Гельдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением эволюции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ГЕЛЬДЕРОВСКИЕ КЛАССЫ РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ШЕСТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ*)

С, В, Потапова, С, В, Попов

Рассматриваются параболические уравнения шестого порядка с меняющимся направлением эволюции, связанные с применением теории сингулярных интегральных уравнений [1—4], а также систем этих уравнений [5,6].

В области ^ = П х (О, Т), П = М, рассмотрим уравнение

sgn хщ = Ьи, (1)

где

д ( дги\

Ьи = —- ( к(х, з ) + с{х: к(х,Ь) ^ 6 > 0, с(ж,£) ^ 0.

Решение уравнения ищется из пространства Гёльдера НХ'р/, р = 6/ + 7, 0 < 7 < 1, удовлетворяющего следующим начальным условиям:

и(х,0) = ^(х), х > 0, и(х,Т) = фъ{х), х < 0, (2)

и условиям склеивания

дки дки

^(-0,0 = ^ — (+0,*) (Л = 0.....5), (3)

Работа выполнена при финансовой поддержке научной программы «Проведение научных исследований молодыми учеными» Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ (код проекта 2006^ РИ-19.0/001/711).

© 2007 Потапова С. В., Попов С. В.

где а^ — действительные постоянные, / — целое число.

Общие условия сопряжения для параболических уравнений четвертого порядка исследованы в работах [7-11], и для них были найдены зависимости показателей гёльдеровских пространств от весовых функций склеивания (сопряжения). В частности, в работах [9-11] замечено, что при р — р] ^ 1 — 40(стй) > 0 гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных начальных данных. Цель настоящей работы — показать, что гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением эволюции также существенно зависят от нецелого показателя Гёльдера и формы условий склеивания при выполнении необходимых и достаточных 6/ условий па фк-

Для однородной задачи (1)-(3) имеет место тождество

д

м^пхщ - Ьи) = sgnж-^■ + &0М) ~ с0М)г

д ( д2 / / ,дъи\ ди д (,. , д3и\ д2и дъп\ --,/. -- к т. ---- — к т. - -I--- к т. -

дх\и'д^ )~~д~х"д~х ) + кМдо* у

(4)

Интегрируя тождество (4) по области Q+ = {(х,Ь) : х > 0, (х, ^ € ^^^ ^^^^^ то области Q- = {(х,Ь) : х < 0, (х,Ь) € Q} и используя соответствующие начальные условия и условия склеивания, например, при выполнении условий сто = а = а = 1/а = 1/^ = 1/05, получим

Л к(х, £) з^ (1хаЛ — 11 с(х^)и2 (1х(И

>

J и2 <1х +J и2(х, Т) (1х = 0. (5)

Я 1

Из (5) легко видеть, что если с(х, < 0, то сразу получаем и(х, = 0 в <5. Случай с(х,Ь) <г: 0 сводится к предыдущему заменой и(х,Ь) = е где 7 > 0. Отсюда в силу однородных краевых условий (2)

и уравнения (1) следует, что и(х,Ь) = 0 в <3.

Прежде чем приступить к доказательству существования решения поставленной задачи, приведем для уравнения

ди дъи

аь ^ =0 <6>

фундаментальное и элементарные решения Л. Каттабрига [12,13]. Эти решения для уравнения (6) имеют вид

I о, г < т,

(7)

10, г ^ т,

_ } (4-т)!/е ПР

о, г < т,

р,

Функции /(п), др(п), Ъ,р(г/) являются решениями уравнения

^(л) + тАл) = о, (8)

6

где

с

/(л) = ! е-Х сс®(Х^) ¿Х, —ж < п < + то. о

Функции др(г/) имеют вид

сю

у —аа1п(Ьх.п) + Ьиза(ЬХч)) ¿Х,

о

сс

! е-хв [(асов(ЬХп) + Ьаш(ЬХч))е-аХп — зш(Х^] ¿Х, о

^3 1

а=—, о=2' V > -оо,

а Нр(ц) = др( —ц), п < + ж. Очевидно,

о

^(0) = ( —1)вдР^(0), | М= | др(^Зщ. (9)

с

Для фундаментального и элементарных решений справедливы оценки [12,14,15]

Qk+j

r[U(x, t; г), Vp(x, t; т), Wp(x, t; r)]

dxk dtj

<

C

■, i i+fc+63

\t-T\ 6

exp -C2

li-

re

(10)

при (Т^ТрТб > -00 для Vp(x, t; т) и при (t*T)f/6 < +00 для Wp(x, t; т) CC

Имея в виду, что

9р( v)dv =

J f(v)dr] =

о

оо _ л

f^—dX = arctg| = f,

о

ОО _ ч _

/ С08(Л)-с08(ЬЛ)е-° dx = ы J^V = ln 1 = 0,

получим

оо

gi(v) = J e-^-^sin^-bAry

оо

92(п) = J e-

dX,

cos [ ^-bXr] )e-aXv -sm(Xr])

dX.

Тогда нетрудно проверить, что

fJ> 0) = cos---f—,

2 6

g[j)(0) = -1 )j sin

lv + 1)

r(

1+.7

^j)(0) = ^(-1 j cos

— sin ■

nj } Г(

'1+i

6

где j = 0,1, 2, 3, 4. Заметим, что если ввести обозначения

= = р= 1,2, J = 0,1,2,3,4, (11)

А

то справедливы следующие соотношения:

/Л(0) = /4-Л(0), ¿ = 0,г, рЩ = 1,

91 = д(-)(о), ^ од, ^^ (о) = 1,

92{Л(0) = 4-^0), з = 0,1, 2, д^О) = 0.

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

( д6 \

и\ = Ьи1, — и"1 = Ьи2 Ь = —- (12)

в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

Щ(х,0) = ^(х), Щ(х,Т) = ^(х), х > 0, (13)

дк_1 дки2

— т = *к(-1)к—I) (к = 0,... ,5). (14)

Будем предполагать, что х) € Ир(М) (г = 1,2). Тогда функции

к (15)

ш2{х,1) = ^ I Щ£,Т-,х,

к

являются решениями уравнений (12), удовлетворяющими условиям (13) М

Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (12):

г

и

(х,г) = / и(х,г;0,т)ао(т) ¿т + ^^ / Ур(х,г;0,т)ар(т) ¿т + шх(х,г),

р

т 2 т

{х,г)= / и(0,т;x,г)fo(т)¿т+ Шр(0,т;х,г)вр(^¿т+ ш2(х,г),

г р=Ч

и

где и — фундаментальное решение, Ур, Шр — элементарные решения Л. Каттабрига [12,13].

В силу общих результатов [14,15] о плотности а.к, вк (к = ОД, 2) должны принадлежать пространству Нч(0,Т) (</ = причем

ак8)(0) = вк'] Т) = 0 (В = 0,...,/ — 1).

(17)

Из условий склеивания (14) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно ак, вк-

г 9 г ■1 (£ — г) е ___л .!

р

Р=1 о

т

-г) е охз

/№(0) / тЩп*

.] (т-г) е

р

(т-г)1^- ' дх?

(¿ = 0,...,4), (18)

СЮ ^ сс

/ * ^ Г

/(г])(1г] + ^2 ар(г) / др(г])(1г1 -о р=1 о х

о 2 о

+ а5 Ш I /(^ + ¿/3^) I М)

.

При получении последнего равенства (18) использовали равенства

дх5

о т

ар(т)3,т = —а.р{Ь) / д^

х=0

д5%(0 ,т;х,г)

дх5

в^т)3,т = —вр(г) / М

х

= а

л

г

Для удобства записи будем считать T = 1. Из уравнений (18) при помощи формул обращения оператора Абеля [1,3] получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравнений шестого порядка:

. L+j) аз w+^ Bj (t)

sin g 0

i t

7Г J t т-t dtj (t-T)1 6 (19)

3(a0(t) + ^ßo(t)) + a(t) + °bßi(t) = -Фб t,

где

6

Ф,-(г) =-тх-

Ü = 0,...,5),

2

Aj( = jo + E ы t

P=i

Bj{ ßt) = jo )m + E 4P(°

P=i

Введем обозначения:

Foit)-J -^f-F^-dtJ (t-гГ-Ч*- dT>

о 0 4 7

F${t) = Ф«(*) - Ф«(0), Gj(t) = / y_t)1J+; V

(i = 0,...,l - 1, = 1,...,4).

Так как [15] Ф^1 = 1 + то функции ^(t), Gj^t)

(fc = 0,..., 5) принадлежат пространству Н10,1), причем F¡Г1 (t) = 0(i(i+7)/б); G-1(t) = 0((1 -t)(1для малых t и 1 -1 соответственно.

/ 91 92

/2 д" д2

/1У д(у д-Т

Легко непосредственно проверить на основании (9) формулы Ли-увилля и то, что определитель Вронского от решений /(ц), др(ц), Нр(ц) (р = 1,2) однородного линейного уравнения (8) отличен от нуля и что определители матриц

д{ д2 д'С д22

У2 /

в нуле также отличны от нуля.

Мы доказываем существование решений аг, вг системы уравнений (19) из пространства Н4 (д = (р — 5)/6, р = 61 + 7, 0 < 7 < 1), удовлетворяющих условиям (17).

Предположим, что функции аг, вг принадлежат искомому пространству. Тогда из второго, четвертого и шестого уравнений системы

аг

чтобы

} В3 Ш)

¿т = Ф;(0) (¿ = 1,3),

7г У ^ ' " ' " (20)

-ст5(Зво(0) + в1(0)) = Ф5(0).

Из первого, третьего и пятого уравнений системы (19) вытекает выполнение условий

-^/«^(0) О" =0,2,4). (21)

"и те

О

При выполнении условий (20), (21) систему уравнений (19) можно переписать так:

1 „ , . ^ о <*> } (гув0(/з(т))

о

вш

¿и МФ)) + ъ вЛт

1 1 + 3

^ [ ¿у В0(т))

п У \т/ т — * о

= ^ (Ь) (¿ = 1,...,4), (22)

-3Ы*) + - ) - («1(Ъ) + стбА(0) - ^(¿)) =

Система (22) имеет вид

1

А1а(г) + АгБцАг/З^) - ^ J

о

1

- А2В21А2/3(г) + ^ У

1 =

(23)

1 =

т-Ь

где — векторы с компонентами а-(Ь), ^(Ь) (] = ОД, 2) соот-

ветственно;

/ / 91 92 \ 91 92

А = | /" 91' 92 I , А = и 91" 92" I , V9Г 92/У/ \3 1 О

Е- (гД = 1, 2) — диагональные матрицы:

сов| О О Ец = | О О О

О 0 соз^

/зш !•(!)' ^12 ( - ) = О

^21

вт ■

Ь

\ О (

- =

О

V о

ст0 О О О ст2 О О 0 ст4

/ сое 7Г 3 0

| сое ^

V 0 0 0

1)1 0

вт 5 ТТ / 4 6 ' 1т

0

! 2ТГ / 2 П5 :)

1 3 V 0 г/

0

|ст | ст 0 I

\о 0 ст

Положим

в(0) = Л-Ж30, (24)

где

П = МЛ, ^33 ) = Г" ^ +

.<*т + С°(0) , --Ф5(0) | . о-зтг (1-т)зт / 0"5

Легко показать (см. [9,16]), что первые два условия (24):

(д'2 д2 У1 (^(*)

эквивалентны условиям в\(\) = вг(1) = 0.

Введем в системе (22) новые искомые функции

в{±) = р{±) - т( 1-

Тогда система (23) представима в виде

АМЪ + ЬПпАМ-- ) =

^ т - Ь

о

А2ф) ~ А2 А2Щ + 1 / А2Д22(^2^(Т) Аг = ЖМ,

^ У т - Ь

о

(25)

где

(*) =

' -7,2зш |<7ОД>(/?(0)И-§, 1, О*® + бшп | Ф^(0)^ + зш |' -4шп§а2В^(/3(0))^(-§,1,§;ф1 -7, 2зш ¿а4Во/1/(/3(0))^(-|, 1, £; ф§ + зЬ ^

_ -4,5smfa1B^(/3(0))JF1(-|,l,|;t)ti + sin fF°(t) \

jT2(t) = ( _4,5smfa3B»(/3(0))JF1(-|,l,f;t)tt+smfiJ(t) .

(3a53o(0) + a53i(0))t - F°(t) J

Имея в виду формулу [17]

— [F{a,b, c;t)t ] = (с - l)tc-2F(a, 6, с - 1; t),

(26)

получим

sinf^oW

f-7,2smfaoBo(im)F(-l,l,l;t)t-il+sm^'o(0)t-i\

+6шп|Ф^(0 )ti -4sinfCT2B^(/3(0))F(-f,l,|;i)i-t(i)

-7,2 sin 1.15 |

sin

f F}(t)

sin tfFi(t)J

2

/-4,5sinfa1B^(/3(0))JF1(-|,l,|;t)t-^f \

+ sin|$i(0)i"6 + sin ^F^ (t) K>(i) = -4, 5sinf azB^'(m)F(-l 1, f tf

\ 3a53o(0) + a53i(0) - ВД - Ф 1(0) )

Далее, если l > 1, то возьмем производные в системах уравнений

(25):

V(i) + alDllAl-№ - Ш i dr

т-t

yi(t)d (27)

П

dt

т-t

о

A3a>(t) - A3lW(i) + ^ [ А2Д22(^ЖГ) dr

т-t

П

dt

т-t

о

где г/1 (£) = (4в,4в,4в), у2(4) =

Для дальнейшего нам понадобится одно важное свойство сингулярного интеграла. Если € Н1+7(0,1), то (см. [1,18])

(28)

(И } т - Ь Ь 1- Ь } т - Ь х '

о о

В силу (28) из второй системы (27) следует, что для того чтобы

а2г

у'2( 1)} Ам^мт

--/ -1-¿т = У4(г) ■ ж2(щ=0,

п у т (29)

За5в'(о) + ^вМ = з^во(о) + ) - ф2 (о),

где г/4(4) = (43,43,0).

Из первой системы уравнений (27) следует, что

у[( 1) ¡АгГЫ^Аг^ ,

- / -1-ат = уз(4) • ^(4) 4=0, (30)

п } т

о

где уз (4) = (4е ,4е,4г).

Так как справедливо равенство

^(а,1,с;4) - 1 = — 4_Р(а + 1,1,с+ 1;4), (31)

с

то в силу формулы (28) систему уравнений (27) при выполнении условий (29), (30) можно представить так:

Ага'® + А Л^) --) ^ = #

п .1 т - г

° , (32)

Аа«'(*) - А2В21А2т + Ш Г Лт = Ш

п ] т - Ь

о

где

w:

(t)

'6 sin ZaoBo(f3(0))F(l, 1, t)t* + 6sin f Ф"t* + sin f F¿{t)' 2 sin f a2 ВЦ (/3(0)) í1 (|, 1, |; t) t § + sin f F¡ (t) 1, 2sin ¿a4Boíl/(/3(0))í1(|, 1, t)t§ + sin ^(t)

3sin f CTlB¿(/3(0))F(§, 1, |; í)íf + sin f ВД

^2(í)= | l,5sinfa3B¿'(/3(0))í1(|,l,f;í)í5+sinfí131(t) 3a5í3O(0) + a5í3i(0) - F¡(t) - Ф2(0)

Подставляя значения (t) = вг'(t) + А(0) в систему (32), получим + AiDuArf'it) - - f AlJl2(-)Al/?/(T) dr =

к J t - t o

A2a'(t) - A2AiA2/3'(í) + 1 í dT =

к J t - t

o

(33)

Таким образом, мы получили для а' (Ь) и в' (Ь) уравнения (33), имеющие точно такой же вид, как и первоначальные уравнения (25). Легко видеть, что при выполнении условий

.rn Г dr = _ w.,(0)+*(.+i>(0)

к J Т

о

^А '+Ч(0) = -ф£'+"(0), (34)

к

о

s=l,...,l - 2,

ф(8+1)(0) = (Ф<,я+1)( 0),Ф £s+1)( 0),Ф 1^0)), (35)

ф(8+1) (0) = (ф (0),Ф <я+1) (0)) (36)

мы придем к системе уравнении

а««->(*) + длм^'м -1 [ ¿г =

(37)

т-г

где

в ^(О) = А-1^,

(38)

^з —

вт

т

ахп

(1 — г)з г

'—¿т + ацо)

вт

2 2тт

РЦ т)

1

агп

,л ■З.т + СЦ0)1 -^Ф^(О)

(1 — г) 3 Г I

в = 1,...,/ - 1.

(39)

Заметим, что, как и выше, условия (38) эквивалентны в^(1) = 0 при в = 1,...,/ — 1. Далее, вводя новые искомые функции ¡3^' ^ (г) = -г), <73/#_1)(0) = |фГ1}(0) в систему (37), получим уравнения вида (25). Так как функции ^ мы ищем из пространства Н1то из первого уравнения полученной системы уравнений следует, что должно выполняться условие

В1-Щт))

т7/6

Зт = 7,2а0Б1-1 (т) — 6пФ). (40)

Тогда при выполнении (40) в конечном итоге придем к системе уравнений

Агаг + д^нАв '-1) г

1 ) А1А2(1)Д(^Д1/3(г-1)(г)

т-г

(41)

п

A2a{-— (t) -АDAß-t

п J т - t

о

где

»(МП:

и функции

_ /-7,2smfaoßi_1(/3(0))[JF1(-|,l,|;t) - l]ts + sin f f1^1 (t)' -4sinfa2ß,"_1(/3(0))i1(-|,l,|;t)ti+sinfi^-1(t) V _7,2sinfa4ßin/1(/3(0))JF1(-|,l,f ;t)tf +sinf ^(t)

_ / -4,5sinfa1ß,'_1(/3(0))JF1(-|,l,|;t)ti+sinfi11i-1(t) jT2(i) = -irosm^B^ißlOm-l^^f^tl+srn^F^it)

V + - F—(t)

принадлежат пространству Д"(1+т)/6, причем ^(t) = (к = 1, 2)

t

Перейдем к доказательству существования функций а4 ^ (t), ßf ^ (t) го пространства H1в полученной системе уравнений

(41)-

Исключим а4 ^ (t) из системы (41). Имеем

Kß = Aß(t) - I Г ^llM dT = Q(th (42)

п J т - t о

где

ßt= (ßt1} (t)Ji— tJi— t), A= (aj, B = B(t,t) = (hj), здесь

an = - a4) - a5, a12 = —(VS- a4 - o"i + a3 - 4a5),

о 12

аi3 = + а/3a4 - o"i - a3), a21 = - 04),

«22 =

- л/3а4 + 3о"! - Зст3), а2з = -(«то + °4

12

а31 = т^0"0 + °"4)' а32 = + 3(74 + +

азз = ^(л/Зао -

< — <3)

Ьц = ^(оо + 2сг2 + сг4), Ь12 = ~ 4сг2 + о"4 - л/3<Т1 - л/3 аз),

л/3 1

&13 = Т7Г (°"о ~ °"4 - л/3<71 + л/Зсг3), Ь21 = -(о"0 - 4а2 + 0"4), 12 6

Ъ22 = + 8а2 + сг4 + Зл/Зо"! + Зл/Зстз),

Ъ23 = - сг4 + ЗА/ЗО"! - ЗА/ЗО"з),

&31 = о - сг4), &32 = "гдт(°"0 - 0"4 + а/Зо"! - а/ЗСТЗ),

2 а/3 " 4 А/3

-(«то + о"4 + л/3<Т1 + а/3<тз)

дг = г — а2-^2 г,

7

матрица В(1,т) получается от матрицы В(1,1) заменой а0 на а0 • ¿•+1

и <7д- настд • (£) 6 и = 1,..., 5).

Систему сингулярных уравнений (42) можно переписать так: 1 ^ 1

Кр = Ар{г)~— [ + - ( М$,т)р(т)<1т = <Э$), (43)

п . т-г п I

где

И(г,т) =

в - в(г,т) г-г

Отметим, что при = 1 (у = 0,1,..., 5) матрицы А и В таковы:

А =

/2 _1 _ VI з 6 6

О

1 5 | уз

\ о о I -I. ^

5 + УЗ д

3 6 2 и

при этом характеристическая часть оператора K будет иметь вид

i ^

К°[3 = Ep(t) + - [ dr, (44)

п J т — t о

где E — единичная матрица.

K

в общем случае, перепишем систему сингулярных уравнений (43) в виде

B—Kp=B— Q(t) (45)

и, пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [1,2,5], выделим характеристическую часть K0 оператоpa \B\B-K системы уравнений (45):

i ^

ее aEp(t) + — [ dr, (46)

п J т — t о

где

a = —3 А3А2А12 + ЗА3А2А22 + A3A1A12

— А3А1А2 — 3\B\2 А2 — \B\2 А 22, b = А3А1 \B\+ А3А2\B\ + \B\3,

\B\ = det В = —[6<t0<t1<t3 + 9<to<t20"4 + 3<ti<t20~3 + 6<t1<T3<T4 O0

+ V/3(<To<Ti<T2 + 2<TOO"IO"4 + 4<T0<T2<T3 + 2<ТО0"З0"4

+ 4<71<72<74 + <2<3<4)]-

a/3

Ац = ЗА2 = "7г7г [6<T0<t1<t3 — 6<t1<t3<t4 — 6<T0<T3<t5 — 6<t1<t2<t5 — 6<T2<T3<T5

36

— 6<T1<T4<T5 + а/3(<То<Т i <t2 + 2<То(т2(т3 + 2<То(т1(т4 ~~ 2<То(т3(т4 ~~ 2<Ti<T2(t4 — <2<з<4 — 7o<4<5 — 2<O<2<5 — — 9<1<3<5)],

a/3

Аз = A23 = -TZWQO'IO'2 + 4<To<T20"3 + 2(T0(Tl(T4 + 2<TOO"3<T4 + 4<T1<T2<T4 36

+ <т2<тз<т4 + a/3(3o"oo"20"4 + 2oo°"l°"3 + 2сг1сг3сг4 + <t1<t2<t3)],

л/3

А21 = ЗА22 = Зсго°"1°"5 + 6сго°"з°"5 — 6а1а2сг5 + — 6о20"з°"5

36

— 3<T3<T4<T5 + л/з (<T0<t1<T2 — 4<ТО(Т1(т4 + 2<То(т2(т3 +4<ТО(т3(74 — 2<т 1<т2<т4 —<t2<t3<T4

— < < < < < < — < < < ,

А31 = "7Г7Г [—+ 2<T0<T2<T3 + 4сг0СГ1СГ4 + 4<То<тЗ<т4 + 2<Т1<Т20"4 — 36

< < < < < < < < < — < < < — < < < — < < <

+ л/з (6<T0<T2<T4 + 6<T0<T2<T5 — 6<T2<T4<T5)],

А32 = — [9<То°"20"4 + 2<То°"1°"3 + 0"10"20"3 + 2<T1<T3<T4 + <То°"1°"5 + 2<То°"3°"5 36

+ 2«275 — — 2<71<74<75 — 7з<4<5

+ л/3(2<То(Т2(Т3 + 2<То(Т1(Т4 + 2<Тоа"3(74 + 2<71<72(Т4 + 2<7о(72(Т5 — 2<T2<T4<T5)],

А.

Полученную систему сингулярных интегральных уравнений

К0р=С, С=К *\В\В2 д — кр (47)

,

Для этого введем кусочно-голоморфную функцию

1 } Р(т) л

Ф(г) = - / 4 у ¿т.

К ' } т-х

о

Тогда система (47) примет вид

ф+(;) = ^ф-(+ (о <;<!),

^ а + Ьг 4 л

Ф+(г) = ф-г, г<о,г>о.

Решения уравнений (47) эквивалентны решению задачи Римана (48) при дополнительном условии Ф(то) = 0. Так как

а + гЬ 2 п

а

Ь

I :т- / I =А*-1Гв1

в указанном классе, в случае, когда а и Ь одного знака, каноническая функция х(г) равна г01 (г - 1)1-01, индекс к задачи (48) равен -1. В случае же, когда а и Ь разных знаков, каноническая функция х(г) равна г1 -вг (г - 1 )01. Согласно общей теории [1,2]

1

2пг У (а + Ьг)х+(т)(т - г) о

при условии

Тогда

о

= -#-(,> = ! ам + ^/Л^у. (ад

о

Формулу (48) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности /?(Ь) при Ь = 1.

Подставляя в (49) значения С?(Ь), приходим к системе уравнений Фредгольма

** 0=$ *, (50)

где

1

К**к[3=- J Л^,т)Д(тЫт. о

Всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (50) будут, очевидно, принадлежать пространству Гёль-дера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В самом деле, функции * удовлетворяют условию Гёльдера во всех точках контура

(0,1), отличных от концов, функция N(1, т) имеет интегрируемые особенности при Ь = т во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши на

концах контура интегрирования [1—3], легко вывести, что на

,

¿-е{\-ф+е или ¿+е{\-ф-е,

а <3 * — как

или ^(1

причем соответственно [2, §51] (¡(Ь) принадлежит пространству

1-1-у у

Не (0,1 — 5) или пространству Н е (5,1), где е, 3 — положительные фиксированные малые числа.

Таким образом, ядро N(1, т), имея подвижные и неподвижные бесконечности порядка меньше единицы, удовлетворяет всем условиям,

которые накладываются на эти функции в теории интегральных урав-

§

т

указанных свойств ядра ^Ь, т) и свободного члена <3* следует, что всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фред-гольма (50) на концах 0, 1 ведут себя как

аЬ

аЬ

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [19,20]) при выполнении неравенства ^г1 < §■ — в, т. е. при 7 < 2 — 6в (в < |), получим, что решения уравнений Фредгольма (50) принадлежат пространству Н е (0,1)

и обращаются в нуль на концах 0, 1 порядка -4р- Кроме того, решения уравнений Фредгольма (50) удовлетворяют условию

Гёльдера с показателем \ —0 при 2 — 60 < 7 < 1 (|<0<|)п условию Гёльдера с показателем \ — В — е при 7 = 2 — 6д. Отметим, что

1 1 + 71

если 0 < д < то —-— < - - 9-, 6 6 2

7

если ™ —>-2~е■

Таким образом, при выполнении условий (20), (21), (29), (30), (34), (40) система уравнений (50) эквивалентна исходной системе уравнений (18). При этом укажем на выполнение условий

з<0я)(0) = —75Г4^(О) ^^(0), вв)(1) = о, ^8)(1) =0(* = 0,1,...,/— 1), в 21)(1) = 0.

Заметим, что значения в^(0) определяются по формулам (38).

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (50) следует из единственности решения основной задачи (12)-(14) и однозначности представления их через потенциалы. Значения функций (3(^ (г) определяются по формуле Тейлора

*"<«>=£ +/«-

к-в 0

в = 0,...,/ — 2. (51)

Тогда для выполнения условий ^(1) = 0 при в = 0,...,/ — 2 необходимо и достаточно, чтобы

(52)

к—а 0

з = 0,...,/ — 2.

Подставляя значения функций в^(г) в условия (20), (21), (29), (30),

/

пространстве ■ Эти условия обозначим так:

Ьа{ ^,^2) = 0, в = 1,...,6/. (53)

Итак, доказана

Теорема. Пусть щ,^ € Нр (р = 6/ + 7). Тогда при выполнении 6/ условий (53) существует единственное решение уравнения (12), удо-

I'. Н >'Г/<П/ ¡'.¡П НИ! Ч> \7С 1П!'.Г1<,1 \ I ( 1 .'1 1 ( 1 4 1 ГГ! ПГ\ПГГГГ\ЯПГГГТ*Я (й = — ;1ГГ1 (П —

жительная постоянная.

Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при в ^ то единственное решение задачи (12)—(14) существует из искомого пространства И1рр,Рр/ при выполнепни 6/ условий (53).

Замечание 2. Если выполнены условия теоремы при в ^ то, как показано в [7,21], единственное решение задачи (12)—(14) существует из искомого пространства Нр'р/6 при выполнении 10/ + 2 условий вида (53).

Пример 1. Для системы уравнений (12) с начальными условиями (13) рассмотрим условия склеивания (14) при а^ = 1 (] = ОД,..., 5). В этом случае система сингулярных уравнений (47) будет иметь вид (см.

и мы находимся в условиях доказанной теоремы и единственное реше-

/

Пример 2. Для системы уравнений (12) с начальными условиями (13) рассмотрим условия склеивания (14) при <г0 = <г2 = аз = <г5 = 1, а = <4 = — 1 .В этом случае система сингулярных уравнений (47) будет иметь вид

(42))

о

¿т = О.

о

В этом случае 9 = ^ arctg « 0, 023 < | и мы находимся в

условиях доказанной теоремы и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 6/ условий (53).

Пример 3. Для системы уравнений (12) с начальными условиями (13) рассмотрим условия склеивания (14) при сто = = °~2 = о~з = = = 2. В этом случае система сингулярных уравнений (47) будет иметь вид

1261515+ 7319120V3 ^ . 302107 + 175437лД } Д(т) ,

-fj(t)--/ -ат = G.

2654208 ; 5971968тг J т -1

о

В этом случае в « 0, 49 > ^ и мы находимся в условиях замечания 2 и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 10/ + 2 условий вида (53).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

3. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

4. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

5. Веку а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

6. Попов С. В. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 93-112.

7. Popov S. V. Parabolic équations of the fourth order with varying évolution direction // Мат. заметки ЯГУ. 2001. T. 8, № 2. С. 112-133.

8. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002. С. 162-175.

9. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 84-100.

10. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

11. Попов С. В. Контактные параболические краевые задачи в гёльдеровских пространствах // Неклассические уравнения математической физики: Тр. семинара, посвященного 60-летию проф. В. Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2005. С. 219-230.

12. Cattabríga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. v. 28, N 2. P. 376-401.

13. Cattabríga L. Equazioni paraboliche in due variabili. // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ. Cagliari. i: 1961. v. 31, N 1, 2. p. 48-79; ii: 1962. v. 32, N 3, 4. p. 254-267.

14. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

17. Смирнов M. М. Уравнения смешанного типа: Учеб. пособ. для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

18. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.

19. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. 1991. Вып. 102. С. 100-113.

20. Пинигина П. Р., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 71-82.

21. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. «Сиб. мат. журнал». Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-В88.

г. Якутск

6 декабря 2006 г.