Исследование итерированных параболических уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРИРОВАННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ*)

С, В, Попов, А. Г, Синявский

= м± х (о < г < т), м+ = {м, х > о}, м- = {м, х < о}.

В области = ЯТ и Я— рассматривается параболическое уравнение с меняющимся направлением времени:

При п = т = 1 краевые задачи для уравнения (1) изучались в [1-3]. При т = 1 краевые задачи для уравнения (1) рассматривались в [4-6].

Известно, что в краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий на данные задачи полностью определяет принадлежность решения гёльдеровским пространствам. В случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения таким пространствам. Применение теории сингулярных уравнений дает возможность наряду с гладкостью данных задачи указать дополнительно необходимые и

*) Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

Пусть

© 2012 Попов С. В., Синявский А. Г.

достаточные условия, обеспечивающие принадлежность решения пространствам Нр'р/2т при р ^ 2т. Более того, применением единого подхода при общих условиях сопряжения (склеивания) для таких уравнений удается показать, что нецелый показатель р — [р] пространства X £ может существенно влиять как па количество условии разрешимости, так и на гладкость искомого решения уравнения (см. [7,8]).

В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для итерированных уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени (1) при т ) 2 и уточняются результаты [9] при т = 2,3.

Краевая задача. Найти в Qт решение уравнения (1), удовлетворяющее

1) начальным условиям:

д3и

= х), х > О,

4=0

д3и ~д¥

= ф.з(X, X < О,

г=т

в = 0, . .., п — 1;

(2)

2) условиям склеивания:

£2 ш1+ги

Эх2 т1+1

—

д1 тг+*и

ж=+0

Эх2 т1+1

1 = 0, .. ., п — 1, г = 0, ... ,2т — 1.

х=-0

(3)

Пусть ^ е я2тг("-.+а(М+), ф. е я2тг(п-.+а(М-), 1 > 1 целое. В [9] такая задача исследовалась для различных значений п ^ 1, т при 0 < а < Можно показать [9], что разрешимость этой задачи во всех случаях следует из разрешимости задачи при п = 1, т ^ 1. Обозначим

,(х,*)= Ц

к=1

д_

т

в2 т \

ак(-1)т8щпх^-^ Iи

п-в

= УА — 1) т1(в!&пх)1 стг( ап-

д2ш1 д

1=0

где ст0 = 1,

Эх2 т1 дЬп-в-1 ' элементарные симметрические многочлены элементов

а\, а,..., а:п-8 при 1 ^ 1.

Если решение существует, то 1) при х>0, 0 < в < п —1

?(х,0) = ]Т ( —1 Г'<7,( а*

1=0

д2 т1

' дх2т1 *

Рп-«-г(х) = «мх) е Нт1в+а(м+),

д®

дх®

= ]Т( —1) с

х=+о г=о г = 0,. .. ,2т — 1;

2) при х < 0, 0 < в < п —1

п —в

ив( х,Т) = ]Г(т+1)^( а 1=0

¡

п—в — 1

¡2 т1+®

дгп-в-1 дх2т1+

-и

(4)

(5)

х=+0

¡2 т1

' дх2т1

Фп-з-1( х)

= Фв(х) е Нт1в+а(м-), (6)

дх®

х=-0

= ]Т( —1) ап-в

д

1—в—1

д2 т(+®

1=0

дЬп-в-1 дх2т1+®

(Г)

х

г = О,... ,2т — 1. При заданных Фв, Фв функции рв и фв определяются однозначно.

В силу (3), (5), (7) имеем

д ®

дх®

д®

х

дх®

г = 0,.. .,2т - 1.

(8)

х

Рассмотрим последовательность задач:

ди3 дЬ

«п-в+1 ( —1пх

д2тщ дх2т

= и8—\ в Ят, Щ = О,

дх®

ия|4=о = Ф8(х), х > 0, и8|(=т = ФДх), х < О,

, г = 0,. .. ,2т — 1, в=1,...,п,

(9)

д®ия д®и,

|ж=+0 =

дх®

х-

и ип и

Пусть в = 1. Как показано в [8,10], при выполнении 2т/ (т ^ 4) условий разрешимости на заданные функции Ф1, Ф1 задача (9) имеет единственное решение и е Нх \ \Qtj-

п — в

д

и

в

Если = О, то и = 0. Продолжая этот процесс для в =

2,..., п — 1, получим, что решение задачи (1)—(3) при выполнении 2тп/ условий вида

Ьа( р. ,ф.) = 0, (10)

существует, единственно и и е Нх

Итак, при целом т справедлива

Теорема 1. Пусть

<?я(х) е я2тг(п-я)+а(м+), фя(х) е я2тг(п-я)+а(м-).

Тогда при выполнении 2тп/ условий (10) существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства яХтп|+а'пг+а/2т(Q±).

Уравнения четвертого порядка. Случай т = 2. В области Qт = Qт и Q— рассмотрим итерированное параболическое уравнение четвертого порядка с меняющимся направлением времени:

п ( д д4 \

П - + — и = 0, ак > 0. (11)

й=1 ^ х '

Краевая задача. Найти в Qт решение уравнения (11), удовлетворяющее начальным условиям (2) и условиям склеивания:

1+г

дх41+г

Я4 1+г

дх4|+г

х

, / = 0,..., п— 1, ¿ = 0,1,2,3. (12)

х

Как показано в [7], при выполнении 4/ условий задача (9) при п = 1, т = 2 имеет единственное решение и е Нх 4 (Qт/ при малых положительных а. Как и выше, решение задачи (11), (12) при выполнении 4п/ условий вида (10) существует, единственно и и е

ЯХп'+а'п'+а/4 (Q±).

Теорема 2. Пусть

<?я(х) е я4'(п-в)+а(м+), фя(х) е я4г(п-я)+а(м-).

Тогда при выполнении 4п/ условий вида (10) существует единственное удовлетворяющее условиям (2), (12) решение уравнения (11) из пространства

1) #Р'?/4, р = 4п/ + а, если 0 < а < 1 — 4в;

2) #Х1/4, Я = 4п/ + 1 — 4в если 1 — 4в < а < 1;

3) НХ е^/4, если а = 1—4в, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Здесь 6> = ± ап^ | ^ | е (0, .

Уравнения шестого порядка. Случай т = 3. В области

= ЯТ и Я- рассматривается параболическое уравнение шестого порядка с меняющимся направлением времени:

п ( д д6 \

П ( я7 + ак(~1)зщпх •— и = 0, > 0. (13)

й=1 ^ х '

Краевая задача. Найти в решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) и условиям склеивания:

д61+®и

дх6 г+®

. , д6 '+®и = (-1) Яг

дх6 1+® Х=+о

, / = 0,..., п — 1, г = 0,... ,5.

х-

/

п = 1, т = 3 имеет единственное решение и е Нх Ь (Ят/ ПРИ малых положительных а. В этом случае решение задачи (13), (2), п/

и е дХп'+а'п'+а/®

Теорема 3. Пусть р8(х) е Нг(п-в)+«(м+), х) е Нг(п-в)+«(М-) п/

удовлетворяющее условиям (2), (14) решение уравнения (13) из пространства

1) #Р'?/6, р = 6п/ + а, если 0 < 7 < 2 — 6в;

2) #Х1/6, 9 = 6п/ + 2 — 6в если 2 — 6в < 7 < 1;

3) НХ е^/6, если 7 = 2 — 6в, где е — сколь угодно малая поло-

х Ь

жительиая постоянная.

Здесь в = Iarctg|fg}| € (±;§).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Ин-т математики, 1982.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Терсенов С. А. О первой краевой задаче для одного прямо-обратно параболического уравнения // Докл. АН СССР, 1991. Т. 317, № 3. С. 584-588.

4. Ахмедов X. X. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989.

5. Попов С. В. Нелокальные контактные краевые задачи для итерированных уравнений теплопроводности // Мат. заметки ЯГУ. 1994. Т.1, вып. 2. С. 55-65.

6. Попов С. В. Контактная задача для итерированного уравнения теплопроводности // Уч. зап. ЯГУ. Сер. математика, физика. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1994. С. 24-31.

7. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

8. Попов С. В., Потапова, С. В. Гёльдеровские классы решений 2ппараболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 5. С. 594-596.

9. Tersenov S. A. On a method of solving initial boundary value problems for higher order equations // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 138-145.

10. Потапова С. В., Попов С. В. Краевая задача для 2га-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции при n ^ 4 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 32-55.

11. Потапова С. В., Попов С. В. Гёльдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени эволюции // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 58-81.

г. Якутск

10 февраля 2012 г.