CC BY
10УДК 517.956.4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ 2п-ПАРАБ0ЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ В КОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ*)
С, В, Потапова
В работах [1-3] для краевой задачи в бесконечной полосе с помощью теории сингулярных уравнений найдены 2п/ необходимых и достаточных условий, обеспечивающих принадлежность решения пространствам Гёльдера. В этой статье мы продолжаем исследование гёльдеровской разрешимости краевых задач для параболических урав-п
области.
В ограниченной области ^ = ( —1,1) х (О, Т) рассматриваем пара-
п
ции
д2 пи
8ёПЖМ4 = (1)
Решение уравнения ищем из пространства Гёльдера Нр'р/2п, р = 2п/ + 7, 0 < 7 < 1. Пусть оно удовлетворяет следующим начальным условиям
и(х,0) = <1(х), 0 < х < 1, и(х, Т) = <2(х), —1 < х < 0, (2)
*) Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 «Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук», ГК № 1182 от 27 августа 2009 г.
© 2009 Потапова С. В.
Краевые задачи для 2п-параболических уравнений
79
условиям склеивания
дки дки
— {-0^ = ак — (+0,г) (0<г<Т, к = 0,... ,2п-1) (3)
и краевым условиям
дки дки
= = ° < ^ < = • • • " (4)
где Стк — действительные постоянные, / — целое число.
Так же, как в случае бесконечной области, 2п/-разрешимость доказываем в трех случаях: а) п ^ 4, б) п = 3, в) п = 2. В каждом случае ссылаемся на соответствующую работу для бесконечной области. Сразу отметим, что в силу соответствующих теорем [4] в случае п достаточно рассмотрения непрерывных условий склеивания, т. е. ак = 1, а для доказательства 2п/-разрешнмости при п = 3 и п = 2 необходимо рассмотрение общих условий склеивания.
Докажем следующие теоремы. Пусть |(+ = ( : 0 < х < 1} = Я : -1 < х < 0}.
Теорема 1 (случай п ^ 4). Пусть <р\,<ръ € Нр (р = 2п/ + 7, п ^4) н выполнены условия согласования
П8)(1) = пв)(1) = 0, в = 0,... , /, ^(1) = ^(1) = о, 5 = 0,...,/ - 1, г = 1,... , п - 1.
п/
^1,^2) =0, в = 1,...,2п/, (6)
существует единственное решение краевой задачи (1)-(4) из иростран-ства Н%'г/2п(
Теорема 2 (случай п = 3). Пусть <^1,^2 € Нр (р = 6/ + 7) и выполнены условия согласования
^™>(1) = ™>(1) = 0, 8 = 0,... ,/, ^(2п«+1) (1) = ^(2п«+1) (1) = д, ^ 0, . . . , / - !,
^ ™+2>(1) = ^2 ™+2>(1) = 0, 8 = 0,...,/ - 1.
/
решение краевой задачи (1)-(4) при 0 € ; из пространства:
1) Нрх'1/6, если 0 < 7 <2 — 60;
2) #£'?/6, д = 6/ + 2 — 60 если 2 — 60 < 7 < 1;
3) Д£ е'[9 е^/6, если 7 = 2 — 60, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при 0 ^ |г, то единственное решение задачи (1)-(4) существует из искомого пространства Дх'х^6 при выполнении 6/ условий вида (5).
Замечание 2. Если выполнены условия теоремы при 0 ^ то, как показано в [5], единственное решение задачи (1)-(4) существует из искомого пространства Д'^6 при выполнении 10/+ 2 условий вида (5).
Теорема 3 (случай п = 2). Пусть € Дх (р = 4/ + 7) и
выполнены условия согласования
<2п8)(1) = <2п8)(1) = 0, в = 0,... , /, <2п8+1)(1) = <2-+1)(1) = 0, в = 0, . . . , / — 1.
/
решение краевой задачи (1)-(4) при 0 < 0 < | из пространства:
1) ЯХ'Х/4, если 0 < 7 < 1 — 40;
2) Д£'?/4, д = 4/ + 1 — 40 если 1 — 40 < 7 < 1;
3) ДХ £'49 е^/4> если 7 = 1—40, еде е — сколь угодно малая положительная постоянная.
Замечание 3. Если выполнены условия теоремы при 0 ^ то, как показано в [5], единственное решение задачи (1)-(4) существует из искомого пространства Др'х^4 при выполне нии 6/ + 2 условий вида (6).
Величина 0 явно зависит от коэффициентов склеивания ст^.
Единственность решения. Для однородной задачи (1)-(4) име-
ет место тождество
д2 "и\
д
И(88Мг1(-(-1)п+1— =8ёПХ— ( -и2 ) + ( —
-
\2
Е(-)4
д"
д
дх
дх" _ д4и д2"-1-^
¿=о
дх4 дх2"-1-
.
Интегрируя тождество (7) по области затем по области ( , полу-
2 1 // " ) dx сИ + — J и2(х,Т)(1х
^ о
= (-)"
"и-1
_ д4и д2 "-1-4и
.¿=о
дх4 дх2"-1-
ж=+0
-"
.¿=о
дх4 дх2"-1-4
А, (8)
Ж— 1
д" и
—— ¿хсИ--/ и" (х, 0) (¿ж
дх"
-"
"
-
д4и д2"-1-*и
.¿=о
дх4 дх2" 1
ж=-0
-
"
Е^1) Ты
.¿=о
дх4 дх2" 1 4
(9)
При условии существования интегралов из условий склеивания (3) при выполнении некоторых достаточных условий на коэффициенты <7к и краевых условий (4) следует совпадение правых частей этих тождеств. Тогда
2 о 1
// (д " ) dx сИ + — J и2(х, 0) ¿х + — J и2(х, Т) ¿х = 0. (10)
Из (10) получим
дпи —
— (х,*) = 0,
Отсюда в силу однородных начальных условий (2) и краевых условий (4) следует, что и(х,Ь) = 0 в ф. Таким образом, краевая задача (1)—(4) имеет единственное решение.
Отметим, что однородные краевые условия (4) заданы таким образом, что интегралы на концах х = ±1 в тождествах (8), (9) равны нулю, т. е., не нарушая доказанной единственности, вместо (4) можно рассмотреть ряд других вариантов краевых условий.
Существование решения. Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений
д2пи „ д2пи2
дх2п ' 4 дх2п
(П)
в области Тогда нужно найти решения и1 и и2 из пространства Д */ап(р = 2п/ + 7, 0 < 7 < 1, удовлетворяющие начальным условиям
и(х,0) = и2(х,Т) = <(х), 0 < х < 1, (12)
условиям склеивания
Як_1 дки2
_(0,*) = СТк(-1)* —(0,*) (к = 0,... , 2п — 1) (13)
и краевым условиям
дки* ч дки2
Пусть <з(х) € Дх(0,1) (г = 1,2). Продолжим функции х) на М
так, чтобы х) € Дх (М). Для этого сначала продолжим их на отрезок —,
2пг+1
х
¥ч(х) = ("7)
я=1
и
Краевые задачи для 2п-параболических уравнений
83
где постоянные Л8 однозначно определяются из условий 2пг+1 , к
Е М" ) =1> к = 0,...,2п1.
8 = 1 Х 7
Очевидно, что эти условия обеспечивают непрерывность продолжения в точке х = 0 с производными до порядка 2п/ включительно.
п
Пусть ¿п = I] 28, тогда ¿п+1 = ¿0Ч^п- Тогда если х) € —¿п, 1),
8=0
то их продолжаем на отрезок (—¿п+1, — ¿п) по формуле
2п!+1
^ ( ¿ + х\
¥г{х) = Е ( --~8- )
8=1
Эти условия обеспечивают непрерывность продолжения в точках
х — ¿п п/
разом, функции х) могут быть продолжены на значения (—то,0) с сохранением их принадлежности пространству Н(—то, 1). На значения х > 1 функции у>з(х) продолжим так
2п!+1
( Х — 1 \ х) = Е ( 1--- )
8 = 1
Решение (и, и) системы уравнений (11) будем искать в виде г г
^(х, Р) = J ^(х, Р; 0, т)«! (^ ¿т + J ¿^(х, Р; 1, т)а2(т) ¿т + ^(х, Р),
о о
г г
м2(х,Р) = J ¿2(0, т;х,Р)Д1(т) ¿т + J ¿1(1, т; х, ¿т + ^(х, Р),
о о
(15)
где функции
являются решениями уравнений (11) и удовлетворяют условиям (12) в М, а, /?1 — вектор-столбцы неизвестных плотностей с компонентами ах(*),вх(*), Р = ОД,... , п — 1; ¿2, /#2 с компонентами ах(*), вх(*), Р = п,... ,2п — 1 соответственно, ¿Л, С — вектор-строки и = (и, V,... , К,_), ^ = (и, ... , _), где и — фундаментальное решение, ^х, — элементарные решения Л. Каттабрига [6,7]:
"Т"
О, * ^ т;
Г—^зрМ^М, *>т,
Ур(х,Ц^т) = I (17)
I о, * < т;
Г —1>т,
I о, * < т,
где р = 1,... , п — 1, функции /(п), Зх(п), ^х(п) являются решениями
п—
Интегральное представление и подробное исследование функций /(п), Зх(п), п) можно найти в работе [5], для дальнейших рассуждений нам понадобятся следующие оценки [6,8,9]:
д к+З
< (19)
— т| ^ V
прн {^т)1/2п > -00 для Ух(ж, г) и при < +оо для Шр(х, т)
С, С — положительные постоянные.
Далее, так же, как ив [3], можно показать, что если введенные нами плотности принадлежат пространству Н1~1+:^ (О, Т)
и удовлетворяют условиям
¿^(О) = вкЯ) (Т) = 0, * = 0,...,/ — 1, (20)
то ик(х, *) € Дх'?/2п, Р = 2п/ + 7, 0 < 7 < 1, к = 1, 2.
Действительно, в силу общих результатов [8,9] для того, чтобы и(х, Р) € Нр'р/2п(необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
= г = О,... , п — 1,
х
ф{,8)(0) = ( —1)8^2П8)(о), ^ = о,... , /,
Ф®8) (0) = ( —1)8^2п8+г) (О), 8 = 0,... ,/ — 1,
х
$ п8)(1) = о, 8 = 0,...,/, п8+г)(1) = О, в = 0,... , / — 1.
Тогда из (15), (14) имеем
г .
г
/Яг тт д®/ )
^(0,*;1,т)а2(т)<*т+—Цо,*), (21)
о
г
0 = У ^-(1,4;0,г)а1(г)йг
о
г
+ + (22) о
В силу оценок (19) интегралы в равенствах (21), (22)
г г
/д® Т /" д® Т
1,т)а2(т)йт, / -^-(М; 0, т)«! (т) йт
о о
— бесконечно дифференцируемые функции. С учетом этого замечания дальнейшие рассуждения аналогичны случаю для бесконечной полосы [3].
Таким образом, мы должны доказать существование функций Ск(*), к = 1,2, из пространства Н1~1+:^ (О, Т), которые удовлетворяют условию (20).
Удовлетворив условиям склеивания (13), краевым условиям (14), получим следующие системы уравнений:
/ ^(0, 0, т)<*1 (г) <1т + }ф(0,Р,1, т)а2(г) ¿т о о
Л 1 дх Т
= (-1)^
(23)
4
¿ = 0,1,... ,2п-1,
4
4
/ ^(М;0,т)а1(т)йт + / т)а2(т)йт + ^(М) = 0,
о о
/ #(0,т; М)А(т)<*т + / #(1,т; М)/32(т)йт + |^(М) = 0,
4
4
„ г = 0,... , п — 1.
(24)
Интегралы
4
дх®
(0,* 1, т)¿2 (т) ^т,
а4 г/1
дх®
(1,т;0,*)&(т)Лт,
а4 г/1
дх®
(1, * 0, т)а(т) ^т,
дх®
(0,т;М)в1(т)йт
являются ограниченными линейными отображениями пространства ограниченных интегрируемых функций на пространство бесконечно дифференцируемых функций. Если введем обозначения
*) =
п
Ф
п
п
дх п-1
(<М) —
дх п-
(0,Р)
Ф* (¿) = ( —1) ® а®
д^г
дх®
(1,т;0,Р)/32(т)йт
д1и2
дх®
(0,Р;1,т)а2(тЫт + Ф®( Р),
п
= г = 0,. .. , 2п — 1,
1 v 2п /
г
о
т
АД п) = {/( ®> (^,...,£«1 (п)},
Д(п) = {/0(П)Д^(п)}, г = 0,... ,п — 1,
то, как и в бесконечном случае, из уравнений (23) при помощи формул обращения оператора Абеля [10,4] будем иметь систему сингулярных уравнений
э1П 2тг
_1 / (г)1-^ М1М1) ¿т=±\ ¿г,
"о ^ "о (^-г)1-^ (25)
¿ = 0,1,... ,2п — 2,
оо
/ !0(п) ¿п ■ («(*) + /Ш) = Ф!п-И,
о
а из уравнения (24) будем иметь эквивалентную систему уравнений Вольтерра
М
Т ^ (26)
7т+£Г + Ц ^ = О,
О 2,1
«—(-хуАтт + ! / ¿т = о,
2п г (т-*) 2г»
„ г = 0,... , п — 1.
Далее, исследуем систему (26). Преобразуем правые части этой системы:
4 4
Л Г Щп(т) ^ ф^(О) , [ ф^п(т)
(* -г)1-:
о
■ Лт =
Лт,
/ ^пМ ^ = Ф|п(0) }
х
<*>2п(0) = Фзп(0) = о
и обозначим
^ (т)
(* —
■ Лт,
Г 2п
2п+г ( ) = ~ ^^ ----- I -г^-ЙГ,
О
(* —
Ч'п (т)
(т — *)1
■ Лт,
^Зп+®(*) -
(-1)4 . тг(1 + г) Л [ Щп+Лт
■ вш
2п Л*
(т —
т+т ¿г,
г = 1, .. . , п — 1.
Получим
( В®(0)Й2(*) = Я*^),
| А®(0)Д2(;) = ^*п+г(^ (27)
^ г = 0,... , п — 1.
Рассмотрим систему уравнений (27). Функции в правой части этой системы принадлежат пространству Нг-1+(!+7)/2п(д, 1), причем (*) = 0(*(1+7)/П ^^ (*) = 0((1 — ^+^/2") для малых * и
1 — * соответственно. Значит, производные в системе (27) имеют вид
(Д(о)4а)(*) = ^и,
| АДОа) (*) = *$!,(О, (28)
1^=1,...,/ — 1, г = 0,... ,п — 1.
В силу линейной независимости функций /(п), 9р(п), п) [5] определитель Вронского в системах (27), (28) отличен от нуля. Поэтому функции а2(£), Д(^) из (27), (28) определяются единственным образом
/—
Также ясно, что функции Й2(£), Д(^) принадлежат пространству Н!-1+(1+7)/2п^д, 1) и удовлетворяют условиям
4а)(0) = (Т) = 0, 5 = 0,...,/ — 1.
Остается доказать существование аД*), /ЗДД из (25). Если считать, что функции Ф*(Д, г = ОД,... , 2п — 1, заданы, то система (25) имеет такой же вид, как в случаях бесконечной области [1—3]. Таким образом, исследование данной системы полностью аналогично рассуждениям соответствующих работ [1-3]. Поэтому для простоты теоре-
/
Пусть / = 1. В этом случае мы ищем ЙДД, ,Д(Д из пространства Н(1 +7)/2п(0 , 1)5 удовлетворяющие условиям (20).
Преобразуем правые части полученной системы (25) и обозначим
г
*«'>=/ Т
3 (£ — г)1 2П
< } ф*(т) _ ф*(о) гк ' <й У и-
о
рп - (*) = **п-1 (*) *„-(о),
т
( /• Ф*(1) -Ф*(т)
Gi (ч = -!) -77 / --!+» О.Т, г = 1,... , 2п — 2.
(т-Д1-^
С помощью введенных обозначений перепишем систему уравнений (25) так:
^ Д,(0)«! (¿) + о"о £ Д,(0) А (*)
/а= Ж + 2пФ5'(0)^ + ВД),
о 4 2,1
^ (0)«! (¿) + а Д (о) А
- т (29)
Лт= ^ +
о 1 2п
%= 1,... ,2п - 2,
ОО
/ А0(п)<п • («1^) + ^2„-1&(*)) = Ф*п-1 (*).
о
Из системы уравнений (29) получим, что для того, чтобы ¿1(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы
= Ф*(0), г = 1,3,... , 2п — 3, 0 т2" (30)
ОО 4 у
^„-/ А0(п)<п • ¿1(0) = Щ„-(о).
о
Кроме того, должны выполняться условия
^ т Д(0)Д(т
йт = Ф*(0), г = 0, 2,... , 2п — 2. (31)
7Г 7 7" 2тг
О
При выполнении условий (30) и (31) из системы уравнений (29) получим
Т
т-4
Ага^) + АгВпАф^) - 1 / =
о
Т
/
о
Л«!^) - А2£>21^2^1 (4) + 1 / А2Д22(тУ2/?1(Т) ¿Т =
где
А =
/ /(о) 31(0)
/''(о) з('(0)
3п_1(0) \
зп'-1(о)
/п_2)(0) ^п_2)(0) ... ет^ ( /щ зт ... $п-1(о) \
А =
рп_)(0) #п—3)(о) ... зп2-Т3)(0)
оо _ оо оо
... /дп_1
V о о о
(г, у = 1,2), А 1,2 — диагональные матрицы:
(2Л+ 1)тг1
J к=0,... ,п — 1
ДЦ = diag \ сое ^12 = diag < вш
п
(2к + 1)7г
п
л я- ; 2Ь" 1 1^21 = dlag < сое-, —1
п
к ,... ,п_
к ,... ,п_
{2к+1 ч
■ 2Ь" 2п п1
вш —— • I — \ , 0 > ,
^ ' у к—1,... ,п — 1
= {^к }к=0,2... ,2п_2 , д2 = Й iag {^к}к=1,3... ,2п_1
*), (*) — векторы с компонентами:
тг(1 + г)
(*) = ( зш — [2пФ S'(0)t- + (4)], шп ■
(32)
г = 2,4,... ,2п — 2,
г(1
п
Положим
А (0) = а2—1^з*
(33)
где ^"з (*) — вектор с компонентами
вш'
7Г(1+»)
(т)
-гтг
^ТГ* У (1-г)^Г О 4 7
вш
-Ф^-1(0)
а®П СТ2 п-1
г = 1,3,... ,2п — 3.
п—
&(1) = 0,р=1,...,п — 1[3].
Далее, введем в системе (32) новые искомые функции = /?1 (*) — /?1(0)( 1 — *). Тогда система (32) примет вид
Агаф) + А^Агт - ± / ^(^(т) =
Аз«!^) - А2021А2/3(г) + 1 /
1 Г А2Д22фА2р(т)
(34)
где — векторы с компонентами
—у —у 1 1 1
вт ■
п(1 + г)
п
п
хРИ + Ш,!,!-
п — — г г
-а® В ®(0 )/?!(0)
г = 2,4,... ,2п — 2,
, „ 1 п(1 + г) ^(¿) = вт- 1 ;
п
п
п — — г г 1 + г
-а® В ®(0 )А(0)
п
п
,^-1 + *Ф Тп-1(0)
г = 1,3, ... ,2п — 3.
Краевые задачи для 2п-параболических уравнений
93
Так как функции ¿\, ¿\ мы ищем го пространства Я^1+т)/2п) то из первого уравнения системы (34) следует, что должно быть выполнено условие т
/ ВоЩг) . 7Г
о
п
п
аоВо(0)в(0) + 2пФ *'(0)
(35)
Тогда при выполнении (35) в конечном итоге придем к системе уравнений
Агаф) + А^пАгт - I / ^МД^)^) т =
А2а!(4) - А2£>21Л2£(*) + ± / д^(у2/з(т) ¿г =
о
(36)
где
Б ( — | = diag < —, 1
и функции
п
п-
1
п
а0в0(о)/?1(о)
вт
г(1
п
п п
хП-1 + ^,1,1-
(2п - 1 - г)(1 + г
1 + г
-а^В ¿(0 )&(())
п
г = 2,4,... ,2п - 2,
^(¿)=(шп.7г(1 + 0
п
п
-а<В ¿(0 )А(0)
п
п- - г г
- + ¿ф * „-(0)
г , , . . . , п- ,
принадлежат пространству Д^1+7)/2п(0,1), причем =
для малых
1+т
Исключая di(t) из системы (36), имеем
кр = AfJ(t) - I j ^bllM dT = Q(th (37)
n J T —1 о
где (3(t) — вектор с компонентами ft p(t), p = 0,... , n — 1, а матрицы определяются следующим образом
A = A— Dn Ax + A—Д 2D21 A, B(t,r) = A^AxD^ [^j D ^ A1+A^1A2D22 ^ A2,
= (t) — A2-^2 (t).
Используя формулу перестановки Пуанкаре — Бертрана [10], находим характеристическую часть оператора K системы уравнений (37). В случае n ^4 имеем [5]
п J T — t о
n,
т _
K°f3 = aEf3(t) + — (
n J t — t о
где числа a b явно зависят от коэффициентов склеивания E — единичная матрица.
Отметим, что величина в определяется так: 0 = \ arctg Далее, в случае n ^ 4 (при n = 2,3 рассуждения аналогичны) систему сингулярных интегральных уравнений
K0(3 = G, G=K*\B\B2 Q — k/3 (38)
,
Для этого введем кусочно-голоморфную функцию
1 T 3(т)
¿■кг J т — z о
Тогда система (38) примет вид [10]
■ - сI / /
(39)
1Ф+(г) = Ф-(г), г<о, г>т.
Решения уравнений (38) эквивалентны решению задачи Римана (39) при дополнительном условии Ф(то) = 0. Так как
,г4(.г —1)_4; если п нечетно, ехр I = \ 1
г * (г — 1)* , если п четно,
в указанном классе каноническая функция имеет вид х(г) = — если п нечетно, и х(г) = (г — 1)4, если п четно, индекс задачи (39) к = —1. Согласно общей теории [10]
т
ф(г)=*(*) Г 0{т)д,т
при условии
Тогда
2пг У (1 +г)х+(т)(т - г) о
т _
[ ^ в,т = 0. (40)
3 х\т)
о
т = «*<о - «-и = 1<з<0 + (-1)-^ / (41)
о
Формулу (40) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности ¿(г) при г = Т.
Подставляя в (41) значения С?(г), приходим к системе уравнений Фредгольма второго рода
т
Д+^У Щг,т)р(т)<1т = ф, (42)
о
где Q* — вектор-функция с компонентами, зависящими от (t)-Очевидно, любые ограниченные интегрируемые решения уравнений (42) принадлежат пространству Y/2n(ß,T) и удовлетворяют условиям (20).
Таким образом, система (36) эквивалентна исходной системе уравнений (23) при выполнении условий (30), (31) и (35).
В силу общей теории уравнений Фредгольма из единственности решения поставленной задачи будет следовать существование решения системы уравнений (36). Подставив найденные решения в (30), (31)
n
краевой задачи в пространстве p = 2n+j,0 < y < 1- Отметим,
что в силу равенства (33) второе уравнение в условии (30) выполняется
l
Пусть l > 2. В этом случае задача состоит в том, чтобы из уравнения (32) найти di(t), ßi(t) из пространства (0,Т), которые удовлетворяют условию (20). Дальнейшие рассуждения, как мы уже отмечали, аналогичны случаю бесконечной полосы [1-3]. Поэтому считаем, что теоремы 1-3 при l ^ 2 доказаны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 84-100.
2. Потапова, С. В. Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып 1. С. 44-67.
n
с меняющимся направлением эволюции при n ^ 4 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 7, вып. 2. С. 93-112.
4. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.
5. Попов С. В. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 93-112.
n
Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28, N 2. P. 376-401.
7. Cattabriga L. Equazioni paraboliche in due variabili. I // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, N 1-2. P. 48-79; II // Rend. Sem. Fac. Sei. Univ.
Саё11ап. 1962. V. 32, N 3-4. Р. 254-267.
8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
9. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
г. Якутск
12 мая 2009 г.
