CC BY
7
УДК 512.573: 539.125
АЛГЕБРА, ПОРОЖДЕННАЯ СЕТЬЮ АЛГЕБР КАНОНИЧЕСКИХ АНТИКОММУТАЦИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
Никитин А.С., ФГБОУ ВПО «КГЭУ», канд. физ.-мат. наук, доцент Ситдиков А.С., ФГБОУ ВПО «КГЭУ», д-р физ.-мат. наук, проф. Кириллов М.И. ФГБОУ ВПО «КГЭУ», студент Контакты: [email protected]
В работе построена сеть алгебры наблюдаемых алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС). На основе конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС-конструкция) построены представления данной сети и показано, что неприводимые представления соответствуют зарядовым суперотборным секторам. Ключевые слова: сеть алгебр, алгебра канонических антикоммутационных соотношений, суперотборные сектора.
Введение
Теория абстрактных С*-алгебр для описания физических систем в физической литературе используется давно [1^ 4]. Описание наблюдаемых величин квантовой физической системы в этом случае задается сетью С*-алгебр (над пространством Минковского или над трехмерным евклидовым пространством), под которой понимается соответствие А ■ К Э о ^ Ао £ £ Л(!4), удовлетворяющее соотношению о ^ О ^ А ^ А . В случае
пространства Минковского К означает множество двойных конусов, которые формируют базу топологии в Е4, а в случае евклидова пространства -обычные трехмерные области в Е3. При этом Ао интерпретируются как алгебры квантовых наблюдаемых, локализованные в О и являются С*-подалгебрами фиксированной С*-алгебры Л(Е4), (или Л(Е3)), которая представляет индуктивный предел Л:=и ое к^о и называется алгеброй
22
квазилокальных наблюдаемых [4; 5].
С* - алгебраический подход дает естественный язык для описания правил суперотбора, которые связаны с наличием в физической системе абсолютно сохраняющихся величин (различные заряды, изоспин в случае изотопической симметрии и т.д.) [ 4; 5]. Собственные значения операторов этих величин индексируют так называемые суперотборные сектора - унитарно-эквивалентные классы неприводимых представлений алгебры наблюдаемых. Множество суперотборных секторов удобно задавать с помощью полугруппы С эндоморфизмов (образующих тензорную С*-категорию и которую обозначим той же буквой С) алгебры квазилокальных наблюдаемых А [6^7]. Категория С является дуальным объектом к компактной калибровочной группе О в том смысле, что категория унитарных представлений группы О эквивалентна категории С [9; 10]. Согласно [9], это позволяет реконструировать С*-полевую алгебру как скрещенное произведение Г := А х С, при котором калибровочная группа реализуется как группа автоморфизмов Е, оставляющая алгебру А поточечно фиксированной (т.е. элементы этой алгебры образуют множество неподвижных точек относительно действия группы). По сути, в результате такого скрещенного произведения мы получаем некоторую новую "расширенную" алгебру, представляющую алгебру динамической системы - пару (Г,а), где Е - сеть подалгебр О ^ Г(О) алгебры Е, а а - непрерывный гомоморфизм группы О в группу автоморфизмов алгебры Е. Таким образом, если категория С действует на С*-алгебре А, то ее двойственный объект - компактная группа О, определяет двойственное действие в Е.
Целью данной работы является построение сети четной подалгебры (алгебра наблюдаемых) алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС), порожденной операторами рождения и уничтожения фермионов. В работе [8] была предложена
23
рекурсивная конструкция построения алгебры КАС с помощью генераторов алгебры Кунца 02 [12; 13]. Такое построение особо полезно при изучении суперотборной структуры [ 6] квантовых систем: мультиплеты полей состоят из изометрических операторов, являющихся генераторами алгебры Кунца, Поэтому в первом разделе данной работы приведем краткие сведения об алгебре Кунца, рекурсивной фермионной системе и скрещенном произведении, построенном нами в [15], а во втором разделе - построим сеть алгебры наблюдаемых и категорию представлений компактной группы.
1. Предварительные сведения
В общем случае алгебра Кунца 0а ^ > 2) представляет собой ^-алгебру [12; 13], порожденную изометриями ^, которые удовлетворяют следующим соотношениям:
(1)
й
х =I, (2)
1=1
где I - единица алгебры.
Известно, что генераторы ат и а*п ^-алгебры КАС фермио-нов удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:
К, ап}={al, }= 0, (3)
К, а* }=$т,п1- (4)
Можно показать, что алгебра КАС изоморфна алгебре Оий (1) с Ой (d=2), которая состоит из элементов алгебры 02, инвариантных относительно стандартного действия группы £/(1). Другими словами, эта
24
подалгебра как линейное пространство порождена мономами вида
Л-ЛЛ -УА, (5)
где 11,...,1к, у¡,...г]к = 1,2. Стандартное действие группы и(1) на О2 задается посредством:
(^¿) ^ , г е С, | г | = 1, / = 1,2. (6)
Вложение алгебры КАС в 02 с помощью рекурсивной конструкции называется рекурсивной фермионной системой (РФС). В качестве простого примера РФС в 02 рассмотрим стандартную рекурсивную фермионную систему С = (а,^,ф), определяемую как
а = лl¥7, (7)
£(X) = лХ¥[ - л2Х¥1, X е О2, (8)
<р(Х) = р(X) = ЛХл2, X е О2, (9)
здесь р - канонический эндоморфизм алгебры 02. КАС-подалгебру, ассоциированную со стандартной рекурсивной фермионной системой С, обозначим ^ = Ои(1).
Рассмотрим С*-скрещенное произведение алгебры Ас по эндоморфизму 5 этой алгебры в рамках теории С*-скрещенных произведений, описанной в работе [ 14]. Рассмотрим отображение 5: А ^ О задаваемое для каждого а е А формулой
5(а) = л . (10)
Нетрудно показать, что отображение 5 является *-эндоморфизмом
25
5: А ^ А [15].
На алгебре АС введем также следующее отображение
5(а) = для любого а е А (11)
Отображение 5, заданное формулой (11), является трансфер -оператором 5 : А ^ А относительно 5 [11; 14].
Ранее нами было доказано [15], что алгебру В(А:) , порожденную парой (А) можно представить в виде прямой суммы трех непересекающихся подалгебр
В = А- 0 Ас 0 А-, (12)
Л * N * л
где А- содержит мономы вида щ а- +... + ща-, АС содержит мономы вида (5) и Ам содержит мономы вида а1 щ + ...ащ-. Замыкание
этой алгебры В можно рассматривать как скрещенное произведение и которое обозначим как
В = АсХ5Ж
В [15] доказано, что С*-алгебра АС Х$ Ъ есть алгебра Кунца. Другими словами, алгебру Кунца можно представить как скрещенное произведение алгебры КАС с эндоморфизмом. Этот результат позволяет построить математическую основу для построения полевой С*-алгебры для случая абелевой калибровочной группы.
2. Построение сети
Рассмотрим следующее * -представление п5 алгебры 02 в некотором счетном бесконечномерном гильбертовом пространстве Н:
26
Лs(Wг)en = е
с полным ортонормированным базисом {еи | . (*)
Здесь ц(п) = ё(п-1) + г - называют функцией ветвления [8] и i = 1, 2,..., d; п£М. Сопряженный оператор при этом определяется следующим образом:
¥г/еЦ(т\е) = (еЦ(т)\лs(¥г)е) = (ец/я) \еп(1)) = 3
3т,1 = 3г,АеЛе)' т е. П*(¥г)*е^(т) = 3г,}ея ■
При этом (^ )е1 = е1. Неприводимое представление, удовлетворяющее этому условию, однозначно определяется с точностью до унитарной эквивалентности. Представление алгебры О2 представляет собой пример перестановочного представления с функцией ветвления , которое назовем стандартным представлением и
обозначим Rep(1). В целях удобства будем идентифицировать ^ с
ж( ¥г) и «п с (^ оф8К)(ап) в О2, где фж : КАС ^ . Для Rep(1) вектор е1 является вакуумным относительно операторов уничтожения ап:апе1 = 0, (п =1, 2,...). Антисимметричное пространство
* *
Фока с вакуумом е1 порождается действием мономов ап на еу.
Поскольку а*т и ап антикоммутируют друг с другом, то достаточно рассмотреть случай пу < ... < пк:
а^-а* = еЩщ пЩ), где М(п1,...пк) = Т1-1 +... + +1.
27
Локализацию представления будем проводить следующим образом. Будем считать, что операторы аи, а2,... связаны с базисом (*) следующим образом: а = а(е^,а2 = а(в2),..., где а = . Действие опе-
* * *
раг°р°в р°ждения определим как апе1 = еЩп1у апаг^е1 = еЩпп2у... •
Здесь Ы(п) = 2п' _1 +1, Щппп2) = 2п'~1 + 2п2-1 +1 и т.д. Пусть теперь / произвольный вектор гильбертова пространства Ни у = ^ае его разложение по бесконечномерному базису
1=1
этого пространства. Действие оператора рождения на этом гильбертовом пространстве зададим как
а*(/) = а(^ае) = ^аа"(е,) . Оператор уничтожения дейст-
вует следующим образом: a(g) = а(^Р]е]) = ^Р]а(е]) , где
] ] у
_у о . Умножение этих операторов определяется следующим
g = ^^ р1у
у=1
образом:
a2(f)a(g) = Ха Р< ам
г 11'
а
a(g)a2(f) = Р
Следовательно,
*( f)a( g) + а( g)a2( f) = р/а'ау + а а ) = Р// = (f ^ Д '
Их действие на вакуумный вектор определяется как a2(f)e1 =^а,а2е1 =^агещо, d(g)d(f)e1 ^Ррру • Таким образом, еы0),ещ^0,... можно рассматривать как ортонормированный базис в Фоковском пространстве.
28
Во введении фактически уже было дано определение квазилокальной алгебры, теперь приведем более точное определение, с целью построения сети алгебры КАС.
Определение. Квазилокальная алгебра - это С* -алгебра А вместе с такой сетью |А| "локальных" С* -подалгебр, что во
множестве индексов (например, в качестве множества индексов, как было указано во введении, можно взять области пространства -времени) введено отношение ортогональности и выполнены следующие условия:
1: Если а>р , то А > Ар;
2: А := У Аа ;
ае!
3: Аа имеют общую единицу;
4: существует такой автоморфизм у , что у2 =1, у(Аа) = А •
Алгебра Аа относительно действия автоморфизма у разбивается на две части: четную и нечетную. При этом четные элементы алгебры образуют С* -подалгебру, а нечетные - некоторое банахово пространство. В случае алгебры КАС автоморфизм у определяется как у(а(/)) = -а(/). Если Я = ¿2(М3), то для каждого ограниченного множества V £ М3 определим как С*-подалгебру, генерируемую операторами е 12(У)|. Сеть таких подалгебр определяет квазилокальную алгебру в смысле, определенном выше.
Разбиение на сектора
Пусть (Н, ж) - перестановочное представление АС на гильбертовом пространстве Н с базисом е1( е2,... , где - циклический вектор. Зададим функционал ^ С с помощью представления
29
((а) =<я(а)е1,е1 >.
Согласно конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС-конструкция) для данного функционала существует гильбертово пространство Н^, элементами которого являются элементы исходной алгебры. При конструировании скрещенного произведения Ас Х8 Ъ можно показать, что Н^ = 0пеЪН^, причем пространство Я^ порождается неотрицательным скалярным произведением < .,. > по нечетной алгебре АС по следующим формулам
< у,и >0=((и V), < у,и >п=((6п(и'у)), п > 0, < V,и >п=((и дп(1)у), п < 0.
Нами показано, что в рассматриваемом случае при п > 0 имеем Н( = Н(, а сами пространства Н( при этом устроены следующим образом. Любой элемент Н( справа имеет элементы ([*)т, а слева т сомножителей, состоящих из у . Если из этих элементов исключить те, у которых крайние левые представляют у , то получим пространство Н(. Если исключить те элементы, у которых [2 является предпоследним слева, то получим Н( и т.д.
Физическая интерпретация
Как известно, калибровочному преобразованию [ ^ [ 1 ехр(—¡а) соответствует некоторый унитарный оператор
и такой, что и = ехр(1а<2) и ехр(—¡а)[= и~1[1и, где Q интерпретируется как оператор заряда, удовлетворяющий коммутационным соотношениям:
30
ШшЛ = 11, Шш] = Ш1 • (13)
Положим <2 = ^и , где и = 1 -2а*а.. Учитывая, что
г
а = 1Ш*,а2 =С(а),—, ап =С(ап_1), нетрудно показать, что соотношения (13) выполняются. Пусть в] - соответствует вакуумному состоянию и учитывая, что и= е1 получим бесконечность
ад
2)е1 = ^Це = ^ 1е . Это значение будем интерпретировать как ну-
г 1=1
левое, соответствующее вакуумному состоянию. Рассматривая дей-
2 2
ствие оператора иг на одночастичное и = а1е1, двухчастичное
т т * * * * /— и1а*а2е1 = а*а2е1 и т.д. состояния мы видим, что гильбертово пространство разбивается на прямую сумму секторов, каждая из которых соответствует определенному собственному значению -1, -2,... оператора Q. В этом случае Ц можно интерпретировать как поле,
сплетающее разные сектора. Переход от одного сектора к другому осуществляется тогда с помощью эндоморфизма р:и2 =р(и1),из =р2(и1) и т. д.
Источники
1. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля // М.: Мир, 1976.
2. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Ч М.: УРСС, 1999.
3. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Наука, 1982.
4. Хоружий C.C. Введение в алгебраическую квантовую теорию поля. М.: Наука, 1986.
5. Doplicher S., Haag R., Roberts J.E. Local observables and particle statistics I. // Commun. Math Phys. 23, (1971), Local observables and particle statistics II. // Commun. Math Phys. 35, (1974).
6. Doplicher S., Roberts J.E. Why there is a field algebra with a compact gauge group describing the superselection structure in particle physics // Comm. Math. Phys. 131, 51-107 (1990).
31
7. Buchholz D., Fredenhagen K. Locality and the structure of particle states // Commun. Math. Phys. 84, (1982).
8. Abe М., Kawamura К. Recursive fermion system in Cuntz algebra. I - Embeddings of fer-mion algebra into Cuntz algebra // Comm. Math. Phys. 228, 85-101 (2002).
9. Doplicher S., Roberts J.E. Endomorphisms of C*-algebras, Cross Products and Duality for Compact Groups // Ann. Math. 130, 75-119 (1989)
10. Doplicher S., Roberts J. E. A New Duality Theory for Compact Groups // Invent. Math. 98, 157-218 (1989).
11. Antonevich A.B., Bakhtin V.I., Lebedev A.V. Crossed product of a C*-algebra by an en-domorphism, coefficient algebras and transfer operators // Math. Sb., 202, 1253-1283 (2011).
12. Cuntz J. Simple C*-algebras generated by isometries // Commun. Math. Phys., V.57, 173185, (1977).
13. Doplicher S., Roberts J.E. Duals of compact Lie groups realized in the Cuntz algebras and their actions on C* algebras // J. Funct. Anal. 74, 96-120 (1987).
14. Lebedev A.V., Odzijewicz A. Extensions of C*-algebras by partial isometries // Math. Sb., 195, 951-982, (2004).
15. Аухадиев М.А., Никитин А.С., Ситдиков А.С. Скрещенное произведение алгебры канонических антикоммутационных соотношений в алгебре. // Известия вузов. Математика, №8, 86-89 (2014).
ALGEBRA GENERATED BY NET ALGEBRAS OF CANONICAL ANTICOMMUTATION RELATIONS Nikitin A.S., Sitdikov A.S., Kirillov M.I.
In this work we construct the net of canonical anticommutation relations (CAR) algebra. Using the GNS-construction we build the representations of this net and show that irreducible representations in 1-1 - correspondence with charge superselection sectors. Keywords: net of algebras, canonical anticommutation relations algebra, superselection sectors.
Дата поступления 11.02.2016.
32
