Параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ОБЩЕЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ*)

С, В, Попов, С, В, Потапова

В работе, продолжающей статьи авторов [1,2], изучаются параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции, связанные с применением теории сингулярных интегральных уравнений [3-6], а также систем этих уравнений [7].

В области ( = М+ х (О, Т) будем рассматривать систему уравнений

(1)

В пространстве Гёльдера р = 4/ + 7, 0<7< 1, ищется ре-

шение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям

и (ж, 0) = <^1(ж), и2(х,Т) = фч{х), х > 0, (2)

и условиям склеивания

тги\о,^ = т2и\о,г), (3)

где и к = {ик, и%, иХх, и%хх), Т,Т2 — невырожденные матрицы с постоянными действительными коэффициентами.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)», Совета программы (Протокол №АХ-23/11, пр. от 12 декабря 2008 г.), мероприятие 2 (код проекта 3443), и гранта Министерства образования и науки РФ № 02.740.11.0609.

© 2010 Попов С. В., Потапова С. В.

и1 = Ьи1, —и? = Ьи2

Ь=-

с>4 дх*

Будем предполагать, что х) € Ир(М) (г = 1,2). Тогда функции

к

= ^ J и0(£,Т;х^)<р2

к

являются решениями уравнений (1), удовлетворяющими условиям (2) М

системы уравнений (1):

и1

{х,Ь) = / ^(х, р 0, т)ао(т) ¿т + / и (х, р 0, т)а\ (т) ¿т + ш\{х, Ь),

I I (4)

т т

и2{х,1) = J Щ(0, т; х, ¿т + J и(0,г;х,Р)^(г) ¿т +

г г

где и (г = ОД, 2) — фундаментальное и элементарные решения Б. Пи-ни [8,9,1].

В силу общих результатов [10,11] плотности ак, вк (к = 0,1) должны принадлежать пространству (д = ^-р), причем

48)(о) = 1зк:)т = о (* = о,...,1 -1). (5)

Условия склеивания (3) перепишем в виде

иг(о,^ = (т— ■ т2)и2(о,р) = (р— (6)

где Р, J — преобразующая и жордапова матрицы Т—1Т2 соответственно. Предполагаем, что все характеристические корпи матрицы Т—1Т2 являются действительными числами. Далее, вместо условий склеивания (6) будем рассматривать условия склеивания вида

й\0,^ = Jй2(0,í), (7)

предполагая, что в поставленной краевой задаче можно ввести замены Ри1 = V1, Ри2 = V2. Пусть матрица J состоит из одной или двух

г

жордановых клеток. Без ограничения общности рассмотрим случай матрицы

/^0 0 0 0

0 -О"! 0 0

0 0 О 2 1

V о 0 0 -оЗ

Заметим также, что в случае симметричности матрицы J мы находимся в условиях работы [1]. Будем считать, что коэффициенты ак матрицы J удовлетворяют условию единственности решения краевой задачи (1), (2), (7):

/11 _ 11,22 _ 2 2 \ | _п

[и иххх ихХихх и иххх и^^хх) |х_0 —

Из условий склеивания (7) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно ак, /Зк:

о (4-т)4

= | Мт)+Мт) Зт + ^

I (т-*)*

-|Г(|)/7Т^Лт

о (*-т)2

-^Г(±))/ -ещ. ¿Т + ш1х(0,1) + а1Ш2х(0,г) = о, (8)

г (т о (¿-т)4

Г(|) / Мг)-Мг) Лт +*ш + а2и2хх(0,г), „ I («о(^) + °"зА)(^)) + ^жжж + ^З^ххх = 0.

Т

мощи формул обращения оператора Абеля [5] получим эквивалентную

систему сингулярных интегральных уравнений: ' V2(a0(t) + ai(t)) + a0(i30(t) + &(*))

о о

Mt)+î} (j)i/2mdr=-ц} dr,

о 0

< V2(a0(t) - ai(t)) - a2(f30(t) - &(*)) (9)

о

I 2 d Г Mr) j _ _d_ f 4-2 (t) ,

Г(3/4) dt J (t_T)l/4 — dt J (t_T)l/4 ;

где

= ^ну ((-1)4^(0,t) - *£«,,*>) 0- = 0,1,2,3). Введем обозначения

0 J (t-T)i

о

0 ^ ' c.l(t) = |/îiM!(i),jT

« J (T~t)2 (i = 0,...,l - 1, ^ 1,2).

Так как [5] Ф^1 еЯ«,® = 1 + ^,то функции F1^1 (t) (к = 0,1, 2,3) принадлежат пространству 7^/4(0,1), причем Flk-1 (t) = O(t1+^/4) для малых t.

Мы доказываем существование решений а», в» системы уравнений (9) из пространства Н4 (д = (р — 3 )/4, р = ^ + %0<7< 1), удовлетворяющих условиям (5).

Предположим, что функции а», в» принадлежат искомому пространству. Тогда из второго и четвертого уравнений системы (9) следует, что для того чтобы а»(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

1

-- [ ^ ¿т = ^ФхСО), а3/Зо(0) = 1ф3(0). (10)

.] Т2 2 2

о

Из первого и третьего уравнений системы (9) следует выполнение усло-

3,т = —Фо(0),

(П)

7г } г 4 Г (3/4)

о

При выполнении условий (10), (11) систему уравнений (9) можно переписать так:

л/2(М*) + <*!(*)) + ММ*) + /Ш)

} (1)^4 Мт)+_Мт) г1т = 4ф/(0)^/4 + ро^

о

о

у/2(МЪ - «1 (*)) - ^(/Ш - /Ш) (12)

7Г ■) \ Т / т — t

о

-I__2_Г Мт)-М0) 1 _ ро^ч

Г(3/4) Л (4-Т)!/4 и1 — г2\ь)>

М*) + ММ*) — во(0)) = ед.

Из второго уравнения системы (12) определим значение Д(0):

1

о

Введем в системе (12) новые искомые функции Р) = вг(Р — А(0)( 1 — Р) (г = 0,1) и представим в виде

>/2(ао(*) + М*)) + <г0(А>(*) + &(*))

} (I)1/4Мт)+Мт) Зт = 4ф/)(0^1/4

о

+т) - ^(/Зо(0) + Ш)Р{-\, 1, |;ф1/4,

о

+ (13)

^(ао(г) - а1(г)) - а2фо(г) - Ш)

_£2 Г (Ь\У*Ро(т)-Мг) (]т , 2 й Г Ыт) (]т

1Г ■) V т / т-4 Г(3/4) Л Л (4-т)!/4 ы/

О о

= ВД - ^(А,(0) - ШМ-Ь 1,I ;ф3/4 +

«о(^) + ^зво(Р) = ^зво(0)Р +

Далее, если I > 1, то возьмем производные в полученных системах уравнений (13). Имея в виду формулу [12]

-^(аДс;*)*0-1] = (с - 1)^-2Р(а,Ь,с- 1;*), (14)

получим

' +о^))+мт+т) - / Щ?Ш ¿г

о 1

I ^¡Сг-У ^ = Ч№-3/4 +

о

+**(*) - ^(А>(о) + А(0))Р(-11,

г-^Ъгг Г Мт) , , Л } Ыт) ,

о

2п J т1 /2 (т-4)

о

— /2

= ^1(0)^/2 + ВД + 2^(0)^-!, 1, §;*)*

- <*!(*)) - а2(Ш - #(*)) - / ¿т

Ь <7 2 Л Г Ро(т) + Мт) Л. 7Г (Й Л Т3/4(г — О

/

$¿1

Г(3/4) М Л (4-т)!/4

¿т

= -Ф'2(0)*-1/4 + ад - ^(А)(0) - 1,

+ = о"з/?о(0) - ±<Н(0) +

(15)

Из второго и четвертого уравнений системы (15) вытекает, что для того чтобы в» (1) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

(16)

?0с1т = 4Г31(О) + пф11(О),

о

<73^(0) = д>(0) - |ФП0).

Из остальных уравнений системы (15) следует выполнение условий 1

ао | Мт)+Ыт) Лт = + Ш) _ ^фДО),

О

а2 } Мт)-Ыт) Лт (17)

т

= ^ (Д,(0) - Ш) + 1^2(0) + з#4)^(0).

Так как

—3/4,1,1/4;*) — 1 = —3

а

П — 1 /2,1,1/2;Р) — 1 = —Р(1/2,1,3/2; г)г, 1/4,1,3/4; *) - 1 = -^(3/4,1, 7/4; *)*, систему уравнений (15) при выполнении условий (16), (17) можно представить так:

>/2К(*) + <*£(*)) + а0ШЬ) + Ш)

Г ( t\l/*iЗЫт)+¡3!|{т)

7Т о \т/ т — Ь

о

= 4Ф£(0)*1/4 + ВД + ^(/Зо(0) + /?1(0))^(|, 1,15Ф1/4,

о

_£2 Г /П3/4Эо (т)-^(т) Лт

7Т Л \т/ т —£

(18)

о 2

Г(3/4) М

г /Зр(т)—/Зр(о) , Й Л (4-Т)!/4 Ы/

= ВД + Ц*(А)(0) -/?1(0))Р(|, 1,|;ф3/4, а^+аз^ (г)—еда =

Подставляя значения Р) = Р) + А(0) в систему (18), получим

>/2К(*) + «К*)) + + Ж*))

7Г Л V т / т —£

= 4Фд(0/4 + ВД, о

j (1)3/4 А>(т)-/Ыт)

(19)

I 2 а г ^(т)-^(о) ^ _

а + (г) — $(о)) =

Таким образом, мы получили уравнения (19), имеющие точно такой же вид, как и первоначальные уравнения (12). Легко видеть, что при выполнении условий

' / ^Ь^(О) г1т = 2/3М(0) + „$(«+!> (0), т

°0 J т5/4 ат

О

= 4(в^(0) + в я)(0)) {о+1)( 0), ^

т

= §(/з«(о) - /^(0)) +1^8+1)(0) + ^/^(О), в= 1,...,/ — 2, мы придем к системе уравнений

^2 (а^ (*) + а(/-1} (*)) + *о (*) + ^ (*))

¡(А^^ЧгШГ^ = 4ф(0(0),1/4 + о

о

ю - 4<-1} (*)) - ^ и1-1} (*) - (*)) (21)

}/а)3/4 ¿Т

тг ^ 1т/ т — Ь

О

+ Г(3/4) Й 0-т)!/4 — г2

4'-1) (*)(вГ1} и—вГ1}(о)) = и,

где

1

^ = > 1...../ 1-

о

Далее, вводя новые искомые функции

в!'-1) (*) = в?-1) (*)—в\1—)т 1—*)

в системе (21), получим уравнения вида (13). Так как функции а[1

^ ищем из пространства Н1из первого уравнения полученной системы уравнений следует, что должно выполняться условие

$ М+в (т

<1т = # (0) + 13[1-1] (0)) - 4тгф^) (0). (22)

/

Тогда при выполнении (22) в конечном итоге придем к системе уравнений

(*) + (*)) + *о (*) + ^ (*))

о

(г) - оГ1} (*)) - а2 (г) - 1з{1-1] №

■ ¿т

Т — ь

- о

1 I

о

_£2 Пг\Ч4

7Т О V Т / Т —£

Г(3/4) М Л (4-т)

50-1) т

(23)

где функции

К1 (*) = Ро-1 (*) - ^ (0) + (0)) [Р(-3/4,1, 5/4; *) -

*(*) = + -/зГ1)(0)^(-1/2,1, 3/2;

п

- (0))Р(-1/4,1, 7/4; + ^^ ¿3/4,

принадлежат пространству дД+т)/4, причем ^ *(£) = О(Ь1^) (] = 0,1, 2, 3) для малых г.

Докажем существование функций а»' ^ (г), в/ ^ из пространства Нч-С-1) в полученной системе уравнений (23). Исключим а!' ^ (г) из системы (23). Имеем

о о

где

Д(*) = (в0 '-1) (г)Л1-1) (г)), | О"о - СГ2 - 2А/2СГ3 00 + 02 А 2 1 О

^0+^2 ^ — ^2 / ' Г(3/4) V—1 0

<3(4) = - г^зЛ^сГ1 " ^ " 2%/2Р^1).

Систему сингулярных уравнений (24) можно переписать так: 1 ^ 1

кр = Ар{г)~— [ + - [ м(г, т)/з(т)(1т

п I т — г п I

о о

4

з/^«"«*«- <25>

о

где

\а0 -сг2 его + о"2 + 2А/2СГ1 у '

Выделим характеристическую часть К оператора К [1]:

1 ^

= аЕр(Ь) - — [ <1т = б, (26)

п } т — г

о

где Е — единичная матрица,

а = <то<71 + со^з + 0"10"2 + л/2<Т()0"2 — о"2С"з, Ь = <Т()<7з + 0"2С"3 + 0"1С"2 + %/2<Т1<Т2 —

й-*|-.(<5-±/м«, Л *) ■

^ О 0 /

Полученная система сингулярных интегральных уравнений (26) в

,

нием кусочно-аналитической функции [3,4]

\ - ВД /" Ю7\

~~ 27гг J г-г 2тгг У (а - Ьг)Х+(т)(т - г)' 10

о о

где Х(^) = г1—е(г — 1 )е, если а, Ь одного знака, и Х(г) = г — 1)1—

если а, Ъ разных знаков, в = ^ ап^\а/Ъ\.

Так как индекс краевой задачи Римана к равен —1, равенство (27)

выполнено при условии

1 ^

о

Тогда

Д(() = Лей+ ^±Гу ,29)

О

Формулы (28) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности ^(Р) при г = 1.

Подставляя в (29) значения ОР), приходим к системе уравнений Фредгольма

р + К *кр = $ *, (30)

где

1

К*к[3=- J Ж(рт)Д(тЫт. о

Всякие ограниченные интегрируемые решения систем уравнений Фред-

гольма (30) будут, очевидно, принадлежать пространству Гёльдера во ,

((* будут, очевидно, удовлетворять условию Гёльдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Функция Ы(1,т) имеет интегри-

г т ,

ных от концов. В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши на концах контура интегрирования [3—5], легко вывести, что <5* на концах 0, 1 будут вести себя как +0(1 — или — причем соответственно [4, §51]] Д(£) € Н^*1 (6,1 — 5),

-у -у

или £ Н 4 1 — 3), где 3 — положительное фиксированное малое число.

Ядро Щг,т), имея подвижные и неподвижные бесконечности порядка меньше единицы, удовлетворяет всем условиям, которые накладываются на эти функции в теории интегральных уравнений Фред-гольма. Более того [4, § 101], путем замены аргумента интегрирования т

ра М(г, т) и свободного члена ((* следует, что всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (30) на концах 0,1 ведут себя как ¿2+е(1 — если а и Ъ одинакового знака, или

как — , если а и Ь разных знаков.

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [1,2]) при выполнении неравенства < \ — в < в < получим, что решения уравнений Фредгольма (30) принадлежат пространству Я<(0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка Кроме того, решения уравнений Фредгольма (30) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем | — в при 2 — 40<7<1и условию Гёльдера с показателем \ — в — е при 7 = 2 —40.

Таким образом, системы уравнений (30) эквивалентны исходной системе уравнений (8) при выполнении условий (10), (11), (16), (17), (20), (22) и (28).

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (30) следует из един-

ственности решения основной задачи (1)-(3) и однозначности представления их через потенциалы. Подставим найденные по формуле Тейлора значения функций

=1«*-•+ТГ±Щ / * - *,Я)

(з = 0,...,1 -2)

в условия (10), (11), (16), (17), (20), (22) и (28). Получим 4/ условий разрешимости задачи (1)-(3) в пространстве Нр'р/4. Эти условия обозначим так:

Ь8( и0,ит) = 0, в=1,...,4/. (32)

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть € НР (р = 4/ + 7). Тогда при выполпе-

/

удовлетворяющее условиям (2), (3), в пространстве (в = | €

(1,1));

НР-'|Р-)/4 П ^/^,если 0 < 7 < 2 -4в;

2) П С И- Ь/4], ^ = 4/ + 1 - 4в, если 2-4 в<ч <1;

3) Нр-£'(9-е)/4 П СИ-ЬЛ^ если 1 = 2 - ^щее- сколь угодно малая положительная постоянная.

Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при в £ (0, то единственное решение задачи (1)-(3) существует в пространстве Нр 1Р 1 П С[р/4^ при выполнении также 4/ условий (32).

Для того чтобы решение краевой задачи (1)-(3) принадлежало Нр'р/4, нужно требовать от начальных данных щ, щ дополнительную гладкость, в частности, принадлежности пространству НР+1. Справедлива

Теорема 2. Пусть € НР+1 (р = 4/ + 7). Тогда при выпол-

/

удовлетворяющее условиям (2), (3), в пространстве (в = iarctg||| G

жительиая постоянная.

Замечание 2 [1]. Если выполнены условия теоремы при в € т?), то единственное решение задачи (1)-(3) существует в пространстве Нр'р/4 при выполнении 61 + 2 условий вида (32).

1. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 84-100.

n

с меняющимся направлением эволюции при n ^ 4 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 32-55.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

5. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

6. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

7. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

8. Fini В. Sul problème fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. Mat. Pura Appl. 1957. V. 43. P. 261-297.

9. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ. Cagliari. 1957. V. 27. N 3-4. P. 136-168.

10. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

11. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

12. Смирнов M. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985.

1) Hl;vtj4,ecan 0 < Y < 1 - 4в;

2) Hqx'q¿4, q = íl+\ -4в, если 1 - 4в < Y < 1;

3) HX e'tq если y = 1—4в, где e — сколь угодно малая поло-

ЛИТЕРАТУРА

г. Якутск

18 апреля 2010 г.