О структуре с*-алгебры, порожденной частично упорядоченным множеством Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 512.573, 512.562

О СТРУКТУРЕ С* -АЛГЕБРЫ, ПОРОЖДЕННОЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ

Григорян С.А., КГЭУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected] Липачева Е.В., КГЭУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected] Ситдиков А.С., КГЭУ, д-р физ.-мат. наук, [email protected]

В данной работе исследуется структура С*-алгебры, порожденной полугруппой путей, ассоциированных с частично упорядоченным множеством, а также некоторые ее расширения.

Ключевые слова: частично упорядоченное множество, путь, полугруппа, С*-алгебра, оператор частичной изометрии, алгебра Кунца.

Введение

В современную физику все больше проникают идеи и методы абстрактных разделов математики. В частности, это наблюдается в квантовой физике, что связано с необходимостью аксиоматического построения теории квантованных полей. В последние годы в квантовой физике широко применяются методы теории С*-алгебр, алгебраической топологии и теории категорий [1 -5]. Применение этих методов обосновано тем, что физические явления, происходящие на пространственно-временном многообразии (например, плоское четырёхмерное пространство-время Минковского), можно изучить с помощью методов алгебры, поставив в соответствие каждой подобласти данного многообразия некоторую С* -алгебру

7

(алгебру наблюдаемых) [6]. Если же явления происходят в искривленном многообразии (в последнее время физика обогатилась не только новыми идеями, но и новыми физическими величинами -топологическими инвариантами, которые обычно называют топологическими зарядами), то для их изучения можно применить методы теории абелевых групп. Тем самым, для исследования свойств топологических зарядов можно широко использовать методы теории когомологий.

При изучении вышеупомянутых многообразий наиболее подходящим математическим объектом является категория частично -упорядоченных множеств, с помощью которой можно образовать симплициальные множества (так называемые 0-симплексы, пути и п-симплексы). Функториальное соответствие между этой категорией и категорией сетей С*-алгебр или категорией последовательностей абелевых групп позволяет изучать свойства рассматриваемой физической системы с помощью мощных алгебраических методов.

Одной из таких работ является работа [7], в которой авторы исследуют универсальную алгебру, порожденную сетью С* -алгебр и совокупностью путей на заданном частично-упорядоченном множестве, строят С* -динамическую систему, порожденную фундаментальной группой петель. На основе полученных результатов авторы проводят классификацию сетей С*-алгебр.

В данной статье, опираясь на результаты работы [7], авторы исследуют структуру С*-алгебры, порожденной полугруппой путей на частично-упорядоченном множестве. Статья построена следующим образом. Первый раздел носит вспомогательный характер, где вводятся понятия пути, с помощью сформулированной системы аксиом, и абстрактной полугруппы путей 5 на частично-упорядоченном множестве К, а также доказывается ряд оригинальных лемм. Во втором разделе строится С*-алгебра С*е^(5),

8

порождённая операторами частичной изометрии Тр , р е 5, на

2

гильбертовом пространстве I (5), и изучаются свойства этой алгебры. В третьем разделе рассматриваются расширения этой ал* *

гебры Сге^ п (5) и Сге^ ^ (5), и задаются структуры конечной и

бесконечномерной алгебр Кунца, порождённые фактор-алгебрами расширений.

1. Полугруппа путей

Пусть К - частично упорядоченное множество с отношением порядка <, удовлетворяющим свойствам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Множество К называется направленным вверх, то есть для любой пары точек а,Ь е К найдется точка с е К такая, что а < с и Ь < с. Введем понятие пути на множестве К .

Элементарным прямым путём назовем пару (а,Ь) для любых а,Ь е К таких, что а < Ь. Элементарным обратным путём

назовем пару (а,Ь) для любых а,Ь е К, таких, что Ь < а. Если р - это прямой или обратный элементарный путь, то для точек а и Ь будем использовать обозначение дор = а и д\р = Ь, и будем называть их, соответственно, конечной и начальной точками пути. Если (а, Ь) - элементарный прямой путь, то обратным к нему

называется элементарный обратный путь (Ь, а) и наоборот. Для

взаимообратных путей будем использовать обозначение р и р .

Очевидно, (р 1) 1 = р. Пару 1а = (а, а) для любого а е К назовём тривиальным путем.

9

Назовем путем последовательность прямых и обратных элементарных путей вида р = рп * рп_ *... * р такую, что

50Р/_1 =д\Рг для I = 2,...,п . Назовем начальной точкой пути р

точку д\р = д\ру и конечной точкой - точку р = д§рп . Для

произвольного пути р = рп * рп* ... * р определим обратный

_1 _1 _1 _1 путь: р = р * р2 *... * рп . Множество всех путей обозначим через 5. Очевидно, 5 является полугруппой с нулём относительно операции * . При этом для любых р, д е 5:

р * д при д1 р = дод,

р * д = 1

0 при д1 р ^дод.

Полугруппу 5 назовём полугруппой путей. Множество К называется связным, если для любых а,Ь е К существует путь р е 5 такой, что ддр = а, дур = Ь . Далее будем

считать, что К - связное множество.

На множестве элементарных прямых и обратных путей выполняются аксиомы для любых а, Ь, С е К таких, что а < Ь и

Ь < С:

1) (а, Ь) * (Ь, с) = (а, с);

2) (с, Ь) * (Ь, а) = (с, а);

3) (а,Ь) * р = 0, если дор Ф Ь;

4) (Ь, а) * р = 0, если дор Ф а;

5) (Ь,а) * (а,Ь) = Ь, (а,Ь) * (Ъ,а) = 12;

6) (а, а) = (а, а);

10

7) (а, Ь) * Ь = (а, Ь), 1а * (а, Ь) = (а, Ь);

8) (Ь, а) * 1а = (Ь, а), 1ь * (Ь, а) = (Ь, а);

9) 1а * 1а = 1а;

В полугруппе путей 5 выполняются следующие свойства, которые являются следствиями аксиом:

1) Для любых элементарных прямых путей р, д е 5 таких,

что д1 р = д^д найдётся элементарный прямой путь ^ е 5 такой, что р * д = ^ . То есть

Гя при д1 р = дод,

р * д = 1

[0 при д1 р ^дод.

2) Для любого р е 5 такого, что дор = а, д\р = Ь, справедливо:

р"1 * р = Ь, р * Р~ 1 = 1а.

3) Для любого р е 5 такого, что дор = а, д1 р = Ь, справедливо:

1а * р = р * ь = р.

4) Для любых путей р, д е 5 таких, что д1 р = дод, справедливо:

(р * д) = д * р .

11

Из перечисленных свойств следует, что элементы полугруппы 5 имеют вид:

р = (а2п,а2п_1) *... * ^а2) * (а2^а1) * (аЪа0) > (11)

где прямые и обратные элементарные пути чередуются. При необходимости мы всегда можем добавить в начало или конец пути

элементарный путь вида (а, а) или (а, а). Заметим, что приведенное определение пути хорошо согласуется с аналогичным понятием, данным в работе [7]. При этом произведение вида

(а1+1 , а1) * (аг,аг-0 представляет собой 1-симплекс с носителем аI, элементы а^_1,а^,у есть 0-симплексы. Определение 0-симплекса и 1 -симплекса можно найти в [2; 5; 7].

Будем обозначать 1-симплекс следующим образом:

[а, с] = (а, Ь) * (Ь, с), а его носитель Ь =| [а, с] |. Обратным к нему является 1 -симплекс

[с, а] = [а, с]_ = (с, Ь) * (Ь, а)

с тем же носителем. Заметим, что 1 -симплекс зависит, вообще говоря, от своего носителя. В лемме 1.3 мы увидим, что он не зависит от носителя в случае направленного вверх множества.

Таким образом, путь (1.1) мы можем записать в виде последовательности 1 -симплексов:

р = [а2п, а2п _2] *... *[a4, а2] * [а2, а0].

12

Лемма 1.1. Для любых 1-симплексов [а,Ь] и [Ь,с] если существует ё е К, такой, что \ [а, Ь]\,\[Ь, с] \ < ё, то ё =| [а, с] \ и

[а, Ь] * [Ь, с] = [а, с].

Доказательство. Пусть \ [а,Ь] \= г, \ [Ь, с] \ = s . Тогда

[а, Ь] * [Ь, с] = (а, г) * (г, Ь) * (Ь, з) * (з, с)

= (а, г) * (г, ё) * (ё, г) * (г, Ь) * (Ь, з) * (з, ё) * (ё, з) * (з, с) =

= (а,с!) * (¿/,6) * * = (<2,£/) * = [а,с\ П

Будем говорить, что путь р е 5 допускает элементарную деформацию, если в нем можно заменить некоторый участок пути [а,Ь] *[Ь,с] на [а,с] или наоборот. Из леммы 1.1 следует, что если путь д е 5 получается из некоторого р е 5 с помощью конечного числа элементарных деформаций, то д = р .

Будем говорить, что путь р есть петля, если дор = д1 р. Обозначим через Оа множество всех петель с началом и концом в

точке а .

Лемма 1.2.

1) Множество Оа есть подгруппа в 5 с единицей ¡а .

2) Каждый путь р такой, что ддр = а, д\р = Ь , порождает изоморфизм между группами Оа и Оь.

3) Пусть р,д е 5 такие, что дор = дод = а, д1 р = д^ = Ь. Тогда существуют gl е Оа и g2 е Оь, такие, что

р = gl * д = д * g2.

Доказательство. 1) Очевидно.

13

2) Определим отображение ур : Оа ^ Оь формулой:

У р(8) = р ~1§р,

где 8 е Оа. Очевидно, ур - изоморфизм.

3) Очевидно, g\= р* д"1 еОа и g2 = * р е О,. и Лемма 1.3. Пусть К - направленное вверх множество. Тогда

1) Для любых а, Ь, с, й е К если а, с < Ь и а, с < й, то

(а, Ь) * (Ь, с) = (а, й) * (й, с).

2) Для любых а, Ь, с е К

[а, Ь] * [Ь, с] = [а, с].

3) Для любого р е 5 такого, что д^р = а, д\р = Ь,

р = [а, Ь].

4) Если 8 е Оа, то 8 = 1а , то есть группа Оа тривиальна. Доказательство. 1) Так как К - направленное вверх множество, то существует 5 е К такой, что Ь, й < 5 . Тогда имеем:

14

(а, Ь) * (Ь, с) = (а, Ь) * (Ь, 5) * (5, Ь) * (Ь, с)

= (а, 5) * (5, с) = (а, й) * (й, 5) * (5, й) * (й, с) =

(а, й) * (й, с).

2) Следует из леммы 1.1.

3) следует из 2).

4) Пусть 8 е Оа, тогда

8 = [а ап] *... а1] * [аъ а].

Применяя 2) несколько раз и 1), получаем, что

8 = [а,а-] * [а-,а] = (а,Ь) * (Ь,а-) * (а-,й) * (й,а) =

= (а,Ь) * (Ь, а-) * (а-, Ь) * (Ь, а) =

а-

2. С*-алгебра С*ей(5)

Рассмотрим гильбертово пространство

12 (5)

| Т\АР)\ <«> ре5

со скалярным произведением (/, ^ = ^ /(р)8(р). Семейство

ре5

функций |ер | где ер(р') = 5р р - символ Кронекера, обра-

15

зует ортонормированный базис в нем. Пусть В(12(5)) - алгебра

2

всех ограниченных линейных операторов на I (5). Для каждого р е 5 определим оператор

Тр : 12 (5) ^ 12 (5)

Полагая на базисных элементах Трвд = вр*д, д е 5 , и продолжая

2

по линейности на все I (5) . Очевидно, ТрТд = Тр*д. Определим

сопряжённый оператор Т* = Т . Это определение корректно,

так как ред,^ о тогда и только тогда, когда р* д = г, это

'д

равносильно тому, что д = р 1 * г, следовательно,

(Тред,ег) = (ед,Т р.

В лемме 2.1 мы увидим, что операторы Тр, Т* являются операторами частичной изометрии.

Пусть 5а ={ре 5 \ дор = а}, а е К. Тогда, очевидно,

12 (5 ) = © 12 (5а ).

аеК

Лемма 2.1.

16

1) Пусть p е S такой, что 8qp = a, p = b . Операторы

Ia TpTp и Ib TpTp

2 2

являются проекторами на подпространства I (5а) и I (5ь), соответственно. При этом оператор Тр отображает пространство

2 2 * I (5ь) в пространство I (5а), а оператор Т* отображает пространство 12(5а) в пространство 12(5ь) .

2) Пусть g е Оа, тогда оператор Tg является унитарным на

2

I (5а). Будем обозначать его Ug

3) Пусть р,д е 5 такие, что дор = дод = а, д\р = д\д = Ь.

Тогда существуют g1 е Оа и g2 е Оь такие, что

Т = и Т = Т и Тр uglТд 1дug2.

Доказательство. 1) Действительно, Трвд Ф о, если дод = Ь

и до(р * д) = а . Поэтому, Тр : 12(5ь ) ^ 12(5а) . Аналогично,

Т* : 12(5а) ^ I2(5ь ) . Нетрудно видеть, что !аед = ед, если

дод = а, и 1авд = о в противном случае. То есть 1а - проектор на

22 I (5а). Аналогично, 1ь - проектор на I (5ь ) .

2 2 * 2) Имеем иg = Tg : I (5а ) ^ I (5а ). Причём UgUgвр = вр

*

и

и*р^вр = вр для любого р е 5а.

17

3) Следует из леммы 1.2. □

Обозначим через С*ей (5) равномерно замкнутую подалгебру алгебры В(12(5)), порождённую операторами Тр , р е 5. Очевидно, множество конечных линейных комбинаций операторов Тр, р е 5 плотно в С*ей (5).

Пусть 5а ={р е 5 | дур = а}, а е К. Тогда

12(5) = 0 12(5а).

аеК

Теорема 2.1.

1) Алгебра Сге^(5) действует на каждом пространстве 2 а

I (5 ), а е К, неприводимо.

2) С*ей(5) = 0 С*ей(5)|/2/о^ .

аеК 1 (5 )

*

3) Любой оператор А е С*ей(5) представляется в виде

А = 0 Аа, где Аа = А I о . аеК 1 (5 )

4) Если группа Оа нетривиальна, то алгебра С*ей(5а^

не содержит компактных операторов.

Доказательство. 1) Множество {ер}ре5 является базисом

д-р=а

пространства 12(5а) . Пусть р-,р2 е 5а, то есть д-р- = д-р2 = а .

18

Тогда если р = р2 * р\ 1, то Трвр = в^ . Отсюда следует неприводимость алгебры Сгв^ (5 )\-,2г .

1 (5 )

2) и 3) вытекают из того, что все операторы Тр, р е 5, переводят каждое пространство 12(5а ), а е К, в себя.

а

4) Пусть р е 5 , g е Оа и g Ф га . Рассмотрим последовательность Xn=ep*g*g* *g■ Элементы последовательности {Хп}

2 а

попарно ортогональны в I (5 ), так как g * g Ф g . Пусть

*

А е Сгв^(5)\.2(. Если А - компактный оператор, то 1 (5 )

\\Ахп\\ ^ о при П ^да. С другой стороны, пусть Авр = ^Ы1вр. ,

г

(Л

где рI е 5 . Поскольку А приближается конечными линейными комбинациями операторов Тд, д е 5, то из того, что

Tдвp*g = вд*p*g , что Авр*^ = ^агвр*g . Аналогично,

г

Aep*g*g* *g iepj*g*g*..*g для любого п. Таким образом,

П

( \И2

для любого п имеем ||АхП || =

> о. Противоречие.

г|

V г J

Следовательно, А не является компактным оператором, и

Теорема 2.2. Пусть К - направленное вверх множество. Тогда:

19

П

1) Для любого р е 5 такого, что р = а, д1 р = Ь, справедливо Тр = Т[а Ь].

*

2) Алгебра С*ей (5)\,2Г , а е К, совпадает с алгеброй

I (5 )

компактных операторов в В(1 (5а)).

*

3) Алгебра С*ей (5) не унитальна. Доказательство. 1) следует из леммы 1.3.

2) Из леммы 1.3 следует, что любой базисный элемент пространства 12(5а) имеет вид е[с а], где с е К. Тогда для любого оператора Тр имеем Тре[с а] Ф 0 тогда и только тогда, когда

д-р = с. Следовательно, Тр \ 2(- одномерный оператор. А это

р 1 (5 )

означает, что алгебра С*ей(5)\-,2(о^ совпадает с алгеброй ком-

I (5 )

пактных операторов в

В(1 (5а)).

*

3) Любой элемент А е С*ей(5) представляется в виде

А = 0 Аа, где Аа е Сге^(5)\2, ^. Из 2) следует, что все Аа -аеК 1 (5 )

компактны на бесконечномерном пространстве. Если А = I, то

Аа =/ - компактный оператор, чего не может быть, и

/ (о )

Теорема 2.3. Для любых а, Ь е К справедливо

* * Сгей (5) \/2 (5а ) = Сгей (5) \/2 5 ) .

20

Таким образом, мы имеем сеть изоморфных С*-алгебр

!С*ей (5 )\]2( с<а\ } , ассоциированную с частично упорядочен-1 (5 П аеК

ным множеством К .

Доказательство. В силу связности множества К существует

путь р е 5 такой, что ддр = а, д\р = Ь . Определим унитарный

оператор ир : 12(5а ) ^ 12(5Ь ), действующий следующим образом на базисе:

иреч = еч*р' ^ е 5 .

Сопряженным к нему будет оператор

и*р = ир-- : 12(5Ь) ^ 12(5а). Очевидно, ирир = - и ири*р = -.

Определим отображение

* *

Уа,Ь : Сгей(5) \/2(5«)^ Сгей(5) \125)

по формуле:

Уа,Ь (А) = ирАир, А е Сг^ (5 )\12( 5а).

Очевидно, уа является изоморфизмом, и

21

3. Расширения С*-алгебры С*е^ (5)

В данном пункте будем считать К счётным направленным вверх множеством. Из леммы 1.3 следует, что любой путь р е

такой, что р = а, д\р = Ь , имеет вид р = [а,Ь]. Представим

множество К в виде конечного объединения непересекающихся счетных подмножеств:

п

К=1)Е;, П = О при 1Ф]. /=1

Зададим произвольным образом взаимно-однозначные отображения

Ф1: Е1 ^ К, I = .

Определим операторы Тф. : 1^(8) ^ 1^(5) для любого I = 1,...,п:

ТФi =®Е_ Т[х(х)].

Сопряжённым к Т^ будет оператор

Тг, = 0 Тг у ^ = 0 Т -Ь N т. Нетрудно видеть, что эти опера-Ф хеЕ [Х,ф (Х)] хеК [х,Ф- (х)]

торы удовлетворяют свойствам:

ТФф>1 Тф =1' ^ тф] = 0 пРи 1 ф

22

п

1**

V Т Т = I

г=-

Действительно, любой базисный элемент имеет вид е[а ь] Тогда

гр* гр _т* т _т*

= - \а),а]е[а,Ь] = - \а),Ь]

= Тх„,,-ь Льп = е

[а,ф-1(а)]е[ф-1(а),Ь] е[а,Ь].

и, аналогично,

ТфТф] е[а,Ь] = 0

так как Е7- П Е ^ = 0. Далее, пусть а е Етогда

V Т Т * V г=-

е\а,Ь\ ТФкТ[Фк (а),а]е[а,Ь] Тфк е[фк (а),Ь]

Т[а,фк (а)]е[фк (а),Ь] е[а,Ь] ■

Обозначим через Сге^ п (5) равномерно замкнутую подалгебру алгебры В(12(5)), порождённую операторами Тр , р е 5, и Тф., г = -,... п. Алгебра Сге^ п (5) является унитальной и поэто-

23

му не совпадает с C*ed (S). Она является расширением алгебры

C*ed (S). Более того, верна следующая лемма.

* *

Лемма 3.1. Алгебра C*ed (S) является идеалом в C*ed n (S) . Доказательство. Заметим сначала, что T^ T[a щ] = T[[x b] Для

некоторого x е K и T[a ь~Гщ = Ta у] для некоторого у е K. А

*

поскольку любой элемент A е C*ed (S) приближается конечными линейными комбинациями операторов вида T[a b], то T^, A и

ЛТ% zc;ed(S). u

Напомним определение алгебры Кунца. Алгебра On, порождённая изометриями Sj,..., sn, удовлетворяющими тождествам

n

SÍ Sj = j, ^ sisi = 1 i=j

называется алгеброй Кунца. Алгебра, порождённая Sj,S2,... и тождествами

п

Sj Sj = byl, ^ SjSj < I для любого и е Г 7=1

называется бесконечномерной алгеброй Кунца Ою.

Теорема 3.1. Справедливо Сге^ п (5)/ Сге^ (5) = Оп , и, следовательно, существует короткая точная последовательность:

24

* гй * п 0 ^ Сгей (5) ^ С*ейп (5) ^ Оп ^ 0,

где гй - вложение, К - фактор-отображение.

Доказательство. Классы эквивалентности

[Тф. ] = Тф. + С*ей (5), г = \,..,п, являются порождающими для

фактор-алгебры С*ей п(5)/ С*ей(5). Они являются изометрическими операторами и, очевидно, выполняется равенство:

п

V [Тф. ][Т* ] = I.

г=-

Тогда, в силу универсальности алгебры Кунца, получаем изомор-

* *

физм Сгес} п{8) / с.геа{8) = Оп. и

Аналогичный результат получается для бесконечномерной алгебры Кунца, если множество К представить в виде счетного объединения непересекающихся счетных подмножеств:

оо

К=[]Е1. /=1

Обозначим через С*ей ^ (5) равномерно замкнутую подал-

р

гебру алгебры В(12(5)), порождённую операторами Тр , р е 5, и

Тф., г = -,2,... . Тогда справедлива теорема:

25

Теорема 3.2. Существует Cred (S)/ Cred(S) = Oи, следовательно, короткая точная последовательность:

* id * К

О ^ C*ed (S) ^C*ed,да (S) ^ 0 >

где id - вложение, К - фактор-отображение. Доказательство. Аналогично теореме 3.1.

Источники

1. Roberts, J.E. A survey of local cohomology. In: Mathematical problems in theoretical physics, Lecture Notes in Physics, Vol 80, pp.81-93, (1978).

2. Ruzzi, G. Homotopy of posets, net cohomology and superselection sectors in globally hyperbolic space-times, Rev. Math. Phys., Vol 17, pp. 1021-1070, (2005).

3. Brunetti R, Ruzzi G. Superselection sectors and general covariance I., Comm. Math. Phys., Vol 270, pp.69-108, (2007).

4. Brunetti R., Ruzzi G. Quantum charges and space-time topology: The emergence of new superselection sectors, Comm. Math. Phys., Vol 287, pp.523-563, (2009).

5. Vasselli E. Presheaves of symmetric tensor categories and nets of C*-algebras. Journal of Noncommutative Geometry Vol 9, pp.121-159, (2015).

6. Haag R. Local quantum Physics: Fields, particles, algebras. Springer -Verlag, Berlin, (1992).

7. Ruzzi G., Vasselli E. A new light on nets of C*-algebras and their representations. Comm. Math. Phys., Vol 312, pp.655-694, (2012).

Information

Grigorian S.А., Lipachechva Е.К, Sitdikov А.S.

ON THE STRUCTURE OF THE C*-ALGEBRA GENERATED BY A PARTIALLY ORDERED SET

Abstract: In this work we investigate the structure of the C*-algebra generated by the path semigroup in a partially ordered set, the so called poset, as well as their some extensions. Keywords: partially ordered set (poset), path, semigroup, C*-algebra, partial isometry, Cuntz algebra.

Дата поступления 12.01.2015

26