CC BY
10
© А.Ю. Кузнецова УДК 517.98
ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
А.Ю. Кузнецова
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Институт физики
г. Казань, Россия
*
Резюме: В работе рассматриваются С -алгебры, порожденные некоторым отображением счетного множества в себя. Такие алгебры можно рассматривать как некоторое представление универсальной С* -алгебры, порожденной семейством частичных изометрий с заданными соотношениями. Соотношения определяются с помощью исходного отображения. Приводится критерий, когда порождающее семейство частичных изометрий образует инверсную полугруппу.
Ключевые слова: С* -алгебра, частичная изометрия, инверсная полугруппа, градуированная С* -алгебра.
INVERSE SEMIGROUPS GENERATED BY MAPPINGS
Alla Kuznetsova Kazan Federal University, Institute of Phisics, Kazan, Russia
Abstract: We study the operator algebra associated with a self-mapping on a countable set. The
*
algebra can be regarded as a representation of the universal C -algebra generated by a family of partial isometries and relations. The relations are defined by the starting mapping. We give the
criterion when the genetatingfamily of partial isomertriesforms an inverse semigroup.. *
Keywords: C - algebra, partial isometry, inverse semigroup, graded C - algebra.
Введение
В работах [4; 5] была предложена конструкция С* -алгебры C*(X). Отправной точкой является заданное на произвольном счетном множестве X отображение ф , которое порождает (не изометрическое) представление п: Z+ ^ B(l2 (X)), п(п) f = f о фп для f £ l (X). Когда ф является инъекцией (не биекцией), алгебра Сф (X) канонически изоморфна алгебре Теплица. В общем случае с оператором композиции Тф (Тф f = f о ф ) связано конечное или счетное семейство частичных изометрий {Uk } , которое и порождает С* (X) , так же как и мультипликативную полугруппу мономов Mon(X). При этом выполняются соотношения:
* * и«
ищ + и2и2 + ••• + ит ит + ••• = Рф; щи*+и 2и ;+...+и т^т + •••=0ф,
где операторы Рф и Qф - проекторы, определенные заданным отображением ф .
*
При отсутствии на X элементов с конечной орбитой на Сф(Х) можно определить
действие единичной окружности, порождающее соответствующую Ъ -градуировку алгебры, согласованную со структурой полугруппы мономов. При этом неподвижная подалгебра Сф0 является АР -алгеброй [6; 8]. В данной заметке дается критерий, когда
полугруппа Моп(Х) является инверсной, что приводит к коммутативности Сф 0 .
Необходимые сведения
Пусть ф: X ^ X отображение счетного множества X в себя, удовлетворяющее
условию сайф"1^^ да для любого х е X . Заданное отображение естественным образом устанавливает структуру множества X и задает на нем частичный порядок. Множество X разбивается на непересекающиеся подмножества, а именно
X = и X,, X, = {уеX: сагёф-1[у] = к}.
кеЪ+
Элемент х е X , для которого ф-1[у] = 0, назовем ф -начальным (или просто начальным). Отображение ф задает еще одно разбиение множества X . Пусть
Еку = {х е X: ф^ (х) = у}, к е □ , и пусть Еу = Е1у - полный прообраз элемента у . Очевидно, что если уу ^ у2, то Ек Ек = 0, и для каждого к
x = и 4 •
yeX
Будем говорить, что х ^ y, если найдется такое n е □ , что фп (y) = х. Будем
ф,П
говорить, что элементы х и y ф -эквивалентны в n -ом порядке ( х □ y ), если они
принадлежат некоторому множеству Enz, где z = фп (х) = фп (y).
Элемент х такой, что фп (х) = х для некоторого n е □ , назовем ф -циклическим (или просто циклическим). В данной работе мы предполагаем, что такие элементы на X отсутствуют.
Пусть 12(X)={ f : X ^ □ : ^ |f (х)|2 < œ} - гильбертово пространство со
хеХ
скалярным произведением (f,g)= ^ f (х)g(х). Семейство функций {ех}х^х , где
хеХ
ех (y) = 5х,y ( 5 - символ Кронекера), образует ортонормированный базис в 12(Х). На
естественный (связанный с X ) базис можно распространить отношение частичного
ф ф
порядка и эквивалентности, полагая ех -< ey, если х^ y, и ех□ey , если х^y . Отображение ф индуцирует оператор
Тф : 12(X) ^ 12(X); Ty f = f о ф. Можно проверить, что сопряженный к Тф оператор вычисляется по формуле:
*
(T*f)(y) = ^
X f (х), Ey Ф 0;
xeEy
0, Еу = 0.
На базисных векторах операторы действуют следующим образом:
X*
; ех = еф(х) •
2еЕх
Отсюда видно, что оператор Тф определен на Р(Х) - пространстве всех конечных
линейных комбинаций базисных функций и является сопряженным к плотно определенному
оператору, следовательно, допускает замыкание. В [7, теорема 2] было показано, что
* *
заданные на Р(Х) операторы ТфТф и ТфТф являются в существенном самосопряженными. С их помощью имеем следующие разбиения гильбертова пространства:
12(Х) = © 12(Хк), 12(Хк) = {/ е 12(Х): Т*%/ = /};
кеЪ+
1(Х) = ©¡, ¡={/ е I (X): ТТ / = к/}.
* *
Здесь полагается, что если к ф 0 не принадлежит спектру операторов ТфТф и ТфТф, то соответствующие I2 (Хк) и ¡2 нулевые. Таким образом,
Т**Тф = © кРк, Тф Т* = © кдк,
к е □ к е □
2 2 2 где Рк и О- — эквивалентные проекторы на I (Хк) и ¡к . Базисом в каждом I (Хк)
служат векторы {ех}хе^ , а векторы
gy X вх, У 6 Xk
хеЕу
образуют базис в ¡к при к ф 0. Оператор
Щеу = {*У, У е Хк; ку \ 0, У г Хк •
2
является операторам частичной изометрии с начальным пространством I (Хк) и конечным ¡2. Соответственно,
U квх =
0, cardE<х) Ф k; 1 ч, card Ег„,гЛ = k.
в<(х), cardE<(х)
Таким образом ([7, лемма 2]), заданное на множестве X отображение индуцирует ортогональное на l (X) семейство частичных изометрий {Uk }keu (для простоты U ),
т< = и +••• +•••.
Алгеброй, порожденной заданным на множестве X отображением ф , называется равномерно замкнутая операторная подалгебра С* (X) с B(l2 (X)), порожденная
семейством частичных изометрий U . При этом образующие удовлетворяют следующим соотношениям:
ии + U2*U 2 + ••• + U*m Um + ••• = Рф;
UiU* + U2U * + ••• + UmU* + ••• = q.
* *
Операторы частичной изометрии из множеств {Ukи {Uk)k&u (U и U ) будем называть элементарными мономами, конечное произведение элементарных мономов — мономом. Линейные комбинации мономов плотны в Сф(Х) . Минимальное число
элементарных мономов, участвующих в представлении монома V в виде произведения, назовем длиной монома и будем обозначать d (V). По определению положим indUk =1 и
indUk = -1. Индексом ненулевого монома V (indV) будем называть число, равное сумме индексов элементарных мономов, произведение которых равно V . Индекс нулевого монома положим равным нулю.
Лемма 1 [8, Lemma 2.2] Индекс монома не зависит от его представления в виде произведения элементарных мономов, и ind(WV) = indW + indV, где V и W -ненулевые мономы.
Операторное пространство, порожденное мономами индекса n , обозначим через Сфп . Зададим на мономах следующее действие единичной окружности а: S1 AuC (X); а(z)V = zindVV, V е Mon(X)
и продолжим по непрерывности. Тогда множество {A е Сф (X): аz (A) = znA} (n -ое
спектральное подпространство) совпадает с операторным пространством Сфп, то есть
* * -
алгебра Сф (X) является градуированной по индексу монома, Сф (X) = @ Сф,п . Подалгебра
пеЪ
Сф о, порожденная мономами из Mon0 (X), является неподвижной подалгеброй относительно действия окружности и существует условное ожидание
* г
Ро: Сф( X) ^ Сфо, Ро (A) = I az (A)dz .
S1
k
На Сф (X) можно ввести и другую градуировку. Рассмотрим С, (□ , Z) - аддитивную группу всех отображений из □ в Z с конечным носителем и поточечным сложением. По теореме Понтрягина
изоморфна группе характеров бесконечномерного тора да l
(SХ = nS1 с топологией Тихонова). Каждый v е ,Z) имеет вид v = ^Упк5 k, nk е Z , 1 k=1
где 5k (m) = Sk,m. Соответствующий v характер обозначим через %v. Определим
отображение мульти-индекса
m - ind: Mon(X) ^ С0 (□ , Z),
k
полагая для элементарных мономов m - indUn = 5n и m - indU* = —5n. Как и ранее, определим m—indV монома V как сумму мульти-индексов элементарных мономов, участвующих в его представлении.
Лемма 2 [9, Theorem 3.3] Отображение m - ind: Mon(X) ^ С,(0 , Z) не зависит от представления монома и удовлетворяет условиям:
|m - ind(V) + m - ind(W), VW ф 0;
m - ind(VW) = •
1 0, VW = 0.
Пусть C^ у — операторное пространство, порожденное мономами мульти-индекса
у . Аналогично действию единичной окружности, на Сф (X) можно задать действие группы Sж :
т: AutC;* (X); т( z)V = х m—indVV, V е Mon(X). Можно показать [9, Lemma 4.1, 3], что операторное пространство Сфу определяется действием бесконечномерного тора, т. е.
Сф,у = {A е Сф*(X): A = J T(z)(A)x—v (z)d^(z)},
-'ф ,v {A е Сф
s °
причем
Следствие 3 [9, Theorem 4.4] Выполняются следующие условия:
1) С С = С •
ф,У] ф,У2 ф,У1+У2 '
2) Сф,у о Сфу ={0} если у ФУ2 ;
* -
3) Сф^)= © Сф,у .
уеС0(П ,Z)
*
Таким образом, алгебра Сф (X) является градуированной алгеброй по группе
С0 (□ , Z) ([2, 16.2]). Поскольку существует условное ожидание [9, Corollary 4.2] * f *
Р0 : Сф(X) ^ Сф,0; Р0 (A) = J т(z)(A)(z)dp(z), то ^(X) топологически
S ~
градуированная алгебра [2, 19.2]. Полугруппа мономов
Множество всех мономов вместе с нулевым образует мультипликативную полугруппу Mon(X). Множество мономов нулевого индекса образует подполугруппу М0П0 (X), а множество мономов нулевого мульти-индекса подполугруппу Mon0 (X) с Mon0(X).
Можно выделить еще одну подполугруппу Mon(X) [9; 10]. Моном V назовем
правым делителем монома W , если W = V'V, где V' — некоторый моном. Скажем, что моном W положительно определен, если индекс любого его правого делителя неотрицательный. Иначе говоря, W положительно определен, если существует такое
m m
произведение ^Uj элементарных мономов (Uj е {U^ u U* } ), что W = ^U^ и
k=l k=l
ind(^Uj ) > 0 для любого l > 1. Пусть Mon+ (X) — подполугруппа всех положительно
определенных мономов и Mon+ (X) — подполугруппа всех положительно определенных мономов нулевого индекса, которая является коммутативной, что сразу следует из следующей леммы.
Лемма 4 [9, Lemma 3.1] Пусть Wе Mon+ (X) . Тогда W — положительный оператор с конечным спектром и множество {ex}xeX является подмножеством собственных векторов оператора W .
Используя индукцию, можно доказать следующую лемму. Лемма 5 [9, Lemma 3.1] Пусть W е MonJ (X). Тогда m - indW = 0 . Нас интересует, когда полугруппа Mon(X) является инверсной. Напомним, что полугруппа S называется инверсной (см., например, [1]), если для любого s е S найдется
*
такой элемент s , что
ss s = s и s ss = s .
Инверсная полугруппа обладает коммутативной подполугруппой идемпотентов
E(S) = {s е S : s2 = s}.
*
Полугруппа Mon(X) порождается семейством частичных изометрий U (и U ).
Чтобы она была инверсной, очевидно необходимо, чтобы любое произведение частичных
*
изометрий из U и U опять было частичной изометрией. Рассмотрим оператор вида UtU j .
И« И« И« и«
Какое условие накладывается на ф, чтобы UiUjU*Ui и UjU* UjUj были проекторами? Пусть для некоторого ex UiU ,ex ф 0 . Тогда имеем
j x
1
1 1
U,U,ex = Ui^j= (ey + + "• + ey,. ) = Y
i(gyk , Ук е Х,Л
г~^у1 ' у2 '"у,-' п^ 1 а V- 12 ] V- к=1 Ц 0, Ук г Х1 ,
Оператор и -и* и1и- будет проектором, только если все элементы из Ех
принадлежат подмножеству Х 1 .
Теперь рассмотрим еу , для которого и-и* еу ф 0.
UjUjUjU*ey = UjUje 2, = ^U g 2 J J y J ■Jij V (y) Jij v2(У)
11 11 1
= —= U,- —t= ( e „ + e^ +-----+ e^ ) =--~ Y
# 41 Z1 Z2 Zj jfitx
f\gzk, Zk е X л 0, z, g X,,
Оператор и*и*и1и- будет проектором на ^ е2 при условии, что все ф^)
1еЕ \ Ф2 (У)
2 2
лежат в Х*. Последнее означает, что подпространство I (Е 7 ) имеет непустое
ф (У)
пересечение с подпространством ¡2 только при к = 1. Те же условия получаются и для операторов вида ии Р*и- . Обобщая эти рассуждения, получаем
Теорема 6 Следующие условия эквивалентны:
1) полугруппа Моп(Х) является инверсной;
2) для любого у е Х и для любого к найдутся такие числа р е и т е □ (зависящие от к и у ), что выполняется включение I (Еу ) с I (Хр) и I (Е у ) ¡^ =0 для любого - ф т.
Доказательство. Из условия 1) следует, что любой моном нулевого мульти-индекса
* *
должен быть проектором. Более того, любой моном из Моп0 (Х) имеет вид VV или V V (либо их произведения), где в представлении V (V') участвуют только частичные изометрии из и . Случай ё(V) = 2 уже разобран. Рассматривая мономы произвольной длины, получаем условие 2).
С другой стороны, если имеет место условие 2), то можно проверить непосредственно выполнение условия инверсности для любого W е Mon(X).
Следствие 7 Если полугруппа Mon(X) является инверсной, то из условия
W е Mon0 (X) следует, что m-inW=C.
Доказательство. Поскольку для положительно определенных мономов этот результат уже доказан, предполагаем, что W — моном нулевого индекса, не являющийся положительно определенным. Прежде всего заметим, что из условия 2) теоремы 6 сразу следует, что все мономы вида W , где V- и имеют одинаковую длину и индексы, тождественно равны нулю. Доказывать будем индукцией по длине монома. Для длины 2
утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для мономов длины 2n.
*
Рассмотрим моном W длины 2n + 2. Его можно представить в виде W-U* либо WU* . В
первом случае W = W2W3, где сомножители имеют нулевой индекс. Причем W3 является
*
положительно определенным, его минимальная длина 2 (в случае W3 = U* Ut). Отсюда W2 моном нулевого индекса и d(W2) < n, следовательно, по нашему предположению, m - indW = 0 , откуда и m - indW = 0.
>н И« И« и«
Перейдем к моному W-U* . Он может иметь вид W^UjU* , либо W5U*U* . В первом случае моном W4 имеет длину n и нулевой индекс, следовательно, m - indW4=0 и m - indW = 0 . Во втором случае продолжаем рассматривать правые делители W до тех пор, пока индекс правого делителя не будет равен нулю. В этом случае W = W6W7, где оба сомножителя имеют индекс нуль и длину меньше n , следовательно, m - indW = 0.
Возможно, что W нельзя представить в виде произведения двух мономов нулевого индекса. Тогда это означает, что W имеет вид U^W^U* (в случае U*WgU* моном, очевидно, можно представить в виде произведения мономов нулевого индекса). Предположим, что Wex Ф 0, что означает gф(x) е lf. Поскольку indW = 0, то любое 12(Esy) остается
инвариантным для W при s > n +1 [8, Corollary 2.3]. Но ex е 12(En+-^ ), значит, по
условию 2) теоремы 6, подпространство 12(En+— ) имеет непустое пересечение только с
2 * , а отсюда k = i и W = U*WgU* . Моном W8 имеет длину n и индекс нуль, следовательно,
m - indW = 0 .
Теорему 6 можно сформулировать и в терминах отображения на множестве X .
Теорема 8 Для того, чтобы Mon(X) была инверсной, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух ф -эквивалентных элементов x и y существовало взаимно однозначное отображение %: X ^ X такое, что % ° ф = ф 0 X и х(x) = У.
Доказательство. Используя условие 2) теоремы 6 отображение х: X ^ X можно построить следующим образом. Предположим для простоты, что x и y эквивалентны в
00 00
первом порядке. Обозначим через Ex (Еy) множество У E^ ( У E^). Из условия 2)
n=0 n=0
следует, что cardE^ = cardEn для любого n . Полагая х(x) = У и далее х(Ex) = E ,
пронумеровав элементы соответствующих множеств, получаем в итоге х(Еx ) = Еу. Для
z e ЕХ иЕy полагаем x(z) = z. Из условия 2) следует, что х°Ф = Ф°х •
С другой стороны, если такое отображение существует для любой пары эквивалентных элементов, это приводит к условию 2).
Заметим, что существования конечной группы перестановок, удовлетворяющих условию теоремы 8, недостаточно для того, чтобы отображение ф порождало инверсную полугруппу. Такие отображения должны существовать для каждой пары эквивалентных элементов.
Условие коммутативности неподвижной подалгебры
Неподвижная относительно действия единичной окружности подалгебра является AF -алгеброй. Ее структуру можно увидеть, если рассмотреть цепочку подалгебр вида
A1 с A2 с... с A с -, Сфо = U A,
lea
l *
где A - С -подалгебра Сф, 0 , порожденная мономами нулевого индекса, в представлении
l * l
которых участвуют только элементарные мономы из семейства {Uk}k=1 и {U*}^=1. В свою
очередь, каждая подалгебра A1 является индуктивным пределом подалгебр Aln, порожденных мономами длины не больше 2n , в представлении которых участвуют только элементарные мономы из {Uk }k=1 и {U*}k=1,
Al с a2 с - с Aln с -, Al = U Aln.
nea
Структура каждой подалгебры аП подробно описана в [8, Theorem 3.3] . Неподвижная относительно действия тора подалгебра тоже является AF -алгеброй.
Предложение 9 Если полугруппа Mon(X) является инверсной, то неподвижные подалгебры Сф о и Сф 0 совпадают.
Доказательство. Сразу следует из следствия 7 .
Совпадение подалгебр Сф,о и Сф,0 является необходимым условием коммутативности Сф о [9, Theorem 5.2]). Совпадение неподвижных подалгебр накладывает условия на отображение ф (см. [9, Proposition 5.1]). Помимо равенства Сф о = Сф 0 , для коммутативности требуется, чтобы любой элемент, ф -эквивалентный начальному, сам был начальным. В другой формулировке условия коммутативности неподвижной подалгебры было анонсировано в [6].
Теорема 10 Для того, чтобы AF -подалгебра Сф о алгебры Сф (X) была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы полугруппа Mon(X) была инверсной. Тогда Mon0 (X) является коммутативной подполугруппой идемпотентов.
Доказательство. Из коммутативности Сф о следует, что будут коммутировать
2
проекторы из семейств {Qk} и {^k}. Отсюда для любого y e X имеем, что l (Ey )
2 2 2
содержится в некотором l (Xj ), при этом, очевидно, l (Ey ) l^ =0 для любого
* *
j ф cardEy. Поскольку коммутировать должны любые операторы вида VV и V V, то для
-y •
любого 12(EIy ) должны существовать p e Z+ и m e a , что выполняется включение
О 7 О О 7 О
l (E ) с l (X) и l (E ) n lj =0 для любого j ф m, отсюда по теореме 6 мономы
образуют инверсную полугруппу.
Если мономы образуют инверсную полугруппу, то все мономы из Mono (X)
являются проекторами. Достаточно убедиться, что коммутируют проекторы вида VV' и
V V. Пусть для некоторого е VV ex ф 0 и V Vex ф 0 . Используя условие инверсности,
*
можно проверить непосредственными вычислениями, что V V является проектором на е ,
а V V' длиной 2k является проектором на пространство, порожденное gv, где ye Ek,1,
v фк
при этом V VVV' ех = VV' V Vex. Из следствия 7 имеем, что любой моном из Mono (X) представляется в виде произведения таких проекторов.
Из теоремы 10 следует, что если мономы образуют инверсную полугруппу и т -
состояние на Сф (X), то т ° Po будет следовым состоянием на Сф (X) .
Литература
[1] В.А. Арзуманян, * -представления инверсных полугрупп, Известия Академии Наук Армянской ССР. Матем., 13 (2), (1978), 107-113.
[2] R. Exel, Partial Dynamical Systems, Fell Bundles and Applications http://mtm.ufsc.br/ exel/papers/pdynsysfellbun.pdf.
[3] А.Ю. Кузнецова, Об одном классе операторных алгебр, порожденных семейством
частичных изометрий. Записки научных семинаров ПОМИ, 437 (2015), 131-144.
*
[4] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, С -algebras generated by mappings, Lobachevskii J. of Math. 29(1) (2008), 5-8.
*
[5] С.А. Григорян, А.Ю. Кузнецова, С -алгебры, порожденные отображениями, Мат. Заметки, 87 (5) (2010), 694-703.
*
[6] S.A. Grigoryan, A.Yu. Kuznetsova, AF -подалгебры С -алгебры, порожденной
отображением , Известия вузов. Матем., 54 (3) (2010), 82-87.
*
[7] А.Ю. Кузнецова, Об одном класе С -алгебр, порожденных счетным семейством
частичных изометрий, Известия НАН Армении. Матем., 45 (6), (2010), 51-62.
*
[8] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, On a class of nuclear С -algebras, An Operator Theory Summer,
Proceedings of the 23rd international conference on operator theory (Timisoara, Romania, 2010), 39-50.
*
[9] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, Torus action on С -algebra, The Varied Landscape of Operator Theory, Proceedings of the 24th international conference on operator theory (Timisoara, Romania, 2012), 127-136.
[10] Григорян С.А., Кузнецова А.Ю., Патрин Е.В. Об одном критерии неприводимости алгебры Сф(X) , Известия НАН Армении. Матем., 49 (1), (2014), 75-82.
Автор публикации
Алла Юрьевна Кузнецова - доцент кафедры «Теория относительности и гравитации» Института физики Казанского федерального университета. E-mail: [email protected].
References
[1] V.A. Arzumanyan, *-predstavleniya inversnykh polugrupp, Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoi SSR. Matem., 13 (2), (1978), 107-113.
[2] R. Exel, Partial Dynamical Systems, Fell Bundles and Applications http://mtm.ufsc.br/ exel/papers/pdynsysfellbun.pdf
[3] A.Yu. Kuznetsova, Ob odnom klasse operatornykh algebr, porozhdennykh semeistvom
chastichnykh izometrii. Zapiski nauchnykh seminarov POMI, 437 (2015), 131-144.
*
[4] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, C -algebras generated by mappings, Lobachevskii J. of Math. 29 (1) (2008), 5-8.
*
[5] S.A. Grigoryan, A.Yu. Kuznetsova, C -algebry, porozhdennye otobrazheniyami, Mat. Zametki, 87 (5) (2010), 694-703.
*
[6] S.A. Grigoryan, A.Yu. Kuznetsova, AF -podalgebry C -algebry, porozhdennoi otobrazheniem, Izvestiya vuzov. Matem., 54 (3) (2010), 82-87.
*
[7] A.Yu. Kuznetsova, Ob odnom klase C -algebr, porozhdennykh schetnym semeistvom
chastichnykh izometrii, Izvestiya NAN Armenii. Matem., 45 (6), (2010), 51-62.
*
[8] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, On a class of nuclear C -algebras, An Operator Theory Summer,
Proceedings of the 23rd international conference on operator theory (Timisoara, Romania, 2010), 39-50.
*
[9] S. Grigoryan, A. Kuznetsova, Torus action on C -algebra, The Varied Landscape of Operator Theory, Proceedings of the 24th international conference on operator theory (Timisoara, Romania, 2012), 127-136.
[10] S.A. Grigoryan, A.Yu. Kuznetsova, E.V. Patrin, Ob odnom kriterii neprivodimosti algebry
C*(X) , Izvestiya NAN Armenii. Matem., 49 (1), (2014), 75-82.Author of the publication Author of the publication
Alla Kuznetsova - associate professor of the Department of theory of relativity and gravitation, Institute of Physics of Kazan Federal University. E-mail: [email protected].
Поступила в редакцию 08.11.2017.
