Краевая задача для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции при n>=4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ 2п-ПАРАБ0ЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ ПРИ п > 4*)

С, В, Потапова, С, В, Попов

В работе мы исследуем гёльдеровскую разрешимость одной краевой задачи для параболического уравнения 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции, связанную с применением теории сингулярных интегральных уравнений [1,2], а также системы этих уравнений [3]. Известно, что для таких уравнений гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения гёльде-ровским пространствам. Для этого необходимы дополнительные условия разрешимости. В работе [4] доказана гёльдеровская разрешимость этой задачи и установлены 2/(2п — 1) + 2 достаточных условий разрешимости. В настоящей работе мы приводим доказательство теоремы 2п/-разрешимости при п > 4 в пространствах Гёльдера, сформулированной в работе [5]. Здесь количество условий разрешимости уменьшено до необходимых и достаточных. Отметим, что случаи ^ = 2,3 исследованы в работах [6,7].

В области ф = Л х (0,Т), П = М, рассматривается параболическое п

д пи

8ёП Хщ = (-1Г+1 — . (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)» и Совета программы (протокол № АХ-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.), мероприятие 2 (код проекта 3443).

© 2009 Потапова С. В., Попов С. В.

Краевая задача для 2п-параболических уравнений

33

Решение уравнения ищем из пространства Гёльдера Нр'р/2п, р = 2п/ + 7, 0 < 7 < 1, / — целое число. Пусть оно удовлетворяет следующим начальным условиям:

((х, 0) = (1 (х), х > О, и(х,Т) = рг(х), х < О,

(2)

и условиям склеивания: дки дки

—к(-о,г) = —к{^Ло<г<т, к = о,... ,2п- 1. (з)

Теорема. Пусть € Нр (р = 2п/ + 7), п ^ 4. Тогда прн

выполнении 2п/ условий

■М (1,(2)= О, в = 1,...,2п/,

(4)

существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), из пространства Нр'р/2п(

Доказательство. Единственность решения. Пусть = Q П {х > 0}, Я- = Я П {х < 0}. Для однородной задачи (1)-(3) имеет место тождество

д (1 (дпи^ 2

-—г— I =8гм- —г дх2п I & дг\2

п д пи д

и | sgn хщ + ( —1)" п ) = sgnж— [ —и~

дпи

дхп

п—, ^ дги д2 п-1-ги

г=0

дх1 дх2п-1-

.

Интегрируя тождество (5) по области затем по области Я , получим

дпи

—— ¿х Л Н— / и"(х.Т~) ¿х дхп I 2 К ' ;

о

= (-1)п

п

В-1)г

г=0

дх1 дх2 п—-г

¿г,

ж=+0

дги д п- -ги

,9 0

дпи\2 , , 1

—— <1х скЬ Н— / и" (х, 0) <1х дхп 2 у '

= {—г+1у

о

^1 ' дх} дх2п-1-*

г=0

¿г.

х= -О

При условии существования интегралов из условий склеивания (3) следует

о

// " ) & + 2 ! и2(х,0)с1х+— ! и2{х,Т)йх = 0. (6)

д -то о

Отсюда в силу однородных начальных условий (2) и уравнения (1) следует, что и(х,Ь) = 0 в <3. Таким образом, краевая задача (1)-(3) может иметь не более одного решения.

Прежде чем приступить к доказательству существования решения, рассмотрим параболическое уравнение высокого порядка [4]:

дЬ 1 ; дх2п ( )

В работах [8,9] для уравнения (7) найдены в явном виде фундаментальное решение

М'» (8)

о, г < т,

и элементарные решения

ур(Х,Р,^т) = } а-т)^ (4-г)2„ (9)

I 0, г < т;

_ о, г < т,

где р = 1,... , п — 1, функции /(п)> 9р(^р(п) являются решениями линейного дифференциального уравнения (2п — 1)-го порядка

г(2п-1Чл)-{-^-Г1-г(л) = О-

Интегральное представление и подробное исследование функций /('ц), др(ц), Нр(г}) можно найти в работе [4].

В дальнейшем нам понадобятся следующие соотношения [4]:

дрг

п 5

(-■

\2 п

Аг пр

и п

-г,

К

п

р = 1, . . . , [(п — 1)/2];

п

/, ^ ■ пг

(1 + г) — вш —

Г(^)

п

НР;Щ = (-1) гдРг>(0);

р=[(п - 1 )/2} + \,... ,п - 1, г = 0,1,... , 2п - 2,

сю 0 0 сю

J! J Мv)dv = Jgp(

(и)

Введем обозначения

гп/^т?) _(4) 2п^}(77) ,(4) 2п1гр} (ту)

/и(ч)= , 4 (??)= ' ^ (??)= р(ьн) '

и1(х,Ц£,т) = {Щх,г;^,т),У1(х,Р,^,т),... ,Уп-1 (х,Ц£,т)}, и2(£,т-,х,г) = {и(^,г,х,г),ш1(^,г,х,г),... (£,т-,х,г)},

п = {/г) м,д{гг (п),...,дп-г (л)}, в^ п = {/0 мАг м,...,^ м}.

Существование решения. Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

д2"«1 * ~ дХ2п '

и} =

д2 пг

дх п

(12)

Я

ии

и

пространства Нр'р/2п(р = 2п1 + 7, 0 < 7 < 1, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

и*(х, О) = <р\(х), и2(х, Т) = <^(х), х > О, (13)

и условиям склеивания

-1 , дки

^г(О^) = к = 0,...,2п-1. (14)

Будем предполагать, что ^(х), ^г(х) € Нр(М). Тогда функции

= - [ ш2{х,г) = - [

п.] п ]

к к

являются решениями уравнений (12) и удовлетворяют условиям (13) М

Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы (12):

г

и}(х, г) = J ^(х, г 0, т)а(т) ¿т + ^(х, г),

°т (15)

и

!(х,г) = / ^2(о,т;х,г)/?(т)¿т + ^(х,г),

где а (г), /?(г) — вектор-столбцы неизвестных плотностей с компонентами ар(г), вр(г), р = ОД,... , п — 1.

Далее покажем, что если введенные нами плотности а(г), /3(г) принадлежат пространству (О, Т) и удовлетворяют условиям

а в>(0) = Д( в> (Т) = 0, 8 = 0,...,/ — 1, (16)

то решения иДх,г), и2(х,г) принадлежат Нр'р/2п, р = 2п/+7, 0 < 7 < 1.

и х, г

принадлежит Нр'р/2п(если

= —— (0,4) € г = 0,... , п — 1, (17)

дхг

и выполнены условия согласования

}гт. ,ч = 0...../,

(18)

Ф«(0) = (-1)^^(0), е = 0,...,/,

ф(8)(0) = (-1 п°+г\о), 3 = 0,...,/ - 1.

Сначала покажем, что условия (18) будут выполнены тогда и только тогда, когда неизвестные плотности а(Ь), [3(Ь) удовлетворяют условию (16). Из (15) имеем г

/дгЦ дг[)

^(0,*;0,т)а(т)<*т+—Ц<М). (19)

о

Регуляризируя интегралы в (19) и интегрируя по частям, находим производные порядка в для Ф((Ь), г = 0,... ,п - 1:

я-1

* оЧ*) = ^МО^-^НОЖ^

з=о

г

^ I ^ (0,^0, г)(а^1) (г) - а^-гЦ0)) ¿г о

+ (-1)^ I [/(0,*;£,0)р?П8)(£)С (20)

*(в) (Ь) = Е Аг(0)«(^(О) (V -

Ц1 2 П ^

2п - г - 1

з=о

г

I ^(0^;0,г)(аМ(г)-аМ(0))йг о

При выполнении (18) из (20) получим систему с определителем Вронского:

ЩАо(0) )• а я)(0) = 0, в = 0,...,/ - 1. (21)

Так как функции /(п), 9р(п), п) линейно независимы [4], вронскиан ^(а4о(0)) не равен О, следовательно, О-^(0) = 0, в = 0,... ,1 — 1. Обратно: при выполнении (16) из (20) следует (18).

Далее, чтобы получить (17), исследуем производные порядка I для Фо(^) и порядка I — 1 для ФД¿), { = 1,... , п — 1. Если а(Ь) € (0, Т), то справедливы следующие утверждения [1]:

г

4- [ и\ (0, 0, (г) — а*-'-1^ (0)) ¿т £ Н^ (0, Т),

dt } о

t

J ^-(0,i;0,r)(a('-1)(r) - a^mdr G ff1+^(0,T),

о

^1(0,t) = (-!)'! J

R

R

Отсюда получаем условие (17).

Таким образом,

если a(t) G Яг-1+2йг(0,Т) и выполнено условие (16), то решение u1 (ж, t) принадлежит пространству ffp'p/2n(Q+). Аналогично показывается, что u2(x,t) G Hp'p/2n(Q+), если неизвестные плотности /3(t) принадлежат (0, Т) и выполнено условие (16).

Из условий склеивания (14) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно неизвестных плотностей a(t),

т.

= (-1)(

г = 0,1,... ,2п - 2,

(22)

/А0(Л)■ ¿(г) + ыг ?пг

О 1

= - / Б0(Г7) дщ ■ т - (~1)"г/21ч (О,*).

— оо 1 V 2п/

При получении последнего равенства в (22) используются равен-

ства

д2п-1Ур(хх, Ь; 0, т)

дх п-

Ыр{т^т = (-1/ др(^¿п,

х=0

д2 п-1 %(0 ,т;х,г)

дх п-

(-1)Нр{

— оо

х

Т

помощи формул обращения оператора Абеля [12,1]

d

¿т

¿ъз (г - ту-Ч (т - О

о о

вш па

г 1 1

, [ 1-—Гл- [ ¿Р = —-ксЫтгжШ + [ Г—")

<йУ (¿-г)1-« У (£-т)а В У иУ

о

1-а

, - ¿Т,

г) т-г

учитывая (11), получим эквивалентную систему сингулярных инте-

г

г

тральных уравнений 2n-ro порядка:

^ Ä0)a(t) + ctg B0)ß(t)

2тг

1 / х 1

1

-1 f

п J

О

t

Bmß(T) d d_ г ф<(т) } т-t aT - dt J ,i-I±i aT'

0 (t-TV 2rv

i = 0,1,... ,2n - 2,

OO

/ A0(n) dn • (a(t)+ ß(t)) = Ф2„-1(t), о

где введены новые обозначения: 2n "

М t) =

Ф2п-1 (t) = (-1)

n

дж®

гр

2пУ

д2

дХ «-1

(0,t) -

дж2 «-1

(0,i)

(23)

Преобразуем правые части полученной системы (23): d Г *о(т) Фо(0) , , [ Ф'о(т)-Ф'о(0)

dtj (t - т) 1-

dT = + 2пФ ¿(0)t£ + I

2 n t1 2n J

0

(t-r)1-*

dr,

t t о о

и обозначим

t

Fs(i) = J

(t -T)1-^

dT,

= -г:

dt./ (t -

dT,

о

Tj 2n (»

d ГФ^rn-ФИM

Gl{t) = (-1)1+V / - 1+- dT,

Л! 1 7 dt. (T_t) i-^r

з = 0,...,/ - 1, г=1,...,2п - 2.

Так как [10] Ф^1 = функции С'Г1^)

{г = 0,... ,2п - 1) принадлежат пространству +^)/2п(0,1), причем (г) = 7)/2п), (г) = 0((1 - ^+т)/2п) для малых г и 1 - г соответственно.

С помощью введенных обозначений перепишем систему уравнений (23)в виде

Л_Ао(0)а(г) + а&£;Во(0)т 1

'т^-гТГ

т-г

_11{г_)^шт11(1т = ^ + 2пФ'0(о)^ + ад,

о г 2п

^ мош + <*8 ^ Д(О)ДО)

о 1 2п

г = \,... ,2п - 2,

оо

/ а40^) ¿п ■ (а^) + ^ = Ф2п-1 (г). о

(24)

Мы должны доказать существование таких решений а(г), /3(г) системы (24) из пространства (0,1), которые удовлетворяют условиям (16).

Предположим, что функции а(г), (3(г) системы (24) принадлежат искомому пространству. Далее, отметим, что определители матриц (см. [4])

/ /''

/ п-

д' дТ

д д

п-

д

д д

дп-1

дп

\

п- п-

дд

д п-

Уп-1 / пх п

дп-1 \ д

дп

д п-п- п п

в нуле отличны от нуля.

На основании этого факта из системы (24) будем иметь, что для того чтобы ¿(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

~if = г = 1,3,... , 2п — 3,

О т"3?Г

/ ÄQ(n)dv • Ш = *2n-i(0). о

Кроме того, должны выполняться условия 1

1

B ¿(0 )ß{l

■ dr = ФДО), i = 0,2,...,2n - 2.

(25)

(26)

При выполнении условий (25) и (26), учитывая, что

т ,i-i+i i+i ' Т — b 2n 7" 2n

систему уравнений (24) можно переписать в виде ^^+ctgüBo(0)ß(t)

_I f^ädMlldr = + F°(i),

о

&m 2n

о

г = 1,... ,2n - 2,

OO

/ ^(n) dn • (ß^) + ß(^ - ß(0)) = о

Полученную систему (28) перепишем в матричном виде:

A.ait) + D^AJit) - i f dT = ^O(t),

о

A2a(i) - D21A2ß(t) + i f Д22(;}_У(Т) dr =

(27)

(28)

(29)

А =

/

/"(0)

51(0)

д'т

\Рп-2)(о) #п-2)(о) ( т от

А =

0п-1(0) \

д'П-М

оП2—2)(0)/ оП-х(о) \

/2 п-3)(0) ^ п-3)(0) ... о(-п-3)(0)

оо _ оо оо

/Яп)^ /Ып)^ ... /°п-1 (п)^

\ о о о

= 1, 2) — диагональные матрицы:

ДЦ = diag < сое

(2 к+ 1)тг ~2п

. (2к+1)ъ Л

1^12 = dlag < вт-- (—)

2п т

й=0,... ,п-1

п Я- ; 2Ь" 1 1^21 = dlag < сое-, —1

п

й=1,... ,п — 1

] . 2ктг -

1^22 = dlag < вш —— • I — \ ,0

й=1,... ,п — 1

(¿), — векторы с компонентами:

п

г = 2,4,... ,2п — 2,

г(1

г = 1,3,... , 2п — 3, в = 0,... , I — 1.

Положим

т = ,

где ^з (— вектор с компонентами:

п I —

вш

2 7Г(1+»

2п

(1 -т)3^

¿т •

вш

г(1+»

2 п /Ой

с?(о), Ф&'^О)

(30)

п

п

г = 1,3,... , 2п — 3, в = 0,... , I — 1. п—

вр(1) = О, р = 1,..., п — 1. Для этого в системе (22) к уравнениям, в которых г = 1,3,... , 2п — 3, применим формулы обращения оператора Абеля [12,1]:

1 1 й Г Л Г г>(£) 7Г

^ у (т-*)1-« у (е-т)° с =

г т

^ А ^ Т "(О - /ч АЛ — т V-а ^т) ,

— / ----- / -—^ = 7Т(Л;е7гт;(г)+ / ---——-(1т.

г

п—

го порядка. Посредством введенных обозначений запишем ее в виде

ШГ1 2п

тг ,/ V 1 / 1

о

г = 1, 3 ... ,2п — 3.

Далее делаем несколько преобразований: во-первых, к системе (31) применяем равенство (27), затем в полученную систему подставляем £ = 0, а также соответствующие значения <3(£) из (28). При этом, имея в виду формулу [13] 1

1 г тр-1 П _ ^

- / -*--¿т = гр-1( 1 - г)«7"1 <^(<7тт)

п .] т — £

о

Г(р)Г(а — 1)

(32) п! (р + а — 1)

получим, что при выполнении (30) справедливы следующие равенства:

1 }А0Щ(1т= < = 1>3>...>2п_3. (33)

о

Заметим, что эти равенства (33) суть необходимые и достаточные условия для того, чтобы вр(1) = 0, р = 1,... ,п - 1, в чем можно убег

венство (30) равносильно условиямвр(1) = 0, р = 1,... ,п - 1.

Далее, введем в системе (28) новые искомые функции в(г) = 3(г) -/3(0)(1 - г). Тогда система (29) в силу формулы (32) примет вид

Ага^) + ВггАгт - ^ I

1 Г Д12(^)Ац5(Т

А2а(1) - 021А2Щ + 1 / Д22(;)А;/3(Т) <*Т =

(34)

где — векторы с компонентами:

[вт —

. ^(1 + г)

, вт ■

п

п

п - - г

-гвВ ((0 )3(0)

г

Г(1

г , , . . . , п - , п

п

п - - г

ттВ г(0 )3(0)

г

г = 1,3,... ,2п — 3.

2п-1(0)

Далее, если / > 1, продифференцируем один раз уравнения (34). Имея в виду формулу [14]

— [^(а,Ь, с;^0-1] = (с - 6, с - !;£),

для правых частей систем уравнений (34) получим

г

п

1

1

п

-1

+ Ф'0(о)г--1 + 2пФЦ(0)г-

вш

2 п

п

г , , . . . , п ,

(£) = вш

п

п

п — — г

ггБ ¿(0 )/?(0)

х я -1 + + + РШ

г = 1,3,... ,2п-3.

Имеем систему уравнений:

+ Б11А1т - ^ } ^

о

о

А2а'{Ь) - В21А2р'{Ь) + ^г11 Д22(;)-12Э(Т) ^

о

(35)

где

= diag{t2" }г=1,3,... ,2п-3, 2/2^) = diag{í , 0}»=2,4,... ,2п-2-

Для дальнейшего нам понадобится одно важное свойство сингулярного интеграла. Если € Н1+7(0,1), то (см. [15,12])

А т-г t l-t / т — £

¿т.

(36)

Краевая задача для 2п-параболических уравнений

47

В силу (36) система (35) примет вид

А1(у.'(г) + DnA^'it) -Цil / dT

i о

УгШ Г VMÏ)A^(r) ^ =

A2a'(t) - D21A2J'(t) + Д22(^тА2Жт) dr

(37)

i

■/ о

-3*®- Г d,T = W'2(t).

Умножим вторую систему уравнений из (37) на [у 2(г)] у'(1)- Тогда получим, что для того чтобы ¿'(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

1 и-22 (т)Л2/3(Т) г , -1 , , _

о

°° _

/ A0 (л) d'n • в '(0) = Ф'2П-Л0) + Ф2„-1(0).

(38)

Умножим первую систему уравнений из (37) па [у' (г)] у' (1). Тог

у'Л 1) Г D^A^ir)

dr=[y'1(t)]-1y'1(l)^'1(t)\t=o- (39)

Так как справедливо равенство

F (a, 1, с;i) — 1 = -iF(a+ 1, 1,с+ 1; t),

c

в силу формулы (36) систему уравнений (37) при выполнении условий (38), (39) можно представить в следующем виде:

1 г £>12Ц)А1Р'(т) , _

A2a'(t) - D21A2f3'{t) + i /

1 Г Д22(|)А2Э(Т

i] T-t

dT^^t),

dr = c^2(t),

(40)

т-t

где — векторы с компонентами:

(£) = вт

п

вт

г(1

п

г

пг

ЗД) = вт-1 ;

п

п

п

п

г , , . . . , п — ,

г , , . . . , п — .

Подставляя значения в'(£) = 3'(£) + /3(0) в систему (40) и имея в виду формулу (32), получим

1 Г £>12(^)А1Д'(Г) , _

¿т =

" 021А2{3>(1) + I /

1 г Д22(±)А2р'(т) , _

(41)

¿т =

Таким образом, мы получили систему уравнений (41), имеющих точно такой же вид, как и первоначальные уравнения (29).

Далее, так же, как и в случае 1 = 1, в системах (41) вводим новые искомые функции /'(£) = /'(£) — /'(0)( 1 — ¿), где /'(0) = А-1^1.

Поступая так же, как в случае 1=1, получим системы уравнений вида (34). Далее, если 1 > 1, то можно еще раз продифференцировать полученную систему (34), и, применяя те же рассуждения, получим систему уравнений (41) для функций а"(£), /"(£), эквивалент-

в

(в = 1,... , 1 — 1) получим систему уравнений вида (29):

А^'Цг) + ОиА^'Цг) - ± I

о

1 Г РМ^Аг/З^Нт) _

¿т = ¿),

А2а^(г) - В21А2р{з\-Ь) + ± /

1 Г Д22(±)А^Чт) _

(42)

¿т = ^К ¿).

тг

тг

Краевая задача для 2п-параболических уравнений

49

При этом для каждого отдельного значения s-й производной (s = 1,2,... ,1 — 2) должны быть выполнены следующие условия:

' £¿lii j в^А^у-^нт dT = 1^М(0) + фМ(0)|

О

°°

I A0(n)dv ■ ^+1Ч0) = Ф<£}1(0),

о (43)

_ymj DMi)AA^4T)-^4o)) dT = _LAJ(S) (0) + ф («+D (0)) о

^ s=l,... ,1 — 2, где

Д( s)(0) = A-1 . (44) Ф í'+1) (0) = (sin ^¡Ф ^ (0)), < = 2,4.....2»-2,

Ф^+1)(0)= (sin Г1} (0)^^(0)), ¿ = 1,3,... , 2п — 3.

Как и выше, первые п — 1 условий го (44) эквивалептпы (1) = 0 при s = 1,... ,1 — 1,р = 1,... ,п — 1.

Отдельно исследуем систему (42), когда s = I — 1. Вводя новые искомые функции в*-(t) = в(t) — вl-1^(0)( 1 — t), получим систему уравнений вида (34). Так как функции aS1 -i), Д(l-D мы ищем из пространства ff1+^)/2п5 из первого уравнения полученной системы следует, что должно быть выполнено условие i

ВотГЗ^Цт) J . тг ---dr = sin —

i+A 2 n

.) T' 2

o

.

Тогда при выполнении (45) в конечном итоге придем к системе уравнений

Аа^Цг) + в^Аг^Чг) - 11 Лт = ^

о

А2а^(1) - В21А2[3^(1) +1 / »^А^Чг) Зт =

о

(46)

где

Б ( — | = diag < —, 1

и функции

Д (г) = (вт

2п

4п2

2п — 1 1

2п

вт

г(1-

2п

1

2п' 4п2

(2п — 1 — г)(1 + г

-В¿(о )/ г-1)(0)

л , „ I + г)

ШП- 1 '

г = 2,4,... ,2п — 2, 4п2

2п

хЯ-1 + ^,1,1

(2п — 1 — г)(1 + г

1 + г м .

-В¿(0 )/ г-1)(0)

2п-1(0)

2п

г = 1,3,... ,2п — 3.

принадлежат пространству Д^1+7)/2п(0,1), причем ^1,2 (£) = О для малых г.

Перейдем к доказательству существования функций (г),

/(г) го пространства Н1в полученной системе уравнений (46). Так как определители матриц А и А не равны нулю, то, исключая <3((г) из системы (46), имеем

КР = Ат - 1 / = ф), (47)

п } т — г о

где /?(г) — вектор с компонентами (/р ^(г)), р = 0,... ,п — 1, а матрицы определяются следующим образом:

А = А- А + А- А,

в(г, т) = А^В12 ^ В Аг + А^В22 ^ Аъ Ф(г) = А-1^1 (г) — А- (г).

Систему сингулярных уравнений (47) можно переписать в виде 1 ^ 1

Кр = Ар$)-- [ [ М(*,т)Д(т)<*т = <?(*), (48)

п } т — г п ,/

о о

где

в = м^т) = в-в{г:т).

т — г

Для того чтобы выделить характеристическую часть оператора К в общем случае, перепишем систему сингулярных уравнений (48) в виде

В-1 К3=В-1Д(г), (49)

и, пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [12,16,3], выделим характеристическую часть К0 оператора |В|В-1 К системы уравнений (49) [4]:

1 ^

К°Р ее Ет + (~1)п+1д / ^ ¿г, (50)

п ] т — г

о

где Е — единичная матрица. Полученную систему сингулярных интегральных уравнений

К0/? = <5, <5=К*|В|В-13 — к/ (51)

,

Для этого введем кусочно-голоморфную функцию

т^ 1 /■ Д(т) л

2пг ^ т — г о

Тогда система (51) примет вид [12,16]:

( Ф+(*) = + О < * < 1,

1

(52)

Ф+(г) = Ф-(г), г<о, г>о.

Решения уравнений (51) эквивалентны решению задачи Римана (52) при дополнительном условии Ф(то) = 0. Так как

1 + (-1 )пг

9 =

ехр

- - пг

1пд \ Г — если п нечетно,

27тг У т — г I [г * (г — 1) *, если п четно, о

в указанном классе каноническая функция имеет вид х(г) = — если п нечетно, и х(г) = — 1)^, если п четно, индекс задачи (52) к = -1. Согласно общей теории [12,16]

1

2пг У (1 + г)х+(т)(т - г) о

при условии

Тогда

1 ^

[ т*г = 0. (53)

У Х{т) о

т = «+(0 - «-(о = + (-1)»^/ (о4)

о

Формулы (53) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности /3(г) при г = 1.

Подставляя в (54) значения 0(г), приходим к системе уравнений Фредгольма

Ф+К **кф=$ *, (55)

где

1

К**кф =1 J ЛГ(*,т)Д(т)йт.

о

Краевая задача для 2п-параболических уравнений

53

Всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (55) будут, очевидно, принадлежать пространству Гёльде-ра во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В самом деле, функции <<* удовлетворяют условию Гёльдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов, функция Ы(г,т) имеет интегрируемые особенности при г = т во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши на концах контура интегрирования [12,16,1], легко вывести, что Ы(г,т) на концах {0,1} будут вести себя как

¿3(1-¿)! или ¿4(1 -ф,

а << * — как

иди ¡„{1,1^}-^

причем соответственно [16, §51] р(г) принадлежит пространству Н 2п (0,1 — 5) или пространству Н 2п 1)5 где е, 3 — положительные фиксированные малые числа.

Таким образом, ядро Ы(г,т), имея подвижные и неподвижные бесконечности порядка меньше единицы, удовлетворяет всем условиям,

которые накладываются на эти функции в теории интегральных урав-

§

т

указанных свойств ядра М(г, т) и свободного члена <3 * следует, что всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фред-{ , }

п п

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [6]) и из того, что

. [11+7] 1+7 / ^^

следует, что решение уравнения Фредгольма (55) принадлежит пространству Н 2п (0,1) и обращается в нуль на концах отрезка (0,1).

Таким образом, при выполнении условий (25), (26), (38), (39), (43), (45) система уравнений (55) эквивалентна исходной системе уравнений (22).

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (53) следует из единственности решения основной задачи (1)-(3) и однозначности представления их через потенциалы. Значения функций /?(8 (¿) определяются по формуле Тейлора

в

= 0,... ,/-2.

Тогда для выполнения условий (1) = 0 при в = 0,... , / — 2 необходимо и достаточно, чтобы

й-8 о

, . . . , / .

Подставляя значения функций /?(8(£) в условия (25), (26), (38), (39), (43), (45), (57), получим 2п/ условий разрешимости задачи (1)-(3) в пространстве щи п ^4. Эти условия, очевидно, имеют

вид (4). Отметим, что в силу равенств (30), (44) вторые уравнения в условиях (25), (38), (43) выполняются автоматически.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Монахов В. П. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

3. Векуа П. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

4. Попов С. В. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 93-112.

5. Попов С. В., Потапова С. В. Гёльдеровские классы решений 2пиараболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 5. С. 594-596.

6. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 84-100.

7. Потапова С. В. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 44-67.

8. Cattabríga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28, N 2. P. 376-401.

9. Cattabríga L. Equazioni paraboliche in due variabili. //I: Rend. sem. fac. se. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, N 1-2. P. 48-79; II: Rend. sem. fac. se. Univ. Cagliari. 1962. V. 32, N 3-4.

10. Солоппиков В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

11. Ладыженская О. А., Солоннпков В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

12. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

13. Вейтмен Г., Эрдейп А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

14. Смирнов M. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985.

15. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.

16. Мусхелпшвплп П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Якутск

9 февраля 2009 г.