О ЧИСЛЕ ПРИМИТИВНЫХ НЕАССОЦИИРОВАННЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ $n$, ДЕЛЯЩИХСЯ НА ЗАДАННУЮ МАТРИЦУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 62-67

УДК 511.517

О ЧИСЛЕ ПРИМИТИВНЫХ НЕАССОЦИИРОВАННЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ п, ДЕЛЯЩИХСЯ НА ЗАДАННУЮ МАТРИЦУ

У. М. Пачев

Посвящается 60-летию со дня рождения Владимира Амурхановича Койбаева

Получены формулы для числа примитивных неассоциированных матриц второго порядка заданного нечетного определителя, а также для числа таких матриц, делящихся справа (слева) на заданную матрицу, используемые в вопросах представимости целых чисел неопределенными тернарными квадратичными формами.

Ключевые слова: дискретный эргодический метод, целочисленная примитивная матрица, норма (определитель) матрицы, делимость матриц, неассоциированные справа (слева) матрицы.

В связи с применениями дискретного эргодического метода [1] к вопросу представления целых чисел неопределенными тернарными квадратичными формами возникает необходимость использования примитивных неассоциированных матриц М £ М2(^) второго порядка, заданного определителя. Чтобы обеспечить конечность числа целых матриц заданной нормы накладывается условие их неассоциированности справа или слева. В [1-3] неассоциированные матрицы второго порядка, заданной нормы, используются в доказательстве асимптотической формулы для числа целых точек на гиперболоидах и леммы о делимости матриц большой нормы. Вопрос о делимости матриц на неассоциированные матрицы мы рассматриваем в общем виде, а именно, если N(М) = дп и А \ М или М/А (делимость слева или справа) и N (А)/сп, то N (А) те обязательно р авна с¡к при 1 ^ к ^ п и составном с (здесь N (А) = det А).

Для полноты изложения приведем необходимые сведения из арифметики матриц второго порядка (более полные сведения см. [2]). Мы рассматриваем кольцо целых матриц второго порядка ). Матрицу

называем целой, если а^ £ Z(г) (г = 1, 2). Говорим, что целая матрица А примитивна, если НОД(ац, а12, а21,а22) = 1. Число

А

а11 а12 а21 а22

£ = ¿(А) = НОД(ац, а12,а21 ,а22)

А.

© 2015 Пачев У. М.

О числе примитивных неассоциированных матриц второго порядка определителя п 63

Если для некоторого целого числа д > 0 числовой делитель ¿(Л) взаимно прост с д, то матрица А называется примитивной по модулю д. Целая матрица и называется обратимой (или единицей в широком смысле), если и-1 £ М2(2). В кольце М2(2) любая обратимая матрица и имеет норму N (и) = ±1.

Определим в кольце М2 (2) ассоциированность матриц слева и справа.

Матрицу А1 называем ассоциированной слева с матрицей А, если найдется такая целая матрица и с нормой N (и) = 1, для которой А1 = и А. Аналогично говорим, что А1 ассоциирована справа, с А, если найдется V £ М2(2), что N(V) = 1 и А1 = АУ.

Отношение ассоциированности разбивает М2(2) на классы ассоциированных матриц. В классе ассоциированных справа матриц можно выбрать единственным образом каноническую треугольную матрицу.

Лемма 1 (о каноническом виде матриц). Для всякой невырожденной матрицы А £ М2(2) найдется ассоциированная ей справа матрица вида

ассоциированы справа, то Т' = Т.

Это есть частный случай общего утверждения для квадратных целочисленных матриц любого порядка (см. [4, гл. II]). Эту лемму можно доказать с помощью алгоритма Евклида и элементарных преобразований матриц второго порядка.

Говорим, что в кольце М2(2) матрица А делится на матрицу В справа и пишем А/Б, если найдется матрица ф, для которой А = фВ. Если В невырождена, то делимость А/В равносильна условию АВ-1 £ М2(2).

Говорим, что матрица А делится на В слева и пишем В \ А, если найдется матрица ф £ М2(2) с условием А = Вф (о теории делимости матриц второго порядка см. [2]).

Следующее утверждение является аналогом основной теоремы арифметики о единственности разложения на простые множители.

Лемма 2 (матричный аналог основной теоремы арифметики).

1) Пусть А — целая невырожденная матрица второго порядка, причем N (А) = Ь • с, где Ь, с £ 2. Тогда найдутся такие матрицы В, С, что

2) Если при этом матрица А примитивна (mod c), то представление (*) единственно с точностью до ассоциированности, т. е. если

то найдется матрица Б, N(Е) = 1, для которой С1 = ЕС, В1 = ВЕ-1. Доказательство см. в [2, §2].

Опираясь на леммы 1 и 2, получим результаты о неассоциированных матрицах из М2(2) заданного определителя п (см. также [5], где дается только набросок доказательства; здесь мы даем развернутое изложение).

0 ^ c< a, b < 0.

Т

А = BC, N (B) = b, N (C) = c.

(*)

А = BC = B1C1, N (Ci) = N (C) = c,

64

Пячен У. М.

Теорема 1. Пусть п — нечетное число и сто(п) — число примитивных неассоцииро-( ) п

<70 (П) =«П +

р/ь у р/

(1)

п

< 10. Будем проводить доказательство только для случая неассоциированных справа матриц. Сначала рассмотрим случай когда п есть степень нечетного простого числа р, т. е. п = ра. В силу леммы 1 примитивными неассоциированными справа матрицами второго порядка определителя ра будут матрицы вида

где

Г" £ 0 р"

к + т = а, НОД(£,р) = 1, 0 ^ £ ^ рк - 1

(2) (3)

при всевозможных значениях 0 ^ к,т ^ а. Действительно, умножая матрицу

р 0

р"

справа на целочисленную унимодулярную матрицу

а в

=

10 01

получим

р 0

р"

а в

7 6

7 6

рк а + £7 ркв + £6

р™7 рт6

р'

где 0 ^ п ^ рз — 1 5 + £

Отсюда следует, что 7 = 0. Тогда

^рка ркв + £6 0 р"6

рз п 0 р'

Переходя к определителям, будем иметь рк+™ай = рз+', т. е. раа6 = ра, откуда а6 = 1. Так как а, $ — целые числа и а, 6 > 0, то а = 6 = 1. В таком случае получаем

рк рк в + £6 0

р"

рз п 0 р'

откуда 5 = к, £ = тип = ркв + £•

Так как по условию 0 ^ п ^ рз — 1, Т0 теперь, учитывая, что в = к, получаем 0 ^ ркв + £ ^ рк — 1, откуда в = 0. Значит,

'а А = Л 0Л ч7 6) = ^0 Ъ

и поэтому различные матрицы вида (2) с условиями (3) попарно неассоциированы справа.

£

£

з

п

а

О числе примитивных неассоциированных матриц второго порядка определителя n 65

Найдем теперь оо(ра). При фиксированном 1 ^ k ^ a — 1 число матриц вида (2) с условиями (3) будет равно ^>(pk) = pk — pk-1. При k = 0 получаем только одну матрицу вида

v0 pk

при £ = 0, а при k = a получаем матрицы вида

У £ 01

где £ = 0,1,... ,pa — 1, в этом случае пол учим pa таких матриц. Тогда

vo{pa) = l+pa + J2{pk- pk~l) = pa С1 + -У (4)

k=1 ^

Итак, формула (1) в случае n = pa доказана.

2о. Докажем теперь мультпликативность функции сто(п), т. е. что

оо(Ь ■ с) = ао(6) ■ оо(c) при (b, с) = 1. (5)

Пусть B1, B2,..., BaQ (b) — полный набор примитивных неассоциированных справа матриц определителя b, а C1, C2,..., CCT0 (c) — все примитивные попарно неассоциирован-пые слева матрицы определителя с, причем НОД(Ь, с) = 1.

Тогда по лемме 2 имеем, что матрицы BjCj примитивны и неассоциированы справа. Действительно, предположим, что матрицы BiCj и Bj/Cj/ (i1 = i, j' = j) ассоциированы справа, т. е.

Bj/ Cj/ = BjCj U, (6)

где U — целочисленная унимодулярная матрица. Тогда по лемме 2 будем иметь равенства

Bj/ = Bj E, Cj/ = E 1 Cj U, (7)

где E — целочисленная унимодулярная матрица. Для того, чтобы имелись представления указанных видов (7) в силу леммы 2 нужно, чтобы матрица A = BC была примитивной по модулю с = det C.

Покажем, что последнее условие выполняется для нашего случая. Действительно, пусть

B = ft Л, C = ^C1 £

0 &2/ ' Vo С2

где 0 ^ £ ^ bi — 10 ^ n ^ С1 — Iй НОД = (6162, С1С2) = 1, и пусть при этом t — числовой делитель матрицы A = ВС. Надо ползать, что НОД = (t,c) = 1. Имеем

A = ВС = (ti bt)(C01 С2) = ('Г 61С■ (8)

Тогда t|61 с1; t|62c2. Так как HОД(6, c) = 1, то t|6 или t|c. Рассмотрим случай

t|b, t/c1. (9)

Тогда из (8) следует, что t|c2£. Возможны два случая: а) t|c2, б) t/£. В случае а) из (8), учитывая (9), имеем, что t/6 и t/c поскольку t/c2.

66

Пячен У. М.

Но так как НОД(6, с) = 1, то £ = 1. В случае б) аналогично получаем, что £ = 1. Следовательно, НОД(£, п) = 1. Итак, в наших условиях выполняются равенства (7). Но это противоречит тому, что матрицы Bг, Вг неассоциированы. Значит, наше допущение, что матрицы В^С' ассоциированы справа приводит к противоречию. Следовательно, матрицы BiCj (г = 1,...,ст(6), ] = 1,..., ст(с)) попарно неассоциированы справа.

Попутно было установлено, что матрицы BiCj примитивны. Тем самым мультипликативность функции сто(п) доказана. Из (4) и (5) уже следует теорема 1, т. е. формула (1). >

Замечание. Доказательство примитивности матриц BiCj можно было провести и следующим образом. Так как матрицы BiCj примитивны по условию, то они примитивны по любому модулю д > 0. Так как

НОД^ Bi, Bj) = 1,

то в силу следствия 2 предложения 2.7 статьи [2] имеем, что BiCj примитивны по любому модулю д. Отсюда следует, что ) = 1, т. е. матрица BiCj примитивна.

Перейдем теперь к вопросу о числе примитивных неассоциированных матриц М £ ) определителя п, делящихся на матрицу А £ М2 (^).

Обозначим через ст0(п,А) число примитивных неассоциироваииых матриц М £ М2(^) определит еля п, делящихся на матрицу А £ М2 (^).

Опираясь на теорему 1, получаем следующий результат.

Теорема 2. Для числа ст0(п, А) справедливо соотношение

= П (Р+1

„ ,_И_Г

р | тзыГАТ

где произведение берется по всем простым делителям числа •

< Пусть М1, М2,..., Мг — набор всех неассоциированных справа примитивных матриц второго порядка определителя п, делящихся слева на матрицу А £ М2(^), где г = сто(п, А), при этом случай неассоциированности слева и соответственно делимости справа рассматривается аналогично.

В силу делимости матриц М1, М2,..., Мг слева па матрицу А имеем

М1 = АМ1, М2 = АМ2, ..., Мг = АМГ,

где М1, М2,..., Мг£ М2(^).

Покажем, что Мг (г = 1,..., г) неассоциированы справа. Допустим, что это не так. Тогда Мг = Mj Е — целочисленная унимодулярная матрица, г = В таком случае Мг = АМг = (AMj)Е = MjЕ, а это противоречит неассоциированности матриц Мг и М^ спр^а при г = Покажем еще примитивность матриц Мг (г = 1,... ,г). Допустим, что Мг не является примитивной. Тогда Мг = £Мг', где £ > 0 М[ £ М2(^). Подставляя это в матрицу Мг будем иметь Мг = А ■ £Мг- = £А ■ Мг', где £ > 1, но это противоречит условию примитивности матрицы Мг. Таким образом, матрицы М1, М2,..., Мг — неассоциированы справа и примитивны. Но тогда в силу того, что с^ М^ = , по теореме 1 получаем формулу для сто(п, А) >

Замечание. Если рассматриваемые матрицы М £ М2(^) лежат в некоторой области ^ на детерминантной поверхности det М = п, то вместо точных формул могут быть получены только асимптотические формулы при п ^ то (см. [1]).

n

Литература

1. Линник К). В. Эргодические свойства алгебраических полей.—Изд-во ЛГУ, 1967.

2. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ.—1980.—Т. 93.—С. 41-86.

3. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратными формами // Изв. РАН. Сер. мат.—2006.—Т. 70, № З.-С. 167-184.

4. Newman М. Integral matrices— N. Y. L.: АР, 1972.-224 p.

5. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сб.—2003.—Т. 4, вып. 3(7).—С. 92-105.

Статья поступила 21 апреля 2015 г.

Пачев Урусви Мухамедович Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова, профессор РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 Е-таЦ:игизМ<ЭгатЬ1ег. ги

ABOUT THE NUMBER OF PRIMITIVE NON-ASSOCIATED SECOND ORDER MATRICES OF DETERMINANT n DIVISIBLE BY A GIVEN MATRIX

Paehev U. M.

We obtained formulae for the number of primitive non-associated second order matrices of given odd determinant, as well as for the number of such matrices divisible on the right (left) by the given matrix used in questions of representability of integers by indefinite ternary quadratic forms.

Key words: discrete ergidic method, primitive matrix of integers, norm (determinant) of a matrix, divisibility of matrices, non-associated matrices on the right (left).