Об одном классе неприводимых многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.б1

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕПРИВОДИМЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

© Л.И.Галиева, И.Г.Галяутдинов

Работа посвящена нахождению неприводимых многочленов с рациональными коэффициентами,

корнями которых являются числа вида cos , где k, n - взаимно простые натуральные числа.

n

Приведем основные определения и факты, которые будут использованы ниже [1].

Число t называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена f (x) с рациональными коэффициентами. Среди таких многочленов найдется единственный нормированный многочлен p (x) наименьшей степени, который называется минимальным многочленом алгебраического числа t. deg p (x) называется степенью алгебраичности числа t. Все корни минимального многочлена называются сопряженными числами к числу t.

Если для многочлена p(x)e □ [x] число п

cos— является корнем, то ему присвоим индекс n

n. По этому соглашению p1 (x) = x +1,

p2 (x) = x, p3 (x) = 2x -1.

Аналогично, qn (x) e □ [x] будет означать,

что qn ^cos—j = 0. В частности, q1 (x) = x -1,

q3 (x) = 2 x +1.

Пусть Tn (x), n = 0,1,2,... - многочлены Чебышева [2]. Как известно, они обладают свойством Tn (cosa) = cosna и вычисляются по рекуррентной формуле Tn+1 (x) = 2xTn (x) - Tn_1 ( x),

T0 (x) = 1, T1 (x) = x , n = 1,2,3,.... Приведем примеры нескольких таких многочленов:

T2 (x) = 2x2 -1, T3 (x) = 4x3 - 3x,

T4 (x) = 8x4 - 8x2 +1, T5 (x) = 16x5 - 20x3 + 5x,

T6 (x) = 32x6 - 48x4 + 18x2 -1,

T7 (x) = 64x7 -112x5 + 56x3 - 7x .

Для многочленов Чебышева, pn (x) и qn (x) справедливы соотношения

pk (Tn (x)) = pn (x), qk (Tn (x)) = qkn (x) (1)

Действительно, в силу свойств многочленов Tn (x) и pk (x) имеем

pk

f T f n

TI cos—

nk

П

= pk I cos k I = 0 и в то же время

pn I cos— | = 0. Полученные равенства означа-

nk

ют, что pk

Tn I cos

nk

= pkn\cosYk J, т".

pk (Tn (x)) = pim (x) . Аналогично доказывается,

что q, (Tn (x)) = q,n (x) .

В силу формулы (1) многочлены pn (x) и qn (x) могут быть вычислены несколькими способами. Например, число cosiS является корнем

многочленов pi (Т18 (x)) , p2 (Т; (x)), p3 (тб (x)) с

различными степенями. Особый интерес среди них представляют многочлены наименьшей степени. Алгоритм нахождения таких многочленов следует из теорем 1, 2 и 3.

Теорема 1. Пусть n = 2k +1 - натуральное число и p - функция Эйлера. Тогда имеется многочлен pn (x) є □ [x] степени ip(n) с корнями sn

cos—, где нечетное s < n и пробегает все зна-

n

чения, взаимно простые с n.

Теорема 2. Пусть n = 2k +1 - натуральное число и p - функция Эйлера. Тогда имеется многочлен qn (x) є □ [x] степени ) с корнями

sn

cos—, где четное s < n и пробегает все значе-

n

ния, взаимно простые с n.

Теорема 3. Пусть n = 2k - натуральное число и P - функция Эйлера. Тогда имеется многочлен

pn (x) є □ [x] степени p(n) с корнями cos — ,

nn

где число s < n и пробегает все значения, взаимно простые с n.

Доказательство теорем 1 и 2 приведено в ра- Но в нашем случае НОД(2,к) = 1. Поэтому

боге [3]. Заметим, 1гго многочлены р(х) н р(„) = р(2к) = р(2)р(к) = р(к) . Тогда

д.(х), о которых говорися в зпта теорема, свя- р^ ^ (х)) = р( к ) = р( 2к) = р( п) = deg р, (х).

заны соотношением

( \ ( л\л ( \ л А { \ /оч Кроме того, многочлены рк (т2 (х)) н рп (х)

д. (х ) = (-1) Рп (-х), где ё = <іее рп (х). (2) ^ Гк\ ^ >> ГпУ >

тт имеют одинаковые корни. Отсюда следует, что

Доказательство теоремы 3 проведем индук- ,-,ч

равенство (3) имеет место и в том случае, когда

цией по к . При к = 1 имеем р2 (х) = х, сое— - п = 2к и к - нечетное число.

2 Теорема 3 доказана.

его к°ренц deg р2 (х) = 1 = р(2). Если к = 2, то Справедлива также.

р4 (х) = 2х2 -1, deg р4 (х) = 2 = р(4). Корнями Теорема 4. Многочлены рп (х) и дп (х), поп 3п строенные в теоремах 1, 2 и 3, неприводимы над

р4(х) являются числа с08~ и со§_^. Предпо- полем □ рациональных чисел.

ложим что при I < к и т = 21 имеются много- Доказательство. Пусть ип = со8—+ і 8іп—

члены рт (х)є □ [х], deg рт (х) = р(т) и корня- п п

- первообразный корень п -ой степени из 1. Как

$ п

ми являются числа со8—, где $ < т и известно, ип - как корень неприводимого много-

т / ч

иґМТҐ \ 1 т а “ члена Ф„ (х) деления круга [2], степень которого

НОД ($, т ) = 1. Требуется найти многочлен п\ / « п 1 ^

/ \ ,, „ равна р(п), является алгебраическим числом

рп (х) с перечисленными в теореме 3 свойствами ґ п г

при п = 2к степени р(п) . Поэтому □ (ип) - расширение

Если к -четное число, то к = 2к1, к1 < к и по степени р(п) . Рассмотрим число у = и + и-1 =

n n

индуктивному предположению имеется много- 2п ( 2п'\

член рк (х) такой, что аеврк (х) = р(к) и числа = 2со§— и расширение □ {Уп) = □ I со*— I •

cos—, где s < k, НОД (s, k) = 1, - его корни. Так как v. є ^ (u.у , т0 0 (vn)с ^ (u.). Но

k

Vn = un + un-1 п0лучаем un2 =Vnun - i, т.е. un - к0-

Построим многочлен рк (Т2 (х)) и покажем, что он является искомым многочленом. Действительно, аеврк (2 (х)) = 2аеврк (х) = 2р(к) = коэффициентами из расширения □ (уп) • Значит,

рень многочлена / (х) = х2 -Упх +1 степени 2, с

= р(2к) = р(п) = deg рп (х) . Здесь учтено, что ес-

cm (□ (un ) : Q (Vn ))< 2.

тельно, поле и (ип) содержит комплексные числа, а в поле □ (уп ) нет комплексных чисел. Таким образом, ст (□ (ип): □ (уп)) = 2. Но

ст (□ (ип ) : 0 ) = р(п ) = ст (□ (ип ) (У ))Х

хст (□ (уп): □ ) = 2ст (□ (уп): □ ) . Значит,

, ч . /, ч т, Но эта степень не может быть меньше 2, так

ли к - четное число, то р(2к) = 2р(к). Кроме , ч , ч

как поля □ уп) и □ (ип) не совпадают. Действи-

того, многочлены рк (Т (х)) и рп (х) имеют од- _ / ч

^ ; тельно, поле и (ип) содержит

ни и те же корни. Это означает, что

рп (х) = рк (Т2 (х)) , п = 2к . (3)

Таким образом, в случае п = 2к, к - четное теорема 3 доказана. ст (□ (ип): □ ) = р( п) = ст (□ (ип): □ (уп))

Пусть теперь п = 2к и к - нечетное число.

Тогда, в силу теоремы 1, имеется многочлен

рк (х) с корнями со8^, где нечетное $ < к и ст (□ (уп): □ ) = -^р(п) .

1 2п

НОД ($, к) = 1, причем deg рк (х) = ~Р(к). По- Итак, установлено, что уп = 2со8— - алгеб-

строим многочлен рк (т2(х)) и убедимся, что он раическое число степени -р(п) .

является искомым многочленом. 2

Имеем Рассмотрим многочлены дп (х), рп (х) при-

deg р„ (Г, (х )) = 2deg р, (х ) = 2±р(к ) = р(к). ве®""ые в теоРе“ах '• 2' 3‘

Л.И.ГАЛИЕВА, И.Г.ГАЛЯУТДИНОВ

1. По теореме 2 имеем, что при . = 2k +1

( У 2п

многочлен qn(x) имеет корень cos—, причем

nn

deg qn (x) = ^p(n) . Как показано выше,

1 2п

—V. = cos— - алгебраическое число степени

2 n n

ip(n) = deg qn (x) . Это означает, что многочлен

qn (x) - неприводим над полем □ .

2. По теореме 1, при n = 2k +1 многочлен

/ \ п 2п

pn (x) имеет корень cos— = cos— и

n 2n

degpn (x) = 1-p(n). Из сказанного выше имеем,

2п

что степень числа cos— равняется

2n

-2p(2n) = -2p(n) = degpn (x) . Значит, многочлен

pn (x) - неприводим над полем □ .

3. В силу теоремы 3 при n = 2k имеем, что deg pn (x) = p(n), а корнем многочлена pn (x)

П 2п

является число cos— = cos—. Степень этого n 2n

числа равняется -^(2.) = p(n) = deg pn (x). Значит, многочлен pn (x) - неприводим над полем

□ .

Теорема доказана.

Замечание. Если n - нечетное простое число,

то неприводимость многочленов p2n (x) и pn (x)

можно доказать и другим способом. Покажем это.

Из равенства p2 (Tn (x)) = Tn (x) следует, что корнями многочлена Т. (x) являются числа

2k -1 , , „ „

tk = cos-----п, где k = 1,2, к, n. Поэтому

2n

Tn (x) = P2 (x)DP2n (x) = xP2n (x). Но при пр0ст0м n все коэффициенты многочлена Tn (x), за исключением старшего, делятся на n. Отсюда следует, что к многочлену p2n (x) можно применить

критерий Эйзенштейна. Значит, p2n (x) неприводим над полем □ и cos — - алгебраическое

2n

число степени p(2n). Тогда, изучая степени расширений в последовательности

□ с □ I cos— I с □ [ cos—

2n

cm

n

п

находим,

что

\

1

1

□ I cos— I:□ =—p(2n) = — cp(n). В силу то-

v V n У У 2 2

го что степень расширения совпадает со степенью алгебраичности примитивного элемента,

t = cos — алгебраическое число степени 1p(n). В тоже время t - корень многочлена pn (x), причем deg pn (x) = 1p(n), т.е. степень алгебраичности числа t совпадает со deg pn (x). Это означает, что pn (x) неприводим над полем □ .

Рассмотрим примеры.

1. Найти неприводимый многочлен p12 (x) , корнем которого является число t = cos-—. Степень искомого многочлена p12 (x) равна

p(12) = 4. По формуле (3) имеем

p12 (x) = p6 (T2 (x)) . Но в силу формулы (1) многочлен p12 (x) может быть вычислен и другими способами. В частности, p12 (x) = p3 (T4 (x)) = = 2T4(x)-1 = 2(8x4 -8x2 +1)-1 = 16x4 -16x2 +1.

По теореме 4 этот многочлен является неприво-

п 5п 7п

димым, а его корни - cos—, cos—, cos— и

12 12 12

cos

11п 12 .

2. Найти неприводимый многочлен p14 (x) ,

п

корнем которого является число t = cos 14. При

к = 7 формула (3) принимает вид p7 (T2 (x)) = p14 (x). Учитывая, что

p7 (x) = 8 x3 - 4x2 - 4x +1, получаем

p14 (x) = 64x6 -112x4 + 56x - 7. Имеем

deg p14 (x) = 6 = p(14) и многочлен p14 (x) - неприводим по теореме 4, а его корнями являются

числа cos к—, к = 1,3,5,9,11,13.

14

Заметим, что в неприводимости многочлена p14 (x) можно убедиться и по критерию Эйзенштейна (при p = 7).

1. Математическая энциклопедия. М., 1977. Т.1.

2. Прасолов В.В. Многочлены. МЦИМО, 2003. зование в техническом вузе в XXI веке. Вып.2.

3. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Нахождение сте- Набережные Челны, 2008. пени одного класса алгебраических чисел // Обра-

ON ONE CLASS OF IRREDUCIBLE POLYNOMINALS

L.I.Galieva, I.G.Galautdinov

The article is devoted to finding irreducible polynominals with rational coefficients and roots cos —,

n

where k, n are mutually prime natural numbers.