О равносильной регуляризации некоторых классов двумерных операторов теплица Текст научной статьи по специальности «Математика»

qM (m k) =

( 1,888 1,414 1,023 0,810 0,828 1,072 1,482 1,959 2,385 2,655 2,705

1,511 1,131 0,818 0,648 0,662 0,858 1,187 1,568 1,910 2,127 2,167

1,375 1,029 0,743 0,589 0,602 0,779 1,079 1,427 1,739 1,937 1,974

1,577 1,180 0,853 0,676 0,691 0,895 1,238 1,637 1,995 2,222 2,264

1,964 1,471 1,064 0,843 0,862 1,116 1,543 2,038 2,481 2,763 2,815

2,244 1,681 1,217 0,965 0,986 1,276 1,764 2,328 2,832 3,153 3,212

2,206 1,653 1,196 0,948 0,969 1,255 1,734 2,289 2,784 3,099 3,157

1,877 1,406 1,017 0,806 0,824 1,067 1,474 1,947 2,369 2,638 2,687

1,506 1,127 0,815 0,646 0,660 0,855 1,182 1,563 1,903 2,119 2,159

1,376 1,029 0,744 0,589 0,602 0,780 1,079 1,428 1,740 1,939 1,975

1,579^ 1,182 0,855 0,677 0,692 0,897 1,240 1,638 1,994 2,221 2,262

Литература

Наац В.И. // Тр. Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова: Тез. докл. Ростов н/Д, 2004.

Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л., 1975.

Наац В.И. // Сб. научн. тр. У-го Всероссийского симпозиума «Мат. моделирование и компьютерные технологии»: Тез. докл. Кисловодск, 2002. МарчукГ.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М., 1982. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1980.

Северо-Кавказский государственный технический университет

14 февраля 2005 г.

УДК 517.9

О РАВНОСИЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДВУМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА

© 2005 г. А.Э. Пасенчук, Н.А. Еволенко

A two-dimensional Teplits's operator with a symbol that is analytical with respect to each variable is examined in the space. A construction diagram of an equivalent regularizer is shown. The examples of this diagram application are given.

1. Будем пользоваться следующими обозначениями: С - поле комплексных чисел; Г = {t е С: Ы = 1}, Г2 = Г х Г, Ь2(Г), Ь2(Г2) - гильбертовы пространства измеримых, суммируемых с квадратом функций на Г, Г соответственно; Г), L++ (Г2) - подпространства функций, аналитически продолжимых внутрь единичной окружности по каждой переменной в пространствах Ь2(Г), Ь2(Г2); Р+, Р+ - операторы проектирования Ь2(Г),

Ь2(Г) на L+ (Г), L++ (Г2); W(l), W(fz) - стандартные алгебры Винера на

Г, Г2 соответственно. Подалгебры этих алгебр, состоящие из функций, аналитически продолжимых внутрь (во внешность) единичной окружности по каждой переменной, будем обозначать W+Ю, Wr+(f2) (ЦТ(Г), W--(Г2)) соответственно.

Изучается оператор Ta :L++ (Г2) ^L++ (Г2),

(Та9)({, п) = Р++а^, п) п), (1)

где а({, п) £ W(Г2).

Оператору (1) посвящено большое количество работ, подробный обзор которых можно найти в [1, 2]. Нам понадобится лишь критерий фред-гольмовости этого оператора, принадлежащий И.Б. Симоненко [3, 4]. Теорема 1. Оператор Та фредгольмов тогда и только тогда, когда

1) а({, п) Ф 0, (i, п) £ Г2; 2) inda(£,n) = inda(£n) = 0 .

£ п

Мы предполагаем, что символ оператора (1) а(£, п) удовлетворяет условиям теоремы 1 и допускает представление

а(%, п) = а~(£, п) а++(^, п), (2)

где а (i, п) £ но, вообще говоря, необратимы в подалгебрах

Wt±(F2). Для операторов (1), (2) указывается схема построения равносильного регуляризатора, приводятся примеры применения этой схемы.

2. Пусть а++(^, п) £ W++(Г2); а++(^, п) Ф 0, (i, п) £ Г2. Если Шо" (£,v) = то при любом фиксированном г, £ Г функция а++(£ г,)

имеет щ корней 1п), 1 = 1, 2, ..., щ. Положим p\(i, п) = n1 i \ "1

= (п)) = 2 aj . Как известно, jrj), j = 1, 2, ..., щ выража-

j=1 1=о

"1

ются через симметрические функции sk (77) = 2 £ (v), а sк(п) =

1=о

£k da++

=-f---dk = 0,1,2,...,n , где Г лежит в области Iii < 1 и

2ni Г a++

содержит внутри себя все нули 1п). Это означает, что "к(п), а вместе с ним и о(п) является элементом алгебры W(F).

Аналогичным образом может быть построен многочлен по переменной

"2

п с коэффициентами из W(F) p2 (£,ц)= 2 (£) П, где n2 = ind a++ (£, r\).

s=0 П

Теорема 2. Пусть а^(i, п) £ Wh+(F2). Оператор Ta++ обратим слева тогда и только тогда, когда а^а, п) Ф 0, (i, п) £ Г2. При этом

Е f (Е п)

f (Е,п)6 Im T++ тогда и только тогда, когда f-!—dЕ = 0,

a г Рх(Е,П)

j = 0,1,...,ni -1; f

nkf (Е,п)

dn = 0, k = 0,1,...,n2 -1. Левый обратный к опе-

г PiiZn)

ратору Ta++ имеет вид (Ta++) = Tb++, b++=(a++) .

3. Пусть п) е ^"(Г2); а (£ п) Ф 0, (£ п) е Г2. Рассмотрим функцию d++(£ п) = п^1). Ясно, что d++(£ п) е ^(Г2) и d++(£ п) Ф 0, (£ п) е Г2. Обозначим через qi(£ п), q2(£, п) многочлены по £ и п соответственно, построенные аналогично построениям п. 2, по функции ct+(£, п).

Отметим, что deg q,(Z,n) = indb++ =- inda , deg q2(Z,n) = indb++

Z Z n

= - ind a .

n

Теорема 3. Пусть а~(£ п) е ^(Г2). Оператор T __ обратим справа тогда и только тогда, когда а"(£ п) Ф 0, (£, п) е Г2 и при этом

ker Ta =Ш£,п) = £ P+

-- I j=0

Cj (п)Е

q\(E,n)

+ £ p+

k=0

(Ф

k Л

Ч2(Е,П)

где Cj(n),

ок(£) - произвольные элементы Ь2(Г). Правый обратный имеет вид

Ы)1=ть--, *-=( а~Т.

4. Пусть а(£, п) удовлетворяет условиям теоремы 1 и допускает представление (2). Рассмотрим уравнение = /, / е 1++ (Г2), ^е Г++ (Г2). В силу свойства частичной мультипликативности оно равносильно

Т-Г++р = /.

п п ' 17

n-1

Ввиду теоремы 3 T ++ф= £ P+ a j=0

f

j ш

Ч\(Е,П)

Л

(

+ £ P+

k=0

CT,

(Е)п

k Л

Ч2(Е,П)

+ Tb- f.

Последнее уравнение разрешимо в силу теоремы 2 тогда и только тогда,

когда f

£ P+

j=0

Ь (п)Е

Ч\(Е,П)

1, ..., П1 -1; f

Г

£ P+

j=0

+ £ P+

k=0

/

Cj (п)Е Л

CT

(Е)п

k Л

Л

Ч2(Е,П)

\ пг -1

+Th- f

£ P+

k=0

(Е)п

k Л

q2(E,n)

Р\(Е,П)

/

Л

+T-- f

= 0,j = 0,

nkdn

Р2(Е,П)

= 0,

к = 0, 1, ..., п2 -1.

Вводя униформизирующую переменную ( = п в первых п1 равенствах и t = £ в п2 оставшихся), получим систему уравнений вида

(А(*) + т) Ф(*) = Щ), * 6 Г, (3)

где А(*) - обратимая матрица-функция п-го порядка (п = щ + п2); К(*) -вполне непрерывно-значная матрица-функция п-го порядка,

Ф(*) = (),...,Сп1_1(Г),а0(Г),...,а„2_г(Г)) 6 (} (Г))П , ^ (*)=(),..., шП1 п0(*),..., п„2 _х(*)) 6 (I} (г ))п,

m

)=- ( f' ■J=0-'.....1

«)=-Г (f k=-1

Очевидно, оператор, порождаемый системой (3) в пространстве (L (Г))", является фредгольмовым и поэтому имеет равносильный регу-

ляризатор ре End (Г)) ) . Пусть Pk - оператор проектирования на координату с номером k, действующий в пространстве (L (Г))" . Тогда R =

= T+

(n -1 ( ei , \ n2-1 ( -k Л Л

S P++ e

i=0

^^S/i qh(

равносильный регуляризатор оператора Та.

Приведем некоторые примеры символов, для которых может быть применена схема построения равносильных регуляризаторов, приводящая в первых двух примерах к конструкции обратного оператора.

Пример 1. Оператор Малышева а(%, ц) = <Г\ П- а++(%, ц), а++(%, ц) 6 6 №^(Г2) [1].

Пример 2. Оператор, сопряженный к оператору Малышева, а(£, ц) = = П), а(£, ц) 6 Цт~(.Г2).

Пример 3. Если символ а(%, ц) есть тригонометрический полином а(%, ц) =

i

s

i=-m i=-k

= S S jn1 , то a = S-mr\ ka++ и а = а—%1 П с очевидными а++ и а___

Литература

1. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их приложения в теории вероятностей. М., 1975. Т. 13. С. 456.

2. ПасенчукА.Э. Абстрактные сингулярные операторы. Новочеркасск, 1993.

3. Симоненко И.Б. // Мат. исследования: Сб. ст. 1967. Т. 74. Вып. 2. С. 108-122.

4. Симоненко И.Б. // Мат. исследования: Сб. ст. Кишинев, 1968. Т. 3. Вып. 1. С. 93-94.

Южно-Российский государственный

технический университет (НПИ) 6 октября 2004 г.