CC BY
26
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 4 Физико-математические науки
2015
УДК 517.98
О ГРАДУИРОВКАХ C* -АЛГЕБРЫ, ПОРОЖДЁННОЙ ОТОБРАЖЕНИЕМ И АЛГЕБРОЙ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ
Е.В. Патрин
Аннотация
В работе рассмотрена операторная алгебра, порождённая отображением на счётном множестве и алгеброй мультипликаторов. Заданное отображение индуцирует семейство частичных изометрий, которые вместе с мультипликаторами и являются образующими. Показано, что помимо Z-градуировки на исследуемой алгебре можно ввести градуировку, согласованную с действием бесконечномерного тора.
Ключевые слова: C* -алгебра, частичная изометрия, мультипликатор, действие группы на C* -алгебре, неподвижная подалгебра.
Введение
В [1] была рассмотрена C* -алгебра , порождённая отображением и муль-
типликаторами, и изучены её основные свойства. Было показано, что алгебра является ядерной Z-градуированной алгеброй, причём подалгебра Mv,o является индуктивным пределом лиминальных C* -алгебр. В [2] рассматривалось действие единичной окружности на и было установлено, что на ней можно ввести структуру скрещенного произведения. В настоящей работе предложена связанная с действием бесконечномерного тора Тто динамическая система, с помощью которой получена другая градуировка алгебры . Проведено также сравнение неподвижных (под действиями единичной окружности и тора) подалгебр.
1. Необходимые сведения
Приведем основные сведения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Их более подробное изложение можно найти в [1, 3, 4]. Обозначим, как обычно, через N, Z и C множества натуральных, целых и комплексных чисел соответственно.
Пусть задано отображение p : X ^ X счётного множества X в себя, удовлетворяющее условиям: конечности прообразов card(p-1[x]) < то для любого x € X, и отсутствия циклических элементов, то есть pn(x) = x для всех n € N, x € X. Тогда в гильбертовом пространстве l2(X) функций на X со стандартным скалярным произведением {f,g) =5^ f(x)g(x) и ортонормированным базисом
хех
{Sx : X ^ C}xex : Sx(y) = Sxy (Sxy - символ Кронекера) возникает оператор Tv : l2(X) ^ l2 (X), Tv(f) := f о p обратного образа отображения p. На базисных векторах Sx справедлива формула
| Е Sy, p 1[x] = ^
Tv(Sx) = < y^f-1[x]
I 0, p-1[x] = 0.
56
О ГРАДУИРОВКАХ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
57
Здесь <f-1 [х] - полный прообраз точки х. Оператор T,p, вообще говоря, неограничен, но замыкаем [4].
Для сопряжённого оператора T* имеем
f Е f(у), ^-1[х\ = 0
TP(f)(х) = ) yEp-1[x] Tp(Sx) = Sp(x).
[0, <Р-1[х\ = 0,
Непосредственными вычислениями можно также получить следующие соотношения:
(Tp Tp)(f )(х) = card(^-1[x\)f (х), (Tp Tp)(Sx) = card(^-1 [x])Sx,
(TpTp)(f)(х) = £ f(y), (TvTp)(Sx)= £ Sy.
yEip-1[ip(x)] yEp-1[p{x)]
Операторы Tp Tp и Tp Tp замыкаемы, являются существенно самосопряжёнными и имеют одинаковые спектры, являющиеся дискретными. Они индуцируют разложения пространства l2(X) в прямые суммы своих инвариантных подпространств. Множество X представляется в виде дизъюнктного объединения подмножеств Xp := {х € X : са^(^-1[х\) = к}. Инвариантное подпространство {f € l2(X) : (Tp Tp)(f) = kf}, отвечающее собственному значению к, изоморфно l2(Xp). Таким образом, гильбертово пространство l2(X) изоморфно прямой сумме взаимно ортогональных подпространств: l2(X) « ф l2(Xp). Здесь l2(0) := {0}.
kEZ+
Для оператора TpTp инвариантное подпространство lk, отвечающее собственному ненулевому значению к, имеет вид
lp = {f € l2(X) : supp(f) C p-1[Xk\ & Vх € Xk, f |p-i[x] = const}.
Оно обладает естественным базисом
ex
I
Sy> . Положив по опре-
^k xEp 1 [x] 2 xEXk
делению lk := 0 lk , здесь lk := {0}, если соответствующее Xk = 0, оконча-
VkEN )
тельно получим нужное разложение l2(X) =0 lk.
kEZ+
Приведённые разложения позволяют ввести семейство операторов частичных изометрий {Uk : l2(X) ^ l2(X)}kEN, определив Uk на базисных векторах:
Uk(Sx) :=
ex, х € Xk,
0, х € Xk
и далее продолжив их по линейности.
Для сопряжённых операторов Up имеем Up(ex)
0,
х € Xk,
х € Xk.
Оператор обратного образа T может быть выражен следующей формулой: Tp = ^2 VkUk. Имеют место соотношения Up Up = 0 при к = l. Пусть Ap -
pen
Cp -алгебра, порождённая семейством частичных изометрий {Up}pEz+ . Эта алгебра была введена и изучена С.А. Григоряном и А.Ю. Кузнецовой работах [3-6].
Теперь расширим алгебру Ap с помощью коммутативной Cp -алгебры ограниченных функций lx(X) (см. [1]). Для этого рассмотрим отображение M : Iх1 (X) ^ B(l2(X)), lx(X) Э f » Mf : l2(X) ^ l2(X), Mf (g) := fg для всех g € l2(X).
S
x
58
Е.В. ПАТРИН
Для отображения M выполнены соотношения Mf+g = Mf + Mg, Mfg = Mf Mg, Mf * = Mj, то есть оно является точным *-представлением, сохраняющим норму, \\Mf || = ||/||то := sup{|/(x)| : x G X}. Обозначим через M(X) C*-алгебру, порождённую всеми операторами вида Mf, и будем называть её алгеброй мультипликаторов.
Через обозначим C* -подалгебру алгебры B(l2(X)), порождённую семейством операторов частичной изометрии {Uk}keN и алгеброй M(X).
Для образующих {Uk}keN и {Mf }f ei™(x) справедливы соотношения
Uk Mf = MTv(f )Uk и U*Mf Uk = M k Tv*(f )xxk .
Здесь xxk - индикатор множества Xk. В [1] было показано, что алгебра M(X) является максимальной коммутативной подалгеброй алгебр B(l2(X)) и .
2. Структура множества мономов алгебры
Элементарным мономом алгебры назовём любой элемент из множества
{Mf }f ei™(x) U {Uk}keN U {Uk }keN.
Мономом алгебры назовём любое конечное произведение элементарных мо-
номов. Обозначим через Monv множество всех мономов, оно образует полугруппу относительно умножения.
Напомним [6] понятие индекса мономов ind : Monv ^ Z. Для элементарных мономов он определяется следующим образом: ind(Mf) := 0, ind(Uk) := 1, ind(Uk*) := -1. Индекс ind(V) ненулевого монома V полагается равным сумме индексов элементарных мономов, участвующих в его представлении. Индекс нулевого монома полагается равным нулю. Если Vi и V2 - два монома и VV2 = 0, то ind(V]_V2) = ind(Vi) + ind(V2). Из-за наличия соотношений на образующие алгебры мономы не имеют однозначного представления через образующие.
Длиной d(V) монома V назовём наименьшее число операторов частичной изометрии (элементарных мономов из множества {Uk}keN U {U*}keN), участвующих в его представлении.
Лемма 1 [6, лемма 2.2]. Индекс монома не зависит от его конкретного представления в виде произведения.
Через MonVj„ обозначим множество мономов индекса n G Z, тогда Monv = = Ц MonVj„. Множество MonVjo является полугрупппой и состоит из мономов
nez
чётной длины. Используя индекс монома, мы можем ввести градуировку алгебры
. Напомним, что операторным пространством называют замкнутое подпространство C* -алгебры. Обозначим через Mv,n операторное пространство в алгебре Mv, порождённое мономами индекса n.
Лемма 2 [1, лемма 3.3]. Алгебра является Z-градуированной алгеброй: M = 0 MonVin.
nez
В [2] было показано, что данная градуировка согласована с действием а : T ^ Aut(Mv), a(z)(V) := z'nd(V)V, для всех V G Monv, где T - одномерная унитарная группа, и операторное пространство Mv,n является n-м спектральным подпространством. Было отмечено, что указанное действие является полунасыщенным, то есть алгебра как C* -алгебра порождается с помощью неподвижной подалгебры Mv,o и первого спектрального подпространства Ж^д.
О ГРАДУИРОВКАХ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
59
В настоящей работе мы укажем ещё одну градуировку алгебры . Для этого проведём более детальный анализ полугруппы мономов. Назовём моном V правым делителем монома W,, если W = V 'V, где V' - некоторый моном. Как ив [7], моном W будем называть положительно определённым, если найдётся такое его представление в виде произведения элементарных мономов, что индекс любого его правого делителя неотрицателен.
В данном параграфе при доказательстве некоторых утверждений будем использовать следующий результат из [7] для алгебры .
Лемма 3 [7, лемма 2.1]. Пусть W - положительно определённый моном нулевого индекса. Тогда W - положительный оператор с конечным спектром и множество векторов {Sx}xex является подмножеством собственных векторов оператора W .
Это утверждение справедливо лишь для мономов, в представлении которых участвуют только операторы частичной изометрии.
Пусть Mon+ - подполугруппа полугруппы Monv, состоящая из нулевого монома и всех положительно определённых мономов, и Mon+0 - подполугруппа полугруппы , Mon+, состоящая из нулевого монома и всех положительно определённых мономов индекса нуль.
Рассмотрим Co (N, Z) - группу всех отображений из N в Z с конечным носителем относительно поточечного сложения. Каждое отображение n G Co(N, Z)
имеет вид n = ^ n(k)Sk, где Sk : N ^ Z, Sk(l) := Ski. Определим мультииндекс
keN
монома как отображение m-ind : Monv ^ Co(N, Z), полагая для элементарных мономов m-ind(Uk) := Sk и m-ind(Uk) := -Sk, мультииндексы нулевого монома и элементарных мономов из {Mf }fei™(x) положим равными нулю. Как и раньше, определим m-ind(V) монома V как сумму мультииндексов элементарных мономов, участвующих в его представлении.
Предложение 1. Пусть V G Mon+о и у него существует представление
/ П \* П
вида П Mgih Ulk Mg2, п Mfx UikMf2 , gi, fi G lx(X), тогда для любого ба-
Vk=i k k) k=i k k
зисного вектора Sx справедливо равенство V(Sx) = cvSx, где cv G C - константа (возможно, равная нулю).
П
Доказательство. Допустим, что V - моном вида W*W, где W = П Uik.
k=i
Из свойств оператора Uk и леммы 3 следует, что такой моном является проектором и либо V(Sx) = Sx, либо V(Sx) = 0. Но любой моном V вида
е П \* П
П gik Uikg^k П fik Uik f2k из-за соотношений на образующие можно записать
Vk=i / k=i
как V = W*Mf W, где f G Vх(X), для которого доказываемое утверждение, очевидно, выполняется. □
Из предложения 1 вытекает
Лемма 4. Пусть V G Mon+ 0. Тогда m-ind(V) = 0.
Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по длине монома. В рассматриваемом случае длина монома - чётное число. Для мономов длины два утверждение очевидно. Рассмотрим мономы длины 2n + 2. Для простоты в записи представления монома опустим элементарные мономы вида Mf, f G Iх (X), поскольку они имеют индекс 0 и не влияют на доказа-
2п+2
тельство. Запишем произведение V = п U'k, где U'k G {Ujk ,Ujk }. Заметим что
k = i
60
Е.В. ПАТРИН
Uj2 2 = Uj2n+2 и по определению положительной определённости, ind(Vi) > 0
2n+2
для любого Vi = П Uj, . Предположим, что для некоторого l > 1 выполняется
k=i к
i-i
ind(Vl) = 0. Тогда Wl = П Uj, - положительно определённый моном нулевого
k=i
индекса. По предположению m-ind(V) = m-ind(Wl) + m-ind(Vl) = 0.
Допустим, что для всех l > 1 (исключая l = 2n + 2) справедливо равенство ind(Vi) > 0. Тогда Uj1 = U*, иначе V не будет положительно определённым. Пусть Sx - такой базисный элемент, что V(Sx) = 0. Тогда {V(Sx),Sx) = 0, что следует из свойств элементарных мономов и положительной определённости монома V.
2п+1
Отсюда {(Uji*W'Uj2 )(Sx),Sx) = {(W'Uj2n+2)(Sx),Uix (Sx)), где W'
П j
k=2
также положительно определённый моном длины n. Но {V(Sx),Sx) = 0, отку-
да вытекает Uj2n+2 m-ind(V) = 0.
Uj1. Но по предположению m-ind(W') = 0,
следовательно,
□
Чтобы доказать корректность определения мультииндекса, сформулируем ещё одну лемму, которая обобщает предыдущее предложение.
Лемма 5. Пусть V - такой моном, что для него найдётся базисный элемент Sx, для которого {V(Sx),Sx) = 0. Тогда m-ind(V) = 0.
Доказательство. Доказательство снова проведём методом математической индукции по длине монома. Отметим, что моном V обязательно имеет чётную длину и ind(V) = 0, иначе {V(Sx),Sx) = 0 автоматически. Если рассмотреть два монома, в представлении одного из которых участвуют только операторы частичной изометрии, а в представлении другого - мультипликаторы и те же частичные изометрии в том же порядке относительно друг друга, то соответствующие скалярные произведения будут пропорциональными друг другу. Поэтому для простоты снова можно считать, что в представлении монома участвуют только операторы частичной изометрии. Для мономов длины два утверждение очевидно. Предположим, что оно выполняется для мономов длины 2n. Рассмотрим мономы длины 2n + 2.
Предположим, что моном V длины 2n + 2 имеет вид V'Uk, где V' - моном длины 2n +1. Представим V в виде V1V2, где V2 - положительный моном нулевого мультииндекса вида W*W (как в начале доказательства предложения 1), а Vi -моном нулевого индекса. Минимальная возможная длина V2 равна 2 (V2 = U£ Uk ), другой крайний случай - сам моном V имеет вид W*W. Такой моном V2 всегда существует, это следует из свойств операторов {Uk}keN и соотношений на образующие. Тогда, используя утверждение 3, получаем {V(Sx),Sx) = {(ViV2)(Sx), Sx) = = cv2 {Vi(Sx),Sx) = 0. Но длина Vi не превосходит 2n, следовательно, m-ind(Vi) = = 0, отсюда m-ind(V) = 0.
Теперь рассмотрим моном V = V'Uk. Допустим, что V = Uj V''U£, где V'' -моном нулевого индекса длины 2n. Тогда из равенств
{V (Sx ),Sx)
{(Uj V ''U*k)(Sx),Sx)
{(V ''U*k)(Sx),U*(Sx)) =0
следует j = k, иначе скалярное произведение будет равно нулю. Следовательно, из свойств операторов частичной изометрии Uk, имеем {V''(Sv(x)),Sv(x)) = 0, ибо
Ul (Sx)
—= Sv(x\. Но длина U'' равна 2n, значит, m-ind(U'') k
m-ind(V) = 0.
Если же моном V имеет вид V = U* V'' Uk * , опять представим его в виде ViV2 , где уже Vi - моном нулевого мультииндекса вида W W из предложения 3, а V2 -
О ГРАДУИРОВКАХ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
61
моном нулевого индекса. Минимальная возможная длина Vi равна двум, следовательно, длина монома V2 не больше 2п. Тогда
{V(5Х),5Х) = {(V1V2)(SX),SX) = {V2(SX),V1(SX)) = ay! {У2(5Х),5Х) =0, поэтому m-ind(V2) = m-ind(V) =0. □
Теорема 1. Отображение m-ind : Monv ^ Co(N, Z) не зависит от представления монома и удовлетворяет условиям
m-ind(VW)
m-ind(V) + m-ind(W), если VW = 0, 0, если VW = 0.
Доказательство. Доказательство проведём от противного. Предположим, что существуют два представления Wi и W2 монома W = 0 с различными мультииндексами. Тогда найдутся такие элементы Sx и Sy, что {Wi(SX),Sy) = 0 и {W2(SX),Sy) = 0. Отсюда
(Wi(Sx),W2(Sx)) = W Wi)(Sx),Sx) =0.
Таким образом, по лемме 5 m-ind(W2*Wi) = 0, что противоречит нашему предположению. Теперь уже свойство «гомоморфности» отображения m-ind следует из его определения. □
Для каждого n G C0(N, Z) определим Monv,n := {V G Monv : m-ind(V) = n}. Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Полугруппа мономов Monv разбивается на непересекающиеся множества Mon^ n : Monv = Ц Mon^ n.
nec0(N,z)
Следствие 2. Полугруппа MonVj0 совпадает с полугруппой Mon+о и является коммутативной подполугруппой Monv.
Доказательство. Доказательство следует из предложения 4 и леммы 3. □
Операторное пространство, порождённое элементами из множества Monv,n, обозначим через Mv,n. 3
3. Действие бесконечномерного тора на
Рассмотрим компактную группу TTO := C(N, T) характеров дискретной группы Co (N, Z). Заметим, что Тто является счётным декартовым произведением единичных окружностей с топологией Тихонова (бесконечномерный тор). По теореме Понтрягина Co(N, Z) изоморфна группе характеров Тто.
Обозначим через хп характер группы Тто, соответствующий элементу n G Co(N, Z). Тогда xn(z) = z(n) = П z(k)n(k), z G TTO.
keN
Рассмотрим C* -алгебру C(TTO, Mv) относительно поточечных операций сложения и умножения с равномерной нормой, \\/||то := sup{||/(z)\| : z G TTO}, и естественной инволюцией /*(z) := /(z)*. Каждую функцию / G C(TTO, Mv) можно однозначно представить в виде формального ряда Фурье / = Е An(/)Xn
neCo(N,Z)
с коэффициентами An(/) = j/(z)x-n(z)dp(z), где р - нормированная мера
62
Е.В. ПАТРИН
Хаара на Тто. Для каждого монома V € определим -значную функцию V : TTO ^ , полагая V(z) := xm-ind(V)(z) V для всех z € TTO. Пусть -
C* -подалгебра алгебры C(TTO, Mv), порождённая полугруппой {V}veMon^.
Предложение 2. Пусть функция f € и An(f) - её n-й коэффициент ряда Фурье. Тогда An(f) € Mv,n.
Доказательство. Поскольку линейные комбинации элементов множества
S
{V}veMon^ плотны в алгебре , то функцию f можно взять в виде f = Е cjV.
Тогда
j—1
An(f) = J J2cjVj(z)x n(zW(z) = ±cj J Vj-(z)x n(z)dM(z) = j—1 j—1 t °°
= E Cj J Xm-inA{V ](z)Vj x-n(z)dp(z) = Y, Cj J Xm~mA{V )-n(z)Vj dp(z) =
El cjVj€ M<p,n.
j:m-ind(Vj)—n
□
T
T
Предложение 3. Алгебра изоморфна алгебре Mv.
Доказательство. Рассмотрим отображение «вычисление в единице группы» ev1 : ^ Mv, ev1(f) := f(1), где 1 - единица группы TTO. Тогда ev1(f1 +
+ fi) = ev1(f1) + evf), ev^ff = ev1(f1) evf), evL (f*) = ev1(f )*. По построению отображение ev1 сюрьективно и, кроме того, имеет нулевое ядро. Действительно, пусть найдётся функция f € ker(ev1), f = 0. Представим её в виде ряда Фурье f = ^2 An(f)xn и пусть 5Х - произвольный базисный вектор в l2(X).
neCo(N,Z)
Тогда evi(f)(dx) =12 An(f)(Sx) = 0. Но все An(f)(dx) взаимно ортого-
neCo(N,Z)
нальны, что вытекает из следствия 1, значит, An(f)(6Х) = 0 для любого x € X. Поэтому An(f) = 0, то есть f = 0. Следовательно, ev1 - изоморфизм. □
Зададим действие т группы Тто на алгебре C(TTO, Mv) её автоморфизмами следующим образом: V : TTO ^ Aut(C(TTO, Mv)), V(z1)(f )(z2) := f (z1z2).
Предложение 4. Алгебра инвариантна относительно действия т.
Доказательство. Действительно, образующие {V }veMon^ алгебры являются собственными векторами для операторов t(z) : V(z)(V) = xm-ind(V)(z)V для всех z € TTO.
Определив операторы т(z) := ev1 о V(z) о ev1-1 для всех z € TTO, получим представление т : TTO ^ Aut(Mv), вычисляемое на мономах по правилу т(z)(V) = = xm- ind(V)(z)V. (Здесь ev1 1(V) = V). Следующая диаграмма иллюстрирует вышеприведенные рассуждения:
M rnv.
ev
ev
□
О ГРАДУИРОВКАХ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
63
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Существует такое непрерывное представление т : TTO ^ Aut(Mv), что операторное пространство в алгебре , порождённое мономами мультииндекса n, определяется действием группы Тто, то есть
mv,n = ja е mv : A = j T(z)(A)x-n(z)dp(z)J.
Суммируя все вышесказанное, сформулируем
Следствие 3. На C* -алгебре можно задать ковариантную систему
(rnv, тто ,т).
Таким образом, на алгебре помимо Z-градуировки можно задать и
Co (N, Z) -градуировку, которая порождается действием бесконечномерного тора, то есть ___________
M =0 mv,n.
neCo(N,Z)
4. Неподвижные подалгебры алгебры
Изучим структуру неподвижной подалгебры Mv,o • Рассмотрим, как соотносятся подалгебры Mv,o и . По построению С MVjo • Рассмотрим случай,
когда эти две неподвижные подалгебры совпадают.
Условием совпадения рассматриваемых подалгебр является следующее: любой моном нулевого индекса может быть записан в виде
1 П
UMfk Ujk *MgJ] Mfk Ujk Mgk ,
k=n k=1
или
n1
U.Mfk Ujk MgJI Mfk Ujk * Mgk,
k=1 k=n
или произведения таких мономов, то есть иметь нулевой мультииндекс. Все положительно определённые мономы обладают этим свойством (см. предложение 4). Поэтому рассмотрим мономы нулевого индекса, не являющиеся положительно определёнными.
Отображение р на множестве X задает частичный порядок. Будем говорить, что x У у, если найдётся такое n е N, что p>n(y) = x. Распространим этот порядок на базис {Sx}xex гильбертова пространства l2(X), полагая 5Х У 5у, если x У у. Цепь Sx = SXo У SXl У 6Х2 У ■■■ У SXn = Sy назовём неуплотнимой, если из условия Sx У Sz У Sy следует, что найдётся такое k, 0 < k < n, что Sz = SXk.
Лемма 6. Пусть Sx У Sy . Тогда существует единственная неуплотнимая цепь Sx = SXo У SXl У SX2 У ■■■ У SXn = Sy с началом Sx и концом Sy.
Доказательство. Пусть x = pk(y). Множество {xo = x, pk-1(y), pk-2(y),. .. ,y} определяет неуплотнимую цепь Sx = SXo У SXl У SX2 У ■■■ У SXk = Sy, где xj = = pk-j (y). Если Sx У Sz У Sy, то z = pl(y), l < k. Отсюда следует, что Sz = Sxl. □
Напомним, что для любого фиксированного k е N гильбертово пространство l2(X) представляется в виде прямой суммы конечномерных подпространств
64
Е.В. ПАТРИН
l‘2(^-k[ж]), x € X. Здесь <f-k[x] := {y € X : <^>k(y) = x} - полный прообраз к-й степени точки х. Зафиксируем произвольный базисный элемент Sx и некоторое к. Рассмотрим все неуплотнимые цепи с началом в Sx, которые заканчиваются на элементах множества {Sy}yev-k[x}. Будем называть к длиной неуплотнимой цепи. С каждой неуплотнимой цепью с началом в Sx и концом в Syi, 1 < l < card(^-k [х]),
свяжем такой набор натуральных чисел
;(0
■(l)
j2 >
(l)
,jk
что
Uh) *uw н
j1 J2
■■■ U.V
jk
(Sy,)
А (1)а (l).. .X)
j1 j2 jk
1
S
x
Если неподвижные подалгебры совпадают, то, очевидно, всем неуплотнимым цепям с началом в Sx и концом в Sy, y € ф-k[x], соответствует единственный набор (ji, j2,... ,jk). В противном случае существовал бы такой моном
V = Urn Um)■ ■■U.(l) *U.m *■ ■■U.(l) *,
j1 j2 j1 j2 jk
что ind(V) = 0 и m-ind(V) = 0, а это противоречит нашему предположению. Отсюда следует
Предложение 5. Если для любого x € X и любого к € N существует единственный набор (ji,j2, .. . ,jk), соответствующий всем неуплотнимым цепям с началом в Sx и концом в {Sy}y^v-k\.x], то Mv,0 = Mv,q.
Заметим, что при выполнении этого условия подалгебра Mv,0 может обладать коммутативной подалгеброй, порождённой мономами нулевого индекса, в представлении которых участвуют только операторы частичных изометрий, то есть операторы из Av,o.
Будем говорить, что точки x, y € X ф -эквивалентны в к -м порядке, если фk (x) = фk (y), и назовём точку x начальной, если её прообраз пуст.
Предложение 6. Пусть Mv,0 = Mv,o . Тогда подалгебра Av,o коммутативна тогда и только тогда, когда любой элемент из X, ф -эквивалентный в каком-либо порядке начальному элементу, сам является начальным.
Доказательство. Доказательство основывается на предложении 5. Доста-
1 m
точно лишь показать, что будут коммутировать мономы вида V = п Ujk ГК
k=m k=1
n 1
и v ' = П j П U*k. Рассмотрим базисный элемент Sx, на котором оба монома
k=1 k=n
не равны нулю. По лемме 3 имеем V(Sx) = Sx. Непосредственно вычислив, получим, что
V'
\J card(y> 1 [^(x)])
S
y
y£(f 1[v(x)}.
\J card(^> 1[^(x)])
53 Sy,
yev 1[v(x)}
1
1
n1
то есть V'(Sv(x)) = Sv(x). Можно показать, что моном V' = П j П U*k в усло-
k=1 k=n
виях предложения 5 является проектором на подпространство, порождённое векторами ey, y € ф-(п-1) [<^>n(x)].
Все неуплотнимые цепи (любой длины), начинающиеся на элементе Sv(x), совпадают (имеют одинаковый набор). Если один из элементов ф-1 [<^(x)] - начальный,
О ГРАДУИРОВКАХ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
65
то и все остальные тоже начальные. Это верно для любого у-к [yn(x)] для любых к (и, вообще говоря, n). Отсюда получаем, что проекторы V и V' коммутируют.
Из коммутативности Av,o следует, что любой элемент, эквивалентный начальному, сам является начальным. Действительно, пусть xo G y-1\y(x)] - единствен-
1 m
ный начальный элемент. Тогда для любого V вида Пик.П Uk ■ V ft. )=».»»
k=m к=1
найдётся такой моном W, что W(SXs) = SXs для xs G y-1\y(x)], что противоречит предположению о коммутативности Av,o- □
Из предложения 6 следует, что неподвижная подалгебра Mv,o (как и Mv,0) не может быть коммутативной, если отображение у не является инъекцией. Это видно хотя бы из того, что проекторы Uk Uk (простейший пример проектора на подпространство, порождённое векторами ey) не содержатся в M(X). Таким образом, если выполнены условия предложения 6, то подалгебра Mv,o порождается с помощью двух некоммутирующих коммутативных подалгебр: Av,o - подалгеброй, порождённой мономами индекса нуль, содержащими только частичные изометрии, и коммутативной алгеброй мультипликаторов M(X).
Следствие 4. Следующие утверждения эквивалентны:
1) отображение у - инъекция;
2) подалгебра Mv,o является коммутативной.
Доказательство. Достаточно заметить, что если для любого x G X мощность card(y-1[x]) равна единице (или, возможно, нулю), то любой моном нулевого индекса будет лежать в M(X). □
Обратимся теперь к случаю, когда С Mv,o. Определим отображение
Ф : Co(N, Z) ^ Z, полагая Ф(5к) = 1, We п(к)<ч=е п(к).
\keN ) keN
Поэтому из следствия 3 вытекает, что подалгебра M^,o является кег(Ф) -градуированной, то есть
mv,o = 0 ш^,п.
пекег(Ф)
Summary
E.V. Patrin. On Gradings of the Operator Algebra Generated by Mapping and Multipliers.
The operator algebra generated by mapping on a countable set and multipliers is considered. The defined mapping induces a family of partial isometries satisfying some relations. These isometries, as well as the multipliers, are the generators of the investigated algebra. We equip the algebra with a torus action and consider the corresponding covariant system.
Keywords: C* -algebra, partial isometry, multiplier, group action on C* -algebra, fixed-point subalgebra.
Литература
Кузнецова А.Ю., Патрин E.B. Об одном классе C* -алгебр, порожденных частичными изометриями и мультипликаторами // Изв. вузов. Матем. - 2012. - № 6. -С. 44-55.
1.
66
Е.В. ПАТРИН
2. Kuznetsova A.Yu., Patrin E.V. On the structure of C* -algebra generated by a family of partial isometries and multipliers // Armen. J. Math. - 2015. - V. 7, No 1. - P. 50-58.
3. Григорян С.А., Кузнецова А.Ю. C* -алгебры, порожденные отображениями // Ма-тем. заметки. - 2010. - Т. 87, № 5. - С. 694-703.
4. Кузнецова A.Ю. Об одном класе C* -алгебр, порожденных счетным семейством частичных изометрий // Изв. НАН Армении. Матем. - 2010. - Т. 45, № 16. - С. 51-62.
5. Grigoryan S., Kuznetsova A. C* -algebras generated by mappings // Lobachevskii J. Math. - 2008. - V. 29, No 1. - P. 5-8.
6. Grigoryan S., Kuznetsova A. On a class of nuclear C* -algebras // An Operator Theory Summer: Proc. 23rd Int. Conf. on Operator Theory. - Bucharest: Theta Foundation, 2012. - P. 39-50.
7. Григорян С.А., Кузнецова A.Ю., Патрин E.В. Об одном критерии неприводимости алгебры C*(X) // Изв. НАН Армении. Матем. - 2014. - Т. 49, № 1. - С. 75-82.
Поступила в редакцию 27.08.15
Патрин Евгений Владимирович - ассистент кафедры теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия. E-mail: evgeniipatrin@mail.ru
