) = ДТ1^)-/зГ1}(о)(1 -*), а^Г'ЧО) = о)

-

чС-1)

в системе (23), получим уравнения вида (14). Так как функции а^ в^'-1^ мы ищем го пространства Н1из первого уравнения полученной системы уравнений следует, что должно выполняться условие 1

-о / ^ЧгН/зГЧг) = Шао (/?Г(0) + ^-1) (0)) _ ^(0 (0)

о

(25)

Тогда при выполнении (25) в конечном итоге придем к системе урав-

нении

1М1(г)+Г!(!

т }

= (1)

'-

№

.1/2 Ют

■ ¿т = Fl1-1 м

V2(«Г1} (*) - аГ(*)) - а2 (Д^ (*) - ^ (*))

(26)

'£^3/4/3, Ут

(1-1), 2(1-1), ,

где функции

= Н-'И) - + /ЗГ1)(0))[^(-3/4,1,5/4;*) -

=1-1

F г м = FГ м <

<

(0)^( —1/2,1, 3/2;

принадлежат пространству Н1причем

^ 1(*) = 0(^) 0' = 0,1,2,3)

г

Доказажем существование функций (г), (г) из простран-

ства '-1) в полученной системе уравнений (26). Исключим а^' ^(г) из системы (26). Имеем

Кр = лт -1-) ВЫШ. Лт = фь (27)

п у т - г

о

где

А = ( а° ~ а2 ~ а° + °"2

у О + О О - О 2

<5(4) = (Р^-1 + Р!^1 - 2\/2Р^1, Р^1 - Р!^1 - 2^2р[-1).

Систему сингулярных уравнений (27) можно переписать так: 1 ^ 1

К/3 = Ар{г) - - [ (1т + - [ т)Д(т) д,т = ф), (28)

п .1 т - г п }

о о

где

о0 - О о0 + о2 + 2\/2о\) т - г

Для того чтобы выделить характеристическую часть оператора К, перепишем систему сингулярных уравнений (28) в виде

СК[3 = С${г), (29)

где

С =

О + О 2 + 2А/2СГ1 О - Оо О - Оо Оо + О2

СА = 2 а/2

/ ооо - оо - оо - оо - 2л/2о о оо + о о + %/2оо i оо ~~ оо + л/2<тоо о

\ О СГ0СГ1 + 0"10"2 + Л/2СГО°"2 ) '

Пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [2,3,6], выделим характеристическую часть К0 оператора СК системы уравнений (29):

1 ^

ее аЕр(Ь) - — [ ¿т, (30)

п ] т — г о

где Е — единичная матрица,

а = <то<71 + со^з + 0"10"2 + \[2(Т§(Т2 — о"20"з>

Ь = « + <2<з + << Полученную систему сингулярных интегральных уравнений

К°р = С, 6= аА-1 ^д - ^ М(^т)/3(т)(1т^ (31)

будем решать в классе функций, ограниченных на концах отрезка (0,1). Для этого введем кусочно-голоморфную функцию

¿п^ т — г о

Тогда система (3) примет вид

\ф+м = Ф-м, мко^у!.

Решения уравнений (31) эквивалентны решению задачи Римана (32) при дополнительном условии Ф(то) = 0. Рассмотрим к = 1. Так как

а + гЬ юпв а 1 + \ а\

д=-гг = е > & = ~ ап^ -

а — гЬ п 1Ь1

и

аЬ

функция X(г) равна г1 -в(г — 1 )в, индекс задачи (32) н равен —1. В

случае же, когда а и Ь разных знаков, каноническая функция Х(г) = гв г — -в

^)=Х(г)} С(т)с1т

2ni J (a - Ы)Х+(т)(т - z) о

при условии

} GT

J Х(т) о

dr = 0. (32)

Тогда

о

Формулы (32) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности /?(t) при t = 1.

Подставляя в (33) значения Gt), приходим к системе уравнений Фредгольма

¡3+K*kp=Q*, (34)

где

1

K*kj3= ^У N{t,T)f3{T)dT. о

Всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (34) будут, очевидно, принадлежать пространству Гёль-дера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В самом деле, функции Q * будут, очевидно, удовлетворять условию Гёльдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Функция M(t,r) имеет интегрируемые особенности при t = т во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши на концах контура интегрирования [2-4] легко вывести,

что M(t, т), Q* на концах 0,1 будут вести себя как 12+0(1 —t)i 6 или — t)^+e, причем соответственно [3, §51] (3(t) G 0,1 — <5), или

a(t) G H 4 1)5 где (5 — положительное фиксированное малое число.

Таким образом, ядро M(t, т), имея подвижные и неподвижные бесконечности порядка меньше единицы, удовлетворяет всем условиям, которые накладываются на эти функции в теории интегральных уравнений Фредгольма. Более того [3, § 101], путем замены аргумента инте-т

указанных свойств ядра M(t, т) и свободного члена Q* следует, что всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (34) на концах 0,1 ведут себя как 1 — t)ï~e, если a и Ъ одинакового знака, или как ti~e( 1 — t)i+e, если a и b разного знака.

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [14,15]) при выполнении неравенства < \ — 6 (0 < j) получим, что решения уравнений Фредгольма (34) принадлежат пространству H * (0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка i^jp. Кроме того, решения уравнений Фредгольма (34) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем ^ — в при 1— 40<7<1и условию Гёльдера с показателем \ — в — е при 7 = 1—4 в.

Таким образом, при выполнении условий (8), (9), (18), (19), (22), (25) система уравнений (34) эквивалентна исходной системе уравнений (6). При этом отметим выполнение условий

о48)(0) = ^8)(0), Ms)(1)=0 (S = 0,l,...,z-1), Д(г_1)(1) = 0.

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (34) следует из единственности решения основной задачи (1)-(3) и однозначности представления их через потенциалы. Значения функций 3s (t) определяются по формуле Тейлора

^ (*) = Е + JT^ji /(t - M ^ (35)

к—s 0

(в = 0,...,/ -2).

Тогда для выполнения условий /Зд^(1) = 0 при в = 0,... ,/ — 2 необходимо и достаточно, чтобы

О

(в = 0,...,/ — 2).

Подставляя значения функций ^^ (£) в условия (8), (9), (18), (19), (22), (25), получим 4/ условий разрешимости задачи (1)-(3) в пространстве Нр'р/4. Эти условия обозначим так:

Ь^ щ,щ2)=0, 8=1,..., 4/. (37)

Итак, доказана

Теорема. Пусть € Нр (р = 4/ + 7). Тогда при выполнении

/

влетворяющее условиям (2), (3) из пространства (в = ^ <

1) НР'р/А,если 0 < 7 < 1 — 4в;

2) Н™/А, я = 4/+ 1—4в,еаш 1—4в<1<1;

3) Н Е'}4 если 7 = 1—4в, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Замечание. Если выполнены условия теоремы при в ^ то, как показано в [16,1], единственное решение задачи (1)-(3) существует из искомого пространства Нр'р/4 при выполнении 6/+ 2 условий вида (37).

Пример 1. Для системы уравнений (1) с начальными условиями (2) рассмотрим условия склеивания (3) при сто = 1) СТ = 1, = — 1, стз = — 1 .В этом случае система сингулярных уравнений (31) будет иметь вид

(>/2+1 = с (38)

п ] т — t о

и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 61 + 2 условий вида (37).

Пример 2. Для системы уравнений (1) с начальными условиями (2) рассмотрим условия склеивания (3) при сто = 1) СТ = — 1, ст = 15 стз = — 1 .В этом случае система сингулярных уравнений (31) будет иметь вид

(У2-1)Ет-{^+1)Е[^Лг = 0, (39)

п J т — t о

1 А/2-1

9=- arctg -V-« 0,054 < 0, 25,

тг А/2+1

и мы находимся в условиях доказанной теоремы. Единственное решение исходной задачи существует при выполнении 41 условий (37).

ЛИТЕРАТУРА

1. Popov S. V. Parabolic équations of the fourth order with varying évolution direction // Мат. заметки ЯГУ. 2001. T. 8, вып. 2. С. 112-133.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

4. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

5. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

6. Веку а. Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

7. Pini В. Sul problème fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. Mat. Рига Appl. 1957. V. 43. P. 261-297.

8. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1957. V. 27. N 3-4. P. 136-168.

9. Солонников В. A. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

11. Вейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

12. Смирнов M. М. Уравнения смешанного типа: Учеб. пособ. для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

13. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.

14. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

15. Пипигипа П. Р., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, N 1. С. 71-82.

16. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. «Сиб. мат. журнал». Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, N 8646-Б88.

г. Якутск

26 января 2003 г.