О НёТЕРОВОСТИ И ИНДЕКСЕ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.2

Г.Джангибеков, М.Ч.Чоршанбиева*

О НЕТЕРОВОСТИ И ИНДЕКСЕ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

Хорогский государственный университет им.М.Назаршоева,

* Таджикский национальный университет

{Представлено академиком АН Республики Таджикистан Усмановым З.Дж. 17.06.2011 г.)

Целью настоящей статьи является установление эффективных необходимых и достаточных условий нетеровости оператора A в Lp(D) (рассматриваемом над полем вещественных чисел), І К p К ж и получение формулы для вычисления индекса.

Ключевые слова: нетеровость оператора - индекс оператора -

операторная матрица - двумерные сингулярные интегральные операторы.

Адрес для корреспонденции: Чоршанбиева Майрам Чоршанбиевна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Пусть D - ограниченная область комплексной плоскости, граница Г которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Ляпунова, не пересекающихся между собой, I - тождественный оператор, m-целое число, a(z), b(z), c(z), d(z)-непрерывные в D — D^j Г комплекснозначные

функции. В пространстве Lp(D), І К p К сю рассмотрим следующий сингулярный интегральный оператор

A — a(z )I + b(z )K + c(z )S + d(z )SmK, (І)

где

(-1)mm[[e

—2im6

(Kf )(z) — f (z ), (Smf )(z) — J J f (Z )ds(

D

s — KS K — S

^m ^—mi

черта над функцией означает переход к комплексно-сопряженным значениям,

О — arg(Z — z). При m — 1, оператор (1) включается в класс операторов, изученных в работе [1], для которых получены необходимые и достаточные условия нетеровости в Lp(D), 1 < p < сю и формулы для вычисления

индекса. Случай b(z) = 0 изучен в работе [2]. Без ограничения общности ниже будем считать, что m > 1

Прежде всего, аналогично [3], устанавливаем, что оператор А будет нетеровым, тогда и только тогда, когда нетеровым является

U—

a(z

\b(z)

a(z)I + c(z)S b(z )I + d(z)Sr

;)

Ь(г)І + й(х )Бт а(г )І + с(г )Б

в и (Б), 1 < р < ж. Поскольку символ оператора Бт (см [4]) равен

(—)т (а = —\ + і—2 = 0), то, согласно [5], для нетеровости операторной

— __________________________________________________________________

матрицы и необходимо, чтобы 4вЩСА(г,Щ) = 0 для всех г Є Б, Щ = 1, где Са(%, Щ)-матрица символ оператора А (см.[6], гл. УІ.4 )

G (z; t) — (oz+c(z)t b(z)+d(z)tm\

A ; \b(z) + d(z)tm a(z) + c(z)t J '

Непосредственным вычислением получим

detGA(z, t) — \a(z) + c(z)\2 — \b(z) + d(z)tm\2 — О

для Nz Є D, \t\ — 1, где t — є—2гф — —. Вводя обозначения

а

△i(z) — \a[z)\2 — \b(z )\2, △2(z) — \d(z )\2 — \c{z)f

перепишем неравенство (2) в виде

△^z) — Д2(z) — 2Re(bdtm — act) — О

(2)

(3)

Заметим, что если неравенство (3) выполнено для всех г € О, \Щ\ = 1, то тогда △\(г) — △2(г) = 0 для У г € О, ибо тригонометрический полином

Рш(ф) — 2Re(b(z)d(z )e2mгф — a(z )c(z )є2іф

свободного члена не имеет и поэтому обязательно обращается в нуль при некотором ф: ф Є [О, 2п].

Введем обозначения

M — maxRe(bdtm — act),

—m — minRe(bdtm — act).

1*1=1

Очевидно, что неравенство (3) равносильно двум условиям

△1(z) — △2(z) > 2M(z), iz E D,

△]_(z) — A2(z) < —2m(z), iz E D,

где здесь М(г) > 0, т(г) < 0.

Лемма 1. Матрица Сл(г,Щ) - невырождение для всех г € О и Щ = 1 тогда только тогда, когда выполнено одно из двух неравенств

\^1(г)\ >Х(г) + /х2(г) + △1(г)^2(г), (4)

\&2(г)\ > х(г) + /х2(г) + &1(г)&2(г) (5)

для всех г € О, где

{

M(z), если Дj (z) > О

x(z) — ,

m(z), если Дj К О, j — 1, 2.

В соответствии с результатами леммы 1, можно доказать, что для оператора A имеется два гомотопических класса, которые можно описать в зависимости индекса двучлена a + ct из (2), а именно

т — ind (a(z) + c(z )t) — О либо т — ind (a(z) + c(z )t) — 1, thl \t\=l

при этом, если коэффициенты оператора A удовлетворяют условию (4), то т — О, а если выполнено условие (5), то т — 1.

Теорема. Для нетеровости оператора A в пространстве Lp(D) 1 К

p К то, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

\Ді(z)\ >x(z) + /X2(z) + Ді^)Д2^), Nz Є D, (6)

\Д2(z)\ > x(z) + \Jx2(z) + Ді(z)Д2(z), Nz Є D,

b(t)(c(t))m + (—1)md(t)(a(t))m — О, Nt Є Г. (7)

При этом если выполнено условие (б), то индекс оператора A равен нулю, а если выполнено условие (7), то индекс оператора A равен

к — 2Indv {b(t)(c(t))m + (—1)md(t)(a(t))m}. (8)

Доказательство. а) Пусть выполнено условие (7). Тогда, как отмечено выше, ind (a + ct) — 1 и выполнено условие (2).

10. Здесь без ограничения общности будем считать, что \a(z) + c(z)t\ > \b(z) + d(z)tm\, Nz Є D, t Є Г.

Тогда двучлен a + ct внутри единичного круга \t\ — 1 имеет один нуль a

t — — (\c\ > \a\). Перепишем оператор A в виде

c

A — qlI + blK + S + dlSK, (*)

з

а Ь а

где ді = —, Ьі = аі = -. По символу данного оператора посмотрим

с с с

матрицы

0+/,ч _ ( ді + г Ьі + аі£т)

^ (г) = ^Ьі + а1£т ді + г )'

ді + г Ьі + ахгт

Ьі + ацт ді + г .

' ді + г Ьі + аігт

Ьі + аігт ді + г

Ґ ді + г Ьі + аіЬт\

\Ьі + а,ііт ді + г ) ’

а — г

где г =------, —то < (Г1 < оо, а коэффициенты ді, ЬТ, аі зависят от точки

аі + г

г контура Г. Если теперь мы покажем, что матрицы (г) факторизуются

с нулевыми частными индексами, то из [5] будет следовать, что оператор нетеров в Ер(В), 1 < р < ж. С этой целью для матрицы ії±(і) построим

задачу Римана для аналитических в единичном круге \г\ < 1 функций №«), )):

{

Ф— (г) = (Яг + Ф+(г) + (Ьі +

ф— (г) = (Ьі + тт )ф+(г) + (ді + тт )ф2(г)1

где Ф+2(Щ), Ф—2(Щ) - неизвестные фуНКЦИИ ТОЧКИ ОКруЖНОСТИ \Щ\ = 1, аналитически продолжимые по Щ соответственно внутри и вне единичного круга.

Займемся решением задачи Римана (9). В первом равенстве системы (9) слева стоят аналитически продолжимая вне единичного круга функция, а справа аналитически продолжимая внутри единичного круга функция. По теореме Лиувилля эта функция равна постоянной, то есть Ф—(С) = С\. Тогда

>+(С ) = -^- — Ьі + 4іГ <Ці л ді + С ді + С 2'

Поставив значение Ф+(Щ) во второе равенство системы (9) и учитывая, что

Р +(Щ)

йвЮ+и) = \а\ + Ь\2 — \Ъ\ + !\Ь'\2, можно факторизовать в виде ^ , , где

г—Щ

Р +(Щ) = 0, Р —(Щ) = 0 - аналитически продолжимые соотвественно внутри и вне единичного круга функции, получим

(Ьі + Тт )сі ^+(г)

ді + г р —(і)(ді + г) 2

Ф2(г) = "V Г: + Р—(г)(дг)Ф+(г). (10)

Отсюда

р—(<™ — = %&(')■

Левая часть последнего равенства аналитически продолжима вне единичного круга функций, с исключением точки ( — -д1, где она имеет простой полюс, поэтому из теоремы Лиувилля будет следовать

^ д1 + * / д1 + г - - д1 + г

то есть

_/л (Ь1 + тт )с1 1 , с3 ч ч

ф-(с ) = ~^+г+ечо (с-+дтн1 (11)

фш ) —сз +$*+с).

Поставив выражения для Ф+(С) в (10), получим

с Ь + И Ст с

ф+«) = д^ - е+(()(ъ + с)с + с-(д + С»= -ецо {Ь1 +И ст)+

1 г Ь1 + И,1(т ■

+фТ( Г1 - ~Е+(^Г сз.

Функция Ф+(() в точке ( — -д1 имеет простой полюс и его необходимо устранить, для чего потребуем, чтобы выражение в квадратной скобке справа

^ б Т Ь1 + И1 (-д1)т

в точке С — -д1 обращалось в нуль. Тогда получим с1 — —--------------г— с3.

Е +{-д1)

Поставив это значение с1 в выражение для Ф-(С) из (10) и в выражение Ф-(() из (11), получим

*-« • -

(Ь1 + (-1)тИ1дт)(Ь1 + )сз 1 с,

ф- (<) - дг+с + ечг) {с-+дг~ну

Выбрав сначала с- — 1, с3 — 0, а затем с- — 0, с3 — 1, найдем элементы

матрицы Ф-(С) и Ф+(С)

0

ф-(С ) —

ь1+(-1)та1^т

Р+(-Я1) _ (ь 1 + {-1)тТ )(ь 1 + )

ч 1+С

+

1

Р -(С )(Я1+С),

ф+(С ) —

(

Ь1+з,1С ” ' р +(С) Ч1+С т Р +(С)

Ч1+С

Ь1+(-1)ттлдт Р +(-Ч1)

Ь1+з,1С п

р +(С)

р +(С)

)

1

1

1

При этом поскольку

4еЛФ-(С ) — Ьі+ Я

Е-(С, Е +(-<&у

то необходимо требовать, чтобы для всех г € Г выполнялось условие МС) + (-1)тИ1(С)дт(С) — 0, где С € Г.

В силу сказанного,

,,.гФ+,,) ьмЖ-Л’Х’д’Ж) /0 Г

(ЫФ {(] —------Е +(с)е +(-ш)— — 0 для УС € Г'

Таким образом, при выполнении условия

( \т ( \т

Ь(()(с((}) +(-1УпИ(С](а((}) —0 для УС € Г (12)

мы имеем

ф-(С ) — ^А(( )ф+(( )

или

. -1

йл........................

) = ф-(()(ф+(с))". (із)

Аналогично, доказывается, что при условии (12) имеет место представление

«-(С } = Ф-(С )(ф+(С))-1. (14)

В полученных для матрицы «Л±(С) представлениях (13), (14)

первые множители аналитически продолжимы вне единичного круга, а вторые внутри, причем их определители нигде в нуль не обращаются, то есть матрицы ) имеют нулевые частные индексы. Следовательно

оператор А нетеров, то есть достаточность граничного условия (7)

доказана. Необходимость условия (7) доказывается от противного с помощью

локального метода (см. [7]).

20. Здесь будем считать, что выполнено неравенство

\а(г) + с(гЩ < \Ь(х) + а(х)іт\, їгкі(Ь + 4іт) — т,

\А=1

то есть \Ь\ < \а\, и двучлен Ь + &т внутри единичного круга имеет т Ь

нулей іт — —- .В этом случае оператор А перепишем в виде. а

А — а2! + Ці К + о2Б + БтК,

а Ь с

где а2 — - д2 — - с2 — -.

ааа

По символу данного оператора построим матрицы. Для матрицы &+(*) построим задачу Римана для аналитических в единичном круге \г\ — 1 функций (Ф1((), Ф-(()):

{

ф- (г) — (а1 + с-г)Ф+ + (д- + гт)Ф+

ф- (г) — (д- + гт)Ф+ + (а- + о-Т)ф+1

(15)

В первом равенстве системы (15) слева стоит аналитически продолжимая вне единичного круга функция, а справа аналитически продолжимая внутри единичного круга функция. По теореме Лиувилля эта функция равна постоянной, то есть Ф-(С) — с1. Тогда

ф+(С ) —

с1

д- + гт д- + г

а- +с-г ф+(с ).

Далее имеем

Е-(г) ф-(*) -

с1(а- + ^ ) д- + гт

Е а

д- + г

ф

а

где левая часть аналитически продолжимая вне единичного круга, а правая часть внутри единичного круга с т-полюсами в точках дjm:

г---

дjm — V\д-\е~^~, 3 — 1, 2,.,т., ф — агд(-д-).

Поэтому эта функция по теореме Лиувилля является аналитической на всей плоскости с т-полюсами в точках дjm (3 — 1, 2,....т). Тогда

сл{а'- + ) 1

ф2(С) — -----------------т- +

д- + С

с2

+

j = с - g-jJ

и далее

фа — д- + с

Е а(С )

с2

+

j = 1

ф+(С ) —

(а- +с- () Е а(С )

с2+

с1

д- + С

+

а- + с-(

Е+(() ^=1 ( - Ът

Е

Функция Ф+(С ) имеет в точках дjm (3 — 1, 2,...,т) полюс. Чтобы устранить

2

их, представим

д + Ст — ]^[(С - Щт) j=1

1

и потребуем от свободных констант С\,с2+. (3 = 1,2,...,т), чтобы они удовлетворяли т требованиям:

______с1_______ = _ а2 + С2діт . = 12 3 т

т-г ( \ /-і | / \ с2+д, . 1, 2, 3, ,т-

11 \9jrn 9кш) р + \Qjmj

к=.

Теперь предположив, что выполнении неравенства

а2 + C2qjm = 0 на Г . = 1, 2,..,т) (16)

найдем константы с2+. через с\

Р + (д.т)с1 . 0 0

с2+. = -7----.-------\ГГ7-----------V ’ 3 = 2,2,-,т-

(а2 + с2д.т){\_ \q_jm — дкт) к=

Заметим, что условия (16) можно записать в виде

П<а2 + С'2 ) = 0, Ш е Г

.=0

или же

Ыг))т + (-1)т(с2(г))тъ(г) = 0, ш е г. (17)

Таким образом, имеем

/ 0 1

1 а2 1 т Р +(<Нт)

Ф-(Я) =

Е

Р - (С) д2 + С р - (С) = (а + с ш ( а2 + С2Л

(а2 + с2д.тШ. ^т ^

у^2 , \4jin т?+(,~\

\ к=.\ рЧЯ) )

/ д2 + ят а2 + С2

Ф+(я) =

Рг(я) Р+(я)

і 711 1 і

д2 + Ят ^ С2+. 1 а2 + С2Я^ С2+.

ЕС2+. 1 + а2 + С2Я

+ Ят р + (Я) 2-^

у Щ.Я) 5 - дт д2 + Ят р+ (я) ^ я - д. /

и в случае 20 также при выполнении граничного условия (7) матрицы 0,+-(і) факторизуются с нулевыми частными индексами, то есть оператор А нетеров Ь^)(Б), 1 < р < со.

Теперь остается доказать формулу для вычислен индекса (8). Доказательство проведетм по методу математической индукции по параметру т.

Пусть в (1) т = 1, то есть оператор А из(*) имеет вид

А = ді(х )І + Ьі(х )К + Б + йі(х )БК, тогда, как показано в работе [8], индекс оператора А равен

к = 2Іпйг(Ьі (і) — іі (і)ді(і)) = 2іпіг(Ь(і)с(і) — а(г)й(г)).

Пусть теперь при т = п — 1 указанная формула для индекса оператора А справедлива, то есть имеет место

к = 2Шг(Ь1(г)+(—1)п—Ч1(г)дг1—1(г)) = 2Шг(Ь(г)сп—1(г)+(—1)п—Ч(г)ап—1 (г)).

Покажем, что тогда для оператора А из (*) справедлива формула (8). Представлен оператор А из (*) в виде

А = ді(х )І + Ьі(г)К + Б + Іі(х )Вп—і =

= ді(х )І + Ьі(г )К + Б(І + йі(г)Бп—іК). (18)

Поскольку \йі(г)\ = 1, то, как известно (9), оператор

Ті = І — Іі Бп—іК

пространства Ир(0), (1 < р < о) обратим.

Умножив обе части (17) справа на обратный оператор Ті с точностью до вполне непрерывного оператора, получим:

АТі = (діІ + ЬіК )(І — йі Бп—іК) + Б(І + йі Бп—і К )(І — йі Бп—іК). Воспользовавшись формулой композиций операторов

Бп—і Бп—і = І — Вп—і + Т,

где Вп—і - обобщенный оператор Бергмана порядка т — 1 [1], а Т вполне непрерывный оператор, получим

АТі = Ы + ЬіК )(І — йі Бп—іК) + Б[(І — Щ2) + \йі\2 Вп—і\ = = (діІ + ЬіК + Б — ді йі Бп—іК) — Ьійі Бп—іК — \іі\2 Б(І — Вп—і).

Оператор в первой скобке справа имеет вид оператора А с параметром п — 1 и, следовательно, по предположению индукции его индекс равен:

к = 2іпіг (Ьі + (—1)п—і дідгп—1 йі) = 2ІпйГ(Ьі + (—1)п—1дгпйі).

Построив теперь смейство нетеровых операторов

Тх — (діІ + ЬіК + Б — дійі Бп—і К) — Хйі(Ьі Бп—іК) — (іі Б(І — Вп—і),

где 0 < Л < 1, мы сопоставим оператор ЛТ\ нетревому оператору

Ло = + Ъ\К + 13 — Вп-\К

с индексом к из (8). Формула для индекса доказана.

б). Пусть теперь выполнено условие (6) теоремы. Тогда по схемы пункта а) доказывается,что матрицы-символы безусловно факторизуются с

нулевым частными индексами. В этом случае оператор А обратим.

Поступило 22.06.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джангибеков Г. - ДАН СССР, 1991, т. 319, №4, с. В11-В15.

2. Джангибеков Г., Бакоева М. - Вестник Хорогского университета, 200б, серия 1, №7, с.1б-23.

3. Векуа Н.П. - Системы сингулярных интегральных уравнений. - М, Наука,1970, 379 с.

4. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.Физматгиз, 19б2, 254 с.

5. Duduchava R. - J. Operator Theory, 19В4. v.ll. pp. 41-7б.

6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.Высшая школа, 1977.

7. Симоненко Н.Б. - Изв. АН СССР. сер.мат., 19б5, т.29, №4, с. 5б7-5В0.

В. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. - Успехи математических наук, 19ВВ, т.43, в.В, с.171-172.

Г.Джангибеков, М.Ч.Чоршанбиева* ОИДИ НЁТЕРОВИ БУДАН ВА ИНДЕКСИ ЯК СИНФИ ОПЕРАТОРИ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА

Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев,

* Донишгощи миллии Тоцикистон

Дар макола шарти зарури ва кифоягии эфектноки нётеровии оператори A дар Lp(D), (дар майдони ададхщ х,акики дидабаромадашуда) і < p < ж баркарор карда шуда, формула барои хисобкунии индекс ба даст оварда шудааст.

Калима^ои калиди: нетерови будани оператор - индекси оператор -матрисаи оператори - оператори интегралии сингулярии дученака.

G.Jangibecov, *М.Ch.Chorshanbieva ON THE NOETHER AND THE INDEX OF A CLASS OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR INTEGRAL OPERATORS

M.Nazarshoev Khorog State University,

* Tajik National University

The purpose of this article is to establish an effective necessary and sufficient conditions and Noetherian operator A in Lp(D), (considered over the field) 1 <

p < oo and getting the formula for the calculation of the index.

Key words: Noetherian - the index of operator - operator matrix - two-

dimensional singular integral operators.