Об использовании алгебры Клиффорда в физической теории Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531/534:530:512.942

С.В.Терехов ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА В ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

The approach to physical equations obtaining on the frame of complex hyperspace with Clifford basis is formulated. Clifford algebra permits in particular take into account the rotational movement by means of unified approach.

1. Введение

Геометрические идеи Эйнштейна [1] осуществили переход от абсолютного пространства и абсолютного времени Ньютона к комплексному четырехмерному многообразию Минковского. Но, как и любое теоретическое построение, данная модель обладает рядом недостатков, а именно:

— любая геометрическая модель зависит от дефиниций, определяющих конгруэнтность геометрических образов физическим объектам;

— известно [2], что собственными движениями трехмерного пространства являются сдвиги и вращения, однако вращательное движение явным образом не учитывается в теории относительности;

— комплексность многообразия Минковского не использовалась при построении общей теории относительности (хотя при записи уравнений электромагнетизма Джеймс Максвелл [3] использовал теорию гиперкомплексного исчисления (кватернионы), которая была открыта Гамильтоном в 50-х годах XIX в. (см., напр., [4,5]));

— практически не использовались алгебраические идеи.

В связи с этим в данной работе предлагается альтернативный подход к выводу уравнений, описывающих различные физические процессы и явления, на основе изучения свойств четырехмерного пространства (в общем случае комплексного пространства (гиперпространства)) с использованием алгебры Клиффорда (см., напр., [6]) и установления соответствия этих свойств реальному пространственно-временному континууму. В работе [7] использование гиперкомплексного исчисления (кватернионов) позволило объединить описание механических и электромагнитных процессов и явлений как условий регулярности и гармоничности некоторой кватернионной функции. Однако такое описание опосредованно учитывает вращательное движение, равноправное с поступательным перемещением. Отсюда следует необходимость общего подхода, с помощью которого можно объединить поступательное и вращательное движения при описании физических явлений и процессов.

2. Метрика пространства и алгебра Клиффорда

Выберем в четырехмерном пространстве (в общем случае в комплексном пространстве (гиперпространстве)) систему координат с базисными элементами ei (i = 0,1,2,3; в дальнейшем пространственные координаты будем обозначать буквами греческого алфавита, а временную координату — индексом 0), которые удовлетворяют алгебре Клиффорда:

eiei = ei ' ei + ei л ei, (1) где ei • ej = 1/2(eiej- + ejei) = ^2{ei, e}-} = gij- — внутреннее (скалярное) произведение,

симметричное относительно перестановки индексов i и j , т.е. величина gij является симметричным тензором второго ранга; величина eiлej = V2(eiej-ejei)=V2[,ej]=4 ek — внешнее произведение, антисимметричное относительно перестановки индексов i и j , т.е.

gij = ± 5 у,, где 5 у = \ \ — символ Кронекера («+» соответствует векторам, а

е*=4 =

У •>

величина е к является антисимметричным псевдотензором (экстенсивом) третьего ранга.

И

Если гиперпространство однородно и изотропно, то в любой его точке можно выбрать ортогональную (в широком смысле этого слова) систему координат, которая характеризуется следующими равенствами:

х1 = х1 — ковариантные и контравариантные координаты точки равны между собой;

С1, 1 * V Л 1 = V'

«-» соответствует кватернионам);

-1, если все индексы различны и образуют нечетную подстановку,

0, если хотя бы два индекса совпадают, .

1, если все индексы различны и образуют четную подстановку.

Если гиперпространство неоднородно и неизотропно, то реперные элементы е1 изменяются при переходе от точки к точке гиперпространства, следовательно,

дГ = Г *еп, (2)

дхк

где ГПк — символы Кристоффеля второго рода (коэффициенты связности), симметричные

относительно перестановки нижних индексов (при переходе к евклидовой геометрии коэффициенты Кристоффеля равны нулю). Так как базисные элементы е1 являются непрерывными функциями координат, тензор кривизны Римана второго рода [8] равен нулю:

дГ п ЯГ п

т>п _ щ тк , т Р тп тР тп _с\

]к = "дх*---И + Г ЩГ рк - Г ткГ и = °. (3)

Поскольку метрический тензор gii и экстенсив ек также зависят от координат, найдем

* и

первую производную от этих величин:

дХг = ГЩ^щ + Г^1п, (4)

5е"

V

- Гт^ , гп я

= г к е^,- + г е,м — г г

к 1 т)' ^1 ]'к 1 рк у -

дх

в силу непрерывности функций gii и е к должны выполняться равенства

1 V

(5)

+ К^1п = 0 (6)

Т?т ^ ,-рп я р5 <-м_Л (1\

^1кр ^т) ' ^)кр ^ыкр С, (7)

которые автоматически реализуются в силу равенства (3). Таким образом, метрика искривленного гиперпространства, для которого базисные элементы удовлетворяют алгебре Клиффорда, описывается уравнениями (2)-(7).

В локальной системе координат изменение радиус-вектора выражается формулой

с1К = е0дх0 + еадха + де0х0 + деаха = Е0дх0 + Eадха (а = 1, 2, 3).

Физическим смыслом обладает клиффордовское произведение изменения радиус-вектора на его комплексно-сопряженную по времени (индекс «+0») величину:

дRдR +0 = дR • дR +0 + дR Л дR +0 = GkJдxkдxJ + NIpдxkдxJep,

где Ek(E+0)= Aken(е+0). К = Sn + rnmkxm, е+0 = eksgn(k), Gkj = AnkA™ gnm sgn(m),

P n m p I -1, если m = 0,

Nkj = AkAj 6pm Sg^X Sgn(m) = <J 1 o .

J [ 1, если m Ф 0.

Так как изменение радиус-вектора определяет поле смещений

dR = U = Etu ,

где и1 (x1) = dx1 определяют смещения вдоль соответствующих осей координат, то сдвиговые движения пространства определяет дифференциальный интервал между событиями, который можно определить как квадрат модуля 4-вектора смещения:

ds-одв^ = dR • dR +0 = Gkj- dxkdxJ, а интервал при вращении определяется модулем вектора кручения:

dQp = Nkj. dxkdxJ.

При переходе к евклидовой геометрии становится очевидным, что индекс p не должен равняться ни одному из нижних индексов, т.е. p = в ф а и p ф 0. Отсюда следует, что интервал между событиями при вращении вокруг пространственных осей локальной системы координат имеет вид

^ращение = 2д/gPyNJ,N0a ^dx“ dx^ (a Ф P; Y Ф ^ (8)

Из всего выше изложенного следует, что

ds2 =yjdsс4двиг - 4gpyN0,N(3a dx^dxa (dx0 )2 (a Ф P; Y Ф ,).

Метрический тензор G. и экстенсив Npj обладают следующими свойствами:

G0a = - Ga0 , Gap = Gpa ; Ng = 0, Ng. = N aP0 , N*p = - N g .

Отметим, что в теории Эйнштейна (векторная алгебра) эти величины удовлетворяют соотношениям

Gki = Gk; NPk = a Ng = - Npk.

В силу последнего равенства величина, определяемая формулой (8), тождественно равна нулю, т.е. теория Эйнштейна не учитывает вращательные движения пространственновременного континуума.

Так как параметр s является единственным натуральным параметром в гиперпространстве, то скорость (в единицах скорости света) материальной точки определим формулой

V = — = Ekvk, ds k

k dxk , л -fT

где v =--------k-ая компонента 4-скорости. Ускорение частицы на мировой линии опре-

ds

делим формулой

dV dE

A =

dA

A =d- = -1kvj + Ekak = (Dm vk v1 + Amk ak ) em = Am

ds dxJ

здесь Вт) = " к + Ак Г. Если ускорение точки на геодезической линии А = 0, то выпол-

дх1

няются уравнения (базисные элементы еп линейно-независимы)

д2 хк

Ат _—_ + Вктуку) = 0, к дя2 к

которые могут быть интерпретированы как уравнения движения материальной точки. Если

е

т

величина Dim =

дДП

+ Дк Г і = 0, то все физически значимые функции описываются функ-

дxJ k nj

циями одинаковой структуры F = E.A1. Легко показать, что Dkm = Dmk , т.е. этот коэффициент симметричен по паре нижних индексов.

3. Гиперфункция и физические законы

Рассмотрим гиперфункцию F = E.A3 (при условии Dm = 0), устанавливающую закон соответствия между пространственно-временным многообразием и материей. Если указанная гиперфункция будет регулярна в некоторой области D, то она удовлетворяет уравнению 0 F = 0 *( 0 • F + 0 А F = 0) или в развернутом виде:

= 0,

I dx1

T s — = 0

II

Dx

Ts = ДпДт е*

ij i j nm '

здесь Р) =Ап1 А^т,

Для выяснения условий гармоничности нерегулярной в области В гиперфункции воспользуемся уравнением

д

дхи ‘ дх1

Предполагая, что РуСр * 0 и Т) С1 * 0, перепишем условия гармоничности в виде:

О+0ОF = 0 " или Eu+0 ( Ei A(e,Aj )| = 0.

■■ дСji

QC + Mju---------------= 0,

BiCJ + Emu

3xu

дСу

3xu

= 0,

* Например, комплексная функция /(г) = и( х; у) + їу(х; у) (г = х + іу; и( х; у), V (х; у) — веществен-

2

ные функции действительных аргументов х и у , і = -1) будет аналитической [9,10] (регулярной, голоморф-

ди дv ди дv

ной [11]) в некоторой области О, если она удовлетворяет условиям Коши — Римана: —=—; — ---------------------------.

дх ду ду дх

д д

Введем в рассмотрение комплексный оператор «тетра» 0 =-----------+ і---- и подействуем им на комплексную функ-

д х д у

ди дv (ди дv ^

цию /(г) , получим 0 /(г) =--------------+ і I----\-I. В силу условий Коши — Римана аналитическая функция

дх ду ^ ду дх)

/(г) удовлетворяет уравнению 0/(г) = 0.

** Функция /(г) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа А / = 0, где

д2 л2

д д +

оператор Лапласа А =----------\-----. Так как оператор Лапласа А можно представить в виде А = 0 0

дх2 ду 2

\ д д

( 0 ----------і— — комплексно-сопряженный оператор к оператору 0 ), то гармоническая функция удовлетворяет

дх ду

уравнению 0+0 / = 0.

где Яг, = Др ^(и)

дТ

дхи

■ е + Т ?Г4 я

<5 рБ г, и <5 рд

мг,и = Т1 Дря „^т(и)>

вт = sgn(u)

дР

дхи

дТг

1]и I] и о рБ^

) )

дх

1 ря +тбгд рт

и ср.ч у1 ш рд

ДР

Е," = sgn(u)T’jДР ерр^ + Р,] Д").

При переходе к евклидовой геометрии условия регулярности гиперфункции принимают вид

дА]

= 0,

дх1

ог ^=о.

1 дхг

Первое уравнение системы путем преобразований можно привести к виду

|!+*{)=*(-1)=. .о,

(9)

(10)

где 3.0 — поток величины А , а с.0 — ее производство в выделенном объеме гиперпространства. С механической точки зрения уравнение (10) интерпретируется как дифференциальный закон сохранения временной компоненты 4-потенциала. С точки зрения теории электромагнетизма первое уравнение системы (9) определяет условие калибровки Лоренца,

второе уравнение той же системы при б = 0 дает О

ар

дАв дх а

= 0 и определяет потенциаль-

ность механических полей или отсутствие «вихрей» (отсутствие магнитного поля), а при

б = а дает О

(дАр дА

Р0

0 )

дх0 дхр

+ О

дА

в

уР

■ = 0 и определяет закон изменения пространствен-

ных компонент 4-потенциала или закон движения величины, описываемой векторной частью этого потенциала (отсутствие электрического поля в теории электромагнетизма, так

как из предыдущего равенства следует, что

А

дх а

= 0).

Условия гармоничности гиперфункции в евклидовой геометрии запишутся в виде

д2 А1

О и, sgn(u)--------- = 0,

1

д9

дх"

дхи дхг

д 2 А1

sgn(m) + 01 О]—— sgn(u) = 0,

дх дх

(11)

где 9 =

дА1

дх1

Первое уравнение системы перепишем в виде

дЕ1’

О“ sgn(u)-— = 0, ’< 1,

дх

(12)

■ ■ дА1 дАг

где Е1’ =—:--------- . Согласно определению экстенсива в сумме (12) отличными от нуля

дх дх 1

будут только те слагаемые, для которых индексы экстенсива образуют циклическую перестановку, т.е. выполняется равенство

дЕ1’ дЕии дЕги п

---------I--:—I----— = 0, 1 ф г Ф и,

дхи дх1 дх1

которое определяет первую пару уравнений Максвелла. Второе уравнение системы (11) определяет вторую пару уравнений Максвелла соответственно (см. [8]).

С другой стороны, условия гармоничности можно записать также в виде равенства

( + ))- = о,

которое распадается на систему уравнений

д 2 Е

Сиг ------- = 0,

дхи дх1

д 2 Е Ы6 = 0

ш дхи дх1

При переходе к евклидовой геометрии первое уравнение системы переходит в волновое

д2 д2

уравнение □ Е = 0, где □ = ------г--------г----оператор Даламбера, а второе уравнение при-

(дх а )2 (дх 0 )2

д 2 Е

нимает вид О[]а — -----------= 0 и определяет другую форму записи волнового уравнения.

Л.-0 Л.,.а

4. Выводы

1. Рассмотренный подход к получению физических уравнений на основе изучения свойств комплексного гиперпространства, репер которого удовлетворяет алгебре Клиффорда, можно считать альтернативным по отношению к формализму, основанному на вариационных принципах. Использование алгебры Клиффорда позволяет естественным образом учесть вращательное движение при построении единого подхода к физическим проблемам.

2. Уравнения, описывающие метрику гиперпространства, частично согласуются с уравнениями, полученными в теории Эйнштейна.

3. Показано, что обращение в нуль тензора кривизны Римана второго рода свидетельствует о том, что репер описывается непрерывными функциями.

4. Получено уравнение движения материальной частицы, отличающееся от его аналога в теории Эйнштейна.

5. Условия регулярности гиперфункции (для случая О" = 0) могут быть интерпретированы различным образом с механической и электромагнитной точек зрения. Эти условия определяют дифференциальный закон сохранения временной составляющей гиперфункции, потенциальность механических полей и закон движения материальной частицы (механика) или условие калибровки Лоренца и отсутствие электрического и магнитного полей (электромагнетизм). Отметим, что калибровка Лоренца необязательна в теории электромагнетизма. Условия гармоничности гиперфункции приводят к уравнениям теории Максвелла.

6. Иная форма записи условия гармоничности гиперфункции приводит к волновому уравнению в виде уравнения Даламбера.

1. Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.: Наука, 1965. Т.1. 700 с. Т.2. 878с.

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

3. Максвелл Дж. К. Избр. соч. по теории электромагнитного поля. М.: Гостехиздат, 1952. 687 с.

4. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.

5. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.: Физматгиз, 1963. 192 с.

6. Казанова Г. Векторная алгебра. М.: Мир, 1979. 119 с.

7. Терехов С.В. // Вісник Донецького ун-та. Сер. А: Природничі науки. 2002. № 2. С.287-290.

8. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1974. 206 с. См. с. 173.

9. Там же.

10. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. 415 с.

11. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. 463 с.