Тождества матричных инвариантов симплектической группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 29-31.

УДК 512.552.4 А.А. Лопатин

ТОЖДЕСТВА МАТРИЧНЫХ ИНВАРИАНТОВ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ*

Симплектическая группа действует на пространстве нескольких матриц одновременным сопряжением. Получено описание тождеств соответствующей алгебры полиномиальных инвариантов над бесконечным полем нечетной характеристики.

Ключевые слова: теория инвариантов, полиномиальные инварианты, классические линейные группы, полиномиальные тождества.

1. Введение

В данной статье все векторные пространства, алгебры и модули рассматриваются над бесконечным полем F произвольной характеристики p . Все алгебры являются ассоциативными с единицей, если не оговорено противное.

Обозначим через M(п) пространство матриц порядка П . Рассмотрим группу G из списка GL(n), O(n) = {A є М(п) : AAТ = E}, Sp(n) = {А є М(п) : АА* = E} . Здесь мы полагаем что p Ф 2 при G = O(n) и П четно при G = Sp(n) . Напомним, что симплектическое

транспонирование задается формулой A = —JATJ, где J - каноническая матрица билинейной кососимметрической формы. Группа G действует на пространстве V = М (п) Ф d одновременным сопряжением:

^ ° (A1,..., Аа) = (gAlg~\..., gAdg~l), где g лежит в G и A1,..., Аа лежат в

M(п) . Координатное кольцо пространства - это кольцо многочленов R = F[xij (к) :1 < і, ] < п,1 < k < d]

от П2d переменных. Алгеброй Й3 матричных G -инвариантов называется множество таких полиномиальных отображений f є R , которые постоянны на G -орбитах V , т. е. f ^ ° V) = f (v) для всех g є G и V єV .

Степень элемента f є R обозначим через deg(f) , а мультистепень -через mdeg(f) . Другими словами, mdeg(f) = (^,...,td) для tk равной суммарной степени многочлена f относительно букв xij (к) , 1 < і , І < П и deg(f) = t1 +--+ td . Теорема Гильберта - Нагаты об инвариантах влечет,

что алгебра Й3 является конечнопорожденной. Очевидно, что алгебра Й3 обладает 1+ -градуировкой степенями и 1++ -градуировкой мультистепенями, где 1 + обозначает множество неотрицательных целых чисел. Максимальную степень элементов минимальной (относительно включения) 1++ -однородной системы порождающих алгебры Й3 обозначим через П(Й3) . Отметим, что П(Й3) не зависит от выбора минимальной системы порождающих.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (Гранты № 0859 и № 14.В37.21.0359).

© А.А. Лопатин, 2013

30

А.А. Лопатин

Системы порождающих для алгебры Й3 известны (см. раздел 2), так же как идеалы соотношений между порождающими для

Е°ь ( п) и RO ( п ) (см. раздел 3). В случае р = 0 соотношения между порождающими алгебры RSp(n) также известны (см.: [1]). Ключевым отличием случая поля нулевой характеристики от поля положительной характеристики является следующее свойство, полученное в [2]: 0($3Ь(п)) ^ ад тогда и только

d

тогда, когда 0 < р < П .

В данной работе получено описание идеала соотношений для алгебры RSp( п) над полем характеристики, отличной от двух (см. теорему 3). Так как идеалы тождеств и соотноше-

'DSp( п)

ний для Й совпадают, то, тем самым, по-

лучено описание тождеств алгебры RSp(п) .

2. Порождающие

Для описания порождающих алгебры Й3 необходимо ввести следующие понятия. Через Хк = (Ху (к))1<і і<п обозначим общие

матрицы порядка П .

Рассмотрим произвольную П X П матрицу А = (аі].) над некоторым коммутативным кольцом. Обозначим коэффициенты характеристического многочлена матрицы А через Ог (А), а именно:

det(ЯE - А) = (-1)1Лп-1о{ (А).

г=0

Часть (а) следующей теоремы доказана Донкиным в [3], а части (б) и (в) - Зубковым в [4].

Теорема 1. Алгебра матричных инвариантов RG порождается следующими элементами:

(а) О( (А) (1 < г < П и А пробегает множество всех мономов от Х1,..., Xл ), если

3 = GL(n);

(б) О'(В) (1 < г < П и В пробегает множество всех мономов от Х„..., Xd, Х1,..., Х'Т ), если 3 = О(п) ;

(в) Ог (С) (1 < г < П и С пробегает множество всех мономов от Х„.,Xd,

Х1,., Хй), если 3 = Sp(п) .

Если характеристика поля равна нулю или больше П , то в Теореме 1 вместо Ог (и)

можно взять следы гг (и). Соответствующие результаты ранее были получены Сибирским в [5] и Прочези в [1]. Кроме того, в формулировке Теоремы 1 можно полагать, что каждый из мономов А, В, С является

примитивным, т. е. он не равен степени более короткого монома.

3. Соотношения

Обозначим через (Х^ полугруппу (без единицы), свободно порожденную буквами Х1,.,Хй при 3 = GL(n) и свободно порож-

Т Т

денную буквами Х1,..., Хй , Х1 ,..., Хй в противном случае. Через (Х^ обозначим (Х^ , наделенную единицей. Пусть ¥ ^Х^ и

¥ {Х) будут свободными ассоциативными алгебрами (с единицей и без единицы соответственно) с ¥ -базисами {Х) и

соответственно. Рассмотрим элементы

а = а, .. Мг и Ь полугруппы

где

а1,..., аг являются буквами.

• Введем инволюцию Т на (Х^ следующим образом. Если G = ОЬ(п), то аТ = а. В противном случае, полагаем, что ЬТТ = Ь для произвольной буквы Ь и а = аТг ••• а^ .

• Мы говорим, что а и Ь циклически

эквивалентны и пишем а ~ Ь, если а = а1а2 и Ь = а2 а1 для некоторых

а1з а2 е (Х^ . При а ~ Ь или а ~ ЬТ мы говорим, что а и Ь эквивалентны и пишем а ~ Ь.

Как и выше, элемент из (Х^ называется примитивным, если он не равен степени более короткого монома. Множество примитивных элементов из (Х^ обозначим через

. Отметим, что если а ^ Ь и а примитивен, то Ь тоже примитивен. Через С^Х^

обозначим кольцо с единицей коммутативных многочленов над ¥ , свободно порожденное символьными элементами (а) , где

^ > 0 и а Х^ пробегает множество всех классов ~ -эквивалентности. Аналогично, беря все а е ¥ (^Х^ , мы определяем Х) . Далее будем использовать следующие обозначения: С0(а) = 1 и № (а) = С1 (а) . Для

буквы Ь е ^Х)

положим

Xb = Xk, если b = Xk;

Xb = XT , если b = XT и G = O(n); Xb = Xk , если b = и G = Sp(n).

Тождества матричных инвариантов симплектической группы

31

Для а = а1 ...аг е^Х^ , где а{ - буква,

положим Ха = Ха ...Ха . Рассмотрим сюрь-ективный гомоморфизм

ф :с{Х) ^ Ев,

заданный следующим образом: С{ (а) ^

^ С (Ха) при I < п и С (а) ^ 0 в противном случае. Несложно видеть, что это отображение корректно определено. Его

ядро Кп является идеалом соотношений алгебры К°. В [6] мы показали, что С Х)~ с( Х) /1 и описали порождающие идеала £. Следовательно, произвольный элемент алгебры С (Х^ может быть рассмотрен как элемент алгебры с{|Х^ .

Предположим, что G = О(п) . Напомним определение элемента С, г (а, Ь, с) из С Х>, где I, г > 0 и а, Ь, с, е ¥(Х) . Для краткости обозначим X = Х1, у = Х2 , 2 = Х3 . Рассмотрим ориентированный граф Q, состоящий из двух вершин 1 и 2 и шести стрелок, обо-

Т Т Т

значенных буквами X, X , у , у , 2 , 2 . А

Т

именно: X и X являются петлями в вершинах 1 и 2 соответственно, стрелки у и

Т

у идут из вершины 2 в вершину 1, а

Т

стрелки 2 и 2 идут из 1 в 2. Конец стрелки а обозначается через а , а начало - через а''. Последовательность стрелок а1 ...а,, является путем в Q, если а'’= а'+1 для всех /. Конец пути а обозначается через а’ = а[, а начало - через а" = а, . Путь а называется замкнутым, если а’ = а" . Мультистепенью пути а в Q называется тройка чисел

т ёе§(а) = (ёе§X (а) + ёе§^ (а), ёе§у (а) +

+ ^уТ (а), Йе§2 (а) + ^^ (а)) .

По определению

С(^Ь, с) = £(- 1)С (е1). Скч (е)>

где е1,..., ву пробегают множество попарно различных относительно ~ -эквивалентности замкнутых путей в Q и ^,..., кч > 0

(Ч > 0 ) удовлетворяют к1шёе§(е1) +--------+

+кс1т&е§,(ес1) = (Г, г, г). Здесь £ = I +

Ч

+£ у (е) + ^2 (е) +1). Для произ-

2=1

вольных а, Ь, с е (Х) элемент с( г (а, Ь, с)

задается как результат замены X ^ a,

у ^ b, z ^ с в ot r (x, y, z) .

Часть (а) следующей теоремы была доказана Зубковым в [7], а часть (б) - Лопатиным в [6; 8].

Теорема 2. Идеал соотношений Кп для

алгебры инвариантов RG — О<X) / Кп порождается

(а) Ot (a) для t > п , если G = GL(n);

(б) otr(a,b,с) для t + 2r > п (t,r > 0) , если G = O(n) и p Ф 2 .

Здесь a, b, с пробегают множество

F < X ) .

Предположим, что G = Sp(n) . Зададим элемент Q (X, у, z) из О<X) следующим образом:

Qt,r (a, b, С) = Z (-1)t+ ^ +"'+kq0K (е1) - 0kq (eq ) ,

где e1, ..., eq , k1, —, kq такие же, как и в определении Ot .

Теорема 3. Предположим, что p Ф 2 . Тогда идеал соотношений Кп для алгебры инвариантов RSp( п) — О< „X ) / Кп порождается Qt r (a, b, с) для. t + 2r > п (t, r > 0 ) , где a, b пробегают множество F < X ) , а a пробегает множество F <X) # .

Ключевым отличием случая G = О(п) от случая G = Sp(ri) является то, что в первом случае степень любого ненулевого соотношения больше п, но во втором случае сущест-

п 1

вуют ненулевые соотношения степени 2 + 1 . ЛИТЕРАТУРА

[1] Procesi C. The invariant theory of п x п matrices // Adv. Math. 1976. V. 19. P. 306-381.

[2] Domokos M., Kuzmin S. G., Zubkov A. N. Rings of matrix invariants in positive characteristic // J. Pure Appl. Algebra. 2002. V. 176. P. 61-80.

[3] Donkin S. Invariants of several matrices // Invent. Math. 1992. V. 110. P. 389-401.

[4] Зубков А. Н. Инварианты присоединенного действия классических групп // Алгебра и логика. 1999. Т. 38. № 5. С. 549-584.

[5] Сибирский К.С. Алгебраические инварианты множества матриц // Сибирский математический журнал. 1968. Т. 9. № 1. С. 152-164.

[6] Lopatin A.A., Relations between О(п) -invariants of several matrices // Algebras and Representation Theory. 2012. V. 15. P. 855-882.

[7] Зубков А. Н. Об обобщении теоремы Размы-слова - Прочези // Алгебра и логика. 1996. Т. 35. № 4. С. 433-457.

[8] Lopatin A. A. Free relations for matrix invariants in modular cases // Journal of Pure and Applied Algebra. 2012. V. 216. P. 427-437.