О подобии матриц третьего порядка над кольцом целых чисел, имеющих приводимый характеристический многочлен Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Ниже городского университета им. Н.И. Лобач евского, 2009, № 1, с. 119-127

УДК 512.64

О ПОДОБИИ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ИМЕЮЩИХ ПРИВОДИМЫЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН

© 2009 г. С.В. Сидоров

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Пиступила в редаецию 22.11.2008

Рассматривается задача о подобии матриц третьего порядка над кольцом целых чисел Z, имеющих приводимый над Z характеристический многочлен. Если все собственные числа матрицы целые, то описаны канонические матрицы классов подобия. При этом получен алгоритм для определения подобия на основе приведения матрицы к каноническому виду.

Ключевые слива: подобие матриц, кольцо целых чисел.

Введение

Квадратные матрицы А и В с коэффициентами из поля F называются подобными над F, если существует такая невырожденная матрица

S є Fnxn , что AS = SB . Задача о подобии матриц над полем является классической задачей линейной алгебры (см., например, [1]). Подобие над кольцом целых чисел - ее естественное обобщение, если F = Q - поле рациональных чисел. Данная задача рассматривалась многими авторами (см., например, [2-4]). Хотя в [2] получен алгоритм распознавания подобия матриц над Z в общем случае, строение канонических матриц мало изучено. В данной работе рассматривается случай 3 х 3 -матриц, имеющих приводимый над Z характеристический многочлен. Случай матриц второго порядка рассматривался в [5, 6].

Определение 1. Будем говорить, что матрица В є Ъпхп подобна матрице А є Ъпхп над кольцом Ъ, если существует матрица

S є Ъпхп такая, что AS = SB и detS є {1,-1}, и обозначать это А ~ В . Матрица $ называется трансформирующей А в В матрицей. Подобие матриц А и В над полем Q будем обозначать А ~ В . Очевидно, что из подобия матриц над Z следует подобие над Q. Обратное неверно (см. пример в [6]). Если матрицы подобны, то они имеют одинаковые характеристические многочлены. Далее будем считать, что п = 3. Пусть матрица А є Ъ3 3 имеет приводимый над Ъ характеристический многочлен d (Я). Возможны следующие варианты:

1) все корни d (Я) целые;

2) d(Я) = (Я-а)(Я2 + иЯ + V), причем многочлен Я2 + иЯ + V неприводим над Ъ.

В первом случае А подобна над Q одной из жордановых матриц:

а) если d(Я) = (Я - а)3, то А подобна над Q

^а 0 0 ^

одной

J2(a) =

из

матриц J1 (a) =

a

0 a 1 v0 0 ay

J3(a) =

0a0 0 0 a

a 10 ^

0 a 1

v0 0 ay

Пусть K(Jг(a)) = {Aє Z3x3 |A * Jг(a)}, = 1, 2, 3.

г =

b) если d (Я ) = ^-a)^-P)2, то A подоб-

на над Q либо Jj(a,P) =

fa 0 0 ^

0 p 0 0 0 p

либо

J2(a,P)=

fa 0 0 ^

0 p 1 0 0 p

Пусть K(Ji (a, P)) =

= {A є Z | A « Ji (a,P)} , г = 1, 2.

c) если d(Я) = ^-a)^-P)^-y), то A подобна над Q диагональной матрице

J(a, P, Y ) =

a

0 0^i

0 p 0 0 0 y

Пусть K(J (a, P, y)) =

= {A є Z3x3|A « J(a,P, y)}.

Во втором случае А подобна над Q матрице Га 0 0 ^

Фробениуса F =

0 - и - V

0 1 0

Обозначим

КТ) = {А є Ъ3х31А * F}.

Каждый из вышеперечисленных классов матриц, подобных над Q, вообще говоря, не является классом подобных над Ъ матриц. Поэтому возникает задача о классификации матриц по отношению подобия над Ъ или о разбиении каждого из этих классов на подклассы матриц, подобных над Ъ. Как показывают приведенные ниже результаты, это разбиение зависит от вида характеристического многочлена d(Я).

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим фактом. Если все собственные числа матрицы целые, то она подобна над Ъ верхнетреугольной матрице с собственными числами по диагонали (см., например, [3]).

Характеристический многочлен вида

d (Я) = (Я-а)3

Теорема 1. Пусть d(Я) = (Я-а)3, а є Ъ. Тогда

1. КЦДа)) = {А є Ъ3х3|А~11(а)} =

= {Ма)};

2. ВД(а)) = UYа (й),

Yа (й) = {А є Ъ3x3|A~R а (й)},

Га 0 0 ^

0 а d

R а (d ) =

3. К(^(а)) = и Ya (а, Ь, г)

> 1;

Yа (а, Ь, г) = {А є Ъ3x3|A~R а (а, Ь, г)},

Rа (а>b, Г) =

Га а г ^ 0 а Ь ч0 0 ау

ду А; = д-1А0 =

Ч “2

0 а а3

ч0 0 а у

. Теперь возмож-

ны несколько вариантов:

1) если а1 = а2 = а3 = 0, то А ~ А1 = .ТДа).

2) если а1 = 0, а а2 и а3 не равны 0 одновременно, докажем, что в этом случае матрица А1 подобна матрице Rа ^) для некоторого d. К этому случаю сводится вариант, когда а3 = 0, а а1 и а2 не равны 0 одновременно. Мы выяс-

нили,

что

А ~ А1,

где

А, =

Г аЕ

Л

0 а

а = (а2, а3) - ненулевой вектор, Е - единич-

ная матрица второго порядка. Пусть d = НОД(а2, а3) = иа2 + va3 > 1. Рассмотрим

^ 0^

унимодулярную

матрицу

$ =

0 1

где$1 =

Тогда $А1$ 1 = R а (d),

так как $А1 =

0УаЕ

0 1

0

0 < г < НОД(а,Ь).

Доказательство. Преобразованием подобия приводим матрицу А к верхнетреугольному виГа а а

= Яа(й)8. Таким образом, А подобна Ra^).

Далее, из [6, Теорема 1, пункт 3] следует, что матрицы Яа ^) и Яа (d2) не подобны, если

d1 Ф d 2.

3) Остался вариант а1 Ф 0, а3 Ф 0. Заметим, можно считать, что а1, а3 > 0. Действительно, рассмотрим матрицы Ек, k = 1,2,3, которые получаются из единичной заменой ^го элемента по диагонали на — 1. Если а1 < 0, а3 > 0, то

матрица Е1 А1Е1 удовлетворяет требуемому условию; если а1 > 0, а3 < 0, то Е3 1А1Е3;

наконец, если оба отрицательны, то Е2 1А1Е2. Теперь рассмотрим унимодулярную матрицу

Г1 q 0Л

. Обозначим через г остаток от

$ =

0 1 8 0 0 1

деления а2 на d = НОД(а1, а3) и найдем 8 и д из условия а18 - а3д = г - а2 = ds. Тогда

Г1 -<

$-1А$ =

д д8^Га а1 а2

0 1 -8

0 а а.

3

и

V

а

0

^ 1 - q qвYа aq + а1 а2 + а1в

0 1 -в

00

1 Л0

а

0

а

1. ВДаф)) = UYа,p(J), Yа,p (й) = {А є

є Z3x3|A~Rа,в(d )}, R а,в (й ) =

Л

^а,р

а,в'

а а

0 а а3

0 0 а

\ /

где 0 < г < й. Таким образом, можно считать, что 0 < а2 < НОД(а1,а3). Покажем, что матрица такого вида является канонической. Предпо-

0 р 0 0 0 р

d = 0 или й - положительный делитель | в — а | (не равный | в — а |).

2. К(12(а, в)) = UYа,р (а!, а2, а3),

Yа,R(а1,а2,а3) = {А є Z3x3 | А ~ Rа,в(а1,а2,а3)},

ложим, что две матрицы А =

Га а Л

V0 Т1У

В =

а

ь Л

V 0 Т2 У

подобны, где а = (а1, а2),

Ь = (Ь1, Ь2), Т1 =

Га а3 Л 0а

Т2 =

а

г а а1 а2 Л

^,Р(а^ а2, а3) = 0 р а3

V 0 0 в

удовлетворяют условиям:

І в —а I

где а1, а2, а3

V0 ау

. Тогда

найдется такая

Г г уЛ Q = с

Vй ^

= QB. Имеем

унимодулярная матрица

I) а1 = 0, 0 < а2 < 11а) если | в — а |

2

, а3 > 1.

нечетное, то

, и = (и1,и2) , V = (у1,у2), что AQ = Гаг + аи ау + аС Л

1 < а1 <

а3 > 1.

I в —а | 2

0 < а2 < й = НОД(| в — а |,а1),

AQ =

Т1и Т^ у

Г аг гЬ + уТ2 Л „

= QB. Из условия Т1и = аи

ІІЬ) если | в — а | - четное, то

I в —а |

аи иЬ + БТ

1) 1 < а1 <

2

—1,0 < а2 < й, а3 > 1.

2 У

вытекает и2 = 0. Поскольку аи = 0, то и = 0, так

2) а1 = ІР—а, а3 > 1,

как а1 Ф 0, а3 Ф 0 . Имеют место равенства са и сл е — а > 0, то — а1 — г < а2 < г

Т1Б = БТ2, detS є {1,—1} (1) _ 2 _ _ 2 _

гЬ, — </з а = а — В1 (2) если в — а < 0, то — г < а2 < а1- — г

г є {1,—1}. (3) 2 2

Условие (1) означает, что Т1 ~Т2. Из [6, Теорема 3] следует, что а3 = Ь3 > 0. При этом

легко показать, что матрица Б имеет вид а а1 а2 Л

Б = (1 вЛ или Б = ^— 1 в Л , в є Z. Условие матрица А имеет вид А = 0 в а3

V 0 1У — 0 V 0 0 вУ

(2) превращается в следующее: (0, Ь3у1) =

= (±а1 — Ь, ва1 ± а2 — гЬ2), откуда а1 = Ь1,

а2 = Ь2 в силу ограничения 0 < а2 <

< НОД(а1, а3). Таким образом, А = В. Теорема доказана.

Характеристический многочлен вида

й (Я) = (Я — а)(Я — в)2

Теорема 2. Пусть й(Я) = (Я —а)(Я —в)2, а, в є Z. Тогда

где г - остаток от деления а3 на а1. Доказательство. Не уменьшая общности,

. Далее,

можно считать, что а3 > 0. Действительно, ес-

(

ли это не так, то Б АБ =

— а2 Л

а а1 — а

0 в — а3

0 0 в

где

Б =

Г10 0 Л 0 1 0

V0 0 — 1У

. Теперь постепенно будем при-

водить матрицу А к каноническому виду. Разделим а1 с остатком на в — а. Имеем а1 = д1(Р — а) + г1, 0 < г1 <| в — а |. Если поло-

0

а3 +ав

г

жить

S =

4.1

0 1 0 V0 0 b

(а 0 х1(Р - а) - r^ (а 0 d - rл

то A1 = S-1AS = T-1A1T =

(а r a2 - a3q1 ^

0 P 0 0

0 < r1 <

a3

P

І Р-а |

2

P - а > 0, то

R = T1-1AT1 =

(а р-а - r1 a3 - a2 + a3q1

в

где T =

R = T2-1AT2 =

где T2 =

( 11 0 ^ 0 -1 0

0 0 -1

Далее рассмотрим матрицу T = Тогда положим

( 10 х 0 1 y 0 0 1

Л

(а a1 a2 + a1y - х(Р - а)Л

Aj = T-1AT =

0 P 00

0 p a3

Можно считать, что

Действительно, если

Р М00 в у

Таким образом, мы привели исходную матрицу к виду, удовлетворяющему одному из условий

I), IIa), IIb1).

Рассмотрим случай а3 = 0. В этом случае существует унимодулярная матрица S такая, что (a1,a2)S = (z,0), где z = НОД(а1,а2). То-

гда для T =

' 1 0" I0 SJ

имеем B = T 1AT =

( 1 -1 0 Л

0 -1 0 ; если же Р - а < 0, то

0 0 - 1у

(а а - в - r - а3 - а2 + a3q1 ^

0 в а3

0 0 в

а z

. Пусть d = НОД(в-а,z). При

0 р 0 0 в,

этом найдутся целые t2, для которых

(в — а)^ + zt2 = d. Рассмотрим матрицу

H =

( 1 V1 V2 >

0 S2

0 s3 s4У

в которой v1 = -^, v2 =—.

d

= ^2, S2 =

в-а

d

(очевидно, что и s2 вза-

имно простые), а s3 и s4 находятся из условия

s1s4 - s2s3 = 1. Проверим, что H1BH =

0 в а3

0 0 в

\ г У

Пусть d = НОД(| в —а |,а1). Разделив а2 на d с остатком, получим а2 = qd + г, 0 < г < d. Тогда существуют целые х1, у1 такие, что х1 (в — а) — а1 у1 = d, т.е., положив х = qx1,

у = qy1, имеем х(в — а) — а1 у = qd. Следовательно, а2 + а1 у — х(в — а) = г.

Действительно, H BH =

(а d 0 ^

0 в 0

0 0 в

(1 - vS-1 Y а (z,0)Y 1 v" (а (z,0)S - (в-а)v

0 S-1 }0 вЕ J,0 SA 0

вЕ

причем ( z,0)S - (в - a)v = (zs1 - (в - a)v1, zs2 -

t ” n - (B-a)v2) = ( zt2 + (B-a)t,, zB—a- (B-a)—) =

Теперь покажем, что при a1 = 0 можно до- ' 2/ v 2 ^ 1 d d

биться выполнения условия 0 < r <

І в-а |

2

. Действительно, возьмем матрицу

T =

(-1 0 х1 ^ 0 1 0 0 0 1

, тогда

= ^ ,0). Тем самым доказано, что при условии а3 = 0 матрица А подобна R ^ ^).

Теперь рассмотрим случай, когда | в —а | -

I в —а |

четное и a1 =

2

-. Покажем, что при этом

матрица A подобна матрице Rар (a1, a2, a3),

a

3

0

a

3

в

0

0

удовлетворяющей условию 11Ь2). Пусть г - остаток от деления а3 на а1; т.е. а3 = да1 + г. Рассмотрим сначала случай Р — а > 0. Пусть

(—110Л (10 о Л

Б1 =

0 1 8

V 001 у

и Б2 =

0 1 -1

0 0 1

. Имеем

р - а - а1 а3 - 8а1 - а Л

АБ1 = 0 в а3

V 0 0 в

/ а а1 а3 - 8а1 - а2 Л

= 0 в а3 и

0 ч 0 в У

а а1 а2 - а1 Л

Б2 - 1АБ 2= 0 в а3

V 0 0 в У

Если

+1 < а2 <

а) + г 2

8 = q, получим а3 - qа1 - а2 = г - а2, т.е.

г

2

< г - а2 <

2

. Если же

а1 + г 2

+1 < а2 < а1 -1, то имеем -

- а1 < -1 <

Sз =

0 -1 8 V0 0 -1

. Тогда

^а а - в - а1 8а1 - а3 - а Л

S3-1AS3 =

в

0

а а1 8а1 - а3 - а2

-а -а

0в

00

а - г

Если 8 = q +1

ли же а1 -

+ 1 < а2 < а1 -

получаем г _ 2 г 2

< а1 - г - а2 <

2

< а2 - а1 < -1 <

2

Тем самым мы

привели матрицу к такому виду, который указан в условии теоремы. Осталось доказать, что этот вид определяет каноническую матрицу. Предположим, что две матрицы

А =

(а а Л

V0 Т1У

(

В =

а

ь Л

вида Rар ^) или

Rаp (а1, а2, а3) подобны, где а = (а1, а2),

'в а3 Л т =Гв Ь3 Л о в; 2 =

Ь = (¿1, Ь2), Т1 =

0в

. Тогда

наидется такая

(t уЛ

унимодулярная матрица

Q = S и S

ч

= QB. Имеем

и = (и1, и2) , V = (у1, у2), что AQ =

/

AQ =

(at + аи ау + aS Л

то, положив

Т1и

аи иЬ + БТ

= QB.

2 У

+

< а2 -

В случае в — а < 0 вместо S1 рассмотрим

(11 0 Л

Из условия Т1и = аи вытекает и2 = 0. Поскольку аи = 0, то и = 0, так как а1 Ф 0, а3 Ф 0 . Имеют место равенства

Т^ = ST2, detS е{1,—1} (4)

v(T2 — аЕ) = aS — Л,

(е{1,—1}.

Условие (4) означает, что Т1~Т2. Из [6, Теорема 3] следует, что а3 = Ь3. Теперь возможны два варианта:

1) А и В имеют вид Rа р (ё), т.е. а3 = Ь3 = 0,

Л

может

(5)

(6)

а2 = Ь2 = 0. В этом случае S =

s1 s

-1, то при

(q + 1)а1 - а3 - а2 = а - г

. Ес-

< а2 < а1 - 1, то имеем

быть любой унимодулярной матрицей, и условие (5) приобретает вид (в — а^ = aS — й, т.е.

а151 ± Ь1 = (в — а)v1, а152 = (в — а)v2. Если а1 = 0, то из этих равенств видно, что и Ь1 = 0. Если же а1 Ф 0, то из первого равенства следует, что Ь1 делится на а1, так как а1 - делитель | в — а |. С другой стороны, умножив первое выражение на s4, второе на — 53 и сложив, получим ± а1 ± Ь^4 = (в — а)( v1s4 — v2 s3), откуда а1 делится на Ь1, так как Ь1 - делитель | в — а |, значит, а1 = Ь1. Таким образом, матрицы вида

а1 - г

а1 - г

2

а

3

в

а

3

в

2

Rаp ^) подобны только в том случае, когда где а1, а2, а3 удовлетворяют условиям:

они совпадают.

2) А и В имеют вид Rap(а1,а2,а3),

а3 = Ь3 > 0. В этом случае матрица S имеет вид

I) a1 = 0, 0 < a2 <

у-a

0 < a3 <

Y -Р

f 1 8^ f-1 или

V0 1У

вид:

Л

V 0 - 1У

Далее a2 + b2 - r < 2 роны, a2 + b2 - r > -2

a, - r

- r > -a,

- a1 < a2 + b2 - r < 0.

a2 + b2 - r

только a2 = b2 =

2

a2 = b2 = -

a1 - r 2

IIa) если Y - P нечетное, то 1 < a1 <

. Условие (5) принимает

P-a

2

(Р-«)^1 =±«1 - (7)

Ь3у1 + (Р-а^2 -а18 = ±а2 -Л2. (8)

Из (7) следует, что а1 = Ь1.

Если | Р - а | - нечетное или | Р - а | - четное и 1 < а1 < 1 в 2 а 1 -1, то v1 = 0. Таким образом, из (8) следует, что а2 = Ь2, так как 0 < а2 < d, 0 < Ь2 < d.

Если |р-а | - четное и а1 = 1 в а 1, то

v1 е {0,1, -1}. Рассмотрим случай р - а > 0 и v1 = 1 (оставшиеся пять случаев рассматриваются аналогично). При этом из (8) следует, что а3 + а1^2 -8) = а2 + Ь2 или a1(2v2 -8 + q) = = а2 + Ь2 - г, значит, а2 + Ь2 - г делится на а1.

,0 < a2 < y - a, 0 < a3 < IIb) если Y - P четное, то P-a

Y -P

1) 1 < a1 <

<!-&-1.

2

0 < a2 < y - a, 0 < a3 <

1 < a1 < в-a a Y - a - a1

, - 1 < й2 <

_ 2 _ _ 2 _ _ 2 _

= Y -P 2 '

Доказательство. Не уменьшая общности,

матрица А имеет вид А =

fa a1 a2 ^ 0 p a3 0 0 Y

. Разде-

- r < 0, с другой сто-

2

Значит,

равно либо 0, либо - а1. Первое возможно, если г

т.е. S =

лим а1,а2,а3 с остатком на Р-а, у-а, у-Р соответственно. Имеем а1 = д1(Р —а) + г1, а2 = д2(у —а) + г2, а3 = д3(у- Р) + г3. Если (1 Ч 0^

то S—1AS =

0 1 0

V0 0 1У

fa r1 a2 - a3q1 ^

а второе - если

0 р а3

00 У у

Таким образом, можно считать, что 0 < а1 < Р - а. Далее можно добиться выполне-

Р -а

Таким образом, во всех

ния условия 0 < a1 < f 1 -1 0 ^

2

так как при

случаях А=В. Теорема доказана.

Характеристический многочлен вида

ё (А) = (А-а)(А-Р)(А-у)

Теорема 3. Пусть ё(А) = (А-а) х

х(А-Р)(А-у), а,р, уе Ъ, а<р<у. Тогда К (3 (а, р, у)) = иГа,р,у (а, а2, а3),

ХаДт (al, а2, а3) =

( А _ ^3х3 і

T =

0 -1 0

v0 0 - 1У

имеем

^a (в - a) - a1 a3 - a2 ^

T AT =

0 р а3

0 0 у

\ • У

Теперь добьемся выполнения условия

У-Р

0 < a3 <

2

не изменяя при этом элемент

а1. Для этого рассмотрим

R a,в,Y (aJ, a2, a3)}, ' 10 0 > 0 0

a a1 a2 ^ S= 0 1 q3 , T = 0 1 -1

)= 0 в a3 , 0 0 - 0 о

v00 Y y тогда

2

8

2

S—1AS =

(а а1 а2 + а1ч3

0 Р Г3

0 0 у

(а а1 - а1 - а2 ^

Т-1АТ =

S =

V0 0 1 У

(а а1 г2 ^ 0 в а3

тогда 8 А8 =

0 0 у

Далее, если при этом а1 = 0, то можно считать, у-а

что 0 < а2 <

2

так как

(а 0 (у-а) - а ^

Т1-1АТ1 =

0 в

00

\

(1 0 - Л

где Т1 =

0 -10 V0 0 -1

а. у-а - а1

1 < а2 <

_ 2 _ _ 2 _

Г1 0 -1> Г1 0 11

Т= Т2 0 1 -1 Т = , Т3 0 1 0

V 0 0 - 1у V 0 0 1 У

Т2-1АТ2 =

(а а1 (у-а) - а1 - а2 ^

0 в (У-в) - а3

0 0 у

(а а1 (у-а) - а1 - а2 ^

0 в 0 0

Т3-1АТ3 =

у

(а а1 а - у + а2 ^ 0 в а3

00

При

этом

если

У

у-а - а1 2

+1 < а2 <

а1 -1, то - а1

а-

_ 2 _ _ 2 _

<

у-а - а1 2

Если же у - а -

< а2 <

0 Р (У-в) - а3

V0 0 У У

Теперь добьемся условия 0 < а2 <у-а, не меняя при этом а1 и а3. Для этого положим

< у - а -1, у-а - а1

то

< а-у + а2 < -1 <

<

2

. Таким образом, исходная матри-

ца подобна одной из матриц, указанных в условии теоремы. Осталось показать, что это канонические матрицы.

Г Т а ^

В =

Рассмотрим две матрицы А =

(Т М

0 у

0 у

, где а = (а2,а3)Т, Ь = (Ь2,Ь3)Т,

Т =

аа

л

0в

г

Т2 =

Ь1 0в

. Предположим, что

они подобны и удовлетворяют условиям теоремы, т.е. найдется унимодулярная матрица

Q =

(s

л

Vй * У

с У - в (

. Если а3 =—^— (в слу-

такая, что AQ = QB. Имеем г Т^ + аи T1v + atЛ

AQ =

чае четного у - Р), то при условии а1 Ф 0 можно считать, что

« (9)

ум у*

( ST9 Sb + уИ

= QB.

Действительно, рассмотрим матрицы

. Тогда

^ ^ л-уу

У иТ2 иЬ + yt Из условия иТ2 = уи очевидным образом следует, что и = 0. Значит, верны равенства:

Т^ = 8Т2, detS е {1,-1} (10)

(Т1 -уЕ)у = 8Ь - ta, (11)

t е {1,-1}. (12)

Из условия (10) следует, что матрицы Т1 и Т2 подобны. Но по [6, Теорема 4] это возможно только в случае Т1 = Т2, т.е. а1 = Ь1.

( Я

< (у-а)-а1 -а2 <

a) если а1 = Ь1 = 0, то 8 = , где

У 0 82 )

81; 82 е {1,-1}.

b) если а1 = Ь1 > 0, то 8 равна Е или -Е.

В случае а) выражение (11) примет вид (а - у)у1 = 81Ь2 - а2^ (Р - у)у2 = 82Ь3 - а3t,

откуда а2 = Ь2, а3 = Ь3 в силу наложенных ограничений и условия (12), т.е. А=В.

В случае Ь) выражение (11) принимает вид (а - у)у1 + а1У2 = 8Ь2 - a2t, (Р - у)у2 = 8Ь3 - a3t, где 8 е {1,-1}. Если У - р - нечетное, то У2 = 0, а3 = Ь3 (8 = 1, t = 1 или 8 = -1, t = -1). Если

а

2

а

2

а

3

У

а

3

же у - в - четное и а3 = Ь3 =

У-в 2 :

то

подобна над Z блочной матрице С =

(а а ^ 0 А'

+ ыЯ + у. Тогда матрица А1 =

(а а ^ 0 А'

подоб-

на над Z матрице А2 =

а = (а1,а2), г = (Г1,^), г ния аі на | х(а) |, і = 1, 2.

Доказательство. Положим S =

Л

а а ^ а ЬЛ

А= , В =

0 А' 0 В'

V У V У

0 < аі <| х(а) |, 0 < Ь <| х(а) |,

такая унимодулярная матрица S = АБ = БВ. Поскольку

(

*

у Б'

Л

АБ =

у2 є {1,-1} и (у-а)у1 = = а1 + а2 + Ь2. В силу ограничений (9) отсюда следует, что а2 = Ь2, т.е. А = В. Тем самым доказано, что матрицы из условия теоремы являются каноническими. Теорема доказана.

Таким образом, классы К(11(а)), К(11(а,в)), К(1(а,в,у)) разбиваются на конечное число классов подобных над Z матриц, а остальные - на счетное число.

Характеристический многочлен вида

d (Я) = (Я-а)(Я2 + ыЯ + у)

Осталось рассмотреть случай, когда d (Я) = (Я - а)(Я2 + ы'к + у) и многочлен

Я2 + ык + у неприводим над Z. Матрица, имеющая такой характеристический многочлен,

(14)

= БВ,

причем характеристический многочлен матрицы А' равен Я2 + ык + у.

Утверждение 1. Пусть характеристический многочлен матрицы А' равен х(Я) = Я2 +

где

0 А'

V У

остаток от деле-

где

2

вектор q е £ является решением системы линейных уравнений а - г = q(A'-аE). Тогда А^ = 8А2, detS = 1. Утверждение доказано. Выясним, при каких условиях матрицы

(13)

добны над Z. Если они подобны, то найдется

что

Г аt + ау аи + а8' ^ ч А' у А'8' г аt Л + иВ' ^ уау уЬ + 8'В')

то А'у = ау. Отсюда следует, что у = 0, так как характеристический многочлен матрицы А' неприводим над £ и матрица А' не имеет целых собственных чисел. Следовательно, t е {1,-1}, detS'е {1,-1}. Из (14) также следует, что А'в' = в'В', и(В'-аЕ) = а8'±Ь. Тем самым доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. Матрицы вида (13) подобны над 2 тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) А' и В' подобны над 2;

2) существует такая матрица 8', трансформирующая В' в А', что вектор и, определяемый из условия и(В'-аЕ) = а8'±Ь, является целочисленным.

Для проверки первого условия утверждения 2 можно применить алгоритм из [6]. Выясним, как проверить второе условие. Обозначим

ЛА,,В, = {8 е £2х2 |А'8 = 8В'} подмодуль в £2х2. Пусть Т1 и Т2 - базис в ЛА. В.. Тогда любую матрицу из ЛА В можно представить в виде хТ1 + уТ2 для некоторых целых х и у. Для подобия нужно, чтобы квадратичная форма / (х, у) = det( хТ1 + уТ2) = а' х2 + Ь' ху + С у2

представляла 1 или -1. Пусть D = Ь'2 -4а' С -дискриминант квадратичной формы /(х, у). Возможны два случая: 1) /(х, у) - знакоопределенная квадратичная форма (если D < 0); 2) / (х, у) - неопределенная квадратичная форма (если D > 0). В первом случае уравнение /(х, у) = ±1 имеет конечное число решений, следовательно, существует лишь конечное число матриц, трансформирующих В' в А' . Таким образом, в этом случае проверку второго условия утверждения 2 можно осуществить перебором. Во втором же случае уравнение / (х, у) = ±1 либо вовсе не имеет решений (это

означает, что А ' и В' не подобны), либо имеет счетное множество решений (хп,уп). При этом любое решение можно получить, зная его минимальное решение (х0, у0) и минимальное

решение (х',у') уравнения Пелля х2 -Оу2 =

= ±1 (см. [7]). Если обозначить Q =

^ x'-b' у' - 2с' у'

2а' у' x'+b' у'

то

fx ^ xn

Уп

= Qn

x

x0

Уо

п є Z,

detQ е {1,-1}. Таким образом, любая матрица, трансформирующая В' в А' , имеет вид

8п = хпТ1 + УnT2, п е 2 . (15)

Нужно проверить, существует ли такое п, что (а8п '±Ь)(В'-аЕ)-1 е £2. Это условие равносильно системе сравнений (а8п '±Ь)(В'-аЕ)* =

= 0(modА), где А =| det(B'-аE) |, (В'-аЕ)* -присоединенная матрица для (В'-аЕ). Заметим, что достаточно рассматривать 0 < п < 2А-1. Действительно, множество матриц ^п | п е £} по модулю А образует циклическую группу, содержащую не более 2А элементов, так как любая степень матрицы Q представима в виде tQ + Е или tQ - Е для некоторого целого I (матрица Q унимодулярная). Рассмотрев это представление по модулю А, имеем не более 2А различных матриц. В итоге второе условие утверждения 2 можно проверить за конечное число шагов. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Матрицы вида (13) подобны над 2 тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) А' и В' подобны над 2;

2) существует такая матрица Sn вида (15), 0 < n < 2Д -1, что вектор u, определяемый из условия u(B'-aE) = aSn ± b, является целочисленным.

Так как число классов подобия 2 х 2 -матриц, имеющих неприводимый характеристический многочлен, конечно (см. [4, 6]), то число классов подобия 3 х 3 -матриц, имеющих характеристический многочлен d (Я) = (Я - а)(Я2 + uk + v)

(причем Я2 + uk+ v неприводим над Z), также конечно.

Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука, 1988. 552 с.

2. Grünewald F. Solution of the conjugacy problem in certain arithmetic groups // In: Word problems II, (ed Adian, Boone, Higman). North-Holland, Amsterdam 1980. Pp. 101-139.

3. Newman M. Integral matrices. New York and London: Academic Press, 1972. 224 p.

4. Latimer C.G. and MacDuffee C.C. A correspondence between classes of ideals and classes of matrices // Annals Math. 1933. 34. Рр. 313-316.

5. Шевченко В.Н., Сидоров С.В. О подобии матриц второго порядка над кольцом целых чисел// Материалы XIV Международной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем» (Нижний Новгород, 27 октября - 1 ноября 2003 г.) / Под ред. О.Б. Лупанова. Н. Новгород: Изд. Ниж. гос. пед. университета, 2003. 31 с.

6. Шевченко В.Н., Сидоров С.В. О подобии матриц второго порядка над кольцом целых чисел // Известия вузов. Математика. 2006. № 4. С. 57-64.

7. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 440 с.

ON SIMILARITY OF 3x 3 MATRICES OVER THE RING OF INTEGERS WITH A REDUCIBLE CHARACTERISTIC POLYNOMIAL

S. V. Sidorov

The similarity problem for 3 x 3 matrices over the ring of integers Z with a reducible characteristic polynomial is considered. If all the roots of the characteristic polynomial belong to Z, the canonical matrices of similarity classes are described. The algorithm to determine the similarity based on a matrix reduction to a canonical form has been obtained.