РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 2N-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ПРИ n>=4 С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 2п-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ПРИ п >4С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ*) С, В, Попов, А. Г, Синявский

Известно, что для параболических уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежности решения гёльдеровским пространствам [1]. В настоящей работе рассматривается полная матрица условий склеивания для 2п-параболических уравнений при п ^4. Отметим, что случаи п = 1, 2, 3 исследованы в [2-4].

В области ^ = М+ х (О, Т) будем рассматривать систему уравнений

д п

и\ = Ьа\ = (1)

Ищется решение системы (1) из пространства Гёльдера Нр'р/2п, р = 2п1 + 7, 0 < 7 < 1, удовлетворяющее начальным условиям

и (ж, 0) = <^1(ж), и2(х, Т) = ^(х), х > О, (2)

и условиям склеивания

Т2и2(0,;£), (3)

где ик = (ик, иХ,..., иХ ... х), Т,Т2 — невырожденные матрицы с по-

2п-1

стоянными действительными коэффициентами.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проекты № 5562, № 4402).

© 2013 Попов С. В., Синявский А. Г.

Предполагаем, что <р\{х), ^{х) € НР(Ж),

к к

и пользуемся интегральным представлением решения для системы (1):

1{х,~Ь) = / и1(х,1]$,т)(У.(т) ¿т +

(4)

где 1!\, и2

и

и2{х,^ = I и2($,т\х,ь)и{т) ¿т +

г

вектор-строки = (и, Ух,... , УП-1), у2 = (и,Шх,..., фундаментальное решение, УР,ШР — элементарные решения Л. Каттабрига первого уравнения из (1) и и{Ь),и— вектор-столбцы неизвестных плотностей с компонентами Ь), Ь), р = 0,1, ...,п — 1. Функции ш\{х,1), являются решениями уравнений

(1) и удовлетворяют условиям (2) в М.

Условия склеивания (3) перепишем в виде

и1(о,г) = (т— • т )и2(о,г) = (Р- №)о?(о,г), (5)

где Р, J — невырожденная преобразующая и жорданова матрицы для т- т

т- т

склеивания (5) будем рассматривать условия склеивания вида

и1^) = Ju2(0,í), (6)

Ри

V1, Ри2 = V2. Пусть матрица J состоит из одной или двух жордановых клеток. Без ограничения общности рассмотрим случай матрицы

О 0 \

J =

( 0 0

0 -01

0 0

V о 0

О

О

02п-2 1

О — 02п-1 '

Заметим, что в случае симметричной матрицы J мы находимся в условиях работы [2]. Будем считать, что коэффициенты а^ матрицы J удовлетворяют условию единственности решения краевой задачи (1), (2), (6):

"п-1 ги

Ем)4

. г=0

д2 п—1 — г

дхг дх2п—1—

х=+0

¿=о

г

дхг Эх2 п—-г

А = 0.

Х=—О -

Теорема. Пусть <р\,<ръ € Ир(К+), р = 2п/ + % п ^ 4 , и в € — п> Ь ~ ^к)- Тогда при выполнении 2п1 условий

Ьа( ^,^2) = 0, в = 1,...,2п/, (7)

существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (6), из пространства

1) ЯР'Р/2п(где 0 < 7 < п - 1 - 2пв;

2) #Х1/2п> Я=2п/ + п - 1 - 2пв, если п - 1 - 2пв < 7 < 1;

3) НХ е^/2п, если 7 = п - 1 - 2пв, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Доказательство. Известно [2,5,6], что если введенные плотности /?(£) принадлежат пространству (0, Т) и удовлетворяют условиям

^(О) = Д( ») (Т) = 0, 5 = 0,...,/- 1, (8)

то решения и*(х,£), и2(х, принадлежат Нр'р/2п(р = 2п/ + 7, 0 <

7 < 1.

Из условий склеивания (6) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно неизвестных плотностей

(Щ:

= (-1) ^

% = ОД,..., 2п — 3,

/ г^ (о, О, т)а(т) Лт + 1)

— 02п-2 /

д2п-2и2

дх2 п—2

(0,т;0,;£)и(т^т + СТ2 п-2

дх2 п—2

2п а2"-1^

(О,*)

где

+ / Б0(г?) лп ■ т + (-1)"^ (о, *>,

— ОО ^ v 2гг /

ОО —

/ ^ • а(*) + (-1)"

О 1

-СТ2П-1 } В0(л) Лц ■ т - (-1 (0,*),

— ОО 1 V 2п /

п) = / (-V), ^ (-п),..., Н«-! (-п)},

функции /(п)-, др(п)-, Ир(П являются решениями линейного дифферен-

п-

^"^(т?) - ^г •11 •г{л) =

При получении последнего равенства в (9) используются соотношения

г

(9)

В2 п-1 Ур( х,Р,0,т

Эх2п-1

а

(т) ¿т = (-1)пар(г) / др(^¿п

х=0

д2 n-1 Wp(0 ,т; x,t)

дХ n—

ßp(r)dr = (-1 )nßp(t) J hp(

—oo

x=0

Для удобства записи будем считать T = 1. Из уравнений (9) при помощи формул обращения оператора Абеля [1,7,8], получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравнений 2n-ro порядка:

Äi(0)ä(t) + ctg Щ^втт

(1+я

-f I (7 dr=if -^ilW <*г,

о 0 (t-1-V

¿ = 0,l,...,2n -3,

f (0, t; 0, r)a(r) dr = a2n_2 / ^^ (0, r; 0, t)ß(r) dr

0 t

00 -> -> 2-1

+ф2n-2(t) + ! Ao(v) dri • ß(t) + (-1)^^(0, t),

00

f dn • + <n-1/?(*))= $2n-l (t),

0

где введены новые обозначения: 2n

М t) =

$2n-i (t) = (-1)

, 2 n

ГШ

(10)

ч ^n-1 ;

Предпоследнее уравнение в (10) преобразуем с помощью последнего:

д2 n-2 Ui

дХ n

(0, t; 0, т)а(т) dr = ст2п_2

д2 n-2 U

дХ n

^(0,r;0,i)/3(r)dr

^2n-2(i) + ^2n-l(i) - 1

<2 n — 1

<2 n — 1

dn • a(t)

2n

(-D r(_L} ^ (0,0-

t

Введем обозначения:

г

зд = / ■

¿Т,

а г фММ-Фм(о)

= -у- / -¿г, г = 1,

Л

. , п ,

И = ф £-1 (*) - * £-1(0),

(*) — ап—1

¿т

[В^^уРЦт) [В^^уРЦт)

' 0"2п-2 / -;-—-1- ~~ °~2п-2 / -:-1- ОТ

+ Ф&_2 (*) -Ф£_2(0)

+ *2п-1 (4)

-

, 2па>

п

ГШ

^2

дх2 п—<9*8

(о,*) -

д2п+8-1ш2

,

а г ф(я)(1) -ф ^ (т) 1 ; л У (г-^1-^

в = 0,..., / - 1, 1,...,2п - 2.

Так как [5] Ф<~ € Нч% щ = функции С^СО (г =

0,..., 2п - 2), (*) принадлежат пространству Н1+7)/2п^д, 1), при-

чем (*) = ¿(*(1+7)/2п), (*) = 0((1 - *)(*+7)^) для малых * и 1 — * соответственно.

С помощью введенных обозначений перепишем систему (10):

^Äo(0)ä(t) + а0 ctg £Bo(0)ß(t)

J (zВоШт) dr = joigi + 2таф^(0)^ + jtfft),

о

-T-^rpr4(0)a(t) + ctg 2ܱÜB.(0)/3(i)

Sm 2П

0 t

i = ... ,2n — 3,

jMv) dri ■ m = F|n_2(t) + CT2n_lCT2n_2 f dr

I (ir^^^dr = Ä + i?(i),

о

t

T 2n

n— Ö2

+ 02n-l$2n-2(O) + Ф2„-1(0) + (-1)™^^ 00 ->

/ ^(n) dn ■ (ä(t) + a2n-i $2n-i W-

о

И2

dx2n 1

(0,0),

(11)

Надо доказать существование таких решений и(Ь), ({Ь) системы (11) из пространства (0,1), которые удовлетворяют условиям (8).

Предположим, что функции а(Ь), ({Ь) системы (11) принадлежат искомому пространству. Отметим, что определители матриц

( f

f''

9i

g'l

9n-i \ g'n-i

f n-2) ^...

\9i

9i

g'C

n-

92

g''

n-

92

9n

9'n

(2 n-3) 9n-l / (n-l)x(n-l)

в пуле отличны от нуля (см. [10,11]). В силу этого из системы (11) получаем, что для того чтобы а(0) = 0, необходимо и достаточно вы-

полнения соотношении 1

JЩМ11 dT = i = ij3j...j2n-3,

О

оо

^П- / ■ m = *2n-i(0).

о

Кроме того, должны выполняться условия

f dT = ф{(0), г = 0,2,... ,2п — 4,

Q Т 2п

ö"2n-2 / Д2-10)1 (Т) <*Г + Ф2„_2(0) +

t т 2п

+ (-1)"г(21)1Т>(0,0) = 0.

При выполнении условий (12) и (13) с учетом того, что

1

1

Т — b 2n т 2n

систему (11) можно переписать в виде:

2n 0

= 2ПФ£(0)*£ + ij(t),

pl+ctg ^вмт -fia)- dr

Sm 2тг О

= F°(i), г=1,...,2п -3,

оо

о

оо

/ A0(n) dn ■ (¿W + ^n-- ^n-/3(0)) = Fl- (*)•

о

Полученную систему (15) перепишем в матричном виде:

Ага® + А^иAlf3(t) - I / Aldr =

о

A2a(t) - A2D21A2ß(t) + i / A2g22SA2/?(T) dr =

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

где

/ До) ыо) /"(0) д'т

Ai =

J/(n)dii Jgi(n)dil / g

a2 =

gn-i(O) \

gn-i(o)

/gn-i (n)dn / 0 7

gn-i(o) \

Pn-3)(o) #n-3)(o) ... gi2—3)(o)

oo _ oo oo

J/(n)dii ¡gi{n)dn ... fgn-i {n)dn

\

Djj (i,j = 1, 2) — диагональные матрицы:

П A' i (2k+ 1)71

Vu = diag< cos---, 0

2n

k=0,...,n-2

2fc + l

f (2/c + 1)тг f t\ D\2 = diag< sin---• — , 0

I 2n \TJ

k=0,...,n-2

f 2kn = diag< с

-D21 = diag< cos-, —1

I 2n J k=l,...,n-l

f . 2/гтг /Л U22 = diag< sm —— • ( —

... ,0

I 2n \TJ Jk=l,...,n-l

Ai = diag{a2 ¿}i=o,...,n-i, A2 = diag{a2 i+i}i=o,...,n-i,

t), t) — векторы

2n-2

(t)

i = 2,4,...,2n -3,

i =

Положим

sm^LtAFsit):FL_iit)]

n

i = 1,3,.. .,2n - 3, s = 0,...,l - 1.

/3(0) = A-1^,

(17)

где Ь) — вектор

&№= -

вш

т(1+г)

РП т)

] (1-г)^ О

¿т

вш

г(1+»

1 (.

02 п — 1

Ф2п-1(0) , % = М, ■■■,2'П -3, 8 = 0,..., I - 1.

п-

условиям вр(1) = 0, р = 1,..., п - 1.

Введем в (15) новые искомые функции ^Ь) = ((Ь) - У(0)( 1 -Тогда система (16) примет вид

А^) + ^ВпА.т - I / А1Д12(/2А1Жт) ¿Т =

о

А2а(1) - А2Б21А2т + I / ¿Т =

о

(18)

где &2{~Ь) — векторы

" 4п2

2п_ ^„(0)^1-1+^,1,1+

^(1 + %

, вт

хЯ -1 + ^ЛЛ

п %

п

п - - % %

ЛВ ¿(0 )У(0)

пп

% = 2,4, . ..,2п-3,

= вш

п

п

п - - % %

-В¿(0 )У(0)

п

п

77 и

, г2 п — 1

0 п-1 у ¿П • ), %=1,3,...,2п - 3.

о

п

стему (18). Далее, если / > 1, аналогично [7,10], при выполнении 2п/ условий вида (7) придем к системе уравнений

г—1) (*) + Д^нАвг—1) (*)

г—1)(*) -А2^1 А/г—1)(*)

1 г Л2Р22 (±)А2^'-1\т + ■) т-4

О

(19)

где /г—1)(*) = в(г—1)(*) - в(г—1)(0)( 1 - *) и функции ^1(*),^2(*) принадлежат пространству (1+т)/2"-(0,1), причем ^1,2 (£) = О^1^) для малых

Перейдем к доказательству существования функций (*),

в(*) го пространства +^/2п в полученной системе уравнений (19). Так как определители матриц А и А не равны нулю, исключая ¿( 1—1)^ из системы (19), имеем

к0 ее ат - 1 [ ё^ыш. г1т = ф), (20)

П .] т - * о

где /?(*) — вектор с компонентами (/р ^ (*)), р = 0,..., п-1, а матрицы определяются следующим образом:

А = А—А 1_ОцА1 + А—А 2^1 А,

В(1,т) = А^1А1О12(^А1 + А^А2О22(^А2,

ф) = А—?!(*) - А—^2(*). Систему сингулярных уравнений (20) можно переписать в виде

1 ^ 1

К/3 ее А/?(*) - - / (1т+- [ т)Д(т) ¿г = £(*), П ./ т - * п /

(21)

где

в = в(г,г), м(г,т)=в~в{1'т).

т - Ь

Для того чтобы выделить характеристическую часть оператора К в общем случае, перепишем систему сингулярных уравнений (21) в виде

В-К(= В-(((г). (22)

Пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [8,9], выделим характеристическую часть К0 оператора |В|В-К системы уравнений (22):

1 ^

= aД(t) + - [ с1т, (23)

п .] т - Ь о

где а = а(а^), Ь = Ь(а^), ] = 0,... , 2п - 1, определяются в явном виде, как в [2,7].

Полученную систему сингулярных интегральных уравнений

К0и = О, <5=К*|В|В-1 ( - к( (24)

можно решить в классе функций, ограниченных на концах отрезка

,

о

где х(£) = ¿1/2+0(1 - г)1/2-0, в = |, если п четно, и х(^) =

Ь1 /2-0(1 - Ь)если п нечетно.

Подставляя в (25) значения 0(Ь), приходим к системе уравнений Фредгольма

У+К **кУ=(У *, (26)

где

1

к**кр=^- J щг,т)р(т)<1т.

о

В силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [1,9]) при выполнении

неравенства < §■ — в, т. е. при 7 < п — 1 — 2пв (в < §■ — получим, что решения уравнений Фредгольма (26) принадлежат пространству Н~(0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка Ц^-. Кроме того, решения уравнений Фредгольма (26) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем \ — 0 при п— 1— 2пв < 7 < 1 — ^ < $ < ? — и условию Гёльдера с показателем \ — в — е при 7 = п — 1 — 2пв.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при в ^ ^ — то существует единственное решение задачи (1), (2), (6) из искомого пространства Нр'р/2п при выполнении 2п/ условий (7).

Замечание 2. Если выполнены условия теоремы при в ^ ^ — то, как показано в [12], существует единственное решение задачи (1), (2), (6) из искомого пространства #р'р/2п при выполнен ии 4п/ - 2/ + 2 условий вида (7).

Замечание 3. Доказанная теорема, очевидно, остается справедливой, если жорданова матрица 7 состоит из не менее чем двух клеток.

Если матрица 7 состоит из одной клетки, то существует единственное решение задачи (1), (2), (6) из искомого пространства #р'р/2п при п/

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Попов С. В., Потапова, С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 94-107.

3. Попов С. В., Синявский А. Г. Исследование краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ / Под ред. А. И. Кожанова. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2012. С. 167-176.

4. Туласынов М. С. Первая краевая задача для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания // Вестн. Новосибирск, гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 1. С. 57-68.

5. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

6. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

7. Потапова, С. В., Попов С. В. Краевая задача для 2п-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции при п ^ 4 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 32-55.

8. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

9. Мусхелишвили П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

п

порядка с меняющимся направлением эволюции // Вестн. Самарск. гос. ун-та. 2007. Т. 56, № 6. С. 162-175.

11. Потапова С. В., Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 58-81.

12. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.

г. Якутск

6 августа 2013 г.