Об арифметике кольца целых матриц n-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 75-78

УДК 511.512

ОБ АРИФМЕТИКЕ КОЛЬЦА ЦЕЛЫХ МАТРИЦ п-ГО ПОРЯДКА

У. М. Пачев

Арифметика кольца ) целых матриц второго порядка переносится на целые матрицы п-го

порядка. В частности, получены формулы для числа неассоциированных примитивных матриц заданной нормы и для числа классов вычетов в кольце Мп^) по матричному модулю.

Ключевые слова: матрица п-го прядка, целая матрица, вектор-матрица, норма матрицы, ассоциированность матриц, число неассоциированных матриц, сравнимость матриц.

1. Целью предлагаемой заметки является краткое изложение основ теории делимости в кольце Мп(2) целых матриц п-го порядка, которая может быть использована при применении дискретного эргодического метода Ю. В. Линника [1, 2] к вопросу распределения классов идеалов алгебраических полей п-ой степени. Арифметика матриц второго порядка, в частности, теория делимости изложена в [3]. Эту вводную часть завершим изложением кратких сведений из алгебры Мпрациональных матриц п-го порядка, необходимых для дальнейшего.

Пусть Мп— алгебра матриц п-го порядка

А =

( «и а\2 «21 а22

V ап1 ап2

а1п а2п

ап

/

над полем рациональных чисел, а^ £ Q (г, ] = 1,..., п)

Матрица Е = (6^) £ Мп^), где 6^ — символ Кронекера, является единицей этой алгебры. Матрицу аЕ называем скалярной и ее отождествляем с числом а £ Q. В статье [3] определялось понятие вектор-матрицы второго порядка как матрицы Ь £ М2^) с нулевым следом, т. е. Бр Ь = 0. При рассмотрении матриц п-го порядка, по-видимому, целесообразнее не прямое обобщение (БрЬ = 0), а обобщение свойства вектор-матриц второго порядка удовлетворяющих уравнению Ь2 = —т. Тогда аналогами вектор-матриц Ь порядка п следует считать [1] решение уравнения

Ьп + й1Ьп+1 + ... + ап = 0,

где а1,..., ап £ Q (вектор-матрица Ь типа (а1,..., ап)). При изучении эргодических свойств алгебраических полей коэффициенты уравнения (1) могут считаться целочисленными функциями параметра О ^ ж, т. е. а» = а» (О). Если для матрицы А £ Мп^) ее сопряженную (присоединенную) обозначим через А, то

АА = АА = (б*.

© 2008 Пачев У. М.

где 5ц =

символ Кронекера, и, чтобы сохранить аналогию с алгеброй

1 при г = ] ^ \ 0 при г = ]

эрмитионов [3], условимся называть число N (А) = det А нормой матрицы А.

2. Перейдем теперь к теории делимости в кольце Мп(2) целых матриц п-го порядка. Матрицу А = (йц) € Мп(ф) называем целой (или целочисленной), если все ее элементы являются целыми числами, т. е. йц € 2. Невырожденная матрица Е € Мп(2) называется обратимой, если Е-1 € Мп(2). Ясно, что обратимыми будут те и только те матрицы Е € Мп(2), для которых N(Е) = ±1.

Матрицы А, А' € Мп (2) называются ассоциированными справа, если найдется обратимая матрица Е € Мп(2), для которой А' = АЕ. Ассоциированность матриц справа — отношение эквивалентности, разбивающее кольцо Мп (2) на классы ассоциированных справа матриц. В каждом классе ассоциированных справа матриц п-го порядка можно выбрать единственную каноническую треугольную матрицу, а именно имеет место следующее

Предложение 1. Для всякой невырожденной матрицы А € Мп(2) найдется единственная ассоциированная ей справа матрица Т € Мп(2) вида

Т =

{ ¿1 0

С12 ¿2

00

С1п \ С2п

¿п )

(1)

где . . . ,йп > 0, 0 ^ Сгк < г +1 ^ к ^ п. Доказательство этого предложения можно найти в [4, гл. II]

Пользуясь каноническим видом (1), можно получить следующее Предложение 2. Число а(п, N) неассоциированных справа матриц порядка нормы N > 0 равно

а(п, N) = ¿2^2 ■ ¿п-1, (2)

где суммирование проводится по всем натуральным числам ¿1,..., йп, для которых N =

¿1^2 ■ ... ■ !п.

Следующее предложение [5] используется в теории поворотов матриц п-го порядка, а также в вопросах разрешимости диофантовых систем линейных уравнений.

Предложение 3. Для любой матрицы А € Мп(2) найдутся такие обратимые матрицы Е1, Е2 € Мп(2), что матрица А' = Е1АЕ2 имеет вид

А' =

¿1 0

0

¿2

\

00

¿п )

где !к > 0, ¿к-^, йо = 1 (к = 1,...,п).

Доказательство проводится индукцией по порядку рассматриваемых матриц. Получающиеся числа ¿к называются инвариантными множителями целой матрицы А и совпадают с наибольшими общими делителями всех миноров порядка к матрицы А.

Введем еще понятие числового делителя матрицы. Число Ь = Ь(А) = НОД (йц, й12,..., йпп) называется числовым делителем матрицы А = (йц) € Мп(2). Если Ь(А) = 1, то матрицу А называем примитивной. Всякую матрицу А € Мп(2) можно представить в виде А = ЬА00, где Ь = Ь(А), а Ао — примитивная матрица. Следующая

Об арифметике кольца целых матриц п-го порядка

77

теорема дает обобщение результата о числе неассоциированных справа матриц второго порядка заданной нормы из статьи [3] на случай матриц п-го порядка.

Теорема 1. Число неассоциированных справа примитивных матриц п-го порядка нормы N = 0 равно

сто(п, N) = ^ М^Ы 'п ^п) >

где — функция Мебиуса. < Имеем

(3)

ао(п^) = £ аЛ .

Лп I АТ V /

Представим число N в следующем виде

N = N£N1, где N1 свободно от п-х степеней. Тогда

)= Е п,^)

ао

<1П1М

Отсюда по формуле обращения Мебиуса получаем

N^N1

ао(п^)= ^ п, ^^ ) = ^ . >

Из (3) в частном случае при N = р, где р — простое число, получаем, что

рп — 1

а (п, р) =

р — 1

Рассмотрим теперь отношения делимости и сравнимости в кольце Мп(2). Говорим, что матрица А делится на матрицу В справа, А|В, если найдется матрица Q £ Мп(2), что А = QB. Если при этом В невырождена, то делимость А|В равносильна АВ-1 £ Мп(2). Делимость справа матриц из Мп(2) обладает теми же свойствами, как и в случае матриц второго порядка [3].

Аналогично определяется делимость слева матриц из Мп(2). Говорим, что А делится на В слева, В|А, если найдется матрица Q £ Мп(2) с условием А = BQ.

Делимость слева матриц обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам делимости справа. Это следует из того, что В|А равносильна делимости А|В.

3. Пусть М — невырожденная целая матрица п-го порядка. Говорим, что матрицы А, В £ Мп(2) сравнимы по модулю М справа и пишем

А = В(тоёг М), (4)

если (А — В)|М.

Сравнение (4) равносильно принадлежности А — В £ Мп(2)М.

Говорим, что матрицы А, В £ Мп(2) сравнимы по модулю М слева и пишем

А = В(тоёг М), (5)

если М|(А — В).

Если M = mE, где E — единичная матрица, и m Е Z, то сравнения (4) и (5) равносильны, и мы пишем

A = B(mod m), (6)

т. е. получаем сравнимость матриц по числовому модулю. Сравнение (6) равносильно системе числовых сравнений

aij = bij (mod m) (i,j = l,n), A = (aj), B = (bj).

Поэтому из китайской теоремы об остатках, относящейся к целым числам, получаем следующую «матричную теорему об остатках».

Предложение 4. Пусть m\, mk — попарно взаимно простые числа, A\,... ,Ak Е Mn(Z). Тогда найдется матрица X Е Mn(Z), единственная по модулю mi • ... • mk, что

X = Ai(mod mi), X = Ak (mod mk).

Отношение сравнимости A = B(modr M) разбивает кольцо Mn(Z) на классы вычетов [A](modM) (аналогично и для сравнимости слева). Пусть Cr(M) — число классов вычетов по модулю M справа. Так как сравнение (4) равносильно A — B Е Mn(Z)M, то число Cr(M) можно интерпретировать как индекс (Mn(Z) : Mn(Z)M), который и есть абсолютная величина определителя ^-мерного линейного преобразования Y = XM, равный | det M|n, где X,Y Е Mn(Z). То же верно для Ci(M) — числа классов вычетов по модулю M слева. Тем самым доказали следующее утверждение.

Теорема 2. Если M Е Mn(Z) — невырожденная матрица, то

Cr (M) = Ci (M) = IN (M )|n Литература

1. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей.—Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1967.— 208 с.

2. Фаддеев Д. К. О представлении алгебраических чисел матрицами // Записки научных семинаров ЛОМИ.—1974.—Т. 46.—С. 89-91.

3. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ.—1980.—Т. 93.—С. 41-86.

4. Newman M. Integral matrices.—N.Y.L.: АР, 1972.—224 p.

5. Толстиков А. В. О поворотах целых матриц (замечание к одной теореме Ю. В. Линника) //Записки семинаров ЛОМИ.—1983.—Т. 121.—С. 169-170.

Статья поступила 6 февраля 2008 г.

Пачев Урусви Мухамедович Кабардино-Балкарский госуниверситет Нальчик, 360004, РОССИЯ E-mail: [email protected]