Краевая задача Жевре для уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.956.4

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ЖЕВРЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С. В. Попов

Аннотация. Рассматриваются задачи Жевре и Коши для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с весовыми условиями склеивания. В случае непрерывных условий склеивания разрешимость задачи Жевре приведена к теории интегральных уравнений с ядром, однородных степени -1, а в случае весовых условий склеивания разрешимость приведена к теории сингулярных интегральных уравнений с особым ядром. Разрешимость краевых задач устанавливается в пространствах Гельдера. Показано, что гёльдеровские классы решений задачи Жевре в случае весовых функций склеивания зависят как от нецелого показателя Гельдера, так и от весовых коэффициентов условий склеивания при выполнении необходимых и достаточных условий на входные данные задачи. Ключевые слова: задача Жевре, задача Коши, уравнения с меняющимся направлением времени, условия склеивания, корректность, пространство Гельдера, сингулярное интегральное уравнение.

Введение

Рассматриваются уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

иххх - sgn х ■ иг = 0, иххх - иг = 0. (1)

Разрешимость краевых задач для уравнений (1) в ограниченной области ( рассматривались в работах Т. Д. Джураева [1].

Известно, что в случае краевых задач для уравнений с меняющимся направлением времени, задач Жевре, гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С. А. Терсенов [2] в простейших случаях получил необходимые и достаточные условия разрешимости задач Жевре для параболических уравнений второго порядка в пространствах Я"р'р/2 при р > 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Отметим, что в одномерном случае число условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности интегрального характера бесконечно [3, 4]. Краевые задачи для уравнений вида (1), а также для общих операторно-дифференциальных уравнений такого вида

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания НИР на 2017-2019 гг. (проект 1.6069.2017/8.9).

© 2017 Попов С. В.

рассматривались в работах [5, 6]. Разрешимость краевых задач сопряжения для второго уравнения вида (1), с разрывными коэффициентами изучена в работе

[7].

1. Задача Жевре

Пусть Q — бесконечная полоса О х (0, Т), О = М, ^(ж), ^2(ж) — заданные соответственно при ж < 0 и ж > 0 функции, (к = 0,1, 2) — действительные постоянные числа.

В области Q± рассматривается уравнение с кратными характеристиками

иххх - sgn ж • и = 0, (2)

где Q+ = {ж е Q : ж > 0}, Q- = {ж е Q : ж < 0}.

Решение уравнения ищется в пространстве Гельдера ЯХ'р/3№±)> Р = 3 + 7, 0 < 7 < 1 (см. [5]), удовлетворяющее начальным условиям:

и(ж, 0) = ^(ж), ж> 0, и(ж,Т)= (ж), ж< 0, (3)

и условиям склеивания

дк7/ дк7/

Лемма. Пусть выполняются условия

стост2 > > 0, ооа-1 > 0. (5)

Тогда краевая задача (2)-(4) имеет не более одного решения в пространстве ограниченных функций.

Доказательство. Единственность решения доказывается аналогично [1, с. 157]. В области Qv = (—N; N) х (0; Т) рассмотрим однородную краевую задачу (2)—(4) с краевыми условиями

^(-N,4)= ^(-N,4) = <N,^ = 0, 0 < 4 < Т. (6)

Тогда в Qv имеет место тождество

ч 9 ( 1 2N д (1 2\ п

Щиххх - sgnж • щ) = — I иихх - -их I - sgnx ■ — I -и } =0. (7)

Интегрируя тождество (7) по области Q— = (—N; 0) х (0; Т), затем по области Q^v = (0; N) х (0; Т) и используя соответствующие начально-краевые условия и условия склеивания, получим

т о

1

27

12

(Т0<Т2 / ( иихх - -их

/ ^

х=-0 2

0 -V

V Т

( иихх — —их ) (Й = — — / и2(х,Т)йх—— / их(М, £) ей. (9)

V 2 / ж=+0 2 ^ 2

+ о о

Вычитая интегралы (8), (9), с учетом условий склеивания (4) получим

N

^ и2(х, 0) ¿X + У и2(х,Т) ¿X -N о

т т

+ /^Ч* + (.0,2-^М,.)* = °. (ш>

о о

Отсюда при выполнении первого условия (5) следует, что

и(х, Т) = 0, 0 < X < N. и(х, 0) = 0, -N < х < 0,

(11)

и(^г) = 0, 0 < г < Т. У '

Таким образом, если задача (2)—(4), (6) имеет нетривиальное решение, то оно наряду с начальными условиями (3) удовлетворяет и условиям (11). С другой стороны, интегрируя по частям интегралы

^ Ц хи(и_ + щ^* = 0, II хи(и_ - Щ)*х* = 0,

Q N Я N

с учетом условий (4) и (11) находим

т

——II и2 ¿хМ = ооо-! I иих\х=_0 ей,

Я

N

1

^ II и2х йхсИ = I иих\х=+0 (Й.

3

^ N

При выполнении условия (5) следует, что эти равенства возможны при их(х, г)=0 как в QN, так и в QN. Следовательно, и(х, г) = ш(г) в QN. Отсюда в силу однородных краевых условий и непрерывности и(х,Ь) в (Здг следует, что и(х,Ь) = 0 в (3дг. При N —> +оо получаем, что и{х,Ь) = 0 в С}.

Существование решения. Прежде чем приступить к доказательству существования решения поставленной задачи приведем для уравнения

ди д3и

дг дх*=° (12)

фундаментальное и элементарные решения Каттабрига [8]. Эти решения для уравнения (12) имеют вид

и1(х,г^,т) = { (13)

0, г < т,

о

где функции /о(п), Л(п) называются функциями Эйри, являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

+ = 0 (14)

сю

/о(п) = ^ со8(Л3 — Лп) ¿А, < п <

о

оо

/1(п) = У [е-д3-Ап + ап(Л3 - Ап)] ¿Л, п > о

Кроме того, нетрудно проверить, что

оо

о

сю

/1(0) = I [ е-*<1т, = ±т(±

2} 2

о

а/3 °° 1 2Ч

о

(15)

о

о

п

J /оЫ^ = -у, J /оЫ^ = J Л(?/)й?7 = 0.

0 -с 0

Для удобства вместо уравнения (2) будем рассматривать систему уравнений

74 = ^, ^ = = (16)

в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

и1(ж, 0) = ^1(ж), и2(ж,Т) = ^2(-ж), ж> 0, (17)

(0,4) = (к = 0,1, 2). (18)

джк ' джк

Будем предполагать, что ^¿(ж) е НР(М) (г = 1, 2). Тогда функции

и

.

являются решениями уравнений (16), удовлетворяющими условиям (17) в М. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (16):

г г

и1(х, г) = У и0(х,г;0,т )а0 (т) *т + У и1(х,г;0,т )ах (т) *т + шх(х,г)

оо т

и2(х,г) = ! Щ(0,т; х,г)в0(т) *т + Ш2(х,г).

г

В силу результатов [5, 8] плотности а0, ах, в0 должны принадлежать простран-

у+]

3

а0(0)= ах(0) = в0(Т) = 0. (21)

ству Нч (д = -^тр), причем

Из условий склеивания (18) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно а0, ах, в0:

/о(0) / ао(т'+^1(т) с1т + Ш1(0,= аоМО) / ^г йт + <т0со2(0,1),

т } аоМ-^М + СТ1/,(0) | (22)

+Ш1х(0,г) + (0, г) = 0,

+ ш1хх = -о-2|/30(£) + <Т2^>2хх-

Из уравнений (22) при помощи формул обращения оператора Абеля [2] получим эквивалентные системы сингулярных интегральных уравнений

+ VZa.it)) +

00 .(«о(^) - + (23)

00 2а0(г) - ,2в0(г) = Ф2(г)

где

ад - ^¿щ - (-1)^(0,) о- - о, 1),

3 п

Введем обозначения

г г

т = Г ф°(т)-1(0) <*г, = £ / ф1(т)-ф1(0) ^

(*) = Ф2(*) - Ф2(0), /Зо(4) = 0о(*) - во(0)(Т - 4)/Т.

Так как Ф°(£) € О, Т), ® = 1 + [2], функции (/г = 0,1,2) принад-

лежат Н(1+^)/3(0,Т), причем = 0(£(1+^)/3) для малых

При выполнении условий

т

сто [ во(т)

i^ldr = Ф0(0),

J т з

dr = Фх(0),

о

£1 / А) (г)

W ri (24)

о

Ст2во(0) = -Ф2(0), -— j dr = -^/3о(0)-^т + ЗФо(О)

ТГ J Тз /7Г Уз

о

получим систему уравнений

^K(i) + VSaxW) + ^o(t) - ^ J(i)4/3to <*т =

о

2a0{t) - *20o{t) =F°2(t),

где функции

П® =

F[ --, 1, -; — ) - 1

3 3 T

T

+ f0 (t),

^i(i) = 1, II) (I) 3 + i?(t), F°(i) = -CT2^o(0)| + i*(t)

принадлежат пространству Н<-1+7^3(0,Т), причем Fj(t) = O^t^1) (j = 0,1,2) для малых t.

Исключив ao(t), ai(t) из системы (25), имеем

T

+ ^ Ш + IJ K(t, т)Ш dr = Q(t), (26)

о

где

4 1 1

K(t,r)=a1tiK1(t,r) + Kl(t,r) = Т'3+Г3

I J- ' --i ■ / 4,2 1,1 , ^ ,

Tj T — t тз (гз + T3i3 + is)

Q(i)=^0°(i) + n°(i)--|^20(i).

П

В работе [5] рассмотрен случай непрерывных условий склеивания г0 = г1. В этом случае ядро уравнения (26) преобразуется в следующем виде:

ч ¿±2 , ч 2

3 /А 1 , ч 1-г 1 -ХЗ

&к1(г,т)= - у - Ф) = х~*1-

т т т 1 - х

Полагая в (26)

— 1+т 1+т

ш = 130(1)г—, = ,

имеем

+ ^ = (27)

0

Интегральное уравнение (27) является уравнением с ядром, однородным степени —1 [9]. Вводя новые независимые переменные г = Те-у, т = Те-х и обозначая

в2(у)= вх(Те-у), Q2(y) = Ql(Te-y), Л(х) = ^(е-х) = е(1-в)хК2(1, ех), 2 1 — ^

получим интегральное уравнение Винера — Хопфа [9,10]

+ + I Ну_хШху1х = Я2{у1 0 < у < +оо. (28)

0

2. Весовые условия склеивания при Сто = Ст

В этом случае уравнение (26) имеет вид

Т 4 -

+ ^ / (7)3 7ГТ ^ ^ (29)

0

где

2 Т

£з(*) =<?(*) - ^ У ад,т)Д,(т) ¿т. 0

Сингулярное уравнение (29) будем рассматривать как уравнение относительно /З4= Найдем решения неограниченные при 4 = 0, допускаю-

щие особенность порядка меньше единицы и ограниченные при г = Т. Введем обозначения

А

<0 + <1 + 2<2 „ „ 1 ,

А =-■=-, В = а 1 — со, а = — агстг

а/3 п

Тогда в указанном классе каноническая функция равна

В

в случае одного знака чисел А и В и равна

Х{г) = {г-Т)Ъ-вг-Ъ+в

в случае разных знаков чисел А и В, индекс к =0.

Решение сингулярного уравнения (29) в случае АВ > 0 имеет вид [11]

т

ВМ) =_—__-_(Т - Ф+Ч^-0 [_^^_с1т

о

(30)

а в случае АВ < 0 — вид

т

ВМ) =_-_оча)__-_(т - [_^^_с1т

о

(31)

Так как (3з(£) принадлежит пространству Н~~ (0, Т), функция /?о(£), представленная формулой (30), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем во всех точках контура (0,Т), отличных от концов. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования, как и выше, легко видеть, что во(0) = во(Т) = 0. В силу теоремы Мусхелишвили [2,11,12] получим, что если 0 < ^ (0 > то в формуле (30) функция /?о(£) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ПрИ о<7<А+30(О<7<| — 30), условию Гёльдера с показателем ^ + 0 (| — 0) при ^ + 30 < 7 < 1 (| — 30 < 7 < 1) и условию Гёльдера с показателем ^ + 0 — е (| — в — е) при 7 = ^ + 30 (7 = | — 30). Аналогично функция /?о(£), представленная формулой (31), удовлетворяет

условию Гёльдера с показателем во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Как и выше, если 0 < то в формуле (31) функция /?о(£) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < 7 < ^ — 30, условию Гёльдера с показателем ^ — 0 при ^ — 30 < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем ^ — 0 — е при 7 = ^ — 30.

Заметим, что 0 < ^ эквивалентно неравенству <то + стг < 0, а 0 > ^ — неравенству сто + ст2 > 0.

Подставляя найденные значения функций ао(4), а^), во(^) в условия (24), получим три условия разрешимости задачи (2)—(4) в пространстве НХ'р/3((). Эти условия обозначим так:

£3(^1,^2) = 0, в = 1, 2, 3. (32)

Теорема 1. Пусть € (р = 3 + 7), 0 <7< 1, выполнены условия

(5), сто + ст2 < 0 и АВ > 0. Тогда при выполнении трех условий (32) существует единственное решение уравнения (2) в удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства:

1) если 0 < 7 < ± + 30;

2) д = 3 + ± + 30, если ± + 30 < 7 < 1;

3) е'[ч е)/3((^±), если 7 = ^ + 30, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Теорема 2. Пусть (р2 € Нр (р = 3 + 7), 0 < ^ < 1, выполнены условия (5), <0 + <2 > 0 и АВ > 0. Тогда при выполнении трех условий (32) существует единственное решение уравнения (2) в Q, удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства:

1) Н™^^ ), если о < 7 <|-30;

2) Нчх'1/Ъ, д = 3 + § - 30, если | - 30 < 7 < 1;

о\ тгЧ-е, (я-е)/3 3 ол

3) Нх I , если 7 = ^ — 30, где е — сколь угодно малая положительная

х ±

постоянная.

Теорема 3. Пусть (р2 € Нр (р = 3 + 7), 0 < ^ < 1, выполнены условия (5), <0 + <2 < 0 и АВ < 0. Тогда при выполнении трех условий (32) существует единственное решение уравнения (2) в Q, удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства:

1) Н™^^ ), если 0 < 7 < ± - 30;

2) Я*'?/3(д±), Ч = 3 + \ - 30, если \ - 30 < 7 < 1;

3) Нх е'[ч если 7 = ^ — 30, где е — сколь угодно малая положи-

х ±

тельная постоянная.

3. Задача Коши

В области Q± рассматривается уравнение

иххх — иг = 0. (33)

Решение уравнения ищется из пространства Гельдера Нх'р/3^±) (р = 3 + 7), 0 < ^ < 1 (см. [5]), удовлетворяющее следующим начальным условиям:

и(х, 0) = (х), х> 0, и(х, 0) = (х), х< 0, (34)

и условиям склеивания:

дки дки

= (35)

При выполнении (5), как и в задаче Жевре, справедлива лемма об единственности поставленной краевой задачи (33)-(35).

Прежде чем приступить к доказательству существования решения поставленной задачи, отметим фундаментальное и элементарное решения Каттабрига для уравнения

Эти решения для уравнения (36) имеют вид

У1(х,^,т) = { (^7)Т7з№((^7з), г>т, (з7)

[ 0, г < т,

где функции дз(п), 91(л) — функции Эйри, являющиеся линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

-= 0 (38)

и имеют вид

оо

до(п) = У ео8(Л3 + Лп) ¿А, —те <п< о

сю

д1(п) = I [е-А3+Ап + 81п(Л3 + Лп)] ¿Л, п <

+ 81п(Л° +. о

Для фундаментального решения до (п) и элементарного решения д1 (п) нетрудно проверить, что

о

сс

о

оо

-п

о

(39)

о

с о о

J ! 9о{л)Лг! = у, J дх{17)^ = 0.

о -с -с

Для доказательства существования решения вместо уравнения (33) рассматриваем систему уравнений

74 = ^, -И2 = ЬИ2 (40)

в области ( +. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

и1(ж, 0) = ^1(ж), и2(ж, 0) = ^2(—ж), ж> 0, (41)

Я&и1 дки2

— (0,4) = (-1)^—^0,4) (Л = 0,1,2). (42)

Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (40):

ъ

и1(ж,£) = У Уо(ж,4;0,т)ао(т) ¿т + ш1(ж, 4), о

ъ

2

и (ж

(ж,4)^У Уо(0,4; ж,т)во(т) ¿т + 1 V (0,4; ж,т)^1 (т) ¿т + Ш2(ж,4).

ъ

В силу общих результатов плотности а0, а1, в0 должны принадлежать пространству Нч (д = рр), причем

«0(0) = в0(0) = в1(0) = 0. (44)

Из условий склеивания (42) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно «0, а1,

<7о(0) / -^Щг с1т + Ш1(0,1) = ао9о(0) } МтН^гМ ¿т + ^

О (*-т)3 о (*-т)3

^(0)} С1т + 0^(0) } йт (45)

о г)3 0 г)3

+Ш1х(0,г) + <1Ш2х(0,г) = 0, \а0(г) +Ш1ХХ = -о-г^/Зо^) + ^2^2хх-Из уравнений (45) при помощи формул обращения оператора Абеля [2] получим эквивалентную систему уравнений

ао(*) " <?оШ ~ ¿ЗстоШ = I ТгМз ¿т,

0

«„(*) + <тМ) ~ у/ЪъШ = ТгМз ¿т,

0

(46)

а0(г)+2<2в0(г) = Ф2(г),

где

- гтткт (- ) и = 0,1)

п!(0) (0) V 0 дх0 дх0

3

= -[о-2ш2хх(0,^ — Ш1ХХ(0, £)]. п

Введем обозначения

г г

т = [ Ф°(т)-1(0) ^ = ^ [ ф1(т)-ф1(0) ^

У (¿-т)§ 1У' л 1 (¿-т)з

00

^0(г) = Ф2(г) — Ф2(0). Так как € Я»(0,Т), дк = 1 + ^ [2], функции (/г = 0,1,2) принад-

лежат Н(1+^)/3(0,Т), причем ^0(г) = 0(г(1+7)/3) для малых г.

Существование решений «0, в0, в1 системы уравнений (46) из пространства Ня(0, Т) (д = (р — 2)/3, р = 3 + 7, 0 < ^ < 1), удовлетворяющих условиям (44), следует, когда определитель системы уравнений (46) не равен нулю:

(1 -<т0 -л/3<т0\

1 0-1 -л/Зо-1 + 0. (47)

1 2<2 0

При выполнении (47) система уравнений (46) однозначно разрешима и решения

1+-У

принадлежат пространству Н з (0,Т) при выполнении трех условий

Ф0(0)= Ф1(0) = Ф2(0) = 0. (48)

Теорема 4. Пусть , € Нр (р = 3 + 7), 0 <7< 1 и выполнены условия (5) и (47). Тогда при выполнении трех условий (48) существует единственное решение уравнения (33) в Q из пространства Нр'р/3(^±), удовлетворяющее условиям (34), (35).

Замечание. В теореме 4 показано, что происходит увеличение гладкости решения задачи Коши с увеличением гладкости входных данных <^1,<^2. В то же время в случае задачи Жевре в теореме 1 показано, что при р — [р] > ^ + 30 гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, в теореме'2 гладкость решения не повышается при р — [р] > | — 30 и в теореме '3

— при р — [р] > g — 30.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Пятков С. Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1984. С. 115-130.

4. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, № б. C. 1322-1327.

б. Антипин В. И., Попов С. В. О гладких решениях задачи Жевре для уравнения третьего порядка // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 1. С. 3-12.

б. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2013. T. 54, №2. C. 245-257.

T. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, со знакопеременной функцией при старшей производной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 5159.

8. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 19б1. Tome 31. P. 1-45.

9. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. Душанбе: Дониш, 19бб.

10. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971.

11. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 19б8.

12. Попов С. В. О поведении интеграла типа Коши на концах контура интегрирования и его приложение в краевых задачах для параболических уравнений переменного направления времени // Мат. заметки СВФУ. 201б. Т. 23, № 2. С. 90-107.

Статья поступила 20 января 2017 г. Попов Сергей Вячеславович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 guspopov@mail.ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 517.956.4

THE GEVREY BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A THIRD ORDER EQUATION S. V. Popov

Abstract. We consider the Gevrey and Cauchy problems for a third order equation with multiple characteristics with weighted gluing conditions. In the case of continuous gluing conditions, the solvability of the Gevrey problem is reduced to the theory of homogeneous integral equations of degree —1 with a kernel. In the case of weighted gluing conditions, the solvability is reduced to the theory of singular integral equations with a singular kernel. The solvability of boundary value problems is established in Holder spaces. It is shown that the Holder classes of solutions of the Gevrey problem in the case of weighted gluing functions depend both on the non-integer Holder exponent and on the weight coefficients of the gluing conditions when necessary and sufficient conditions are satisfied for the input data of the problem.

Keywords: the Gevrey problem, the Cauchy problem, equations with changing time direction, gluing conditions, correctness, Hoolder space, singular integral equation.

REFERENCES

1. Dzhuraev T. D. Boundary Value Problems for Mixed and Mixed-Compound Equations [in Russian], FAN, Tashkent (1979).

2. Tersenov S. A. Parabolic Equations with Varying Time Direction [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1985).

3. Pyatkov S. G. "On the properties of eigenfunctions of a spectral problem and their applications," in: Correct Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical Physics, Collect. Sci. Works, SO AN SSSR. Inst. Mat., Novosibirsk, 1984, pp. 115-130.

4. Pyatkov S. G. "On the solvability of a boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction," Sov. Math., Dokl., 32, 895-897 (1985).

5. Antipin V. I. and Popov S. V. "On smooth solutions to the Gevrey problem for third order equations," Mat. Zamet. SVFU, 22, No. 1, 3-12 (2015).

6. Antipin V. I. "Solvability of a boundary value problems for operator-differential equations of mixed type," Sib. Math. J., 54, No. 2, 245-257 (2013).

7. Kozhanov A. I. and Potapova S. V. "The conjugation problem for a third order equation with multiple characteristics and a positive function at the higher order derivative," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform. 15, No. 2. 51-59 (2015).

8. Cattabriga L. "Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple," Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 31, 1-45 (1961).

9. Mikhailov L. G. Integral Equations With Homogeneous Kernel of Degree —1 [in Russian], Donish, Dushanbe (1966).

10. Gokhberg I. Ts. and Feldman I. A. Convolution Equations and Projection Methods for Their Solution [in Russian], Nauka, Moscow (1971).

11. Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations [in Rissian], Nauka, Moscow (1968).

© 2017 S. V. Popov

56

S. V. Popov

12. Popov S. V. "On the behavior of an integral of Cauchy type at the ends of the contour integration and its application to boundary value problems for parabolic equations with changing time direction," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 2, 90-107 (2016).

Submitted January 20, 2017 Sergey V. Popov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48, Kulakovsky St., Yakutsk 677000, Russia guspopov@mail.ru