Уравнения электромагнитизма в шестимерном пространстве-времени (часть II) Текст научной статьи по специальности «Физика»

переменных. — Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион, Сер. естеств. науки,2006,№1,с.19-24.

11. Пилиди В.С. О многомерных бисингулярных операторах. — Докл. АН СССР,1971,т.201,№°2,с.787-789.

12. Рабинович В.С. Многомерное уравнение Вине-ра-Хопфа для конусов. — В сб."'Теория функций, функц. анализ и их приложен."',1967,в.5,с.59-67.

13. Сазонов. Л.И. -алгебра бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами. — Изв. РАН,сер. мат.,1999,т.63,№>2,с.167-200.

14. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. I. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.3,с.567-586.

15. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. II. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.4,с.775-782.

16. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. — В сб. "Матем. исследования",Кишинев,Шти-инца,1968,,в.1,с.298-313

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ (ЧАСТЬ II)

Попов Николай Николаевич

Кандидат физ-мат наук, старший науч.сотр. ВЦ РАН, Москва

АННОТАЦИЯ

В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (—+++) вводится система ковариантных уравнений электромагнетизма. Показывается, что между элементами группы локальных собственных движений метрики Минковско-го и допустимыми токами, входящими в уравнения Максвелла, существует однозначная связь.

ABSTRACT

Within the framework of the six-dimensional space it is introduced sy&em of covariant equations of electrodynamics. It is shown that there is a unique relationship between the elements of the group of local own motions of the Minkowski metric and admissible currents belonging to the Maxwell equations.

Ключевые слова: шестимерные псевдоевклидовы пространства, шестимерные уравнения электродинамики, группы собственных локальных движений метрики.

Keywords: six-dimensional space, six-dimensional equations of electrodynamics, groups of own local motions of a metric.

Введение

Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++). Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое

пространство c метрикой gi]■ ( X, X) = exp( Л^ ) gi]■ ( X)

где Лк (х) - произвольное векторное поле, в дальнейшем называемое векторным потенциалом, gJ- (х) - метрический тензор Римана, впервые было введено в работе

[4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространства размерности не менее шести. В работе

[5], в рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями, была построена геометрическая модель точечного электрического заряда. Было показано, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само электрическое поле возникает в результате циркуляции

компонент Лк (х), к = 5,6, векторного потенциала Л(х)

во временном подпространстве вокруг временной оси х со скоростью света. В рамках рассмотренной модели, все эти утверждения следуют из решения системы уравнений шестимерной электродинамики, включающими в себя уравнения Максвелла. Однако эти уравнения были выведены в работе[5] только для случая покоящегося электрического заряда. В предлагаемой работе уравнения шестимерной электродинамики выводятся для достаточно широкого класса токов. Показывается, что эти токи связаны с элементами локальных групп собственных движений метрики Минковско-го четырехмерного пространства и только для этого класса токов уравнения электродинамики адекватно описывают электромагнитные процессы.

1. Вывод уравнений Максвелла в случае равномерно и прямолинейно текущих токов.

В работе [5], в рамках шестимерной электродинамики, были выведены уравнения Максвелла, не содержащие токов, относительно некоторой псевдоевклидовой системы координат. Для того чтобы получить уравнения Максвелла, содержащие токи, сначала рассмотрим один конкретный пример построения уравнений Максвелла с равномерно и прямолинейно текущим током.

Для получения этих уравнений достаточно перейти из

системы координат

( x1,..., x6 ) ,

относительно которой

заряд покоится, в некоторую другую систему путем псевдо ортогонального поворота, относительно

(x1',..., x6')

юительно ко-

торой заряд движется прямолинейно с постоянной скоростью. Физически это означает, что осуществляется переход в инерциальную систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно относительно исходной, например, вдоль

оси Х . Преобразования Лоренца, осуществляющие такой переход, имеют вид

Х = I Х +— Х

Е

Электромагнитный тензор и определяемый соотношением

Е =

( 0 Н 3 - Н 2 Е1 0 0 1

- Н3 0 Н1 Е2 0 0

Н 2 - Н 0 Е3 0 0

- Е - Е2 - Е3 0 - Е5 - Еб

0 0 0 Е5 0 - Н 4

V 0 0 0 Еб Н 4 0 1

,(1)

Е = дХ_ е

1 1 = дхг' дх1' Е

дх1 дх1

дх1

с 1 дх с

дхц

с 1 дх с

дх4 ' дх4'

= 1/.1

получим следующее представление для тензора

Нз Л--Ел Нл--Ез --Е5 — Е-

Ег

0

.1 -

Л ' Л Л

Е2

Н Е

Е, + - Н3

П с

-Н

Е2--Н3 -Е3 + _ Н2

Л

Л л л л 0 0 , 5 " " Л

{

1 .(2)

Е

Как видно из формулы (2), преобразованный тензор

Ел>5> Еуб содержит две дополнительные компоненты и

отличные от нуля, по сравнению с тензором вида (1). Пусть

Н1' = Н1

Н2' -I Н2 Е3

1 -

V

V

Н 3 ' =1 Н 3 + СЕ2

Е' - Е1

1 -

V

Н4 ' - Н4

Е2' =1 Е2 + " Н3

полученный в работе [5]

Е3'=1Е3 - 2 V ф-[V]2 Е5' = "СГ2

Е6' = Е6

Так как при псевдоортогональном преобразовании псевдоевклидова метрика остается инвариантной, то для контра-

вариантного тензора Е1] получаем следующее представление

(

перейдет в тензор , соглас-

но закону тензорного преобразования. Учитывая, что

Г1' -

0 Н3' -Ну -Ех ~Е5 - ~Еб '

с с

-Ну 0 Нг -Е2 0 0

Н2, -Нг 0 -Е3' 0 0

Е Е2' Е3 0 -Еу -Еб'

- ^ 0 0 е5, 0 -Н4,

с

- 0 0 Еб' Н4 0

с

\

.(3)

Из формулы (3) следует, что система уравнений ЕV - 0,1' - 1,2 ' , 3' , эквивалентна уравнению

дЕ

гоН' -1/ с^у -р\!с - 0

дГ

,(4)

Где

Н' - (H1', Н 2 ^ Н3 ') Е' - (E1', Е2', Е3 ')

Р - Е,5' + Еб ,6' - (Е5,5 + Еб б) / ,11 - V1 -рр ^ - V] плотность заряда в штрихованной системе координат. Величина J' - V р есть плотность тока в штрихованной системе координат. Тогда из соотношения (4) имеем

гоН' - 1/ дЕ7 , + Т'/ /с /дt /(

с .(5)

Последнее соотношение представляет собой уравнение Максвелла в случае равномерно и прямолинейно текущего

тока J'. Уравнение Е' 4 - 0 записывается в виде divE' - р .(6)

2

с

2

Существуют еще два уравнения г], = о, F= о, которые дают важную дополнительную информацию о механизме образования электрического заряда [5], однако не представляющие непосредственного интереса для целей, заявленных в настоящей работе.

Рассмотренный пример показывает, что каждому собственному линейному преобразованию из группы Лоренца, являющейся линейной группой собственных движений метрики Минковского, ставится в соответствие некоторый линейный ток из класса всех прямолинейно и равномерно текущих токов. Этот класс токов инвариантен относительно преобразований из группы Лоренца.

Возникает вопрос, существуют ли какие-то другие группы преобразований координат, представляющие собой группы собственных движений псевдоевклидовой метрики, действующие не на всем пространстве в целом, как это имеет место в случае группы Лоренца, а только локально на определенных классах траекторий.

2. Группы локальных собственных движений метрики Минковского и допустимые классы токов.

Пусть в некоторой окрестности фиксированной точки -мерного псевдоевклидова пространства с координатами

х1 хп

задано локальное преобразование дифференци-дхг .

* ; =

алов координат

дх1

метрика

в новой системе координат, в окрестности за-

ЕгУ =

дхк дх1

дх1 дх]

7 Пк1

1

66

ма

и некоторая локальная систе-

допускающая существование невырожден-

дхг

дх1

и пусть в системе координат

ной матрицы Якоби

задан тензор 4 вида (1). Задание такого тен-

х1,..., х6 _ тензор ¥

дх1 дх]

¥;Т —Т7 дТ зора дх дх в рамках четырехмерной электро-

динамики Максвелла означает отсутствие токов в системе. Перейдем в локальную штрихованную систему координат. Компоненты электромагнитного тензора в штрихованной системе координат принимают следующий вид

- Нз дх2 + Н 2 Эх3 Эх4 I дх1 и Эх1 - Н Эх3 „ Эх4'

дхк Эхк' - Е1 дхк ' эх + Н.—тт [ 3 дхк дхк

дх1 дх 2 Эх4 I Эх3 дхг Зх4 I Эх6 Эх4 I

: дхк ■ + Н1 дхк - Ез дхк д/ + Е; дхк' Эх1' \ Н 4 дхк ~

дх

Эх4 I дх6 ' дхк' 1з/

к ',1' = 1 ',...,6'.

(7)

Введем, как и выше, стандартные обозначения

Ну = ^'3', Н2 = ¥3Т, Н33 = ¥1'2', Н4 = ¥6'5',Е; = ¥{ 4,;г = 1',...,6'.

Потребуем, чтобы локальное преобразование координат являлось локальным движением псевдоевклидовой метрики шестимерного пространства, точнее являлось бы элементом группы локальных собственных движений метрики четырехмерного подпространства Минковского. Такая группа совпадает с группой локальных собственных преобразова-

1' 4' х х

ний дифференциалов координат

т.е.

тогда псевдоевклидова

дх1

, 1' = 1 ',...,4 ', г = 1,...4,

(8)

данной точки, принимает вид

Определение 1. Локальное преобразование дифференциалов координат в окрестности заданной точки, оставляющее инвариантной псевдоевклидову метрику, будем называть локальным собственным движением псевдоевклидовой метрики.

Всевозможные собственные локальные преобразования координат в окрестности заданной точки образуют группу локальных собственных движений псевдоевклидовой метрики. В силу нелинейного характера преобразований они, вообще говоря, могут оказаться неинтегрируемыми. Более того, возникает вопрос о существовании таких групп нелинейных локальных движений в принципе. Оставляя пока этот вопрос в стороне, перейдем к установлению связи между элементами групп локальных движений и допустимыми классами токов, удовлетворяющих уравнению Максвелла.

Пусть в окрестности некоторой точки шестимерного псевдоевклидова пространства задана псевдоевклидова си-х1 х6

стема координат

Перейдем теперь к выводу первой пары уравнений Мак-

■г -г

свелла (5),(6). Контравариантный тензор в локальной штрихованной системе координат будет иметь следующий вид

дх I дх

' дх' \д£4

дх" I Эх?

дх2 \д£4

Эх 4 I дх.4

' дх? \дхх4

дх I дх ' дх \д£4 дх? ( дх4 Эх2 \д£4

дхI дх4 ' Эх 3 4

дх I дх

дх' 4

дх4 I дх4 дх1 \ дх4

Эх I Эх дх2 4

дх4 I дх4 Эх2 I дх4

Эх I Эх

дх3 \ дх4

дх4 I дх4

дх3 I Эх4

(9)

где Н4' = Н4 .

Система уравнений ¥г'1 = 0, ]' = 1 ' ,2 ',...,6 ', в штрихованной локальной системе координат может быть представлена в форме

5'

6'

5

6

¥

о*' - % э%- ^

divE' = р',

(

Э Эх4 ( Эх"

V

дЕу ЭН* Зх4' + Зх6'

■V Еу

дх I дх

) V (

„ Э

дх

V

Е Эх* | 5' Зх3' I Эх4'

-1 Л

дх*(ах*1 ^Е ах*(&*Л

6'э/ 1зх4'1 +Эх2' 6'зх2'1зх4' I

V к ' ) V к ' )

Эх 1 Эх

Эх3

где

-1 л

ЭЕб' ЭН* Эх4' Эх5'

(10)

Р = Е5',5' + Е6 ' .6', ^ ' = "РЧ

V с =

Эх'

4 (Эх4Л

Эх

Эх

4

Эх

4 (Эх4V1

)

Эх

2 '

Эх

4

Эх

4 (Эх4 Л

)

Эх

-л

Эх

4

)

)

Последние два уравнения системы (10) эквивалентны следующим

I Э ( Эх4 Л Э ( Эх4 Л Э ( Эх4 Л ЭН..

= 0

(11)

ЭхМ Е5 Эх4 Л Эх1') +ЭЯ Е5 Эх4 Л Эх 2') + Э7 Е5 _Эх4 Л Эх3' ) Эх4' Е5 Эх4 Л Эх 4') + Эх6'

—1 ЭхМ Е6 Эх4 Л Эх1' ) Е6 Эх4 Л Эх2' ) +ЭЯ Е6 _Эх4 Л Эх3' , ЬэЭ4" Е6 Эх4 Л Эх4' ) ЭН4 Эх5'

Э

Эxi Э

Эхк Эхк Эхх

Учитывая, что

Е5. Е6

но преобразовать систему (11) к виду

а также независи-

мость компонент .Е6 от переменных х ,х .х , мож-

(Эх4 Л 2 (Эх4 Л 2 (Эх4 ^ 2 ( Эх4 ^ 2 ЭЕ5 ЭН4

1ЭхГ ) 1Эх 2') ^4') Эх4 ' Эх6

(Эх4 ^ 2 (Эх4 ^ 2 (Эх4 ^ 2 (Эх4 ^ 2 " ЭЕ6 ЭН4

') 1Эх2') [й/ ) \Эх4') Эх4 Эх5

(12) х1 х4

Так как переход от системы координат ' "' к систе-

1' 4' х х

ме осуществляется при помощи локального псев-

доортогонального преобразования, то должно выполняться

( - 4 Л2 (л. 4 Л2 (Л. 4 Л2 ( ~ 4 Л2

условие

эх:

Эх1

Эх4 дх 2'

Эх4

Эх3'

\их )

Эх

Эх'

4

= 1

Отсюда следует, что система (12) эквивалентна системе

ЭЕ5+ЭН4 = 0 ЭЕб +ЭН4 = 0.

Эх4 Эх6

Эх4 Эх5

(13)

Последние два уравнения, дают важную дополнительную информацию о связи между компонентами электромагнитного тензора Fli , однако они не представляют непосредственного интереса для целей, заявленных в данной работе, и поэтому здесь рассматриваться не будут.

Итак, система уравнений (10) шестимерной электродинамики, в рамках рассматриваемой модели, инвариантна относительно любых локальных псевдоортогональных преоб-

1 4

разований координат х ,...,х и эквивалентна первой паре уравнений Максвелла и дополнительной системе из двух уравнений (13).

Отметим, что трехмерный вектор тока J', входящий в первое уравнение Максвелла системы (10), полностью определяется видом локального псевдоортогонального преобразования, согласно формуле

с

Эх 4

(Эх4 Л

Эх

Эх'

4

Эх4 ' Эх2

(Эх4 Л

Эх'

4

Эх' Эх'

4 (а. 4 Л

Эх4

-1Л

Эх'

4

.(14)

Таким образом, каждый допустимый ток, входящий в первое уравнение Максвелла из системы (10), определяется некоторым элементом группы локальных собственных движений метрики Минковского, согласно формуле (14). Все сказанное выше можно сформулировать в виде следующего результата

Теорема. Уравнения Максвелла инвариантны относительно любых локальных собственных движений метрики Минковского. Класс допустимых токов, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, полностью определяются группой локальных собственных движений метрики Минковского.

Из теоремы следует, что чем шире группа локальных собственных движений метрики Минковского, тем больше класс допустимых токов, удовлетворяющих уравнению Максвелла, и тем шире область применения электродинамики Максвелла. Действительно, если группа локальных собственных движений ограничивалась бы только преобразованиями Лоренца, то уравнения Максвелла были бы строго справедливыми только лишь в случае равномерно и прямолинейно текущих токов. На это обстоятельство в свое время указывал еще Паули [6]. Открытым остается вопрос о существовании групп локальных собственных движений метрики Минковского отличных от группы Лоренца.

3. Пример нелинейной группы локальных собственных движений метрики Минковского.

Произвольное собственное вращение трехмерного

псевдоевклидова пространства ' , т.е. произвольное ортогональное или псевдоортогональное преобразование, оставляющее неподвижным начало координат, может

быть разложено на три вращения в плоскостях

{х1, х4 } {х2, х4 }

{ X1, X2, X3}

{х1, х2}

Е132 = '

и одно вращение в самом простран-3

стве , которое не сводится ни к одному

из предыдущих. Первое вращение преобразует простран-х1 х 2

ственные координаты и соответствует обычным

пространственным вращениям. Второе и третье вращения действуют в псевдоевклидовых плоскостях и соответствуют собственным преобразованиям Лоренца. Перейдем к

рассмотрению четвертого вращения в 1,2 . Искомое вращение должно оставлять инвариантной дифференциальную квадратичную форму

д2 i2 22

dx - dx - dx

(15)

или эквивалентную ей форму, записанную в полярных координатах

2 „2/2

dx - dr - r dp

,(16)

где

x1 = r cos p x = r sin p

Пусть дифференциалы координат

( x4, r,p(

4

X ,p

точки с ко-

ординатами

подвергаются преобразованию am : (dx4,dp( ^ (dx4 ,dpp

вида

d 4 + dp'+ —d 4 d 4 = , c , dp= , c

1 -

rv

1 -

rv

, (17)

где ю угловая скорость вращения окружности радиу-

са r в плоскости

V

{ X1, X2 }

относительно начала координат,

| = —. Нетрудно видеть, что преобразование координат (17), оставляющее инвариантной форму (16), является элементом искомой группы локальных собственных движений метрики Минковского. Если вернуться в псевдоевклидову

/4 1 2 Ч

систему координат 1х , х , х I, то преобразования (17) будут эквивалентны следующим нелинейным преобразованиям

dx

1-dx4 - W-=J=-dx1' + —=jL-dx2' ,

dx1 = - У , sinp— dx4 + V^dx1 ' + VBdx2' ,

'c T/\2 /v /v

V1-(vC(

dx1 = / , c0sp dx4 +VCdx1 + VDdx2', /c T7J /V /V '

V1 -(vC(

(18)

1 I 1 2 2'2 / 4'

arccos xVVx + x +V x

, V = rv

1 -(V

Л = X1 c0sp+ X2 sinp A/HVCf,B = X2 cosp-x1 sinp -(Vc(2, С = X1 sinp + X2 cosp\j 1 -(Vc(2 ,D = X2 sinp-X1 cosp\j 1 -(Vc(2.

Преобразования (18) оставляют инвариантной дифференциальную квадратичную форму (15) и поэтому являются локальными собственными движениями метрики Минковского . Такая группа впервые была введена в [7].

4. Заключение

В предложенной модели шестимерной электродинамики, как было показано в работе, достаточно естественно выводятся из геометрических соображений основные уравнения электродинамики, содержащие токи. Показано, что уравнения Максвелла оказываются инвариантны относительно группы локальных собственных движений метрики Минковского, которая шире чем группа Лоренца. Важно отметить, что между допустимыми токами, входящими в уравнения Максвелла и локальными собственными движениями метрики Минковского была установлена взаимно однозначная связь. Попытка распространения полученных результатов на произвольные токи приводит к изменению вида уравнений Максвелла. Это означает, что уравнения Максвелла оказываются справедливыми не для произвольных токов, как это принято считать в настоящее время, а только лишь для некоторого класса токов, определяемого максимальной локальной группой собственных движений метрики Минковского. Уравнения Максвелла оказываются инвариантными относительно этой группы преобразований. Важно отметить, что электрические заряды и токи сами по себе не являются фундаментальными объектами реального мира, а порождаются компонентами электромагнитного тензора, принадлежащими временному подпространству. Сам электромагнитный тензор индуцируется видом метрики RVF пространства, т.е. имеет чисто геометрическое происхождение.

Список литературы:

1. Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513527.

2. Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.

3. Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.

4. Н.Н. Попов. Геометрическая модель гравитации и электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. XXIII Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, №23, 26-27 февраля, 2016. ISSN 2413-9335.

5. Н.Н. Попов. Геометрическая модель электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. XXV Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, №25, 28-29 апреля, 2016. ISSN

6. В. Паули. Теория относительности. Москва, Наука, 1983, 336 с.

7. N.N. Popov. The complementary group of proper motions of the Minkowski metric. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol.3, No.1, 2012, p.103-110.

c

c