CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Г.Джангибеков, Г.Козиев
ОБ УСЛОВИЯХ НЁТЕРОВОСТИ И ИНДЕКСЕ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕЧЁТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ И РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р. Раджабовым 11.08.2017 г.)
В работе изучается двумерный сингулярный оператор с нечётной характеристикой и разрывным коэффициентом. Найдены необходимые и достаточные условия нётеровости в лебеговых пространствах и получена формула для подсчёта индекса.
Ключевые слова: нётеровость оператора, индекс оператора, операторная матрица, двумерные сингулярные интегральные операторы, оператор Бергмана.
Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку г = 0; а(г), Ь(г), с(2) -
комплекснозначные непрерывные в D = D функции; В1 (г, С) - поликерн-функция Бергмана области D, представимая через функцию Грина для оператора Лапласа G(г) в виде (см. [1])
В[( г,0 = -±- У (" А С М-г)к (С-1)1 3""
4^¿/=0(к +1)!(/ +1)! -1 -Г ^ 7
где
к _ а(а- 1)К (а-к +1)
С к _
/-у
к!
Функция В1 (г,С) имеет особенности лишь при г = С еГ . Настоящая статья посвящена исследованию уравнения
а(г)/(г) + ^ _£_ Ц ^¡¡В&О/^с = д(г), (1)
гжг | г | в | С г | в
где г е D, в = - г), - элемент плоской меры Лебега, первый интеграл понимается в
смысле главного значения по Коши.
Очевидно, если Ъ(0) Ф 0, то коэффициент при сингулярном интеграле имеет в точке г = 0 существенный разрыв такой, что частичные пределы заполняют некоторую окружность. Уравнение
Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа.734025, Република Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. Е-таП: [email protected]
(1) в случае, когда D = {z :| z |<1},a(z) = 1, b(z) = const,c(z) = 0, изучено в работе [2], где построена теория его разрешимости. Отметим, что уравнения с четными характеристиками и разрывными коэффициентами исследованы ранее (см напр.[3-5]). Указанные работы были выполнены под влиянием работ Л.Г.Михайлова [6,7] по интегральным уравнениям с однородными ядрами.
В данной работе предполагается, что искомая функция f (z) и свободный член g(z) принадлежит банахову пространству 2/ (D) :
L'p-vpiP) = ifV) :1 * № = т е Lp{D\\\ f \\LU=\\ F\\LP),
где 1< p < да, 0 < ( < 2.
При этом, хотя функции, входящие в 2/ (D), являются комплекснозначными, само
пространство будем считать вещественным, то есть будем рассматривать его как линейное множество над полем вещественных чисел. Тогда не только оператор с поли-керн ядром Бергмана, но и другой оператор из (1), являющийся композицией сингулярного оператора с операцией комплексного сопряжения, будет обычным линейным ограниченным оператором в Lp_2/ (D), что
следует, например, из [8].
Всякий линейный ограниченный функционал на рассматриваемом (вещественном) пространстве 2/ (D) единственным образом представим в виде
(f ,у) = Rettf (zM z)dsz Lp_ . (D), - + -1 = 1.
d 3 P P
В соответствии с этим сопряженным к (1) будет уравнение
а(2)¥(2)--1 + ГГс(С)А(С, = z е Б, (1*)
2жг^ | С КС-z)2 Б С
гДе ИzЧ(г) е р (Б).
В случае нётеровости под индексом уравнения (1), как обычно, понимается разность между числом линейно-независимых решений однородного уравнения (1) в 2/ (Б) и числом линейно-
независимых решений однородного (1*) в ¿р'^_2/ , (Б).
1. В этом пункте будем предполагать, что Б = ^ :| z |< 1}. Прежде всего, опираясь на [1], доказывается, что функция В1 (z, С) имеет вид
__-1а ю 1 ^
в^,С)= — 2 £(- 1)кк(С[)2^-10 -°)т, (2)
ж 11 - zQ | к=1 2
— I С ~ 2 |2 I I
где ск = а^(1 — гС), и =|-=| , |ст|<1. Выражение (2) можно привести к виду
1~ гС
е-га ад
m\1-zO |2 k=1 Ö -,+k
^-ZC\ k=1 2 2
Введем следующие обозначения
1 e-w _
(Sf )(z) = — ff--- f O)dso > z G D>
Im D \ 0 - z \ 0
1 rr e'e —
(S-if)(z) = — JJ—— f 0)dsc > z g D,
2m' D 10 z 1
(Bf)(z) = ffBi(z0)f (O)dSo z G D.
D
Для дальнейшего нам потребуется следующее утверждение из [1]
Лемма 1. Пусть f (z) G Lp_2/p (D)>1< p < оэ,0< ß <2> тогда операторы I-B1 -S1S1>
S_ 1B1> B1S1, B12 -B1 вполне непрерывны в Lp_2/ (D).
Теорема 1. Пусть в (1) a(z), b(z), c(z) непрерывны в D, b(0) = 0. Если \ a(z) \ + \ b(z) \Ф 0
при z g D, a(t) + c(t) Ф 0 при t gT, то уравнение (1) н в каждом из пространств Lp_ 2/ (D),
1 < р < оо, 0 < ß < 2; его индекс ж =—IndT{a(t) + c(t)}, однородное уравнение (1) (а также
однородное уравнение (1*)) имеет одни и те же решения во всех указанных пространствах.
z
Замечание 1. Если выполнены условия теоремы 1 и b(z)-= c(z) , то (1) безусловно
\ z \
разрешимо единственным образом в 2/ (D) .
Пусть теперь n Ф 0, b(0) Ф 0. Если при этом a(0) = 0, то условия нётеровости уравнения (1) и формула для вычисления его индекса вытекают из теоремы 1.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно переписать (1) в эквивалентном виде:
^ J a( z)f ( z) + bz) ff j^f f (C)dsc+[ ^ V\c( z)JJb.( z,0)f (Ods,
z \ J / ч , b(z) (•(• e . z
""" J O- z\ V\z\y
0 +
+ ^с(г)(1— | г |)ЦХ(г,С)ДС)^ = д(г), г е D,
и учесть, что последний оператор в левой части является вполне непрерывным в Цр 2 (О).
^ р
В случае а(0) Ф 0 условия нётеровости уравнения (1) можно найти с помощью локального метода И.Б.Симоненко [9], исходя из результатов работ [10]. Однако при этом останется нерешённой задача нахождения формулы для индексов. Эту трудность удалось преодолеть за счёт построения операторов А и А1:
Ь(0) _£ 2ж1 | z
(для его нётеровости необходимо, в частности, чтобы | а(0) |ф| Ь(0) |);
(Л/)(z) = а(0)/(z) + \\т^—2Г/(С^С, z е Б,
2жг | z | -Л | С - z |
(А/)^) = (| а(0) |2 +1 Ь(0) |2) {(а(0)а^) + Ь(0)Ь(z))/(z) +
+ -Ь(0)0(Ю)-1 (а(0))-1[| Ь(0) |2 а(£) -
ж 2ж | z | Б С-z |2 С
-а(0)Ь(0)Щ + (| а(0) |2 +1 Ь(0) ^Щб^О/С^с}, z е Б,
Б
для которых справедлива
Лемма 2. Пусть Б = {z :| z |<1} а(z), Ь(z), с(z), непрерывны в Б, а(0) Ф 0, | а(0) |ф| Ь(0) | и А - оператор, образованный левой частью (1). Тогда
А = А0 А1 + Т\->
где Т1 - вполне непрерывный в 2/ (П) оператор.
Теперь с учетом известных фактов общей теории линейных операторов для получения условий нётеровости уравнения (1) в 2/ (Б) и формулы для его индекса достаточно применить к
оператору А результаты [2], а к оператору А1 - теорему 1.
2. Переходим к рассмотрению уравнения (1) в случае произвольной области Б, описанной в начале статьи. Пусть 7 = а>(z) - однолистное конформное отображение области Б на круг | 7 |< 1, причем со(0) = 0; z = х(<) - обратное отображение.
Для функция Грина G(z, С) области Б справедлива формула (см. [1, с.252,258])
G( z,С) = ln
1 -м( z)м(С)
а(С) -м( ^
откуда
-)2
В(z о = -1д = I Мz>XС)
ж дzдС ж (1 -м(zМС))2'
где штрихом обозначена производная.
Подставим это выражение для В1(z¿) в уравнение (1) и произведем там замену переменных ^ = х(ю), z = %(&). В результате, используя известные свойства конформных отображений (см. [8, с 399, 411]), получим
a1(a)f1(a)+Ц +
2жг la а-а |
I I |а|<1 I I
+— ft Bl(aa)fi(a)dsa+ (fa) = д(а), | а |< 1, (3)
Ж |а|<1
где T2 - вполне непрерывный в L 2(D)(\a |<1) оператор; a1(a) = a (х(а)),
7 / ч l а | х(а) х'(a),,, ^ ¿1(a) = ',/., ^тНb (х(а)),
a | х(а) | х (а)
Cx(a) = с(х(а)), f1(a) = f (х(а)), а(а) = g(x(a)).
Поскольку х'(а) Ф 0 (| а |< 1), то из того, что f (z), g(z) e Lp 2 (D), следует
5 p
^(а),g1(a) e Lp 2(|а |<1) и обратно, а из непрерывности a(z), b(z), c(z) и D вытекает
5 p
непрерывность а1(а), Ь1(а), с1(а) при | а |< 1. Заметим еще, что Ь1(а) =| Ь(х(а)) |.
Теми же, что и выше, заменами переменных z, С уравнение (1*) приводится к уравнению, сопряженному к (2), если положить у/1 (а) =| х'(а) |2 щ(х(а)), q1 (а) =| х'(а) |2 q(х(а)).
Применяя к уравнению (3) результаты и рассуждения п. 1, получим утверждения о разрешимости исходного уравнения (1).
Прежде всего (доказывая особо совпадение решений однородного уравнения во всех рассматриваемых пространствах) заключаем, что теорема 1 остается справедливой также в случае, когда D - произвольная область, описанная в начале статьи. Далее имеет место
Теорема 2. Пусть в (1) a(z), b(z), c(z) непрерывны в D и a(0) = 0). Если | a(z) |ф| b(z) |, z е D, e a(t) + c(t) Ф 0 при t еГ, то:
1) уравнение (1) нётерово в каждом из пространств Lp_ 2/ (D), 0< 5 <2, 0< p < да ;
причем его индекс равен >с = —Indr{a(t) + c(t)} +1;
2) однородное уравнение (1) (а также (1*)) имеет одни и те же решения во всех указанных пространствах.
В случае а(0) Ф 0 для удобства формулировки результатов введем предварительно некоторые обозначения. с сингулярным интегральным оператором Коши и оператором с однородным ядром степени — 1:
(*гЛ )(г) = — } ^ dp, (&к/к )(Г ) = -Г1 ©к (£)/к (р^р.
7Г1 * р — Г 7Г1 * Г Г
Согласно результатам [11] и [12], символы этих операторов соответственно имеют вид:
1 ад
зр (х) = т( х + ¡р), Нк (х) = — к (р)р^+г4р
т о
где
ег +
z = •
Р - показатель веса пространства Lp_vp (0,1) из интервала (0,1)(1< p < œ). Оператору A0
сопоставим предсимвол
Ak,p(x) = 1+1 Я|2 [s2p(x) + 2sр(x)Hk(x) + H2k(x)], (4)
где x e (—œ, +œ), Pe (0,1), к = 0,1,K.
По предсимволу (4) определим символ оператора Д,
Г Ak p (x), если x g (—œ, +œ), Akp,p (x,^) = [1+ | Я|2 s2p (£), если x = ±œ, (-œ, +œ), (5)
; = b(0) l где Я -|a(0)1.
Теорема 3. Пусть a(z), b(z), c(z) непрерывны в D и a(0) Ф 0. Если | a(z) | + | b(z) |Ф 0, z g D,a(t) + c(t) Ф 0 t еГ, и
N0
nAk,p,p(x,^) Ф 0, — œ < x <+œ, — œ<^< +œ,
k -0
то:
1) уравнение (1) нётерово в LPp_2/ (D), при этом индекс уравнения (1) равен
ж = -IndT {a(t) + c(t) } + >спВ (Л),
^ *пР =TÏÏ=0IndA*.fi.p(X>&>
2) для рассматриваемого фиксированного значения /, 0 < / <2, однородное уравнение (1) имеет одни и те же решения во всех пространствах. 2/ (Ц), а однородное уравнение (1*) - в
¿£/3-2/р (D), 1< Р <
Замечание 2. Указанные в теоремах 1-3 условия нётеровости уравнения (1) в ¿р2/р(0~)
являются необходимыми, что доказывается с использованием некоторых рассуждений и результатов [10]. Более того, при нарушении этих условий оператор, образованный левой частью (1), не имеет в ¿р- 2/р ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов.
Обобщение. Изложенные выше результаты сохраняются, если вместо непрерывности с( 2)
в D предположить лишь, что она является измеримой ограниченный функцией и имеет на Г равномерно достигаемые предельные значения, образующие непрерывную функцию с ^). Чтобы
убедиться в этом, достаточно заметить, что существует функция с0(2), непрерывная в D и совпадающая на Г с с( г), благодаря чему в представлении
с(2)\\В(2,£)/(£)Жс = Со( 2) ||В(
о £>
+[с(2) -Со(2)]||в(2,0/(С)Жс
D
второе слагаемое дает вполне непрерывный в 2/ (D) оператор.
2 —
Добавим к этому, что если в (1) а(2) = а0(2)-, где а0(2) непрерывна в D, п1 - целое
I 2 |
1 2 |
число, то для сведения к рассмотренному случаю достаточно умножить уравнение (1) на-.
2
Поступило 09.01.2018г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джангибеков Г. - ДАН РТ, 2002, т.383, 1, с.7-9.
2. Джангибеков Г. - ДАН РТ, 2015, т.58, 11, с.963-969.
3. Джангибеков Г. - Докл АН ТаджССР, 1977, т.20, 5, с.3-7.
4. Бильман Б.М., Джангибеков Г. - ДАН СССР, 1986, т.288, 4, с.792-797.
5. Джангибеков Г. - Известия вузов, Математика, 1992, 9, с.25-37.
6. Михайлов Л.Г. - ДАН, 1970, т.190, 2, с.272-275.
7. Михайлов Л.Г. - ДАН, 1970, т.190, 3, с.521-534.
8. Голузин Г.М. - Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966, 626 с.
9. Симоненко Н.Б. - Изв.АН СССР. Сер.матем., 1965, т.29. 3, с.567-586.
10. Джангибеков Г. - Докл. АН ТаджССР, 1981, т.24, 2, с.80-85.
11. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. -Тбилиси: Мецниераба, 1979, 133 с.
12. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. - Душанбе: Дониш, 1966, 47 с.
Г.Ч,ангибеков, Г.Козиев
ОИДИ ШАРТХОИ НЁТЕРОВИ ВА ИНДЕКСИ ЯК СИНФИ МУОДИЛАХОИ СИНГУЛЯРИ ИНТЕГРАЛИИ ДУЧЕНАКА БО ХАРАКТЕРИСТИКАХОИ ТОК ВА КОЭФФИСЕНТХОИ КАНИШНОК
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола як намуди оператори интегралии сингулярии дученака бо характеристикаи ток ва коэффитсиенти канишнок омухта шудааст. Шартдои зарурй ва кифоягии нётеровй будани ин оператор дар фазои лебегй ёфта шуда, формула барои дисоб намудани индекси он досил карда шудааст.
Калима^ои калидй: оператори интегралии сингулярй, нётеровй будани оператор, индекси оператор, символи оператор.
G.Jangibekov, G.Koziev ON THE CONDITIONS OF NOETHERIAN AND INDEX OF ONE CLASS OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS WITH ODD CHARACTERISTIC AND BREAKING COEFFICIENTS
Tajik National University
Two dimensional singular operator with odd characteristic and breaking coefficients is studied in the paper. Effective necessary and sufficient conditions for Noetherian in the space of lebeg and the formula for the rate of index are found.
Key words: singular integral operators, noetherian operators, the index of operator, operator.
