О расширении алгебры Теплица Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 154, kii. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 517.98

О РАСШИРЕНИИ АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА

Т.А. Григорян, Е.В. Липачева, В.А. Тепояп

Аннотация

В работе исследованы С* -расширения алгебры Теплица с помощью изометрических операторов. Показано, что в случае, когда алгебра Теплица действует пеприводимо. все такие расширения порождают одну и ту же алгебру, то есть пет нетривиальных расширений алгебры Теплица. Приведены примеры нетривиальных расширений алгебры Теплица в случае, когда ее представление приводимо.

Ключевые слова: инверсная полугруппа, инверсное представление, алгебра Теплица, ^-расшире^е, инверсное ^-расширение, С *-алгебра.

Введение

В своей известной работе [1] Кобуры доказал теорему о том. что все изометрические представления полугруппы Z+ неотрицательных целых чисел порождают C* -алгебры, канонически изоморфные алгебре Теплица. Многие авторы обобщили эту теорему на более широкий класс полугрупп. Дуглас [2] показал, что все изометрические неунитарные представления любого положительного конуса вещественных чисел R порождают канонически изоморфные алгебры. Мерфи [3] доказал эту теорему для положительных конусов абелевых групп с полным порядком. С другой стороны. Мерфи [3] и Джанг [4] показали, что теорема неверна для полугруппы Z+ \{1} • Изометрические представления полугруппы Z+ \{1} были изучены в работах [5 7].

В настоящей работе введено понятие п-расширения полугруппы неотрицательных целых чисел Z+ (см. определение 1). Исследованы свойства C*-алгебр, порожденных п-расширением полугруппы Z+. Введено также понятие инверсного п-расширения полуг руппы Z+ (см. определение 3). Доказано, что если п - неприводимое представление полугруппы Z+, то у Z+ пет нетривиального инверсного пп п

ского представления Z+ всегда существует неинверсное п-расширение.

В работе также исследованы расширения алгебры Теплица, порожденные инверсными п-расширениями полуг руппы Z+. Показано, что среди таких расширений есть расширения, представляющие собой башню вложенных друг в друга

C*

работе Дугласа [2].

1. Необходимые сведения

Рассмотрим изометрическое представление полугруппы Z+ неотрицательных целых чисел п : Z+ ^ B(H), где B(H) - множество всех ограниченных линейных операторов на гильбертовом пространстве H. Обозначим через Is (H) полугруппу всех изометрических операторов из B(H).

Определение 1. Подполугруппу М С к (Н) назовем п-расширением полугруппы Z+, если

1) п^+) С М;

2) п(г)Т = Тп(2) дл я Т из Ми 2 из Z+.

Всюду в статье, где не оговаривается противное, рассматривается неприводимое представление п : Z+ ^ В(Н2), где Н^Я1,^/) - пространство Хардн интегрируемых с квадратом комплекспозначпых функций на единичной окружности £1 по мере Хаара /, спектр которых лежит в Z+.

Оператор п(п) есть мультипликативный оператор умножения на функцию егпв, то есть п(п) : Н2 ^ Н2 и п(п)/(егв) = егпв/(егв).

Ортонормированная система функций 1, егв, ег2в, .. .в Н2 является базисом, оператор п(1) - оператором сдвига па этом базисе: п(1)егпв = ег(п+1)в. Поэтому С*-подадгебра алгебры В(Н2), порожденная операторами п(1) и п*(1), есть алгебра Теплица.

Инверсные расширения алгебры Теплица исследованы в разд. 5.

2. Инверсные представления

Инверсная полугруппа Р - это полугруппа, в которой каждый элемент x имеет единственный инверсный элемент x* такой, что выполняются равенства

xx* x_x x* xx* _x* ()

Обозначим через Дд множество всех изометрических представлений полугруппы Я. Для п £ Дд определим £п как полугруппу, порожденную операторами п(г) и п*(г), оде г £ Я.

Определение 2. Представление п £ Д^ назовем инверсным, если Яп является инверсной полугруппой.

Регулярным 'изометрическим представлением называется отображение

п : Я ^ В(12(Я)), г ^ п(г), заданное следующим образом:

{/(к), если ] = г + к для некоторого к £ Я;

0 в противном случае.

С*-алгебра, порожденная регулярным изометрическим представлением полугруппы Я, называется приведенной полугрупповой С*-алгеброй и обозначается

С*еа(Я) [8-10].

Я

версным,.

Приведем пример иеииверспого представления.

Пусть п : Z+ ^ В(Н2) - представление полу г руппы Z+, описанное в разд. 1, такое, что п(п) есть оператор-мультипликатор умножения на функцию егпв.

Каждая внутренняя функция Ф(-г) также определяет изометрический оператор-мультипликатор Тф Тф/ = Ф/.

Теорема 2. Пусть т : Z+ х Z+ ^ В(Н2) - представление, отображающее (п, 0) не егпв и (0, т) на Фт, где Ф - любая внутренняя функция, не принадлежащая |егпв}^о • Тогда т - неинверсное представление, то есть (Ъ+ х Z+)7Г -неинверсная полугруппа.

Доказательство. Произвольная внутренняя функция имеет следующий вид: Ф(г) = В(г)5(,г), где В(г) — произведение Бляшке, а 5(г) - внутренняя сингулярная функция. В общем случае В (г) в нуле равняется нулю, поэтому найдется такое п, что Ф(г) = г"В1(г)5(,г), где Вх(г) - произведение Бляшке и Вх(0) = 0. Зафиксируем это п. Заметим, что 5г(к, т) = п(к)Тт. Нам достаточно показать, что [13]

тг(0,1)5?*(0,1)5?(п + 1, 0)5?*(п + 1, 0) = 5?(п + 1,0)55* (п + 1,0)тг(0,1)5?*(0,1),

ТфТ| п(п + 1)п*(п +1) = п(п + 1)п*(п +1)ТфТ|. (2)

Вычислим левую и правую части неравенства (2) от функции втв. Поскольку п*(п + 1)(е4п0) = 0, очевидно, что Тф Т|п(п + 1)п*(п + 1)(е4п0) = 0.

Рассмотрим Т|ет0. Покажем, что все коэффициенты Фурье этой функции в

разложении в ряд ^ екегк0, кроме нулевого коэффициента, равны 0. Для этого к=0

вычислим скалярное произведение па элементы вгкв, где к > 0

(е4к0,Т|е™0) = (Фе4к0,е4п0) = (е4к0В^е40)5(е40), 1) = ^ е4к0В^е40)5(в40) ^ = 0.

я1

Теперь подсчитаем нулевой коэффициент в этом разложении:

(1,Т|е4"0) = (Ф, е1пв) = (е4п0В^е40)5(е40),е4п0) =

= (В1(е40)5(е40), 1) = у В1(е40)5(е40) ^ = В1(0)5(0). я1

Таким образом, Т|е4"0 = В1 (0)5(0)1. Отсюда

ТфТ|е4"0 = В1(0)5(0)Ф = В1(0)5(0)е4п0 В^е40 )5 (е40),

тогда

п*(п +1)ТфТ| е4п0 = П*(1)В1(0)5 (0)В1(е40 )5(е40) = 0,

следовательно, (п(п + 1)п*(п + 1)ТфТ|)(е4п0) = 0.

Итак, выполнено неравенство (2) и поэтому 55 — неинверсное представление. □

3. п-расширение полугруппы Z+

Лемма 1. Для всякого изометрического оператора из п -расширения полугруппы Z+ существует единственная внутренняя функция Ф такая, что этот изометрический оператор совпадает с оператором-мультипликатором умноже-Ф

Доказательство. Пусть Т - некоторый изометрический оператор из п-расширения полугруппы Z+. Обозначим Qo = ТН2 С Н2. Покажем, что Qo инвариантно относительно сдвигов п(1). Поскольку Т коммутирует с п(1), то п(1^о = = п(1)ТН2 = Тп(1)Н2 С ТН2 = Q0.

Тогда, по теореме Берлинга [14], если Q0 = 0, то существует внутренняя функция Ф такая, что Qo = ФН2, причем Ф единственна с точностью до постоянного множителя.

Рассмотрим Ф = Т • 1. Посколь ку ||(Т • 1)Н|| совпадает с ||Н|| для любо го Н из Н2 , то Ф — внутренняя функция, причем ТН = Тф' Н, Н £ Н2.

Таким образом, по теореме Берлинга получаем, что всякий изометрический оператор Т представляется через единственную внутренную функцию. □

Через СП ) обознач им С * -алгебру, порожденную изометрическим представлением п, описанным в разд. 1; через С* (М) - С *-алгебру, порожденную полугруппой М С к (Н2).

Если М - п-расширение полу г руппы Z+, то по лемме 1 каждому изометри-Т £ М Ф

ТФ чнм М' = {Ф; Тф £ М}.

Теорема 3. Пусть М - п -расширение полугруппы Z+ . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) С*^+) = С*(М);

2) М - подполугруппа полугруппы конечных произведений Бляшке.

М

ведений Бляшке. Докажем, что С) = С* (М).

Каждое конечное произведение Бляшке определяет изометрический оператор-мультипликатор и равномерно аппроксимируется конечными линейными комбинациями функций {егпв }^о- Поэтому еели В (г) - конечное произведение Бляшке, то оператор Тв принадлежит алгебре С* Следовательно, С) = С*(М).

Т £ М Т

некоторая внутренняя функция Ф £ М такая, что для любого Н £ Н2: ТН = ФН. Поскольку С* = С*(М), то Т £ С* Тогда для любого е > 0 существует

конечная линейная комбинация мономов Шг, состоящих из степеней п(1) и п* (1), такая, что

I

||Т АгШгУ < е.

г=1

Легко проверить, что моном Шг можно записать в виде произведения п(п) п* (т)

Подставляя Шг = п(пг)п*(тг) в приведенное выше неравенство, получим

I

||Т Агп(пг)п*(тг)| < е.

г=1

Пусть то = шах{тг}. Тогда г=1,г

I I

||Тп(то) - Агп(пг)п*(тг)п(то)| < ||Т - ^ Агп(пг)п*(тг)| ||п(то)|| < е.

г=1 г=1

Следовательно,

I

||Тп(то) Агп(пг)| < е.

г=1

ТФ

а оператор п(п) - та функцию егпв, то

I '

||Фегтов Агег"^в || < е.

г=1

Тогда

||Ф ^Х) Агег("^-то)в|| < е.

Так как £ произвольно, функция Ф равномерно аппроксимируется непрерывными функциями, н следовательно, сама является непрерывной функцией на окружности. Поскольку любая внутренняя функция, непрерывная на окружности,

Ф

дение Бляшке. □

4. Инверсное п-расширение

Обозначим через Z+п инволютивную иолу группу, порожденную ) и

)*. Отметим, что Z+п - бициклическая полугруппа. Все неприводимые представления этой полугруппы полностью описаны в работе [15]. Пусть М - п-расширение полугруппы Z+. Обозначим через М* полугруппу, порожденную М и М* .

Определение 3. п-расширение полугруппы Z+ называется инверсным, если М* инверсная полугруппа.

Пусть п : Z+ ^ В(Н2) - представление полу г руппы Z+, описанное в разд. 1. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4. М* инверсна тогда и только тогда, когда М* = Z+п.

Доказательство. Пусть М* = Z+п . Каждый элемент полугруппы Z+п записывается в виде произведения п(п)п*(ш). Инверсным к нему будет представление п(т)п* (п). Поэтому Z+'л", а следовательно и М* — инверсные полугруппы.

Обратно, пусть М* = Z+п. Тогда каждый изометрический оператор Т € € М\п^+) по лемме 1 представляется через единственную внутреннюю функцию: Т = Тф. По аналогии с доказательством теоремы 2 можно показать, что в этом случае М* - неинверсная полугруппа. □

Рассмотрим произвольное изометрическое представление п : Z+ ^ В(Н). Обозначим Н0 = кег п*(1). Ясно, что Н0 - гильбертово подпрострапство в Н.

Теорема 5. Пусть п : Z+ ^ В(Н) - изометрическое представление полугруппы Z+ такое, что подпространство Н0 = кег п* (1) не является одномерным. Тогда существует инверсное п -расширение М полугруппы Z+ такое, что

Z+п является собственной инволютивной подполугруппой инволютивной полу-М*

п

представлеиием.

Обозначим Нх = п(1)Н0,..., Нп = п(п)Н0,... Подпространства Н0, Нх, Н2,... попарно ортогональны. Действительно, проверим, что Н„ТНт щи т > п. Имеем (п(п)^0, п(т)^0) = (п*(т — п)^0,^0) = 0.

Таким образом, Н =0 Нп, причем подпространство Н0, а следовательно, и

п=0

Нп, п > 0, не являются одномерными.

Пусть |е0"')}, = 1, 2,..., - конечный или бесконечный базис в Н0. Пусть = п(п)(е0Я). Тогда {еП°}, ^ = 1, 2,..., - базис в Н„, {еП°}, ^ = 1,2,...; п = 0,1, 2,... , - базис в Н.

Рассмотрим подпространство в Н с базис о м {вП?)}^=0 • На этом базисе оператор п(1) действует как оператор сдвига: п(1)(вП?)) = еП+1.

Подпространство Н является пространством Харди, обозначим его через Н2.

Н

2, з'

ной или бесконечной, подпространств Харди Н = ф Н2, причем представление п

является па каждом из Н2 неприводимым.

Так как Но не являете одномерным подпространством, прямая сумма ф Н2

з

содержит по крайней мере два слагаемых. Зафиксируем два пространства Харди Н^ и Н| с базисами |еП1)}^=0 и |еП2)}^=0 соответственно.

Рассмотрим оператор Т £ В(Н), который па Н2 © Н| действует следующим образом:

Т(еп )= еп 5 Т(еп )= еп+1; п = 0, 1, 2, . . . ,

Т = п(1) на Н2 (.7 = 1, . = 2). Заметим, что п(1) = Т2 на Н © Н22.

Отсюда следует, что п(1)Т = Тп(1), п*(1)Т* = Т*п*(1), но Т*п(1) = п(1)Т*, Тп*(1) = п*(1)Т.

Пусть М - полугруппа, порожденная ) и оператор ом Т. Очевидно, что она является п-расширением полу г руппы Z+ и Z+ С М*.

Отметим, что М* является инверсной полугруппой. Это следует из того, что любой моном в М* имеет в ид Т кТ *1п(п)п*(т)Т ЯТ *р, а инверсным к нему будет моном ТРТ*яп(т)п*(п)Т 1Т*к. □

5. Инверсные расширения алгебры Теплица

Пусть даны две сингулярные внутренние функции

е40 + 1 е40 + 1

Ф1 =ехР Г и Ф = ехр1'

где £ — некоторое положительное вещественное число.

Функции Ф1 соответствует изометрический оператор-мультипликатор Тф1, функции Ф4 - оператор Тф4.

Заметим, что изометрические операторы Тф1 и Тф4, £ > 0, отображают про-Н2 Н2

Тф4 = РТф4 и Тф1 = РТф1,

где Р - проектор из Ь2^1^«) на Н2(5= Н2.

Сопряженным оператором, например, к оператору Тф4 является Т|4 = РТф_1 = = РТФ_. Операторы Тф и Тф1 не являются изометрическими.

По теореме Кобурна [1] С* -алгебра, порожденная изометрическим оператором Тф1, канонически изоморфна алгебре Теплица. Через 7 обозначи м С * -алгебру Теплица, порожденную оператором Тф1, чере з - С * -алгебру Теплица, порожденную Тф4.

Рассмотрим С* -алгебру, порожденную операторами Тф1 и Тф4. Обозначим ее С*(Тф1 ,Тф4 ). Ясно, что 71 С С*(Тф1 ,Тф4).

Если £ - положительное рациональное число, то справедлива следующая теорема.

Лемма 2. Пусть £ = т/п, г<?е тип- взаимно простые числа. Тогда С *(Тф1 ,Тф4) = 71/п, где Т1/п - С * -алгебра Теплица, порожденная оператором

ТФ1/п •

Доказательство. Очевидно, что справедливы равенства Тфт/п = Тт и Тф1 = Тф1/п. Это означает, что С* (Тф1 ,Тфт/„) С 7/п.

тп

Евклида следует, что существуют целые числа к и I такие, что

, , 1т 1

пк + т1 = 1 или к +--= —.

пп

Возможны два случая:

1) к > 0, I < 0;

2) к < 0, I > 0.

Проверим, что в первом случае Тф1/п = (Тфт)|г|Т|1, а во втором случае

Гр _ (ГТ1* 1

Т ф1/п = (Т Ф1 ) Т Фт/п .

Действительно, например, в первом случае имеем (Т|т/„ )|г|Т^1 = (РТф _„/„ )|г|Т^1 = (РТф _„/„ )(РТф _„/„)... (РТф _„/„) Т^1.

Поскольку

ТФ-т/п тф1 = ТФ-т/п ТФ к = ТФк-(т/п) И к — ~ > 0

ТО РТф-„/„ Т|1 = Тф к-(т/„) • Аналогично,

РТф-т/п Тф к-(т/п) Тф к-(2т/п) ,

и т. д. В итоге получаем

(РТФ-т/п )|1|тф1 = ТФ к-(|!|т/п) = ТФк+(1т/п) = ТФ 1/п .

Это означает, что 71/п С С*(ТФ 1 ,ТФт).

Таким образом, получаем С*(ТФ 1 ,ТФт) = Ту„. П

Из леммы 2 следует, что С*-адгебра 71/п является инверсным расширением С * -алгебр ы 71:

71 С С*(ТФ 1 ,ТФт/п ) = 71/п.

Как и при доказательстве леммы 2, можно показать, что

71/п с С*(ТФ 1/п ,ТФт/п2 ) = 71/п2 ,

к

71/„к с С*(ТФ 1/пк , ТФт/пк+1 ) = 71/пк+1 .

С*

71 С 71/„ С 71/„2 С 71/„з С . . . , С*

дыдущей.

С*

ТЗ ^ 3 гу 1 ^ 71/п ^ 71/п2 . . . ,

где ] - вложение, порождает С * -алгебру, изоморфную С*еЛ ((ф^), г<?е ((п) -полугруппа рациональных чисел, порожденная числами вида т/пк, где т € Z, к € N о (+п) = (+ П ((п).

Рассмотрим теперь случай, когда t - иррациональное положительное число. Пусть Г - группа, порожденная числами m + nt, всюду плотная в R, где m, n G Z. Обозначим Г+ = Г П R+.

Теорема 7. Пусть C* (Тф1, Тф ) - C* -алгебра, порожденная Тф1 и Тф. Тогда C*(Тф1 , Тф) канонически изоморфна C*ed(Г+).

Доказательство. Пусть представление п : Г+ ^ B(H2) задано следующим образом:

{Т,^! T"t, если n> 0, m > 0;

(Т*)|m|T,nt, eomn> 0, m < 0; (Т*)|n|Tm, если n< 0, m > 0. Нетрудно показать, так же как и при доказательстве теоремы 2, что

n(m + nt) = Тф m+nt,

поэтому очевидно, что Тфm+nt является изометрическим оператором-мультипликатором умножения на внутреннюю функцию Фт+П4 (m + nt > 0). Заметим, что C* (Тф 1, Тфt) порождается изометрическим представлением п.

Таким образом, из теоремы Дугласа [2] следует, что C* (Тф 1, Тфt) канонически изоморфна C*ed(Г+). □

Авторы выражают искреннюю благодарность профессору С.А. Григоряну за полезные обсуждения и ценные указания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 12-01-97016).

Summary

Т.A. Grigoryan, Е. V. Lipacheva, V.A. Tepoyan. Он t.lie Extension of the Toeplit.z Algebra.

We study the C* -extensions of the Toeplitz algebras with the assistance of isometric

operators. It is shown that in the case when the Toeplitz algebra acts irreducibly. all such C*

algebra. We provide the examples of the non-trivial extensions of the Toeplitz algebra in the case when its representation is reducible.

Key words: inverse semigroup, inverse representation, Toeplitz algebra, n-extension, inverse п-extension, C*-algebra.

Литература

C*

1967. V. 73. P. 722 726.

C*

Math. 1972. V. 128, No 1. P. 143 152.

3. Murphy G.J. Ordered groups and Toeplitz algebras // J. Operator Theory. 1987. V. 18, No 2. P. 303 326.

C*

Math. 2003. V. 6, No 2. P. 29 32.

5. Raeburn I., Vittadello S.T. The isometric representation theory of a perforated semigroup // J. Operator Theory. 2009. V. 62, No 2. P. 357 370.

6. Grigoryan S.A., Tepoyan V.H. Он isometric representations of the perforated semigroups // Lobaclievskii J. Mat.li. 2013. V. 34, No 1. P. 85 88.

7. Tepoyan V.H. On isometric representations of the semigroup Z+\{1} //J. Contemp. Math. Anal. 2013. V. 48, No 2. P. 51 57.

8. Jang S. Y. Reduced crossed products by semigroups of automorphisms // Korean Math. Soc. 1999. V. 36. P. 97 107.

9. Григорян С.А., Салахутдинов А.Ф. C* -алгебры, порожденные полугруппами // Изв. вузов. Матом. 2009. № 10. С. 68 71.

10. Jang S. Y. Generalized Toeplit.z algebras of a certain non-amenable semigroup // Bull. Korean Math. Soc. 2006. V. 43, No 2. P. 333 341.

11. Aukhadiev M.A., Tepoyan V.H. Isometric representations of totally ordered semigroups //

Lobaclievskii J. Math. 2012. V. 33, No 3. P. 39 243.

C*

кращепием // Сиб. матем. журп. 2010. Т. 51, Л' 1. С. 16 25.

13. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. М.: Мир, 1972. Т. 1. 286 с.

14. Гарнетт Д-ж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 469 с.

15. Арзуманян В.А. *-представлепия инверсных полугрупп // Изв. Академии паук Арм. ССР. 1978. Т. 13, Л» 2. С. 107 113.

Поступила в редакцию 28.09.12

Григорян Тамара Анатольевна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Е-шаП: tk.hork.ova вдтай. сот

Липачева Екатерина Владимировна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Е-шаП: еЫрасЬ.еуа вдтай. сот

Тепоян Вардан Акопович аспирант кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Е-шаП: tepoyan.mathMigm.aiLсот