CC BY
37
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008, № 4, с. 122-126
УДК 512.64
О ПОДОБИИ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ,
ИМЕЮЩИХ ПРИВОДИМЫЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
© 2008 г. С.В. Сидоров
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
sesidorov@yandex. ru
Поступила в редакцию 05.05.2008
Рассматривается задача о подобии матриц второго порядка над кольцом целых гауссовых чисел с приводимым характеристическим многочленом. Описаны классы подобных матриц, приведены канонические матрицы для каждого класса и найдено число классов.
Ключевые слова: подобие матриц, целые гауссовы числа.
Введение
Задача о подобии матриц с коэффициентами из некоторого поля ¥ хорошо известна в линейной алгебре. Две квадратные матрицы
А, В є ¥пхп называют подобными над полем ¥ , если существует такая невырожденная матрица Б є ¥пхп , что АБ = БВ . Подобные матрицы являются матрицами одного и того же линейного преобразования в разных базисах. Существует известный алгоритм определения подобия матриц над полем, который основывается на приведении характеристической матрицы А — ХЕ к нормальной диагональной форме Смита (см. например, [1]). Этот алгоритм использует тот факт, что кольцо многочленов ¥ [Х] является евклидовым.
Понятие подобия матриц над полем ¥ легко обобщается на произвольное коммутативное кольцо К с единицей. При этом требуется, чтобы матрица Б была обратима над кольцом К, что эквивалентно условию det Б є К *, где
К * - множество обратимых элементов кольца К . Поскольку кольцо К[Х] не является евклидовым, если К не поле, в этом случае алгоритм приведения к нормальной диагональной форме Смита не работает. Это усложняет задачу. В данной работе рассматривается подобие матриц над кольцом целых гауссовых чисел Z [і]. Очевидно, что Z [і]* = {1,—1,і,—і}.
Определение 1. Будем говорить, что матрица В є Z[і]пхп подобна матрице А є Z[і]пхп,
если существует такая матрица Б є Z[і]пхп, что АБ = БВ и det Б є Z[і]*, и обозначать это
А~В. При этом матрица Б называется трансформирующей А в В матрицей.
Ясно, что отношение подобия есть отношение эквивалентности. Следовательно, множество матриц порядка п разбивается на классы подобных матриц. Очевидно, если матрицы подобны над кольцом Z [і], то они подобны и над полем рациональных гауссовых чисел Q[i]. Следовательно, класс К^і ](А) матриц, подобных А над полем Q[i], разбивается на подклассы матриц, подобных над Z [і]. Пусть KZ [і ](А) =
= {В є Z[і]пхп | А ~ В} - множество матриц, подобных матрице А над кольцом Z[і].
Возникают две задачи: 1) для данных матриц А и В выяснить, являются ли они подобными над Z[і], и если являются, найти трансформирующую матрицу; 2) описать классы подобных матриц, т.е. выделить в каждом классе матрицу простейшего вида (каноническую матрицу), которая бы однозначно характеризовала класс.
Здесь мы ограничимся рассмотрением матриц второго порядка, имеющих приводимый характеристический многочлен. Одним из необходимых условий подобия матриц является равенство их характеристических многочленов. Поэтому сразу предположим, что матрицы А и В имеют один и тот же характеристический многочлен ё(Х) = Х2 — аХ + Ь , где а - след матриц, Ь - определитель. Поскольку ё(Х) приво-
дим над 2[і], то оба его корня принадлежат 2 [і]. Пусть й (X) = (А,-а)(А,-Р) и
х = (х1,х2)Т - собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному числу а , причем х є 2[і]2 и НОД(х1, х2) = 1. Тогда найдется такой вектор у є 2[і ]2, что det Т = 1, где
Т - матрица, столбцами которой являются векторы х и у . Система векторов х, у образует
базис пространства Q[i]2. Определим в пространстве 0[і]2 линейное преобразование ф, матрицей которого в стандартном базисе является матрица А . Тогда в базисе х, у матрица
преобразования ф будет иметь вид С =
С подобны над 2[/]. Рассмотрим два возможных случая: 1) а = Р; 2) а Ф р.
А2 =
( а г"^ V0 ау
не подобны, если числа г' и г"
не равны и удовлетворяют написанным выше условиям. Действительно, если А1 ~ А2, то су-
такая, что
Ґ11 Ґ12
ществует матрица Т =
А1Т = ТА2 и det Т є 2[і]*. Тогда
V Ґ21 Ґ22 У
АТ =
аґ11 + гґ21 а(12 + Г(22
V аґ21
аґ.
ґ аґи г" ґ11 +аґ12^
Vаt2l г ґ21 + аґ22 У
22 У
= ТА2.
є 2[і]2 2, т.е. матрицы А и
Отсюда следует, что t2l = 0, г' 122 - г" t11 = 0,
* г *
значит t11, t22 е 2[1] и —е 2[1] . Но из-за ог-
г"
раничений на г', г" выполнение условия г' . *
— е 2[1] невозможно. Тем самым доказана г"
следующая теорема.
Случай кратного собственного числа
В первом случае й(X) = (X - а)2. Над полем рациональных гауссовых чисел Q[i] матрица с таким характеристическим многочленом подобна одной из жордановых матриц:
Л
А =
а
0а
(
или А2 =
а
0а
те. KQ[i ](А1) =
= {А є 2[і]2 2 | А * ^1> = {^1>,
KQ[i ](Л) =
= {А є 2[і]2 2 | А * А2} , где символом
обо-
матрице вида
аг
0а
Теорема 1. Пусть й(X) = (X - а)2. Тогда 1) ^[і ](А1) = К2 [і ](А1) = {А1};
2) КОі ](</ 2 ) = У К2 [г ](Кг (а)) , где Кг (а) =
гєМ
значено подобие матриц над полем Q[i]. Выясним, что изменится над 2[і]. Ясно, что класс К^і ](А1) = {А1} , состоящий из одной матрицы, совпадает с классом К2[і](А1). Любая матрица из класса К^^](А2) подобна над 2[і] некоторой
^а г ^
= - каноническая матрица и М = {г =
Vо аУ
= и + іу є 2[і] | и > 0, V > 0} .
Случай различных собственных чисел
Теперь рассмотрим случай, когда характеристический многочлен й (X) имеет различные корни, т.е. й(X) = (X-а)^-Р), а Фр. Над полем Q[i] матрица, имеющая такой характеристический многочлен, подобна диагональной
матрице З3 =
а
0 Р.
те. KQ[i ](А3) =
, где г Ф 0 . Но в силу того,
= {А є 2[і] х | А * А3}. Каждая матрица из KQ[i](А3) подобна над 2[і] некоторой
а г ^ а - г ^ а іг ^ а - іг^ а гл
что , матрице V 0 Р,
V0 аУ V0 аУ V0 аУ 0 а
можно считать, что коэффициент г = г1 + ¡г2 удовлетворяет условию г1 > ^ г2 > 0. Теперь
. Выясним, при каком условии подобны две матрицы вида А1 =
покажем,
что матрицы
А1 =
^ а г'^ V0 ау
А2 =
а г"
0 Р
0 р.
. Если они подобны, то найдется
(
матрица Т =
^1 ^12
V І21 ^22 У
такая, что АТ = ТА2 и
det Т є 7[/']*. Тогда
(а7,, + г' іп, аі10 + г' ^ ^
А1Т =
11 21 Рі21
12 22 Рі2
(а7п г" іи + РО
22 У
= ТА2.
ча^21 г" *21 + Р*22 ^
Из этого равенства следует, что (Р — а)*21 = 0, т.е. *21 = 0 и (Р — а)*12 = г' *22 — г" 7П. Поскольку det Т е 2[/']*, то 7П, *22 е 2[/']* и г" = вг'+ * — *
+ (Р — а)^, где в = — е 2[/']* и q = —12 е 2[7].
і
і
Утверждение 1. Две матрицы А1 =
( а г"Л'
0 р
С а г'^
и А2 =
0р
подобны над кольцом 2 [і] то-
Определение 2. Пусть I - произвольный идеал кольца 2[7]. Будем говорить, что два элемента а,Ь е 2[7] являются 1-эквивалент-ными (или эквивалентными относительно идеала I), если существует такое ве 2[7 ]*, что а + Ьв е I.
Легко проверить, что введенное отношение 1-эквивалентности является отношением эквивалентности на множестве элементов кольца 2 [7]. Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Рис. 1. Квадрат К(т, п)
через К(т,п). Но не все точки квадрата К (т, п) принадлежат разным классам /-эквивалентности. Действительно, легко показать, что для любого а є 2[і ] точки а, 2Р - а ,
Р + і(Р - а) и Р - і(Р - а), где Р =
т - п 2
гда и только тогда, когда г и г эквивалентны относительно идеала I = (Р — а), порожденного элементом Р — а .
Пусть Р — а = т + т . Не уменьшая общности можно считать п > 0 , а если п = 0, то т > 0. Из определения ^эквивалентности следует, что класс эквивалентности Ка, содержащий элемент а е 2[7 ], является объединением четырех смежных классов: а +1,— а +1, 7а +1,
— 7а +1. Следовательно, в качестве представителя класса эквивалентности можно взять элемент из некоторого смежного класса. Известно, что представителем любого смежного класса фактор-кольца кольца 2[7] по идеалу I = = (т + п7) является некоторая точка квадрата с вершинами 0, т + п7, — п + т7, (т — п) +
+ (т + п)7 (см. рис. 1). Этот квадрат обозначим
т + п
+—-— і - центр рассматриваемого квадрата,
эквивалентны относительно идеала /. Заметим, что эти точки также образуют квадрат с центром в точке Р . Кроме того, если точка а принадлежит исходному квадрату К(т,п), то полученный новый квадрат находится внутри исходного. Верно и обратное: если точки образуют вершины квадрата с центром Р, то они /-эквивалентны. Следовательно, представитель любого класса эквивалентности находится в ( т п ^
квадрате КI—,— I (на рисунке это квадрат
ОМ1РМ4). Заметим, что точки на сторонах ОМ 1 и М1Р эквивалентны точкам на сторонах ОМ4 и М4Р соответственно.
Обозначим через К(т + пі) множество целочисленных точек, лежащих внутри квадрата К(т, п) и на двух его смежных сторонах, содержащих вершины 0, т + пі, (т - п) +
+ (т + п)і . Из приведенных выше рассуждений следует лемма.
Лемма 1. Элементы из К^т ^ образуют
множество представителей всех классов эквивалентности относительно идеала I =
+
= (т + п7). Различные элементы в КI т + п7
{ 2 2
не являются /-эквивалентными.
Осталось вычислить количество классов эк-
вивалентности относительно идеала
I = (т + п7). Обозначим число таких классов через N(I). Для вычисления N(I) нам понадобится следующая лемма (см. например, [2]).
Лемма 2 (формула Пика, 1899). Если внутри многоугольника с вершинами в точках с целыми координатами лежат 5 , а на границе - р целочисленных точек, то площадь многоуголь-
Р л
ника равна 5 + — — 1.
Лемма 3. Пусть I = (т + п7) - идеал, порожденный элементом т + п7. Тогда верны следующие утверждения.
1) Если т = 0(mod2), п = 0(mod2), то
т2 + п2 N (I) = т +п + 2.
4
2) Если
N (I) =
т + п = 1(mod 2),
т2 + п2 + 3
4
т2 + п2 + 6
тп
В этом случае вершины квадрата К,—
являются целочисленными, поэтому можно непосредственно применить формулу Пика. Внут-
( т п |
ри квадрата КI —,— I находится 5 , а на границе 2 р1 + 2 р2 + 4 целочисленных точек. Следовательно, по Лемме 2 5 + рх + р2 + 2 —
2 2
т + п „ ЛТ/1Ч
— 1 =--------. Так как N (I) = 5 + р1 + р2 + 3, то
т2 + п2 N (I) = т +п + 2.
4
2) т + п = 1(mod 2).
Здесь воспользуемся леммой 2 для квадрата К(т,п). Согласно этой лемме 45 + 4р+
+
8р2 +4 1 _ ,„,,2 , „2 ...2 , „2
2
-1 = т + п = т + п . Поскольку
N (I) = 5 + р1 + р2 +1, то N (I) =
т2 + п2 + 3 4
то
3) т = 1(mod 2), п = 1(mod 2).
Аналогично предыдущему случаю по формуле Пика, примененной к квадрату К(т, п) ,
имеем 45 + 4 р1 +1 +
8р2 + 4 1 _ ,„„2
2
-1 = т + п . Так
3) Если т = 1(mod2), п = 1(mod2), то
N (I) = 4
Доказательство. Согласно лемме 1 N(I)
(т п ^
равно мощности множества КI ^" + ^ 7 I. В силу симметрии внутри квадратов ОМ1РМ4, М1АМ2Р , М2ВМ3Р , М3СМ4Р находится одинаковое количество целочисленных точек (обозначим его через 5). Через р1 обозначим количество целочисленных точек, лежащих на каждой из сторон М1Р , М2Р , М3Р, М4Р , не
считая вершин. Через р2 обозначим количество целочисленных точек, лежащих на каждой из сторон ОМ1, М1А , АМ2, М2В , ВМ3, М3С , СМ4 , М4О , не считая вершин. Рассмотрим три возможных варианта.
1) т ^ 0(mod 2), п = 0(mod 2).
как N (I) = 5 + р1 + р2 + 2, то N (I) =
т2 + п2 + 6 =--------------. Лемма доказана.
4
Из утверждения 1 и леммы 3 непосредственно следует теорема.
Теорема 2. Пусть й (X) = (X — а)(А, — Р), а Ф Р, причем можно считать, что Р — а = = т + п7, где п > 0 , а если п = 0, то т > 0. Тогда Кд[г ]О7 3) = и К2 [7 ](Кк (а,Р)) , где Кк (а,Р) =
кеМ
а
к Л
0р
- каноническая матрица и М =
= К\ т + тг |. Число классов подобия N(а,Р) =
I 2 2 ) Р
= | М | определяется следующим образом:
1) если т = 0(mod2), п = 0(mod2), то
N (а, Р) = + 2;
2) если m + n = 1(mod2), то N (а,Р) = количество классов подобия счетно, а в случае
|P-а |2 +3 .
?
4
3) если m = 1(mod2), n = 1(mod2), то
N (а, P) =
| P-а | +6 4
Суммируя приведенные результаты, отметим, что в случае кратного собственного числа МЦНМО, 2006. 635 с
различных собственных чисел конечно.
Список литературы
1. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. ОГИЗ, 1948. 424 с.
2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М:
ON SIMILARITY OF 2 x 2 MATRICES OVER THE RING OF GAUSSIAN INTEGERS WITH REDUCIBLE CHARACTERISTIC POLYNOMIAL
S. V. Sidorov
The similarity problem for 2 x 2 matrices over the ring of Gaussian integers with reducible characteristic polynomial is considered. The classes of similar matrices are described, canonical matrices for each class are given, and the number of similarity classes has been found.
