CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, Г.Джангибеков*, М.Ч.Чоршанбиева*
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И ОПЕРАТОРЫ БЕРГМАНА
Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан,
Таджикский национальный университет
В работе исследуются некоторые классы систем двумерных интегральных уравнений, содержащих сингулярные операторы и операторы Бергмана по ограниченной области. Найдены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости в лебеговых пространствах и получена формула для вычисления индекса.
Ключевые слова: нётеровость оператора - индекс оператора - операторная матрица - двумерные сингулярные интегральные операторы - оператор Бергмана.
Пусть О - конечная односвязная область комплексной плоскости г, ограниченная простой
замкнутой кривой Ляпунова Г; И = И и Г, обозначает керн-функцию Бергмана области /)
(см.[1,с.252]), представимую в виде
У Ж(1 — с( 2)Ш(С))
где с(г) - однолистное комформное отображение области О на единичный круг, штрих обозначает производную, а черта над функцией - комплексное сопряжение; В и В - интегральные операторы
соответственно с ядрами В(г, £), В(г, £) :
(В/)( г) = Ц В( г,0/(0ё8(, (В/)( г) = Ц Щ^)/ (£)&£
О Б
5т - двумерный сингулярный интегральный оператор с чётной экспоненциальной характеристикой порядка т:
—21тв .
(Smf)(z) = mtir JJ if) A{, в = arg(f - z),
ж D 1С- z I
где т — натуральное число, - элемент плоской меры Лебега; последний интеграл понимается в
'С
смысле главного значения по Коши.
Адрес для корреспонденции: Чоршанбиева Майрам Чоршанбиевна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Рассмотрим систему уравнений
N
(Л/)( ^ = а( г)/( г) + ^ Ът ( г)(8т/ )(г) +
т=\ (1)
+с(г)(В/)(г) + ё(г)(В/)(г) + 5(г)(в/)(г) = д(г), г е Б,
где N - натуральное число, а(х), Ът (г), с(г), ё(г),5(г) - непрерывные в Б квадратные матрицы-функции порядка п , /(г) и д(г) - соответственно искомая и известная вектор-функции размерности п , принадлежащие Ьр (Б), \ < р < да ; действие матрицы на вектор понимается в смысле скалярного умножения строк матрицы на этот вектор.
При некоторых дополнительных требованиях гладкости коэффициентов система (1) включается в класс систем двумерных сингулярных интегральных уравнений в [2, с.126 -165], где она редук-цируется к краевым задачам для эллиптических систем дифференциальных уравнений.
Система (1) может быть отнесена также к общим многомерным сингулярным интегралным уравнениям, для которых в [3] даны необходимые и достаточные условия нётеровости в
Ьр (Б), \ < р < да, содержащие требование равенства нулю частных индексов матрицы-символа в точках Г.
В [4] изучен случай, когда 3( г) = 0, где получены необходимые и достаточные условия нётеровости в Ьр (Б), р > \ и найдена формула для подсчта индекса.
Нашей целью явилось получение для системы (1) эффективных необходимых и достаточных условий нётеровости и нахождение формулы для вычисления индекса. Под индексом здесь понимается разность между числом линейно-независимых решений (над полем вещественных чисел) однородной системы в Ьр (Б) и числом линейно-независимых решений однородной сопряжённой (транспонированной) системы в пространстве Ьр (Б), + у = \. Прежде всего, использовав тождества
в = I - 88+т, В = I - +т,
где I - тождественный, а Т - вполне непрерывный операторы, 8 = 8, преобразуем (1) к виду, не содержащему операторов В и В :
(Л/)( г) = (а( г) + с( г) + ё ( г))/( г) + 6( г)/( г) + £ Ъп ( г)(8п/)( г) -
т=\ (2)
-с(г)(88/)(г) - ё(г)(8/)(г) - 3(г)(Ж/)(г) + Т = д(г) .
Введя новые функции
а\) = (8/Ш г) = / 2) и перейдя в (2) к комплексно-сопряженным значениям, напишем эквивалентную систему уравнений
N
N
(а + с + ё)/ + £ Ът8т/ + - \- й^щ + Т = g,
т=\
_ ____N _ _ _____ _
8/ + (а + с + й)/ + £ Ът8т/ -58®\- с8Щ\ - + Т = g,
т=\
- 8/ + щ= 0,
- 8/ + Щ \ = 0,
- 8/ + щ = 0,
- 8~/= 0.
(3)
Так же, как в [5, стр. 274], устанавливается, что система (1) будет нётеровой тогда и только тогда, когда нётеровой является операторная матрица
( А Л\ \ К г) I -с(г)8 -5(г)8 - -й ( г ) 8 0 ]
3( г) I Л \ \ -5( г)8 -с( г) 8 0 -й ( г)8
Л = - 8 0 I 0 0 0
0 - 8 0 Е 0 0
- 8 0 0 0 I 0
V 0 - 8 0 0 0 I ,
оператор, имеющий вид
Лп N = (а( г) + с( г) + й (г)) I + £ Ът (г^. т=!
(4)
Имеет место
Лемма 1. Если система (1) нётерова в И (Б) 1<р< да, то
ёй а(г) Ф 0
для всех г е Б.
Доказательство. Выпишем соответствующий символ операторной матрицы Л (см.[6, стр.78]):
(
(о) =
Ли(о) 3(г)
т АО) 0
« г )
О
)
О
О О
0
О О
О О
-- 0
О О
— ~5( г)
О
Е 0 0 0
=с( г)
О
0 Е 0 0
0 а ( г)
О
0 0 0 Е 0
—-а (г)
О
0 0 0
Е
(5)
где элемент Лп (о) имеет вид
N
Лп(о) = а( г) + с( г) + а (г) + ^ Ът (г)(°)т,
т=1 О
а Е - единичная матрица порядка п .
Согласно [3], из нётеровости системы (1) вытекает, что detGz(о) ^ 0 при г е О и комплексных 0,0 <| О |< да . Кроме того, нётеровость влечёт равенство нулю при г еГ частных индексов матрицы Gz(х ± г), —да < х < да;
(х ± г) =
Ли( х ± г) 3(г)
3(г) Ли(х ±г) х ± г
Х + 1 0
х + /
Х + 1 0
0
х + /
Х + 1 0
Х + 1
х + /
Х + 1 Х + 1 х±/X/ \ .8 (г) Х + 1 Х±г \ Х+1 0
х + г ж \ х ± г Х + 1 .ф) Х + 1 0 х + /' Х + 1
Е 0 0 0
0 Е 0 0
0 0 Е 0
0 0 0 Е
(6)
где
Лп (х ± г) = а( г) + с( г) + а (г) + ^
Х+1
1 V х ± г,
т
т
Поэтому для z еГ имеем Ind detGz (x ± i) = 0. С помощью очевидных преобразований матриц
-да<х<да
устанавливается, что
N fxxiX
detGz(x±i) = det{a(z) + £ -±- bm(z)}.
m=A X ± i J
Теперь из указаных фактов заключаем, что функция
N
Ф(С) = det{a( z) + £Cbm (z)}
m=1
не обращается в нуль при | С |= 1 и z е D, а для z еГ она не имеет нулей также внутри круга | С |< 1. Отсюда, поскольку 1п^=1Ф2(С) = const для z е D, вытекает, что ф(С) * 0 при
z е D,\C\< 1, в частности ф(0) * 0, при z е D. После этого остается заметить, что ф (0) = det a(z), чем и завершается доказательство леммы 1.
Таким образом, исследуя систему (1) на нётеровость, можем считать матрицу a( z) обратимой. Непосредственной проверкой с учетом свойств композиций операторов , B, B (см. [7,8]) устанавливается
Лемма 2. В пространстве Lp (D), 1 < p < да справедливо равенство
N _ _
Af = (aI + cB)(I + a - £ Ът8т)(I + a ldB + a lSBK) f + T2,
m=1
где K - оператор перехода к комплексно-сопряжнным значениям, T2 - вполне непрерывный оператор.
Теорема. Для нётеровости системы (1) в L (D),1 < p < да необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1)det{a( z) + £Cmbm (z)} * 0 при z е D,\C\< 1;
m=1
2)ёеХ{а(г) + с(г)} Ф 0 при г еГ;
3)ёе1;{а(г) + й(г)} Ф 0 при г е Г.
При этом индекс системы равен
ж = 2Ыйу ёеХ{а(г) + й(г)} - 2ШТ 6ек{а(г) + с(г)}.
Доказательство. При выполнении условий теоремы каждый из трёх операторов-сомножителей в представлении леммы 2 будет нётеровым. В самом деле, нётеровость оператора
N
I + а \ £ Ът8т при выполнении условия 1) вытекает из [3]. Если выполнено условие 2) и
m=1
ёе1 а(г) ф 0, г е О, то оператор а 11 + сВ, где с (2) - непрерывное продолжение внутрь области
0 матрицы-функции [а(г) + с(г)] 1 — а г(г), г еГ, является левым и правым регуляризатором для оператора а1 + сВ. Аналогично при выполнении 3) строится регуляризатор для оператора
1 + а-1 ёВ + а-1 ёВк.
Необходимость условия (1) установлена в доказательстве леммы 1.
Идея доказательства необходимости условия 2) (а также 3) аналогична [8]. Пусть ёе1;{а(^0) + с(го)} = 0,¿0 еГ и (у1,у2,...,уп) - ненулевое решение системы. У ■ {а(г) + ё(г)} = 0,
с
У =
У1 У1 0 0
У1
Ч 0 0 ... 0 Тогда оператор УВ не вполне непрерывен, а
УВ{а(г0) I + с(г0)В} = 0. (7)
Обозначим через А оператор А при значениях коэффициентов в точке £0. Ясно, что оператор А локально эквивалентен оператору А0 в точке £0 (используем понятие и факты из [9]). Следовательно, для этих операторов одновременно существуют или не существуют локальные регуляриза-торы. Если допустить, что для А существует правый локальный регуляризатор К , то будем иметь:
с одной стороны, оператор УВА^Яп не вполне непрерывен, а с другой стороны, учитывая (2), заключаем, что УВАК вполне непрерывен. Полученное противоречие говорит о том, что А , а значит и А не может иметь правого локального регуляризатора в точке £0, если ёе1{а(го) + с(го)} = 0, что и
доказывает необходимость условия 2). Аналогично доказывается отсутствие левого локального регу-ляризатора при нарушеннии условия 3).
Теперь остаётся вычислить индекс оператора A . Прежде всего из непрерывности по норме относительно т семейства операторов
N
I + а—Ут"^^, 0 <т< 1,
/ : т П " "
и нётеровости каждого из них при выполнении условия 1) следует, что
N
Ы {I + а-1 У Ъп$п} = 0.
0
1
п
1
п
Для вычисления индекса оператора aI + cB используется известный способ (см., например, [10, с.486-488], позволяющий установить, что искомый индекс равен
v ■ IndY det[a(t) + c(t),
где v - некоторое постоянное целое число. Рассмотрение диагонального случая с учётом значения индекса скалярного оператора приводит к выводу, что коэффициент пропорциональности v равен минус единице. После этого очевидно, что
Ind(I + a^dB) = 2Indr det[a(t) + d(t)].
Теперь на основе леммы 2 утверждение об индексе оператора A вытекает из известных фактов теории линейных операторов.
Замечание 1. Вместо непрерывности матриц-функций c(z), d(z) и S(z) в D достаточно потребовать, чтобы их элементы были измеримыми ограниченными функциями, имеющими на Г равномерно достижимые предельные значения, которые образуют непрерывные функции.
Замечание 2. В условиях нётеровости однородная система (1) имеет одни и те же решения во
всех пространствах Lp (D), 1 < p < да, что вытекает из независимости индекса от p и вложения Lpi(D) с Lp2(D) при p > p2.
Замечание 3. Изложенные результаты (по крайней мере, применительно к 1}(D) ) остаются в силе и в том случае, когда N = да ,если потребовать, например, чтобы сходился ряд из норм матриц bm (z) .
Замечание 4. Методами теории операторов (см.напр.[11,12]) можно распространить полученные результаты на случай сингулярных интегральных уравнений с ограниченными операторными коэффициентами в комплексном банаховом пространстве.
Поступило 30.06.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М., 1953, 310 с. 811-815.
2. Джураев А. Метод сингулярных интегральных уравнений. М., 1987, 415 с.
3. Duduchava R. - J. Operator Theory, 1984, v.11, pp. 41-76, 199-214.
4. Бильман Б.М., Джангибеков Г. - ДАН СССР, 1991, т. 318, 5, с. 1033-1037.
5. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970, 379 с.
6. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 254 с.
7. Джангибеков Г. - Изв.вузов. Математика, 1991, 1, с. 19-28.
8. Комяк И.И. - Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, 2, с. 328-343.
9. Симоненко Н.Б. - Изв. АН СССР. сер.мат., 1965, т.29, 3, с. 567-586.
10. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интег. уравнения. М., 1968. 511 с.
11. Fridman A. and Shinbrot M. - Volterra Integral equations in Banach space, Trans. Amer. Math. Soc. 126 (1967), p.131-179.
12. Илолов М. - Докл. АН Тадж. ССР, 1985, т.28, 2, с. 190-193.
М.Илолов, Г.Ч,ангибеков*, М.Ч.Чоршанбиева* ТАДКИЦИ ЯК СИНФИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛЙ БО ОПЕРАТОРНОЙ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА ВА ОПЕРАТОРИ БЕРГМАН
Маркази рушди инноватсионии илм ва технологиями нави Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишгои миллии Тоикистон
Дар макола баъзе синфх,ои системаи муодилах,ои интегралии дученака бо операторной сингулярй ва оператори Бергман тадкик карда шудааст.
Шартх,ои зарурй ва кифоягии эффективии нётеровй будани ин система дар фазои лебе-
гии Lp (D) ёфта шуда, формула барои хисоб намудани индекси система хосил карда шудааст.
Калима^ои калиди: нётеровй будани оператор - индекси оператор - матрисаи операторы - оператори сингулярии дученака - оператори Бергман.
M.Ilolov, G.Jangibekov*, М-Ch.Chorshanbieva* THE STUDY OF A CLASS OF SYSTEMS OF INTEGRAL EQUATIONS CONTAIN TWO-DIMENSIONAL SINGULAR OPERATORS AND OPERATORS OF
BERGMAN
Center for Innovative Development of Science and New Technologies, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, *Tajik National University In explores some classes of systems of two dimensional integral equations containing singular operators and operators Bergman on a limited area. Found effective necessary and sufficient conditions for Noetherian in the space of lebeg Lp(D), p>1 and the formula for the rate us index.
Key words: Noetherian - the index of operator - operator matrix - two-dimensional singular integral operators - Bergman operators.
