О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с характеристиками, зависящими от полюса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.2

Г.Джангибеков, Н.Г.Валиев

О НЕКОТОРЫХ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПОЛЮСА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 21.05.2014 г.)

В работе найдены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости оператора A в весовых пространствах Лебега Lp 2(D) , 1 < p < го, 0 < ß < 2 и получены формулы для

ß p

вычисления индекса.

Ключевые слова: нётеровость оператора - индекс оператора - операторная матрица - двумерные сингулярные интегральные операторы.

Пусть D - ограниченная область комплексной плоскости, граница Г которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Ляпунова, не пересекающихся между собой, и содержащая внутри точку z = 0, I - тождественный оператор, a(z), b(z), c(z), d(z), q(z) - непрерывные в

комплекснозначные функции, причём | q(z) \< q0 < 1 при всех z e D.

В пространстве Lp ¿(D)(1 < p < го, 0 <ß< 2) :

ß p

ß- A

LPp(D) = {f (z) : | z | ß p\f (z) \ = F(z) e Lp(D),| | f \\= | | F 11£,}

ß p ß-2 L

p

рассмотрим следующий сингулярный интегральный оператор

A = a( z) I + b( z)K + c( z)Sq + d (z)sqK, (1)

где

f (C)dsc

(Kf )(z) = f (z), (Sqf)(z) = -1 jj

я- » (С-2 + д(2)(С-z))2

черта над функцией означает переход к комплексно-сопряженным значениям, а двумерный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Оператор (1) в случае д( z) = 0 изучен в работе [1]. В [2] нами был исследован случай, когда в

(1) Ь(z) = с(£) = 0 и | 2) | < < 1. В данной работе устанавливаются необходимые и достаточные условия нётеровости сингулярных интегральных операторов типа А в лебеговом пространстве Ьр 2 (П) и получены формулы для вычисления индекса.

^ п

Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рубаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Поскольку символ оператора 8 (см. [2]) равен

Фг (%) = 1-^Т' (а = % + %' 0 <1 а |<

1 - д( г) а

то тогда, согласно [3], свойства оператора А определяются свойствами матрицы

Г а а Л

а( г) + с( г)-2—=г Ь( г) + й ( г)

о, Ъ) =

1 - д( г) % 1 - д( г) ъ

Ь( г) + й ( г )-%—=г а( г ) + с( г)-

1 - д(г)% 1 - д(г)%у

.г е В.

Лемма. Матрица (а) невырождена для всех г е В(а Ф 0) тогда и только тогда, когда выполнено одно из неравенств

| Д( г) |>| Л( г) - Д( г)д( г) | + | г) |, У г е В, (2)

| Д2(г) - Д^г) | д(г) |2 -2Яв(Л(г)д(г)) |>| Л(г) - Д^г)д(г) | + | г) |,Уг е В, (3)

где

Д( г) = | а |2-| Ь |2, Д2=|с |2-| й |2, Ж = ас - Я, ц = ай - Ьс. Рассмотрим следующие ограниченные в Р (В), (1 < р < ГО 0 < ( < 2) операторы

Т = а(г)1 - Ь(г)К, Т2 = й(г)1 - с(г)К . Из леммы следует, что при выполнении условия (2) оператор Т имеет непрерывный обратный оператор Т -, причём

А = ТГА, А = Дх( г) I + Ж г)8д + М г)КБг

В случае (3) оператор Т2 имеет непрерывный обратный оператор Т21

А = Т2-14, А2 = и( г)1 -Ж(г)К-Д2(г)КБд.

Таким образом, исследование нётеровости и индекса оператора А сводится к соответствующему исследованию операторов А1 и А. Из результатов [3] следует, что для нётеровости А необходимо выполнение (2) или (3). Имеет место

Теорема. Для нётеровости оператора А в лебеговом пространстве

Ьр 2( В)(1 < р < го, 0 <(< 2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

( р

| \(г) |>| Л(г) - Д(г)д(г) | + | г) |, Уг е В, (4)

| Д2(£) -Д(£) | д^) | 2 -гЩ^Жz)) | > >| Л(z) - Д(¿)д(z) | + | /(z) | ,Vz е П; /) Ф 0уг е Г.

(5)

Лри этом, если выполнено (4), то оператор А имеет ограниченный обратный оператор, а при выполнении (5) его индекс к равен

к = 21п^Т /л(т).

Схема доказательства. 1. Рассмотрим сначала случай (5). Для нётеровости оператора А необходимо выполнение условие (3). Соответствующая оператору А матрица-символ имеет вид

0(1)(ст) =

/( z )

-(Л( 1) + Д 2 (¿)-

ст

)

1 - д(z)

-(Л( х) г)

т)

1 - д( z)

л е П.

По данной матрице построим следующие матрицы

(

О (г) =

/(т)

-(Л(т): Д 2(т)-^т )Л 1 - д(т)г

О (г) =

-(Л(т): Д 2(т)

/(т)

1 - д(т)г

)

/(т)

>теГ,

\

-(Л(т): Д2(т)

1 - д(т)г

-(Л(т) :Д2(т)

1 - д(т)г

)

/(т)

>теГ,

СТ - г

где г = —1—т, - го < ст < го. Если мы покажем, что матрицы От (г) факторизуются с нулевыми ча-

ст : I

стными индексами, то из [3] будет следовать, что оператор А нётеров в указанных пространствах. С этой целью для матрицы 0+т (г) построим задачу Римана для аналитических в единичном круге | С |< 1 функций (Ф,(С),Ф2(С)):

Ф- (г) = /(т)Ф: (г):

Ф-(г) =

-Л(т): (Д (т)г: Л(т)д(т))г

Ф: (г),

г -Л(т): (Д (т)г: Л(т)д(т))'гл

1 - д(т)г

1 - д(т)г

ф: (г) :/(т)Ф: (г),

V

<

где (Ф^2(1 ),Ф-2 )) - неизвестные функции точки окружности 111= 1, аналитически продолжимые

по t соответственно внутри и вне единичного круга | С |< 1.

Займемся решением задачи Римана (6). В первом равенстве (6) слева стоит аналитически про-должимая вне единичного круга функция, а справа аналитически продолжимая внутри единичного круга функция. По теореме Лиувилля эта функция равна постоянной, то есть

Ф-(С)=с, ^ + (Д Дt -Д ф; (о=ср

1 - Ф

или, предположив, что для любых т е Г, и(Т Ф 0, имеем

Ф = с,_ (Д Д-Дф (7)

и (1 -

Поставив значение Ф; (^ во второе равенство системы (6) и учитывая, что

+ /Л — I ,, |2 I 1 , А2t |2

detGт (0 =| и |2 -1 -Д;

1 - дt

р ; и)

можно факторизовать в виде —I— , где Р+ (Г) Ф 0, Р ^) Ф 0 - аналитически продолжимые соот-

Р - ^ )

ветственно внутри и вне единичного круга функции, получим

Ф-) = с^-^Ш^ ; 1 • ^ Ф;).

(1 - ф )и и Р ^)

Отсюда

F-(,)(Ф^¡(,)_C1-А2±ii}l_l) = ШфШ (8)

(1 - ф )и и

Левая часть последнего равенства аналитически продолжима вне единичного круга функций, а правая часть внутри единичного круга, следовательно

Р - (Г ХФ; (t) - ) = с2,

(1 - дt )и с2и

Далее найдём

ф; (с) = . (9)

^ Р+ (С)

^^ с2 Д2;сЖд-Л£

Ф- (С) = ; сг 2 1 4 ^

Р (С) 1 (С-д)и

Поставив значение (9) в (7), найдём

ф+ (О) = С1 - с (Д2 + с1Ад)С-А 1КО) / 2 (1 - дО)Р + (О '

Теперь, выбрав сначала с = 1? с2 = 0? а затем с = 0? с2 = 1, найдём элементы матрицы Ф (О) и

ф+ (О)

ф_ (О) =

1

0 Л

Д2 + Ад -АО 1

ф+ (О) =

ч (О-д)/ Р~О)) Г1 (А2+Ад)С-Ал

/ (1- до р+(О) 0

р+ (О)

При этом

detФ (О) = —1— Ф 0, detФ+ (О) = —1— Ф 0 для любых Ое В.

р (О) Р + (О)

Таким образом, при выполнении условия /(т) Ф 0, для любых т е Г мы имеем

Ф+ Ц) = С+ (t)Ф+ ^),

или же

а; ^) = Ф- (t)(Ф+(t))-1.

Итак, при выполнении условия /(т) Ф 0, для любых т е Г матрица О+ ^) факторизуется с нулевыми частными индексами, то есть допускает явное представление в виде

Г 1 0 V 1 0 Л

О ^) =

Д2 + Ад -А 1

/

(Д2 + Ад) t -А

. (1- д)р+^) р^.

(t - д)м Р- (t) )

где вторая матрица справа аналитически продолжима по переменной t внутри единичного круга Ю1< 1, а первая матрица вне единичного круга.

Аналогично доказывается, что при условии /(т) Ф 0, т е Г матрица О- ^) также факторизу-ется с нулевыми частными индексами.

Таким образом, при /(т) Ф 0, т е Г из результатов [3] следует, что оператор А нётеров в

пространстве Рр 2( В) (0 <Р< 2, 1 < р <ю). Если же выполнено (3), но нарушено условие

р р

/(т) Ф 0, т е Г, то оператор А не может быть ф+ или ф оператором в

ЬРр_ 2(П) (0 < / < 2, 1 < р < да), ибо, как нетрудно проверить, в этом случае матрица О+ (г) факто-

ризуется с частными индексами к+ = 1 и к =—1:

(

О+ (г) =

—Х + А '

1 — дг

х+^С >

1 — дг 0

( О Д2+Хд — ХЛ

0

1 - дг

V1 о

V 0 г У

Д2 + Хд — Хг 0

0

1

1 — дг

Теперь остается доказать формулу для вычисления индекса оператора А. Для этого рассмотрим семейство нётеровых операторов

Мг=/( 2)1 — УХ( 2)К — Д2( 2)КБч ,

непрерывно по норме зависящих от параметра ге[0,1]. Поскольку Мх = А и М0 = /(2)1 — Д2 (2)КЗд, то из результатов [2] следует, что индекс оператора А равен = 21пйт/(:).

2. Пусть выполнено (2). Тогда так же, как в пункте 1, доказывается, что соответствующая матрица О+ (г) безусловно факторизуется с нулевыми частными индексами, и тем самым из [3] следует, что оператор А при условии (2) нётеров в Ьр 2(П), 0 < 3 < 2, 1 < р < да. Далее заметим, что в

3 р

пространстве 1? (П) норма оператора £ имеет оценку

I 1^1 и П) < ™х1ф 2) I-цд •

I «1=1' 1 д0

Тогда при условии | Д (2) | > 1 Х(2)1 + 1 /(2) 1 из принципа сжатых отображений следует обратимость

1 — д0

оператора А1 в (П). Рассмотрим семейство нётеровых операторов

МУ=ДХ( 2) I + Х( 2)К + /(2)К£Щ,

непрерывно по норме зависящих от параметра ге[0,1]. Поскольку Мх = А и

М0 =Д (2)I + Х(2)К +/(2)К£, то из результатов [1] следует, что оператор А обратим в Ьр(Б)(1 < р < да), а в силу теоремы 1 из [2] в Щ_21 р(П), (1 < р < да, 0 < / < 2) .

Обобщение. Аналогичный результат в лебеговом пространстве

Ьр 2 (П) (1 < р < да, 0 < 3 < 2) получен для оператора

3 р

А = а( 2) I + Ь( 2)К + с( 2)£пц + й (2)£тчК,

где

|2( т-1)

(Sqf J. ^ ^

\С-zV f О) dsc

ж JJ ((О-z)m + (-1)m-1 q(z)(£-z)m)2

Поступило 25.05.2014 г

ЛИТЕРАТУРА

1. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. - Об одном сингулярном интегральном операторе. - Успехи математических наук, 1988, т.43, в.3, с. 171-172.

2. Джангибеков Г., Валиев Н. - Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с характеристиками, зависящими от полюса. ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с. 10-17.

3. Duduchava R. - On multidimensional singular integral operators. - Journal of operatorth teory, 1984, v.11, pp.41-76; pp.119-214.

4. Михлин С.Г. - Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 254 c.

Г.Джангибеков, Н.Г.Валиев

ДАР БОРАИ БАЪЗЕ ОПЕРАТОРНОЙ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА БО ХАРАКТЕРИСТИКАИ АЗ ЦУТБ ВОБАСТА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола шартнои зарурй ва кифоягии самараноки нётеровй будани як синфи операторной интегралии сингулярии дученака бо характеристикаи аз кутб вобаста дар фазой

Лебегии вазндори Рр 2(В), 1 < p < го, 0 < Р < 2 ёфта шуда, формула барои нисобкунии индекси

Р р

оператор носил карда шудааст.

Калима^ои калиди: нётеровй будани оператор - индекси оператор - матрисаи операторы - опе-ратори интегралии сингулярии дученака.

G.Jangibekov, N.G.Valiev ON THE ONE CLASS OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR INTEGRAL OPERATORS WITH CHARACTERISTIC DEPENDING OF POLE

Tajik National University In this note we establish effective necessary and sufficient conditions for the Noether property for one class of two-dimensional singular integral operators with characteristic depending of pole in the

Lebesgue space Lp 2(D), 1 < p < ro, 0 < P < 2 with a weight, and we obtain formulas for computing their

p p

indices.

Key words: Noetherian - the index of operator - operator matrix - two-dimensional singular integral operators.