О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 3, С. 50-61

УДК 517.9

DOI 10.23671 /VNC.2019.3.36461

О МАТРИЧНОМ ОПЕРАТОРЕ РИМАНА В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАДКИХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

А. Э. Пасенчук1, В. В. Серегина2

1 Южный федеральный университет, Россия, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Б. Садовая, 105; 2 Азово-черноморский инженерный институт, Россия, 347740, Зерноград, ул. Ленина, 21 E-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. В пространстве гладких на единичной окружности вектор-функций рассматривается матричный оператор линейного сопряжения, порождаемый краевой задачей Римана. Предполагается, что коэффициенты краевой задачи являются гладкими матрицами-функциями. Вводится и изучается понятие гладкой вырожденной факторизации типов «плюс» и «минус» гладкой матрицы-функции. В терминах вырожденных факторизаций даются необходимые и достаточные условия нетеровости рассматриваемого матричного оператора Римана в пространстве гладких вектор-функций. Для гладкой на окружности функции, имеющей не более чем конечное число нулей конечных порядков, вводится и изучается понятие сингулярного индекса, обобщающее понятие индекса невырожденной непрерывной функции. Для нетерового матричного оператора Римана получена формула для вычисления индекса этого оператора, совпадающая с общеизвестной аналогичной формулой в случае, когда коэффициенты оператора Римана невырождены.

Ключевые слова: оператор, Риман, нетеровость, гладкий, индекс, формула. Mathematical Subject Classification (2010): 47B35.

Образец цитирования: Пасенчук А. Э., Серегина В. В. О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 3.—С. 50-61. DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36461.

1. Введение

Будем пользоваться стандартными обозначениями N, Z, R, C для множеств натуральных, целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Положим также

Z+ = {j € Z : j ^ 0}, Z- = Z\Z+, Г = {z € C : |z| = 1},

D+ = {z € C : |z| < 1}, D- = {z € C : |z| > 1}.

Пусть n € N, будем рассматривать декартову степень Cn как банахово пространство относительно покоординатных линейных операций и евклидовой нормы. Пусть A — коммутативная банахова алгебра. Через Mn(A) обозначим банахову алгебру матриц порядка n со стандартными операциями и некоторой матричной нормой. В частности, рассматривая Mn(C), будем считать, что введена операторная норма.

© 2019 Пасенчук А. Э., Серегина В. В.

Для банахова пространства В введем следующие линейные многообразия В-значных функций, определенных на Г:

Ст(Г,В) = | А(£) = £ а,-£', а,- € В : £(Ы + 1)т|К|| < гс, £ € Л, т € £+;

С~(Г,В) = р Ст(Г,В),

считая, что в этих множествах линейные операции определены поточечно. Хорошо известно, что Сте(Г,В) является счетно-нормированным пространством с определяющей системой полунорм

||А(£)||т = £(Ы + 1)т|а^-||, т € г+.

Введем в пространстве Сте(Г,В) операторы проектирования

Р± : Р£ а, £') = £ а^' £'"

и положим

С+°(Г,В) = Р+(С~(Г,В)), С"°(Г,В) = Р"(С~(Г,В)), С"°(Г,В) = В ® С"°(Г, В).

В этой работе рассматривается оператор линейного сопряжения

КА,Б : С~(Г,Сп) ^ С~(Г,Сп), КА,Б = А(£)Р+ + В(£)Р",

в предположении, что А(£),В(£) € Сте(Г,Мп(С)). Уравнение Ка,б^ = / принято называть задачей Римана в связи с тем, что впервые уравнение такого рода было приведено Б. Риманом (см. [1]). Задаче Римана и оператору Яа,б посвящено большое число работ (см. [1-9, 12] и цитируемые там работы). Наиболее полные результаты относительно задачи Римана и соответствующего оператора были получены в банаховых пространствах гельдеровых и суммируемых вектор-функций. В этих случаях для широкого класса коэффициентов А(£), В (С) была построена полная теория Нетера. Именно, показано, что необходимым и достаточным условием нетеровости оператора Яа,б является невырожденность коэффициентов для всех £ € Г. В терминах правой канонической факторизации матрицы-функции А(£)В-1(£) эффективно описаны ядро, коядро оператора Ка,б, построен обобщенный обратный оператор, найдена формула для индекса

тё Ка,б = —1пё^еГ ёе! А(£) + тё^еГ ёе! В(£).

В пространстве гладких вектор-функций ССп) оператор Римана также рассматривался (см. [7, 10, 11] и цитируемые там работы). В результате был получен критерий нетеровости этого оператора. Оказалось, что нетеровы в пространствах гладких вектор-функций операторы Римана могут иметь коэффициенты с вырождениями на Г специального типа. Точнее, оператор Яа,б нетеров в пространстве ССп) тогда и только тогда, когда каждая из функций ёе! А(£), ёе! В(£) имеет на Г разве лишь конечное число нулей конечных порядков. Однако удобной формулы для подсчета индекса, аналогичной приведенной выше, найдено не было. В предлагаемой работе получена такая формула для индекса оператора Еа,б : С~(Г, Сп) ^ С~(Г, Сп).

2. Вспомогательные результаты

Некоторые из приводимых ниже результатов известны или могут быть легко получены так же, как и в случаях пространств гельдеровых или суммируемых вектор-функций. В связи с этим ниже мы приводим лишь доказательства нестандартных утверждений.

Вместе с оператором Ra,b будем рассматривать пару операторов Теплица

T+ : С+°(Г,Cn) ^ С+°(Г,Cn), T+ = P+A(£)I, TB : Cf°(r,Cn) ^ С—°(Г,Cn), TB = P-B(£)I.

Лемма 1. Пусть A({),B({) € Сте(Г, Mn(C)). Оператор Ra,b нетеров тогда и только тогда, когда нетеров каждый из операторов T+ и T—. При выполнении этих условий

ind Ra,b = ind T+ + ind T—.

< Утверждение леммы является следствием того факта, что каждый из операторов P"A({)P +, P+B(£)P- компактен в пространстве CCn) (см., например [7]), а оператор P+A({)P + + P"B({)P- есть прямая сумма операторов T+, T—. >

Следующее утверждение носит, по-существу, алгебраический характер. Мы формулируем его для оператора Теплица с гладким матричным символом, рассматриваемого в одном из пространств С±?(Г,Cn).

Теорема 1. Пусть A({) € СMn(C)). Оператор T± нетеров тогда и только тогда, когда в пространстве С±°(Г, C) нётеров оператор T^a.

< Рассмотрим квадратную матрицу порядка n, составленную из линейных ограниченных операторов, действующих в некотором топологическом пространстве. Будем считать, что элементы этой операторной матрицы коммутируют с точностью до компактных слагаемых. Тогда с точностью до компактных слагаемых для этой матрицы определены алгебраические дополнения, определитель, присоединенная матрица. Для операторной матрицы U через UV обозначим определенную с точностью до компактного слагаемого присоединенную матрицу. Условимся писать A = B(mod K), если оператор A — B компактен. Нетрудно видеть, что

(I + k)V = I (mod K), U VU=UUv = Endet U (mod K),

где k — компактный оператор, а En — единичная матрица порядка n. Отметим также, что если элементы операторных матриц U, V попарно коммутируют по модулю компактных операторов, то (UV)v = VVUV(modK).

Будем рассматривать оператор T+ как операторную матрицу, элементами которой являются одномерные операторы Теплица с гладкими символами. Поскольку такие операторы коммутируют с точностью до компактного оператора, то ввиду сделанных замечаний имеем

(T+)VT+ = T+(T+)V = EnT+et A(g) (mod K).

Если предположить теперь, что оператор T+^a^) нетеров, а R — его регуляризатор, то, очевидно, операторы (REn)(T+)V, (T+)V(REn) являются левым, правым регуляри-заторами, соответственно, оператора T+. Обратно, если оператор T+ нетеров и Q его регуляризатор, то QT+ = T+Q = I (mod K). Нетрудно убедиться в том, что элементы

операторной матрицы Q с точностью до компактного оператора попарно коммутируют и коммутируют в том же смысле с элементами T+. Но, тогда в силу сделанных замечаний

(QT+)v = (T+Q)V = /(mod K) или (T+)VQV = Qv (T+)v = I (mod K).

Последнее означает, что оператор (T+)V нетеров и регуляризатором для него является оператор Qv. Ввиду справедливости равенства (T+)VT+ =T+ (T+)v = EnT+etA4(g)(mod K) оператор EnT+etAi(g) является нетеровым как композиция нетеровых операторов. Последнее эквивалентно нетеровости оператора Tdetд. >

Определение 1. Будем говорить, что матрица-функция A({) € Сте(Г,Мп(C)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа минус, если

A({) = A- ({)D({)A+ (0 (A({) = A+ ({)D({)A- ({)),

где

1)A+({) € GC+°(r, Mn(C));

2) A-({) € С~(Г,Мп(C)), для любого {о € D- матрица A-({о) обратима, и если (A- ({))-1 = ^ Bj{-j, { ^ то, то найдутся c > 0 и m0 € Z+ так, что \\Bj У ^ c(j+1)m0;

3) D({) = ^n=1 Pj, причем Pj = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0), j € Z, j = 1, 2,... ,n. Числа Kj € Z, j = 1,2,...,n, называются частными индексами соответствующей

факторизации.

Тот факт, что матрица-функция A({) € Сте(Г, Mn(C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа минус будем обозначать A({) € Fact-( к, Сте(Г, Mn(C))), к = ( к 1, к 2,..., Kn). Число к- (A) = ^ n=i Kj называть суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа минус. Обозначения A({) € Fact-( к, С^(Г,Мп(C))), к - (A) будем применять в случае гладкой левой вырожденной факторизации типа минус.

Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция A({) € С^(Г,Мп(C)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа плюс, если

A({) = A- ({)D({)A+ ({) (A({) = A+ ({)D({)A- ({)),

где

1)A-({) € СС-°(Г, Mn(C));

2) A+({) € C+0(Г,Mn(C)), для любого {0 € D+ матрица A+ ({0) обратима, и если (A+ ({))-1 = EjeZ+ Bj{j,{ ^ 0, то найдутся c > 0 и mo € Z+ так, что \\Bj\\ < c(j + 1)m0;

3) D({) = Y, n=1 Pj, причем Pj = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0), Kj € Z,j = 1, 2,... ,n. Числа Kj € Z, j = 1,2,...,n, называются частными индексами соответствующей

факторизации.

Тот факт, что матрица-функция A({) € С(Г,Mn(C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа плюс будем записывать следующим образом: A({) € Fact+( к, С~(Г, Mn(C))), к = (K1, k 2,..., Kn). Число к+ (A) = ZjU K называется суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа плюс.

При n = 1 левые и правые гладкие вырожденные факторизации совпадают, поэтому в этом случае будем пользоваться обозначением A({) € Fact±( к,С~(Г, C)).

Из данных выше определений следует, что A({) € Fact-( к, Сте(Г,Mn(C))) тогда и только тогда, когда (A({))т€ Fact- ( к,С^C^M^C))) и A({-1)€ Fact+(- к,С^C^M^C))).

Лемма 2. Оператор Т+ : С+°(Г, Сп) ^ С~(Г, Сп) (Т— : С—(Г, Сп) ^ С~(Г, Сп)), где ^(£) = ^П=1 р?, нётеров и при этом имеют место равенства

1) ёткег Т+ = — Е к? I ёткег Т— = Е /

Kj <0 ^ Kj >0

2) ётеокег Т+ = Е к? I ётеокег Т- = — Е

к, >0 ^ к, <0

п / п \

3) 1пё Т+ = — Е к? = —к(Я) (1пё Т— = Е к? = к(Я)) .

Лемма 3. Если А+(£) € СС+°(Г,Мп(С)) (В-(£) € СС~(Г,Мп(С))), то оператор Т++ (Т--) обратим и при этом

(Т++) = Т(++)-! ((Тв-) 1 = Т(в-)-0 •

Лемма 4. Пусть А-(£) € С~(Г,Мп(С)), для любого £0 € матрица А-(£0) обратима и если (А-(С))-1 = ^В?, £ ^ то и при этом ||В? || ^ с(з + 1)то для некоторых с > 0 и т0 € тогда оператор Т+__ обратим.

< Поскольку для любого ф € Сп, к € имеет место равенство

р+(а- (е))-1Фек = р+ ( Е в? = Е в

/ ?=0

то оператор Р + (А-(£))-1р + в силу линейности определен на всех многочленах с коэффициентами из Сп. Кроме того, для каждого такого многочлена ф(£) справедливы легко проверяемые равенства

т+- р+(А-(е))-1ф(е) = Р+(А-(С))-1 Т+- Ф(С) = фш.

Таким образом, ввиду того, что множество многочленов с коэффициентами из Сп всюду плотно в С+°(Г,Сп), достаточно доказать, что оператор Р+(А-({))-1Р + : С+°(Г,Сп) ^ С°о(г, Сп) ограничен в пространстве С+°(Г, Сп). Пусть р(£) = £кей+ ^€ С+°(Г,Сп), тогда

р+(А-(с))-1^(о = р+ е в?г? е = Е Не

V )

Отсюда получаем

|р+(А-(е))-1^(е)|т = Е(з + 1/

те

Е

Е(з + 1)тЕ нв

те

к-? 1

к к

то

Е и^не(з + 1)т|Вк-?у <сЕ нез + 1)т(к—з + 1)

< С Е (к + 1Г+т0 + 1||^ || = Н^(С)Нт+то + 1. >

Лемма 5. Пусть А+ (£) € С+°(Г,Мп(С)), для любого € матрица А+ (£0) обратима и если (В+(е))-1 = ^В,ез, е ^ 0 и при этом ||В,1| ^ с(^' + 1)то для некоторых с > 0 и т0 € тогда оператор Т-+ обратим.

Лемма 6. Если А(е) € Еае1±( к,С~(Г,Мга(С))) (Еае1±( к,С~(Г,Мга(С)))), то

ёе! А(е) € Еае^(к±(А),С~(Г,С)) (Еае^(кг±(А),С~(Г,С))).

< Предположим, для определенности, что € ¥ас^(к,С°°(Т, МП(С))). Тогда

ёе! А(£) = ёе! А~(£) ёе! £>(£) ёе! А+(£). При этом ёе! А~(£) ф 0, £ € ТР ввиду обратимости в С-°(Г,Мп(С)) матрицы-функции А-(е). Ясно, что тогда ёе! А-(е) € СС-°(Г, С). Кроме того, очевидно,

п

ёе! Я(0 = £ К = к+(А).

,=1

В силу условия 2) определения вырожденной факторизации типа плюс А+ ({) € С+°(Г,Мп(С)), для любого {0 € матрица А+(е0) обратима, и если

(а+(О)-1 = £ в,ез, е ^ о,

з

то ||В,1| ^ с(^ + 1)то для некоторых с > 0 и т0 € Ъ+. Из обратимости матрицы А+ ({0), е0 € следует, что ёе! А+(е) = 0, { € Кроме того, очевидно,

(ёе! А+(е))-1 = ёе!(А+ (е))-1 = ёеЛ £ В,ез ) , { ^ 0. Тогда по определению определителя

п! п

(ёе! А+(е ))-1 > п Е(в» е1,

где через (Вобозначены элементы матрицы В с номерами к, т, а через ) — четность перестановки к ^ ). Из последнего равенства следует, что

(ёе! А+ (е))-1 = £ ^ез, где ^ = £ ]Т(-1)5(сткП(В-,.

)-1 = Е з ез,

Какова бы ни была матричная операторная норма из неравенства ||В,|| ^ с(^ + 1)то следует, что |(В,)кт| ^ с(^ + 1)то для любых к, т. Но тогда

п! п

м, | = Е В-1)«(СТк П (В-,

п! п

^ Е Е П 1(В-, и I < сп (п! + 1)с? + 1)пто.

По определению это означает, что ёе! А(е) € Еае1+(кг(А), СС)). >

Лемма 7. Если А(£) = А-(£)Д£)А+ (£)(А(£) = А+(£)Д£)А-(£)), где А±(£) € Сте(г, Сп), то

■7^+ __гт^гт+ (Т^- _ Т- гр-гр- \

= Т А-Т — Т А+ = Т А+ Т — Т А- ).

Следствие 1. Если А(£) €Еас^(к, Сте(Г, Мп(С))) (В(£) €Еае1+( к, Сте(Г, Мп(С)))), то оператор Т+ (Т-) нетеров и при этом

тё Т+ = — к -(А) = — к-(ёе! А) (тё Т- = к+(В) = к+ (ёе! В)).

3. Гладкие факторизации, нетеровость, индекс

Теорема 2. Матрица-функция А(£) € Сте(Г, Мп(С)) допускает одну из гладких вырожденных факторизаций тогда и только тогда, когда функция ёе! А(£) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

< Будем, для определенности рассматривать случай правой вырожденной факторизации типа плюс.

Необходимость. Если А(£) € Еас1+( к, С те(Г,Мп(С))), к = ( к 1, к кп), то из равенства А(£) = А-(£)^(£)А+ (£) в силу свойств определителя следует, что

п

ёе! А(£) = ёе! А-(£)£к ёе! А+(£), где к = ^ к? = к +(А).

?=1

Согласно лемме 7 полученное равенство является гладкой вырожденной факторизацией типа плюс функции ёе! А(£) с индексом факторизации к+(А). Покажем, что из последнего условия вытекает, что ёе! А(£) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Предположим противное, т. е. что ёе! А(£) € Еае1+( к, Сте(Г, С)), но имеет более чем конечное число нулей конечных порядков. Это означает, что либо А(£) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке £0 € Г, либо — бесконечное число нулей. Поскольку в последнем случае точка сгущения нулей является нулем бесконечного порядка, то достаточно предполагать, что А(£) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке £0 € Г. По определению вырожденной факторизации типа плюс ёе! А-(£) € ССте(Г, С). Но тогда функция ёе! А+(£) обязана иметь в точке £0 € Г нуль бесконечного порядка. По определению нуля бесконечного порядка

= 0, I = 0,1, 2,

?=?0

Тогда ёе! А+ (£) = (£ — £0)гА+(£), где А+(£) € С+°(Г,С), каково бы ни было I € По определению вырожденной факторизации типа плюс

(ёе! А+(£))-1 = Е В?£?, £ ^ 0,

и при этом |В?| < с(з + 1)то для некоторых с > 0 и Ш0 € Очевидно, имеет место равенство

А+(£)(ёе! А+ (£))-1 = (£ — &)-1, £ ^ 0.

Поскольку А+ (е) € С+°(Г, С), а коэффициенты Фурье (ёе! А+(е))-1 растут не быстрее, чем + 1)то, где ] — номер коэффициента, то и коэффициенты ряда Фурье функции А+(е)(ёе! А+(е))-1 также растут не быстрее, чем (^ + 1)то. С другой стороны,

те

(е - е0)-1 = (-е0)-1( 1 - е0-1е)-1 = (-е0)-1 £ С+^е-3 е3,

3=0

и, следовательно,

те

А+(е)(А+(е))-1 = (-е0)-1£ С+^е-3' е3.

3=0

Таким образом, если

те

А+(е)(ёе* (е))-1 = £ с, е3,

3=0

то

с, = с^е-3' (-е0)-1.

ч — ^г+3-^0

Воспользовавшись формулой Стирлинга, будем иметь

м-—еМ1;1) з1-1-

Отметим, что в произведенных выкладках I € — произвольно. Выбрав I = т0 + 2, получим

,то+1 _ ехр(тр + 1)

|С,| ~ ^ , - ^ + 1)то+уМто + 1)-

Но последняя эквивалентность противоречит тому, что коэффициенты с, должны расти не быстрее, чем (^ + 1)то. Полученное противоречие доказывает необходимость.

Достаточность. Пусть ёе! А(е) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Пользуясь методом отщепления нулей (см. [1, 2, 7]), представим матрицу-функцию А(е) в виде А(е) = А0(е)П+(е), где А(е) € Сте(Г,Мп(С)), П+(е) € С+°(Г,Мп(С)). При этом ёе! А0(е) = 0, е € Г, а ёеШ+(е) = Пк(е - ^)пк, где } — множество всех нулей функции ёе! А(е) на окружности Г. Хорошо известно, что матрица-функция А0(е) допускает стандартную (невырожденную) правую факторизацию Ас(е) = В-(е)^(е)В+(е). Полагая А-(е) = В-(е), А+ (е) = В+(е)^+(е), получим правую вырожденную факторизацию типа плюс матрицы-функции А(е). >

Следствие 2. Суммарные индексы правой и левой вырожденных гладких фактори-заций матрицы-функции А(е) € Сте(Г, Мп(С)) одного типа совпадают и равны индексу факторизации того же типа функции ёе! А(е).

Теорема 3. Пусть А(е) € Сте(Г,Мп(С)). Оператор Т+ (Т-) нётеров в пространстве С+°(Г, Сп) (С-°(Г, Сп)) тогда и только тогда, когда матрица-функция А(е) допускает правую (левую) гладкую вырожденную факторизацию типа минус (плюс) в алгебре Сте(Г, Мп(С)). При выполнении последнего условия

тё Т+ = - к- (А) (тё Т- = к+(А)).

< Достаточность теоремы вытекает из лемм 3-8. Необходимость является следствием теоремы Б. Зильбермана [12] и теоремы 1. >

Следствие 3. Пусть А(£),В(С) € С~(Г,Мга(С)) и каждая из функций ёе1 А(£), ёе1 В (С) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Тогда

тё КА,в = -к-(ёе1 А) + к+(ёе1 В).

Замечание 1. Достаточность теоремы 3 может быть доказана независимо от результата Б. Зильбермана, но более громоздко (см. [12]).

Определение 3. Сингулярным индексом функции А(£) € СС), имеющей конечное число нулей конечных кратностей, будем называть число

1 Г А'Ш

кс(А) = — у.р. [ т ]

А(С)

г

Пусть А(£) € СС) и имеет на Г конечное число нулей Хк порядков пк, к = 1, 2,..., соответственно. Назовем число п(А) = ^ к=1 Пк суммарным числом нулей этой функции.

Лемма 8. Пусть А(£) € С~(Г, С) и п(А) < ж, а

Ао(С) = А(С) П(^ - хк)-Пк € С~(Г,С) (¿1(0 = А(С) П(1 - хкС-1)-"' € С~(Г,С))

и—л V 1„—л '

1 - хк

к=1 4 к=1 и не обращается в нуль на Г. Тогда имеет место равенство

кс(А) = п(А) +2тё Ао(С) (кс(А) = -п(А) + 2тё А^С)). < Воспользуемся тем, что для невырождающейся, дифференцируемой на Г функции

у 7Г1 .] Ао(0 ?ег

г

и тем, что для фиксированного хк € Г справедливо равенство

[ %

у.р. / --= т.

УС - хк

г

Тогда

1 (' А'(СЖ 1 (' ¿О(С)^С 1 (' пкйС , „ _

кс(Л) = —у.р. / 4 = —у.р. / ° Д + —)у.р. / —= 2тёА0(£) + п(А).

1 7 тгг ^ У А(£) тгг ^ У А0(£) тп У } ^ - гк ?ег 1 ;

Г Г к—1 г

Доказательство второй формулы аналогично приведенному. >

Нетрудно заметить, что если функция А(£) € СС) имеет конечное число нулей конечных кратностей, то А(£) € Рае1±(к±, Сте(Г, С)) и при этом,

К+ = (С) А (С) = А (С) ТТ (С _ С )-пк

1пё?Ао(С), Ао(С)= А(СШ(С - Ск)■

к—1

1пё?А1(С), А1(С) = А(СШ(1 - СкС-1)-"к.

К =

к—1

Принимая во внимание лемму 8, последним формулам можно придать следующий вид: к С(А) = п(А) + 2к +, кс(А) = -п(А) + 2к-. Таким образом, индексы вырожденной факторизации функции А(е) € Сте(Г, С), в случае ее существования, могут быть найдены следующим образом: кФ = ^(кс(А) =|-п(А)).

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 9. Функция А(е) € Еае1±(к ±, Сте(Г, С)) тогда и только тогда, когда эта функция имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении последнего условия индексы вырожденных факторизаций могут быть найдены по формулам

к

±

1

= -(кс(А)тп(А)).

2

Теорема 4. Пусть А(е),В(е) € Сте(Г,Мп(С)). Оператор Еа,в : Сте(Г,Сп) ^ Сте(Г, Сп) нётеров тогда и только тогда, когда каждая из функций ёе! А(е), ёе! В(е) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении этих условий индекс оператора может быть найден по формуле

тё КА,в = А) + А)) + ^ В) - В)).

Литература

1. Gahov F. D. Boundary Value Problems.—N. Y.: Dover, 1990.—561 p.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—599 с.

3. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений.—М.: Наука, 1970.—252 с.

4. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.

5. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.—Кишинев: Штиинца, 1973.—426 с.

6. Симоненко И. Б. Некоторые общие вопросы краевой задачи Римана // Изв. АН СССР.—1968.— Т. 32, № 5.—C. 1138-1146.

7. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений.—М.: Мир, 1979.—493 с.

8. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций.—M.: Высш. шк., 1991.—210 с.

9. Волевич Л. З., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках.—М.: Наука, 1994.— 336 с.

10. Дыбин В. Б., Карапетянц Н. К. Применение метода нормализации к одному классу бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Изв. вузов. Математика.—1967.—№ 10.—C. 39-49.

11. Зильберман Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций // Мат. исследования.—Кишинев: Штиинца, 1971.—Т. 6, № 3.— C. 168-179.

12. Пасенчук А. Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности.—Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2013.—279 с.

Статья поступила 26 ноября 2018 г.

Пасенчук Александр Эдуардович Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Б. Садовая, 105 E-mail: [email protected]

Серегина Виктория Викторовна Азово-черноморский инженерный институт, доцент кафедры математики и механики РОССИЯ, 347740, Зерноград, ул. Ленина, 21 E-mail: [email protected]

60

naceHHyK A. Э., CeperuHa B. B.

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 3, P. 50-61

ABOUT RIEMANN MATRIX OPERATOR IN THE SPACE OF SMOOTH VECTOR FUNCTIONS

Pasenchuk, A. E.1 and Seregina, V. V.2

1 Southern Federal University, 105 Bolshaya Sadovaya Str., Rostov-on-Don, 344006, Russia;

2 Azov-Black Sea Engineering Institute, 21 Lenina Str., Zernograd, 347740, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. In the space of vector functions smooth on the unit circle, we consider the matrix operator of linear conjugation generated by the Riemann boundary-value problem. It is assumed that the coefficients of the boundary value problem are smooth matrix functions. The concept of smooth degenerate factorization of the plus and minus types of a smooth matrix function is introduced and studied. In terms of degenerate factorizations, we give necessary and sufficient conditions for the noethericity of the considered Riemann matrix operator in the space of smooth vector functions. For a function smooth on a circle having at most finitely many zeros of finite orders, the concept of a singular index is introduced and studied, generalizing the concept of the index of a non-degenerate continuous function. For the Noetherian matrix Riemann operator, a formula is obtained for calculating the index of this operator, which coincides with the well-known similar formula in the case where the coefficients of the Riemann operator are non-degenerate.

Key words: operator, Riemann, Noetherian, smooth, index, formula.

Mathematical Subject Classification (2010): 47B35.

For citation: Pasenchuk, A. E. and Seregina, V. V. About Riemann Matrix Operator in the Space of Smooth Vector Functions, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 3, pp. 50-61 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36461.

References

1. Gahov, F. D. Boundary Value Problems, New York, Dover, 1990, 561 p.

2. Muskhelishvili, N. I. Singuljarnye integral'nye uravneniya [Singular Integral Equations], Moscow, Nauka, 1968, 599 p. (in Russian).

3. Vekua, N. P. Sistemy singuljarnykh integral'nykh uravnenii [Systems of Singular Integral Equations], Moscow, Nauka, 1970, 252 p. (in Russian).

4. Gohberg, I. C. and Fel'dman, I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convolution Equations and Projection Methods for their Solution], Moscow, Nauka, 1971, 352 p. (in Russian).

5. Gohberg, I. С. and Krupnik, N. Ya. Vvedenie v teoriyu odnomernykh singulyarnykh integral'nykh opera-torov [Introduction to the Theory of One-Dimentional Singular Integral Operators], Kishinev, Shtiintsa, 1973, 426 p. (in Russian).

6. Simonenko, I. B. Some General Questions in the Theory of the Riemann Boundary Problem, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1968, vol. 2, no. 5, p. 1091-1099. DOI: 10.1070/IM1968v002n05 ABEH000706.

7. Presdorf, Z. Nekotorye klassy singulyarnykh uravneniy [Some Classes of Singular Equations], Moscow, Mir, 1979, 493 p. (in Russian).

8. Soldatov, A. P. Odnomernye singulyarnye operatory i kraevye zadachi teorii funktsii [One-Dimensional Singular operators and Boundary Value Problems of the Theory of Functions], Moscow, Vysshaya shkola, 1991, 210 p. (in Russian).

9. Volevich, L. Z. and Gindikin, S. G. Obobshhennye funktsii i uravneniya v svertkakh [Generalized Convolution Functions and Equations], Moscow, Nauka, 1994, 336 p. (in Russian).

10. Dybin, V. B. and Karapetyants, N. K. Application of the Normalization Method to a Class of Infinite Systems of Linear Algebraic Equations, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1967, no. 10, p. 39-49. (in Russian).

11. Zilberman, B. On Singular Operators in Spaces of Infinitely Differentiable and Generalized Functions, Matematicheskiye Issledovaniya, Kishinev, Shtiinca, 1971, vol. 6, no. 3, p. 168-179. (in Russian).

12. Pasenchuk, A. E. Diskretnye operatory tipa svertki v klassakh posledovatel'nostei so stepennym kharak-terom povedeniya na beskonechnosti [Discrete Operators of Convolution Type in Classes of Sequences with Power-Law Behavior at Infinity], Rostov-on-Don, SFU, 2013, 279 p. (in Russian).

Received 26 November, 2018

Alexandr E. Pasenchuk Southern Federal University,

105 Bolshaya Sadovaya Str., Rostov-on-Don, 344006, Russia, Professor

E-mail: [email protected]

Victoria V. Seregina

Azov-Black Sea Engineering Institute,

21 Lenina Str., Zernograd, 347740, Russia,

Associate Professor

E-mail: [email protected]