Группа эндоморфизмов симметрического функтора простой алгебраической модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.С. Ситдиков, А.С. Никитин, З.Ю. Сунгатуллина, И.И. Казаков УДК 512.581.2, 512.582

ГРУППА ЭНДОМОРФИЗМОВ СИММЕТРИЧЕСКОГО ФУНКТОРА ПРОСТОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

А.С. Ситдиков, А.С. Никитин, З.Ю. Сунгатуллина, И.И. Казаков

Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия

[email protected]

Резюме: Дается процедура восстановления группы внутренних симметрии G квантовой физической системы для простой алгебраической модели с помощью теоремы о дуальности Допличера-Робертса. Построение симметрического строго моноидального функтора приводит к категории представлений группы эндоморфизмов этого функтора. Такая категория на основании теоремы о дуальности оказывается дуальным объектом к компактной группе G=SU(d).

Ключевые слова: симметрическая тензорная категория, симметрический мо -ноидальный функтор, алгебра Кунца.

THE ENDOMORPHISMS GROUP OF SYMMETRIC FUNCTOR FOR THE SYMPLE

ALGEBRAIC MODEL

A.S. Sitdikov, A.S. Nikitin, Z.Yu. Sungatullina, I.I. Kazakov

Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia

airat_vm@rambler. ru

Abstract: We give the procedure for restoration of the group of internal symmetries G of quantum physical system for simple algebraic model by the Doplicher-Roberts duality theorem. The symmetric strict monoidal functor from the abstract monoidal C*-category to the category of Hilbert spaces leads to the category of representations of the group of endomorphisms of this functor. By duality theorem it is dual of compact group G=SU(d).

Keywords: the symmetric tensor category, the symmetric monoidal functor, Cuntz algebra. 1. Введение

Одним из главных истоков теории дуальности Допличера-Робертса (ДР) [1; 2], являющейся глубоким обобщением теории дуальности Танаки-Крейна [3; 4] для компактных групп, является анализ суперотборной структуры алгебраической квантовой теории поля [5-9]. Суперотборная структура в этом контексте возникает как категория Т эндоморфизмов простой ^-алгебры <А квазилокальных наблюдаемых с тривиальным центром, все представления которой являются точными [10]. С физической точки зрения такое требование оправдывается тем, что все представления алгебры квазилокальных наблюдаемых являются физически эквивалентными, что и позволяет использовать абстрактную простую ^-алгебру (не имеющую нетривиальных идеалов). Категория же эндоморфизмов является тензорной ^-категорией, где определены операция сопряжения и бинарная операция перестановочной симметрии [9]. Указанные операции являются необходимыми элементами суперотборной структуры и позволяют строить ее на

математически строгом языке, поскольку операции перехода к античастице, статистика сектора и сложение зарядов позволяют дать упомянутым математическим операциям ясную физическую интерпретацию. Более того, действие Т на алгебре <А приводит к возможности построения с помощью техники скрещенного произведения более широкой алгебры - так называемой полевой алгебры Т = Т * <А [2]. В случае нашей алгебры и категории, порожденной одним объектом, рассмотрение скрещенного произведения приводит к алгебре Кунца Od (см. раздел 2), поэтому мы не будем вдаваться в детальное обсуждение этого вопроса.

Используемые в физике внутренние симметрии связаны с характером взаимодействия и порождают динамические правила суперотбора, связанные с зарядами. Такие симметрии описываются с помощью компактных групп G глобальных калибровочных преобразований и в неабелевом случае в качестве таких зарядов могут служить изоспиновые квантовые числа, кварковые цвета и др. «неабелевы заряды». Дуальность же устанавливает связь между внутренними симметриями и суперотборными секторами, которые индексируются значениями таких неабелевых зарядов. Согласно С. Допличеру и Дж. Робертсу, категория Т эндоморфизмов оказывается изоморфной категории представлений Rep (G) компактной группы G и является дуальным объектом этой группы G, связанной с внутренними симметриями. Такая изоморфность позволяет восстановить компактную группу G путем построения симметрического моноидального функтора из категории Т в категорию гильбертовых пространств.

Целью настоящей работы является восстановление группы симметрии нашей модели, основанной на алгебре Кунца Od, с помощью теоремы дуальности ДР. Мы строим представление категории Rep(G) в категории гильбертовых пространств hilb, объектами которой являются тензорные степени гильбертова пространства К с Od =2, и показываем, что группа SU(2) возникает в качестве дуального объекта как группа автоморфизмов функтора Н: Rep(G) ^ hilb.

В соответствии со сказанным, статья построена следующим образом: после настоящего вышеизложенного краткого введения, мы изложим основные положения модели [11; 12], разработанной нами для выделения семейств связанных конфигураций элементарных частиц во внутреннем изотопическом пространстве и затем построим группу автоморфизмов функтора представления для восстановления компактной группы внутренних симметрий.

2. Модель

Внутренняя симметрия физической системы, задаваемая калибровочной группой G, оставляет алгебру наблюдаемых <А поточечно фиксированной. В случае неабелевой калибровочной группы изотопических вращений суперотборные сектора нумеруются

1 3

изоспиновыми квантовыми числами T = 0; —;1;—;.... Каждое подпространство KTTz

полного гильбертова пространства К с фиксированным значением изоспина T, но с разными значениями его проекций, связано с эквивалентными представлениями алгебры наблюдаемых <А.

Если только суперотборная структура задана, мы можем построить полевую алгебру, элементы которой (т.е. полевые операторы) осуществляют переходы между секторами и играют роль сплетающих операторов. Гильбертово пространство

К = ®КТ, (1)

т

в котором действует полевая алгебра и которое представляет собой прямую сумму когерентных подпространств, нумеруемых собственными значениями оператора T, находится во взаимно-однозначном соответствии с неприводимыми представлениями

группы SU(2), образующими симметрическую тензорную С*-категорию (совокупности таких гильбертовых пространств образуют также С*-категорию).

Эта категория изоморфна как категории локализованных эндоморфизмов Т= endM, порожденной тензорными степенями некоторого объекта р: <А ^ <А размерности d, так и

категориям hilb и Rep(G). Произведение объектов в endM определяется как

( \

r s r+s p p = p

pm = p ® p ®... ® p

Если объект р является специальным [1], пространства морфизмов t е(рг ,р5) этой

категории порождают алгебру Допличера-Робертса [1; 13].

Центральным элементом в такой модельной конструкции является построение C*-алгебры скрещенного произведения <АжТ [2], которая играет роль полевой алгебры. Эта алгебра содержит <А в качестве подалгебры, остающейся поточечно фиксированной относительно действия компактной группы G, причем группа G является группой автоморфизмов скрещенного произведения. Другими словами, группа G оказывается замкнутой подгруппой группы aut (АжТ). В случае алгебры «внутренних» наблюдаемых, эндоморфизм р порождается фундаментальным мультиплетом [9]. Поэтому ^-динамическую систему (М, р) можно отождествить с динамической системой (Ос, ас) , где Ос - поточечно фиксированная подалгебра алгебры Оа относительно действия G(на языке теории групп, в этом случае G является стабилизатором Ос в Оа), ас - сужение канонического эндоморфизма а алгебры Оа к алгебре Ос.

В случае С £ Би(й), антисимметричная часть объекта Ка Е оЬ]Ы1Ь, определяемая проектором из внй(Ка), является детерминантом этого объекта (где Ка = К ® ... ® К,

d

а К - специальный объект) [1].

Это означает, что г-я тензорная степень представления п1/2, действует как унитарный оператор в тензорной степени Кг = К ® ... ® К и пространства G-инвариант -

г

ных сплетающих операторов (Кг, К8)8и порождаются операторами

&(Р ) = •••V, V* —V* (2')

где Pn е Pn и

Я = "т= Т я®1 (р^р(1) — Vр(*) (2М)

Рпе РЛ

гдее (1,На)), I = К0 = С, Рп - симметрическая группа [2; 13], V - образующие

алгебры Кунца (см. ниже).

Теперь, учитывая, что изоспин нуклонов имеет две проекции, ограничимся случаем d=2 и построим моноидальную категорию Rep(G) тензорных степеней неприводимого

представления п 12 компактной группы SU(2), объекты которой суть

ObjRep(G) = {г, п112,(п112)®2,(п112)®3...,(п112)®Г ,...,(л112Г,...},

где п112 ®п112 = (п112)®2,...;г,s е N . Морфизмы в этой категории - сплетающие операторы таких представлений. В физическом плане бинарная операция тензорного произведения " ® " в категории соответствует векторному сложению изоспинов.

В качестве ортонормированного базиса гильбертова пространства , в случае

Т = 1/2, где действуют неприводимые представления п112, выберем мультиплет

1 2

n

Y; (i = 1,2), удовлетворяющий соотношениям

*

Yi Yj =5ij1, (2)

d=2

^YiY* = I, (3)

i

который порождает *-алгебру 0Ö2, пополнение которой по С* норме образует алгебру

(лй =2

Y [ данного мультиплета образует J-мерное (в

данном случае двумерное) гильбертово пространство КТ со скалярным произведением, представляемым как ( y , Y = Y * Y , где Y, Y 6 К • Такое гильбертово пространство назовем каноническим. Его тензорные степени Kf (г = 0,1,2,...) образуют подкатегорию hilb, где морфизмы - сплетающие операторы. Объекты hilb образуют G-модули, в которых действуют непрерывные унитарные представления (т.е. ObjRep(G)) группы G. Морфизмами в этом случае являются G-модульные гомоморфизмы (Kf, Kf)c • Эта конструкция позволяет нам определить подалгебру °Ос c0Ü2 алгебры Кунца 0Ü2 -алгебру наблюдаемых следующим образом. Поскольку индуктивный предел последовательности

(Щ, Щ+k)G (Щ+1, К? +1+fc)с ... (Кг +п, К +п+к)с

где (Щ ,Щ +к)с (Щ +1, Щ +1+fc)с - инъективное отображение морфизмов, определяет при фиксированном к некоторое банахово пространство , то суммируя по всем к получаем ^-градуированную С*-алгебру 0Ос =®06Z , в которой действует эндоморфизм ас. Замыкание этой алгебры °ÖC приводит к подалгебре Ос алгебры Кунца Od•

3. Дуальность

Здесь мы покажем, что группу внутренних симметрий G алгебры Кунца Od нашей простой алгебраической модели, описанной в разделе 2, можно восстановить с помощью симметрической тензорной С*-категории унитарных представлений группы в алгебре эндоморфизмов end(H) функтора вложения H абстрактной тензорной симметрической С*-категории в категорию hilb. Однако, прежде чем перейти к формулировке основного результата, приведем в краткой форме необходимые сведения по теории таких категорий, отсылая при этом читателя за более подробной информацией к работам [14-16].

Упомянутые во введении категории Rep(G),hilb и Т являются симметрическими тензорными С*-категориями. Введем обозначение £ для некоторой абстрактной категории. Категория £ называется С*-категорией, если множество морфизмов (x,xk) над любыми парами объектов x и xk образует комплексное банахово пространство. Композиция

морфизмов для произвольных s,t 6 (x,xk) удовлетворяет соотношению ||t ° s|| < ||t||° |s|, а

II II II |2

норма при этом удовлетворяет С*-свойству r* r = И Vre (x,xk) • Здесь * понимается в

смысле контравариантного функтора, действующего на объектах категории тождественным образом, а на морфизмах как сопряжение. Заметим, что морфизмы вида (x, x) образуют С*-алгебру эндоморфизмов объекта x, которую иногда обозначают как end(x).

С*-категория £ называется тензорной С*-категорией, если определен ассоциативный билинейный функтор £ х £ ^ £, который называется тензорным произведением и единица которого i коммутирует с сопряжением *. Если £ обладает перестановочной симметрией, т.е. если существует унитарный оператор э x1, x2 ^ s(x1, x2 ) e (x1 ® x2, x2 ® x1), переставляющий тензорные степени, то говорят, что £ является симметрической тензорной С*-категорией и обозначается посредством

(К,е). Аналогично для симметрической тензорной категории гильбертовых пространств введем обозначение (ИНЬ, д\ где д.ИНЬ в Кг,К5 ^ д(Кг,К5) Е (Кг 0К5,К5 0КГ) -унитарный оператор, переставляющий тензорные степени, выражающийся через изометрические операторы уг, которые удовлетворяют соотношениям (2) и (3).

В работе [1] доказывается, что симметрические тензорные категории Rep(G) и К изоморфны. Согласно теореме Допличера-Робертса [1] существует вложение абстрактной симметрической категории (К, е) в конкретную тензорную симметрическую категорию гильбертовых пространств. Это означает, что существует симметрический строго моноидальный функтор H: (К, е) ^ (ИНЬ, д), алгебра эндоморфизмов которого содержит компактную группу G. Такие эндоморфизмы впй(Н) появляются как тензорные естественные унитарные преобразования и : Н ^ Н. Здесь следует также заметить, что существование такого функтора независимо было показано и в работе Делиня [17].

В соответствии со сказанным, мы теперь построим новую категорию - категорию представлений группы впй(Н). В нашей модельной конструкции категория ИНЬ порождена тензорными степенями одного канонического гильбертова пространства К. Если это пространство будет специальным объектом категории, то детерминантный объект, обозначаемый как S, будет содержаться в Ка = К 0 К. Здесь К представляет собой линейную оболочку изометрий V, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Пусть, G -некоторая группа унитарных операторов и(й) и Т:К0Г ^ К0 - отображения гильбертовых пространств, которые сплетают подпредставления в соответствующих подпространствах, т.е.

Тё0г = g0sT(где К0Г =КГ = К 0 К 0 ... 0 К и т. д.).

г

Пусть теперь К-категория, порожденная тензорными степенями канонического эндоморфизма р алгебры Кунца Оа, и Н:(К, е)^ (ИНЬ, д) - вышеупомянутый функтор. Объекты ИНЬ (образ функтора) обозначим как Кр,Кр0р,. Далее, введем обозначение

ё= ё ® .. ® ё, где d - размерность мультиплета.

Теорема.Если К специальный объект категории ИНЬ и S : I = С ^ Кй - сплетающий

изометрический оператор (детерминантный объект), то Би (й) = {ё е и (й) = ё }.

В этом легко убедиться, если учесть, что g (S) = S - поточечно фиксированный объект относительно действия G = SU(d). Действительно, например в случае d=2 из

формулы (2") вытекает, что Б = 1"(У1У2-¥2^1) и действуя на это выражение элементом

Га

ё = В е О = Ш(2),

и

убеждаемся в справедливости выражения g = S.

Пусть ир Е (Кр,Кр) ,ир0р Е (Кр®р,Кр0р) ,... - соответствующие тензорные естественные унитарные преобразования, которые можно интерпретировать как представления группы впй(Н) в пространствах представлений Кр, Кр0р,... Если Т: р ^ р ® р некоторый морфизм в К, то операторы Н(Т) отображают разные гильбертовы пространства, в которых представлены естественные преобразования, и поэтому Н(Т) является сплетающим оператором для разных представлений, т.е. Н (Т)ир = ир®рН(Т).

Это легко можно показать, если воспользоваться явным видом сплетающих операторов

* *

категории ИНЬ, т.е. операторами вида уя...••• VI. Например, используя

* ?

соотношения (2) и (3), легко показать, что 'л'гг'V'!: К ^ К2. Таким образом, мы имеем

новую категорию непрерывных конечномерных унитарных представлений епй(Щ, объектами которой являются унитарные тензорные естественные преобразования, а морфизмами - сплетающие операторы этих естественных преобразований. Эту категорию обозначим как Rep(end(H)). Поскольку H является симметрическим тензорным *-функтором, то категории Rep(end(H)) и К изоморфны и следовательно, представления группы end(H) вместе со сплетающими операторами вида H(T) образуют тензорную категорию. Таким образом, в случае категории, порожденной одним эндоморфизмом, существует категория Rep(end(H)), являющаяся дуальным объектом к е^(Щ. Следовательно, группа автоморфизмов исследуемой модельной ^- динамической системы (Оа=2, а) есть SU(d = 2), где а: С Э g ^ аё 6 (Ой).

4. Заключение

В данной работе восстанавливается группа внутренних симметрий заданной квантовой физической системы, описываемой с помощью предложенной во втором разделе простой алгебраической модели (С*-динамической системы), используя теорию дуальности Допличера-Робертса. Такая алгебраическая модель позволяет описывать квантовую систему дуальным по отношению к традиционному подходу способом, опираясь на понятие алгебры наблюдаемых. Дуальность же при этом понимается в том смысле, что абстрактная симметрическая тензорная С*-категория, описывающая суперотборную структуру системы, является дуальным объектом компактной группы G в end(H), которая восстанавливается построением симметрического строго моноидального функтора. Любое же неприводимое представление end(H) представляет объект категории унитарных представлений Rep(end(H)). Это позволяет найти группу автоморфизмов полевой алгебры физической системы не постулируя ее заранее, а исходя всего лишь из внутренних свойств самой физической системы, а именно, исходя из ее суперотборной структуры.

К настоящему времени не существует аналога теоремы дуальности, позволяющего реконструировать группу с помощью автоморфизмов/эндоморфизмов функтора H: К ^hilb для случая ненаправленных частично упорядоченных множеств (которые в физическом плане соответствуют искривленным пространственно-временным многообразиям). В последнее время, тем не менее, произошел некоторый сдвиг в этой области: в работе [18] предпринимаются некоторые шаги для построения обобщения теории дуальности ДР. Отметим, что в нашей работе [19] также сделан определенный шаг в этом направлении: построена корона сетей С*-алгебр над частично упорядоченными множествами и построена первая гомотопическая группа такого множества.

Литература

1. Doplicher S., Roberts J.E. A new duality theory for compact groups, Invent. math., 1989, vol. 98. P. 157-218.

2. Doplicher S., Roberts J.E. Endomorphisms of C*-algebras, cross products and duality for compact groups, Annals of Mathematics, 1989, vol. 130. P. 75-119.

3. Tannaka T. Uber den Dualitatssatz der nichtkommutativentopologichenGruppen. // Tohoku Math. J. vol. 45, 1939. P. 1-12.

4. Krein M.G. A principle of duality for a bicompact group and a square block-algebra // Dokl. Akad. Nauk SSSR vol. 69, 1949. P. 725-728.

5. Haag R. Local Quantum Physics. Fields, Particles, Algebras. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996. 392 p.

6. Хоружий C.C. Введение в алгебраическую квантовую теорию поля. М.: Наука, 1986. 304 с.

7. Doplicher S., Haag R., Roberts J.E. Local observables and particle statistics I, Comm. Math. Phys., 1971, vol. 23. P. 199-230.

8. Doplicher S., Haag R., Roberts J.E. Local observables and particle statistics II. // Comm. Math. Phys. vol. 35, 1974. P. 49-85.

9. Doplicher S., Roberts J.E./ Why there is field algebra with a compact gauge group describing the superselection structure in particle physics, Comm. Math. Phys., 1990, vol. 131. P. 51-107.

10. Haag R. , Kastler D. An algebraic approach to quantum field theory, J. of Math. Phys., 1964, v. 5, p. 848-861.

11. Кириллов М.И., Никитин А.С., Ситдиков А.С. Простая алгебраическая модель для малонуклонных систем при наличии неабелевых правил суперотбора, Ученые записки Казанского университета, сер.физико-математические науки, 2017, т. 159, кн. 2, стр. 191-203.

12. Кириллов М.И., Никитин А.С., Ситдиков А.С. Алгебраическая модель нуклонных систем при наличии правил суперотбора по изоспину, Изв. РАН, сер.физ. (в печати).

13. Doplicher S., Roberts J.E. // Duals of compact Lie groups realized in the Cuntz algebras and their actions on C*-algebras, Journal of functional analysis, 1987, vol. 74. P. 96-120.

14. Kawahigashi Y. Conformal Field Theory, Tensor Categories and Operator Algebras, J. Phys. A 48 (2015), 303001.

15. Chez P., Lima R., Roberts J.E. W*-categories, Pacific Journal of Mathematics, v.120, 1985, p.

79-109.

16. Маклейн С. Категории для работающего математика. М.: Наука, 2004. 349 с.

17. Deligne P. Categories Tannakiennes. // Grotendieck Festschrift, II, 1991. P. 111-195.

18. VasselliE.Presheaves of symmetric tensor categories and nets of C*-algebras, J. Noncommut. Geom. (2015), v. 9, p. (121-159).

19. Григорян С.А., Липачева Е.В., Ситдиков А.С. п 1 (К)-градуированные ^-алгебры, порожденные частично-упорядоченным множеством. Алгебра и анализ (в печати).

Авторы публикации

Ситдиков Айрат Салимович - д.ф.м.н., профессор кафедры «Высшая математика».

Никитин Александр Сергеевич - к.ф.м.н., доцент кафедры «Высшая математика».

Сунгатуллина Зульфия Юнусовна - старший преподаватель кафедры «Высшая математика».

Казаков Ильмир Ильгизович - студент группы ПМ-1-15.

References

1. Doplicher S., Roberts J.E. Novaya teoriya dvoystvennosti dlya kompaktnykh grupp. math., 1989, vol. 98. S. 157-218.

2. Doplikher S., Roberts Dzh. Ye. Endomorfizmy C *-algebr, kross-proizvedeniy i dvoystvennosti dlya kompaktnykh grupp, Annals of Mathematics, 1989, vol. 130. S. 75-111.

3. Tannaka T. Uber den Dualitatssatz der nichtkommutativentopologichenGruppen. // Tokhoku Mat. J. vol. 45, 1939. S. 1-12.

4. Kreyn M.G. Printsip dvoystvennosti dlya bikompaktnoy gruppy i kvadratnoy blochnoy algebry // Dokl. Akad. AN SSSR. 69, 1949. P. 725-728.

5. Khaag R. Lokal'naya kvantovaya fizika. Polya, chastitsy, algebry. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996. 392 s.

6. Khoruzhiy C.C. Vvedeniye v algebraicheskuyu kvantovuyu teoriyu polya. M.: Nauka, 1986. 304 s.

7. Doplicher S., Haag R., Roberts J.E. Lokal'nyye nablyudayemyye i statisticheskiye dannyye chastits I, Comm. Matematika Phys., 1971, vol. 23. P. 199-230.

8. Doplicher S., Haag R., Roberts J.E. Lokal'nyye nablyudayemyye i statistika chastits II. // Comm. Matematika Phys. tom 35, 1974. S. 49-85.

9. Doplicher S., Roberts J.E./ Pochemu sushchestvuyet polevaya algebra s kompaktnoy kalibrovochnoy gruppoy, opisyvayushchey superotbornuyu strukturu v fizike chastits, Comm. Matematika

Phys., 1990, vol. 131. S. 51-107.

10. Khaag R., Kastler D. Algebraicheskiy podkhod k kvantovoy teorii polya, J. of Math. Phys., 1964, t. 5. P. 848-861.

11. Kirillov M.I., Nikitin A.S., Sitdikov A.S. Prostaya algebraicheskaya model' dlya malonuklonnykh sistem pri nalichii neabelevykh pravil superotbora, Uchenyye zapiski Kazanskogo universiteta, ser.fiziko-matematicheskiye nauki, 2017, t. 159, kn. 2, str. 191-203.

12. Kirillov M.I., Nikitin A.S., Sitdikov A.S. Algebraicheskaya model' nuklonnykh sistem pri nalichii pravil superotbora po izospinu, Izv. RAN, ser.fiz. (v pechati).

13. Doplikher S., Roberts Dzh. Ye. // Dvoyki kompaktnykh grupp Li, realizuyemykh v algebrakh Kuntsa i ikh deystviya na S * -algebrakh, Zhurnal funktsional'nogo analiza, 1987, vyp. 74. S. 96-120.

14. Kavakhigashi YU. Konformnaya teoriya polya, tenzornyye kategorii i operatornyye algebry, J. Phys. A 48 (2015), 303001

15. Chez P., Lima R., Roberts J.E. W*-categories, Pacific Journal of Mathematics, v.120, 1985. P.

79-109.

16. Makleyn S. Kategorii dlya rabotayushchego matematika. M .: Nauka, 2004. 349 s.

17. Delin' P. Kategorii Tannakiennes. // Grotendieck Festschrift, II, 1991. P. 111-195.

18. Vasselli Ye. Predpuski simmetrichnykh tenzornykh kategoriy i setok C*-algebr, J. Noncomut. 0Geom. (2015), t. 9. P. 121-159.

19. Grigoryan S.A., Lipacheva Ye.V., Sitdikov A.S. p1 (K) -graduirovannyye C*-algebry, porozhdennyye chastichno-uporyadochennym mnozhestvom. Algebra i analiz (v pechati).

Authors of the publication

Airat Sitdikov - professor of the department of "Higher Mathematics".

Alexandr Nikitin - associate professor of the department of "Higher Mathematics".

Zulfiya Sungatullina - senior lecturer of the department of "Higher Mathematics".

Ilmir Kazakov - student of the group AM-1-15.

Дата поступления 07.03.2018.