О дробно-линейных преобразованиях форм А. Туэ - М. Н. Добровольского - В. Д. Подсыпанина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 511.3 1)()1 10.22405/2226-8383-2017-18-2-54-97

О ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФОРМ А. ТУЭ — М. Н. ДОБРОВОЛЬСКОГО — В. Д. ПОДСЫПАНИНА1

Н. М, Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. Н. Добровольский,

Е. А. Матвеева (г. Тула)

Аннотация

В работе строится алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей Z[í]-мoдyля . Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением к-ото порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ ,7-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ ^'-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ ^'-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. П. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка ] существуют два основных полинома Туэ ^'-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.

В работе вводятся дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом а к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу а, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.

Ключевые слова: минимальный многочлен, приведённая алгебраическая иррациональность, остаточные дроби, цепные дроби, ТДП-форма, модули Туэ, пара Туэ, дробно-линейное преобразование второго рода.

Библиография: 37 названий.

ON FRACTIONAL LINEAR TRANSFORMATIONS OF FORMS A. TUE — M. N. DOBROVOLSKY — V. D. PODSYPININA

N. M, DobrovoPskii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. DobrovoPskii, E. A. Matveeva

(Tula)

Abstract

The work builds on the algebraic theory of polynomials Tue. The theory is based on the study of submodules of Z[i]-module Z[t]2. Considers submodules that are defined by one defining relation and one defining relation fc-th order. More complex submodule is the submodule given by one polynomial relation. Sub par Tue j-th order are directly connected with polynomials Tue j-th order. Using the algebraic theory of pairs of submodules of Tue j-th order managed to obtain a new proof of the theorem of M. N. Dobrowolski (senior) that for each j there are two fundamental polynomial Tue j-th order, which are expressed through others. Basic polynomials

1 Работа выполнена по грантам РФФИ № 15-01-01540-а, №16-41-710194

are determined with an accuracy of unimodular polynomial matrices over the ring of integer polynomials.

In the work introduced linear-fractional conversion of TDP-forms. It is shown that the transition from TDP-forms associated with an algebraic number a to TDP-the form associated with the residual fraction to algebraic number a, TDP-form is converted under the law, similar to the transformation of minimal polynomials and the numerators and denominators of the respective pairs of Tue is converted using the linear-fractional transformations of the second kind.

Keywords: the minimum polynomial of the given algebraic irrationality, residual fractions, continued fractions, TDP-shape, the modules Tue, couple Tue, linear-fractional transformation of the second kind.

Bibliography: 37 titles.

1. Введение .................................................................................55

2. Обозначения и необходимые факты .....................................................56

3. Базисы двумерной решетки многочленов ...............................................60

4. О Ъ[£]-модуле Ъ[£]2 и его подмодулях с одним линейным определяющем соотношением 62

5. Подмодули с к линейными определяющими соотношениями ............................71

6. Дробно-линейные преобразования двумерных решёток многочленов ...................74

7. О полиномах Туэ.........................................................................76

8 Подмодули с одним полиномиальным определяющем соотношением порядка к .........80

9. Модули ТВР^- над кольцом ЪЩ (] =0,1,...) ............................................83

10. Дробно-линейные преобразования форм ...............................................90

11. Заключение.............................................................................92

Список цитированной литературы .........................................................93

1. Введение

В последнее время в работах Тульской школы теории чисел [5]-[11], [15]-[17], [24], [28]—[30] продолжены исследования из работ [4], [18] — [20], в которых изложены результаты длительных совместных исследований М. Н. Добровольского и его научного руководителя В. Д. Под-сыпанина по теории иррациональностей 3-ей и 4-ой степеней. В основе этих исследований лежала теория полиномов А. Туэ и матричные многочленные разложения алгебраических иррациональностей.

Периодический характер разложения иррациональностей второй степени в непрерывную дробь известен ещё со времени Л. Эйлера (1737 г. [31], 1748 г. [32]), Ж. Лагранжа (1770 г. [34]) и Э. Галуа (1828 г. [33]). Закономерности в разложении в непрерывную дробь иррациональностей более высоких степеней до сих пор не известны. Лишь для некоторых иррациональностей найдены разложения в обобщенные непрерывные дроби, которые имеют малое применение в виду плохих приближений, даваемых ими.

Вопрос о характере разложения алгебраического числа а в непрерывную дробь связан с

оценкой разности

а- 2 я

. Первой оценкой этой разности снизу явился результат Ж. Лиувил-

ля [35]. Усиление этой оценки было получено А. Туэ [37] с помощью специальных полиномов. В дальнейшем оценки А. Туэ были уточнены. Наиболее сильный результат в оценке этой разности снизу был получен К. Ф. Ротом [36].

В настоящей работе продолжены исследования М. Н. Добровольского и В. Д. Подсыпа-нина. Принципиальное отличие их подхода в исследовании полиномов Туэ заключалось в поиске явного вида этих полиномов. Принцип Дирихле, позволяющий установить существование таких полиномов с заданными свойствами, был заменен на рекуррентные соотношения для основных полиномов Туэ порядка ] ш ] + 1.

Данная работа является переработанным вариантом статьи [5]. Основная цель настоящего исследования — поиск зависимости полиномов Туэ остаточных дробей.

Отметим, что в работах [5], [4], [18] — [20] использовались разные определения полиномов Туэ, поэтому в данной работе пришлось для полноты изложения привести достаточные значительные фрагменты из работы [5] с необходимыми изменениями, которые даются для развития стройной теории полиномов Туэ.

2. Обозначения и необходимые факты

Как обычно, Ъ — кольцо целых рациональных чисел (говорим просто целых), а Ъ[ж] — кольцо многочленов с целыми коэффициентами.

Через Ъ* [х] будем обозначать мультипликативный моноид многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным 1 (унитарные неприводимые многочлены).

Пусть п ^ 2 и £(х) = хп + ап-\Хп-1 + ... + а\Х + ао — неприводимый многочлен п-ой степени с целыми коэффициентами, а а = а\, ..., ап — его корни, являющиеся алгебраически сопряженными целыми алгебраическими числами п-ой степени. Таким образом ап = 1 и deg / (х) = п> 1.

Будем говорить, что имеет место особый случай, если найдутся два корня ау и а^ такие, что а^ = ^, где многочлены Р(х), Q(x) € Ъ[х]. Если таких корней нет, то будем говорить, что имеется общий случай унитарного неприводимого многочлена.

Общий случай неприводимого многочлена д(х) = Ъпхп + 6п_1Жп_1 + ... + Ъ\х + Ъо с алгебраически сопряженными алгебраическими числами п-ой степени 0 = 01, 02, ■■ ■, 0п сводится к предыдущему переходом к многочлену f (х) = хп + ап_1 хп-1 + ... + а1Ж + ао с коэффициентами а^ = Ь^Ьп_1-^ (] = 0,1,..., п) и алгебраически сопряженными корнями а^ = Ьп0 ^ (] = 1, 2,... ,п) — целыми алгебраическими числами. Поэтому дальше будем рассматривать случай целых алгебраических чисел и неприводимого многочлена / (х) € Ъ*[х].

Кольцо целых алгебраических чисел Ъ[ау] определяется равенством

Ъ[а„ ] = { то + т,1аи + ... + тп-Ю^-1 \ то,..., тп_1 € Ъ} ,

так как а^ = -(ао +а1ау+...+ап_1агп_1). Все кольца Ъ^], ..., Ъ[ап] изоморфны между собой, так как для любых двух колец Ъ[ау] и Ъ[а^] имеется естественный изоморфизм, задаваемый соответствием то + т1ау + ... + тп_1 ап_1 о то + т1а^ + ... + тп_1а1111_1. В общем случае неприводимого многочлена / (х) все таль ца Ща^, ..., Ъ[ап] — различные и пересекаются Ъ

Имеем п изоморфных расширений Ъ[а1 ][ж], ..., Ъ[ап][ж] кольца многочленов Ъ[ж].

Ъ[ау][ж] — кольцо полиномов (многочленов) над кольцом целых алгебраических чисел Ъ[ау ]. В общем случае неприводимого многочлена / (х) все кольца полип омов Ъ[а;1][ж], ..., Ъ[ап][х] — различные и пересекаются только по кольцу многочленов Ъ[ж].

Мы будем говорить многочлены для элементов кольца Ъ[х] и полиномы — для Ъ[ау][ж], при этом все полиномы попадающие в Ъ[ж] являются многочленами.

Для дальнейшего нам понадобится разложение в кольце Ъ[ау][ж] на полиномиальные множители унитарного неприводимого многочлена / (х) € Ъ*[ж].

Лемма 1. Справедливо равенство

п— 1 п

}(х) = (х — а„)}„(х), }„(х) = ^ х1 ^ акс4_1_1, (1)

1=о к=1+1

при этом (х — ау) (х).

Доказательство. Действительно,

х' — (х ) ( ^^ ^ X О^р

поэтому, так как ап — 1,

п п / (3-1 \ \

} (х) — а0 + ^ аз х3 — а0 + ^ аз а1 + (х — ) ^ х1а1-1-1 — 3=1 з=1 \ \1=о //

п /3—1 \ п-1 п

— } (аи ) + (ж — аз ^ х1 а1—1—1\ — (х — х1 ^ аз ар-1-1

3=1 \1=о / 1=0 3=1+1

и первое утверждение леммы доказано.

Предположим противное, что (х) — (х — аи)ди(х), тогда

/(х) — (х — аи)2ди(х), ¡'(х) — (х — аи) (2д„(х) + (х — аи) д'„(х)) .

Если й(х) — (/(х), /'(х)) — наибольший общий делитель многочленов с целыми коэффициентами /(х) и /'(х), то (х — )1с1(х). Следовательно, степень й(х) не меньше 1, что противоречит неприводимости многочлена / (х), и лемма полностью до казана. □

Если через 0(1) € Щсх^ ..., в(п) Е Z[ап] обозначать набор сопряженных целых алгебраических чисел, то, переходя к полиномам, мы можем говорить о полном наборе сопряженных полиномов, а именно,

V (1)(х) — £ т^У, ..., V (т)(х) — £ т^У, ..., V (п)(г) — £ т^У.

3=0 3=0 3=0

Также, как полный набор сопряженных целых алгебраических чисел является стационарным в — 0(1) — ... — в(п) тогда и только тогда, когда в — целое рациональное число, и полный набор сопряженных полиномов является стационарным, если они суть один и тот же многочлен с целыми коэффициентами.

Примерами полного набора сопряженных многочленов могут служить:

1. х — а.1, ..., х — ап — полиномы первой степени;

2. /1 (х), ..., /п(х) — полиномы степени п — 1 из леммы 1;

3. /(х),..., /(х) — стационарный набор полиномов-многочленов степени п.

Дадим следующее определение.

Определение 1. Для произвольного полипома

к

VМ(х) — Е Ъ[аи]М

3=0

его мпогочлеппым представлением называется выражение вида

п-1

V(и)(х) — ^а1ирг(х), Р1 (х) Е Щх] (1 — 0,1,...,п — 1). 1=0

Многочлен рг(х) называется 1-ой многочленной компонентой полинома V(и)(х).

Теорема 1. Для любого полинома V(и)(х) Е Ъ[аи][ж] многочленное представление существует и единственное.

Доказательство. Действительно, если

к

VМ(х) — ^ 7(!у)%3 Е ][ж]

3=0

тГ = , ти G Z (j = 0,... ,к; I = 0,... ,п - 1),

п-1

И I

)) ) = ^muav,

I=0

то

к п-1

pi(x) = ^mijxj (1 = 0,1,...,п - 1), V(v )(х) = ^alpi(x) =0 =0 и существование многочленного представления доказано. Предположим, что существует два представления

п-1 п-1

V (и)(х) = Y,"lvpi (х) = ^alqi (х), =0 =0

тогда

п-1

al(pi(x) - qi(x)) = 0

=0

для любого х. Так как хотя foi одна разность pi(х) - qi(х) — ненулевой многочлен, то найдется x0

п-1

g(t) = Y111 (Рг(хо) - т(хо))

=0

— ненулевой многочлен степени не выше п — 1 и а.и — его корень, что противоречит неприводимости многочлена /(х). Единственность многочленного представления доказана, и доказа-

□

Теорема 2. Полином, V( и)(х) Е Z[ау][х] делится на многочлен ф(х) тогда и только тогда, когда каждая многочленная компонента полинома V(х) делится на многочлен ф(х).

Доказательство. Достаточность очевидна. Пусть полином V(!) (ж) делится на многочлен <р(х),

V(х) — ф)К(и) (х), К(и) (х) Е ][ж]

и рг(х) (1 — 0,1,... ,п — 1) — его многочленные компоненты, а Г1 (х) (1 — 0,1,... ,п — 1) — многочленные компоненты для !\х). Тогда для поли нома V(!)(х) имеем второе многочленное представление

п-1

V (!)(х) — ^а^(х) П(х). =0

Отсюда в силу предыдущей теоремы получаем

рг(х) — <р(х)Г1 (х) (1 — 0,1,... ,п — 1), □

Использование многочленного представления позволяет легко доказать теорему о произведении полного набора сопряженных полиномов.

и

Теорема 3. Пусть V(1)(х), ..., V(т)(х), ..., V(п)(Ъ) — полный набор сопряженных полиномов, тогда их произведение является многочленом:

V(1)(х) ■... ■ V(т)(х) ■... ■ V(п)(г) е Щ.

Доказательство. Рассмотрим многочленное представление сопряженных полиномов, которые в силу сопряженности имеют одни и те же многочленные компоненты,

п— 1

V (и)(х) = (х), рг(х) е Щ[х] (1 = 0,1,...,п - 1, и = 1,...,п).

I=0

Тогда, если Бп — симметрическая группа степени п и к — произвольная перестановка из Бп, то

к \ к

П-р <">(х) = £ £ £ (П (х)1£П П

\1+... + \к =п ' 7=1 7 7

) =

к

Л

ЕЕ Е (П к (х)\А(11,\1,..., 1к ,\к),

к=10^11<...< 1к Лъ-,Лк >1, \и=1

Л1+... + Лк =

где

а(1 1,\ъ...,ь,\к) = Е П П «

пеяп т=1 Е7=1 л7<^^£7=1 л7

и

п(и)

— симметрическая функция от полного набора сопряженных целых алгебраических чисел, а как известно (см. [25], стр. 23) такие функции имеют целые значения, поэтому искомое произведение есть многочлен, и теорема доказана. □

Обозначим через М2 (Щ) кольцо квадратных целочисленных матриц второго порядка. Через М* (Щ) будем обозначать мультипликативную полугруппу кольца М2 (Щ), то есть множество всех невырожденных матриц, а через Ы2 (Щ) — мультипликативную группу обратимых целочисленных матриц, то есть множество унимодулярных матриц. Таким образом, имеем

М = А В ) еМ2 (%), если А, В, С, В е Щ;

М еМ** (Щ), если М = АВ -ВС = 0;

М еЫ2 (Щ, если det М = ±1.

Аналогичные конструкции нам потребуются для целочисленных многочленов.

М2 (ЩЩ) — кольцо квадратных матриц второго порядка с целочисленными многочленами:

ММ = ( А\§ В^ ) еМ2 (Щ), если А(1),В(1),С(I), В(1) е Щ.

М*2 (ЩЩ) — мультипликативная полугруппа кольца М2 (^М) то есть множество всех невырожденных матриц целочисленных многочленов:

М[■£] е М* (Щ), если det М[*] = А^)В(г) - В(г)С(^ = 0.

Ы2 (ЩЩ) — мультипликативная группа обратимых матриц целочисленных многочленов, то есть множество унимодулярных матриц целочисленных многочленов:

М[*] е Ы2 (Щ), если det М[*] = 5(М[*]) = ±1,

М—= 6(ММ) ( -АВ0) е Ъ (Щ).

3. Базисы двумерной решетки многочленов

Имея в виду цель — перенести некоторые конструкции из геометрии чисел на Ъ[£]-модуль ЪЩ2 — модуль Туэ, которые нам важны для дальнейшего, дадим следующие ниже определения. Название модуль Туэ связано с тем, что как мы увидим в последующих разделах, этот модуль тесно связан со всей конструкцией полиномов Туэ, играющих важную роль при решении диофантовых проблем теории чисел, связанных с приближением алгебраических чисел.

Определение 2. Упорядоченная пара многочленов с целым,и коэффициентами

т — {р (г),жт

называется парой Туэ. Многочлен Р(Ь) называется числителем, пары Туэ. Через т(Т) обозначается степень числителя. Многочлен Q(t) называется знаменателем пары Туэ. Через 1(Т) обозначается степень знаменателя. Величина к(Т) — тах(т(Т), 1(Т)) называется степенью пары Туэ.

Ясно, что множество всех пар Туэ совпадает с ЪЩ2 — ЪЩ х ЪЩ.

Определение 3. Модулем Туэ называется множество всех пар Туэ с естественной операцией сложения, когда числитель суммы двух пар Туэ равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель суммы — сумме знаменателей. Числит,ель произведения пары Туэ на многочлен из ЪЩ равен произведению числителя пары на этот многочлен, а, знаменатель произведения — произведению знаменателя на тот же многочлен.

Определение 4. Пусть имеется к пар Туэ Т1 — {Р^)^^)}, ..., Тк — {Рк(1)^к(1)}. Говорят,, что они линейно зависимые, если существуют многочлены с целым,и, коэффициентами ^(Ъ), ..., Скне все равные нулю и т,акие, что имеет место равенство

сЛ(1)Т1 + ... + ск (1 )Тк — {0, 0}. (2)

Замечание 1. Линейная, зависимость пар, вообще говоря, не позволяет выразить одну пару через другие, не выходя за пределы ЪЩ-модуля ЪЩ]2 .

зависимы.

Лемма 2. Любые две пары, Т1 — {Р1(Ь), 0} и Т2 — {Р2(Ь), 0} — линейно зависимы. Любые две пары, и1 — {0^^)} и и2 — {0^2(£)} — линейно зависимы.

Р1 ( ) — 0

Р2(^ — 0, но тогда

Р2(1)Т1 —Р1(1)Т2 — {0, 0} и первое утверждение леммы доказано.

□

Так как любая пара Туэ Т — {Р(¿), Q(t)} однозначно представима в виде

т — р (г){1,0} + Q(t){0,1}

Т0 — {1, 0} Т1 — {0, 1} Т0 Т1

Туэ.

Ъ[ ]2

Ъ[ ] Ъ[ ]

ЪЩ]2 ^ ЪЩ] ® ЪЩ].

М[ ]

(3)

такая, что две пары, Туэ Т = {Р(Ь), <(Ь)} и и = {Я(Ь),3(£)} являются базисом для, модуля

Нетрудно видеть, что множество базисных матриц совпадает с унимодулярной группой и2 (Ъ\Ъ]), которая кроме этого образует группу матриц перехода от одного базиса модуля Туэ к другому.

Через М(Т, и) для тар Туэ Т = {Р(1),<<(1)} и и = {Я(1),3(£)} будем обозначать матрицу

Лемма 3. Две пары, Туэ Т = {Р(Ь),<(Ь)} и и = {Я(Ь),3(£)} — линейно зависимые тогда и только тогда, когда

Доказательство. Действительно, если они линейно зависимые, то найдутся многочлены С1(Ь) и С2(Ь) одновременно неравные тождественно нулю, такие что С1^)Т + С2(Ь)и = {0, 0} и, следовательно, с^) Р(1) + с2(1)Я(1) = 0 и + с2(1)3(1) = 0. Пусть с1(1) = 0, тогда

Так как ^ кольцо без делителей нуля, то Р(Ь)3(^-Я^Х^) = 0, и необходимость доказана.

Перейдём к доказательству достаточности. В силу замечания 2 и леммы 2 достаточно рассмотреть случай, когда следующие два многочлена ^(Ь) = 3(Ь)Р(Ь) = Я(Ь)<(Ь), 2( ) = - < ( ) Р( )

Р( ) 3( ) - Я( ) < ( ) = 0

□

Т = { Р( ), < ( )}

( Р( ), < ( )) = 1

Т = { Р( ), < ( )} и = { Я( ), 3( )}

detМ(Т,и) = 0, тоТ = и.

Р( ) 3( ) = Я( ) < ( )

кольца ЩЩ в силу примитивности пар следует Р(¿) = Я(Ь) и 3(Ь) = <(Ь), что и доказывает □

Определение 7. Наибольшим делителем й(Т) пары, Туэ Т = {Р(Ь),<(Ь)} называется наибольший общий делитель числителя и знаменателя:

Туэ.

det М(Т, и) = 0.

С1(г) (Р(1)3(I) - Я(Ш$) = (-С2(*)Я(*))3(I) - Я(*)(-С2(*)3(1)) = 0.

С1(1)Т + С2(г)и = {чу )Р (г) + С2$ )Я(1), С1(1 )<э(г) + С2(г) 3 (г)} = {Я(г)<(г)Р(г) -Я(1)Р(1)Я(1),3(1)Р(1Х(1) -Я(1)Р(1)3(1)} = {0,0}

й(Т ) = (Р (1),я(1)).

Ясно, что любую пару Туэ Т — {Р(Ь), Q(t)} можно представить в виде

Т — й(Т) { Рш М 1

— а(Т) I а(Т) ,а(Т)}

и пара Туэ Iр(), \ — примитивная пара, которую будем обоз начать через .

[а(1) а(± ^ " " а(±)

Определение 8. Если для двух пар Туэ

Т — {Р (1)^(1)} и и — {К(1),3(1)}

<1е1 М (Т,и) —0, то двумерной решеткой многочленов Л(Т, и) с базис ом /Т, и/, базисной матрицей М(Т, и) и детерминантом решетки многочленов ЛеЬА(Т, и) — det М(Т, и) называется множество вида

Л(Т, и) — {С1 № + С2(1)и | С1(1), С2(1) е ЪЩ} .

Т и

Л(Т, и) является свободным Ъ[£]-модулем ранга 2.

4. О Ъ[£]-модуле ЪЩ2 и его подмодулях с одним линейным определяющем соотношением

Через < Т, и >— {с1(1)Т + с2(1)и | с1(1), с2(1) е ЪЩ} будем обозначать подмодуль пар

Т и Т и

дуль <Т,и > — свободный Ъ[£]-модуль ранга 2 (см. [13], стр. 164). Матрицу М(Т,и) будем

< Т, и >

Т и < Т, и >

двумерной решеткой многочленов Л(Т, и).

Т и

СИ = (£(0 Й) е (ЧФ.

то для пар Т1 — с1,1(Ь)Т + с1,2(Ь)и, и1 — с2,1(Ь)Т + с2,2(Ь)и и модуля <Т1 ,и1 > справедливы соотношения

< Т1, их >—< Т, и >, если С И е Ы2 (ЪЩ),

< Т1, их >^< Т, и >, если С И е и2 (ЪЩ),

и м (т, и) — С [г ]м (Т1,и1).

Доказательство. Действительно, если С[¿] е Ы2 (Ъ[£]), то пары Т и и линейно выражаются через пары Т1 и и1 с помощью обратной матрицы из Ы2 (Ъ[£]), в противном случае её просто не существует. Все остальные утверждения непосредственно следуют из определений и свойств матричного умножения. □

Т и

<Т,и >—3 -V,

Т и

где V — ——- — ——- примитивная пара Туэ, а 3 —< а(Т), й(и) > — идеал в кольце а( Т) а( и)

Ъ[

Доказательство. Действительно,

det М(T, U) = d(T)d(U) detM

V d(T

Из линейной зависимости пар Туэ Т и U и факториальности кольца Z[t] в силу леммы 3 следует линейная зависимость соответствующих примитивных пар. Поэтому по лемме 4 они равны. Следовательно, примитивная пара V корректно определена. Но тогда

<T,U >= {ci(t)d(T)V + C2(t)d(U )V | ci(t), c2(t) e Z[t]} = J -V, где идеал J =< d(T),d(U) > порожден наибольшими делителями пар, и теорема доказана. □ Теорема 6. Любые три пары Туэ линейно-зависимы. Доказательство. Пусть имеем три пары Туэ

Ti = {Pi(t),Qi(t)}, Т2 = {P2(t),Q2(t)}, Тз = {P3(t),Q3(t)}.

Положим

Ci(t) = P2(t)Q3(t) - Ps(t)Q2(t), C2(t) = Ps(t)Qi(t) - Pi(t)Qs(t), c3(t) = Pi(t)Q2(t) - P2(t)Qi(t).

Достаточно рассмотреть случай когда среди этих трех пар нет нулевой пары и не для каких двух пар не выполнены условия леммы 3 (см. стр. 61), тогда все три многочлена ci(t), C2(t), c3(t) отличны от нуля. Непосредственно убеждаемся, что

Ci(t)Ti + C2(t)T2 + c3(t)T3 = {0, 0}

□

( )

циентами, а (f(t)) = f(t)Z[t] — главный идеал в Z[t], порожденный многочленом f(t). Пусть a(t), b(t) — произвольные многочлены из Z[t]. Будем говорить, что пара Туэ T = {P(t),Q(t)} удовлетворяет линейному определяющему соотношению, если a(t)P(t) + b(t)Q(t) e (f(x)). Подмодулем с одним, определяющим соотношением назовем множество

М(a(t), b(t) I f(t)) = { {P(t),Q(t)} I a(t)P(t) + b(t)Q(t) e (f(x))}

— всех пар Туэ, удовлетворяющих этому линейному определяющему соотношению.

Если a(t) = 0 (mod f(t))n b(t) = 0 (mod f(t)), то определяющему соотношению удовлетворяют все пары Туэ, и этот тривиальный случай исключается из дальнейших рассмотрений.

Пусть a(t) = 0 (mod f(t))n b(t) ф 0 (mod f (t)), тогда на числитель пары не накладывается никаких ограничений, а знаменатель будет принадлежать главному идеалу ( f(t)). Если a(t) ф 0 (mod f(t))n b(t) ф 0 (mod f(t)), то числитель и знаменатель пары Туэ меняются ролями.

Поэтому все перечисленные тривиальные случаи исключаются, и дальше рассматриваем

a( ) ( ) ф 0 (mod ( )) Далее заметим, что если

d(t) ф 0 (mod f(t)), a(t) ф ai(t) (mod f(t)), b(t) ф bi(t) (mod f(t)),

.

то справедливы равенства

М(а(Ш), Ъ(Ш) I /(I)) — М(а(1), Ъ(1) | /(I)) — М(а^), Ь^) | ¡(1)).

Поэтому, окончательно, выделяем для дальнейшего рассмотрения только случай

а(Ь) ф 0, Ь(г) ф 0 (mod /(Ь)), т&х((1е^а(Ь), (1е^Ь(Ь)) < (1е^/(Ь), (а(Ь), Ь($) — 1. (4)

Из определения непосредственно следует, что свободный модуль ранга 2

/(фЩ2 СМ (а(1), Ь® | №).

В частности, линейно независимые пары То — {/(Ь), 0} и Т1 — {0, /(Ь)} принадлежат М( а( ), ( )| ( ))

Нетрудно указать пару из М(а(1), Ь(1) | /(£)) \ /(1)ЪЩ2. Такой парой будет пара

Т3 — {Ъ(1), -а(Щ.

М( а( ), ( ))

шения: а(Ь)Р(1) + b(t)Q(t) — 0 то при (а(1), Ь(£)) — 1 имеем равенство

М(а($, Ь($) — {{Ь^ф), -а(г)ф)} | ф) е ЪЩ} — {Ь($, -а(Щ ■ ЪЩ. Очевидно, что справедливо включение

м(а(г), ь($) с м(а(г), ь(г) | /(г))

( )

Лемма 5. Если Т — {Р(Ь)^(Ь)} и и — {Я(1),8(г)} - две пары Туэ из М(а($, Ь(Ь) | /(г)),

то

р(г)Б(I) - я(Ш1) — №<р(1), ф) е ЪЩ]. доказате Т и М( а( ), ( ) | ( ))

а(1)Р (I) + Ь(Ш1) — С1(1)№, а(1)Я(1) + Ь(1)Б(1) — С2(*)№,

где сф), С2$) е ЪЩ].

Пользуясь этими равенствами, получим

а(Щ1) (Р № (г) - щшг)) — а(ф(г)Р (¿)я (г) - (С1(г)/(г) - а(г)Р (Щ С2®№ - ь^®) — — /(I) (С1(1)Ь(1 )Я(I) + С2(1 )а(1)Р(I) - С1(1)С2(1) №).

Так как по условию (а(Щ$, /(г)) — 1, то а^Ъ^с\(ффБ(г) + С2^)а(^Р(г) -с^)С2&)/($

и

— с^тв(г) + С2(Ы$Р(г) - С1®С2(г)/(г)

) а(Щг) [ ]

□

Лемма 6. Если Т — {Р(Ь)^(Ь)} пара Туэ из М(а($, Ь(Ь) | /(г)), то

Т + /(1) ■ Ъ2Щ СМ (а(1), Ъ(1) | /(С)). Доказательство. Так как /(г) ■ Ъ2Щ] с М(а(Ь), Ь(Ь) | /^)) и

Т — {Р ем (а(1), Ь(1) | №),

□

Теорема 7. Существуют две линейно-независимые, примитивные пары Туэ Т, и степени меньше п из М(а(Ь), Ь(Ь) | ¡'(1;)) такие, что любая пара Туэ V из М(а(Ь), Ь(Ь) | ¡'(Ь)) однозначно представима в виде

V = сг(*)Т + С2(1)и, (5)

где С\{Ъ) и ) — многочлены с целым,и коэффициентами.

Т

М(а®, Ь(1) I ¡(1)),

наименьшей степени т. Так как пара {Ь(1), -а^)} Е М(а^), Ь(^) С М(а^), Ь^) | то

степень т < п. Пусть пара Т = {Р(1),<<(1)}. Если С(Т) = 1, то (с1(Т), /(1)) = 1 и из равенства

а(1)Р (1) + Ь(1)Я(1) = <р(1)№

следует, что й(Т) | (р(Ь) и для Рг(Ь) = = ¡щ: (1(^) = щ) Е ЪЩ справедливо

соотношение

а(1)Р1(1) + Ъ(1)<1(1) = (1 (1)!(I), {Р1(1),<1(Щ Е М(а(1), Ь(1) | ¡(1)).

Т

М( а( ), ( ) | ( )) т

пара Туэ не может иметь вид {Р(Ь), 0} или {0, <(Ь)}.

Отсюда следует, что пары Туэ То = {/(1), 0} и Т = {0,/(£)} из М(а^), Ь^) иобе Т Т = { Р( ), < ( )}

равна степени числителя пары и старший коэффициент числителя равен ро, а знаменателя — до, то есть

т т\

р (г) = рогт+Р1®, р^) = £ р^т-и, Я(^ =до^1 +<Э№, Я1(г) = £ -", т1 <т.

и=1 и=1

Рассмотрим пару Туэ Т', заданную равенством

Т, = | {Г-тР (г) - ро ¡(г), Г-т<(г)}, если т1 < т,

{гп-тР (г) - ро ¡(г), Г-т<(г) - до/(*)}, если т1 = т.

Ясно, что пара Туэ Т' Е М(а^), Ь^) | /и линейно независима от пары Туэ Т = {Р(1), <(1)},

п

М( а( ), ( ) | ( )) Т

Пусть и одна из этих пар Туэ наименьшей степени к. Из предыдущего следует, что к < п. Ана-

Т и М( а( ), ( ) | ( ))

Пусть такие выбранные примитивные пары Туэ имеют вид:

{т т Л (к к Л

^ , ^ Н„ 1т-Л , и =\ ^ и^к-и, ^ .

и=о и=о ) I и=о и=о )

По выбору пар т ^ к < п. Далее для выбранных пар

доУо - Ноио = 0, (6)

так как в противном случае пара Uotk mT — goU = {Р(t), Q(t)}, где

m km к

p(t) = Y,(uo9u — goUv)tk~v — ^ gouvtk- = Y,(uogu — goUv)tk~v — ^ goUvtk-v,

v=0 v=m+l v=l v=m+l

m k m k

Q(t) = Y,(uohv — govv)tk-v — £ govvtk-v = ^(uoК — gov„)tk-v — £ goV"tk-v,

v=0 v=m+l v=l v=m+l

линейно независима с парой Т и имеет степень меньшую к. Но это противоречит выбору пары U

Предположим существование пар из М(a(t), b(t) | f (t)) и не представимых через Т, U по формуле (5). Пусть W является такой парой наименьшей степени I и имеет вид

W = ; 4 4-v ^ - 4-v

{z р^-" , ¿^Ч.

I v=0 v=0 )

Очевидно, что I ^ к ^ т. Рассмотрим пару

{R(t),S(t)} = (uoqo — PoVo)t l-mT + (poho — qogo) tl-kU + (govo — Uo ho)W

m k

R(t) = (uoqo — Povo)^2 9"tl-v + (poho — qogo)^2/U"tl-v + (govo — Uoho) ^ Pvt'

— p,n,n , , vь + (poho — qogo) + ( "n'"n —

v=o v=o v=o

m k

— ;,n;,n , , , ,..,l-v + (Pr,h.K — Uv+1-V + (ПпИп — U Л +1-"

= (Uoqo — PoVo ) ^ gvt1 v + ('Poho — qogo)^2lU"tl v + (govo — Uo ho) ^ Pvt'

v=l v= 1 v=l

m k

S(t) = (uoqo — PoVo)^2 h"tl-v + (poho — qogo) ^ Vvtl-v + (govo — Uoho) ^ qvt

v=o v=o v=o

m k

= (uoqo — PoVo) ^ h"tl-v + (poho — qogo) ^ V"tl-v + (govo — Uoho)^2 qvtl~

- т.т I » + уропо - додо) / ' + ''-

и=1 и=1 и=1

Т и

выбору пары Ш. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. □

Из доказанной теоремы следует, что подмодуль с одним определяющим соотношением М (а(Ь), Ь(Ь) | /(£)) является двумерной решеткой многочленов Л(Т,и) с базисом /Т,и/, при-

Т и

степень каждой пары меньше п.

Теорема 8. Для двумерной решётки многочленов Л(Т, и) — М(а(Ь), Ь(Ь) | /(Ь)) справедливо равенство

detЛ(Т,U )—detМ (Т,и) — ±/ (г). (7)

Т1 — { ( ), 0} Т2 — {0, ( )}

надлежат решётке Л(Т, и) — М(а^), Ь^) | /(£)).

Пусть базис /Т,и/ имеет вид Т — {Р(£)^(1)}, и — {К(£),3(1)}, тогда, согласно лемме 5, имеем: Р(1)3(Ь) - Q(t)R(t) — <£о(^/(Ь) и найдутся целочисленные многочлены (и — 1, 2; у — 1, 2) такие, что выполнены равенства

с1Л(1 )Р (1)+ Cl!2(t)R(t ) — № С1,1(^(г) + С1,2 V) я (1) — 0

С2,1^ )Р (1)+ C2,2(t)R(t )—0 . ^

c2,l(t)Q(t) + С2,2 (г)я (1) — №

Отсюда следует, что

dA(t)(Р(t)S(t) - Q(t)R(t)) = f(t)S(t) ci,2(t)(Р(t)S(t) - Q(t)R(t)) = -f (t)Q(t)

C2,i(t)(Р(t)S(t) - Q(t)R(t)) = -f (t)R(t) • W

C2,2(t)(Р(t)S(t) - Q(t)R(t)) = f(t)P(t)

Из (9) вытекает, что

ciA(t)tpo(t) = S (t) Cl,2(t)<Po(t) = -Q(t)

C2,l(t)Mt) = - R(t) • 1 j

C2,2(t)V0(t) = P (t)

Из примитивности пар Туэ Т и U делаем вывод, что ^o(t) = с(Т, U) = ±1 и теорема доказана. □

Дадим теперь обобщающее определение подмодуля с одним определяющим соотношением.

( )

эффициентами, а ( fk(t)) = fk(t)Z[t\ — главный идеал в Z[t], порожденный к-ой степенью многочлена f(t). Пусть a(t), b(t) — произвольные многочлены из Z[t\. Будем говорить, что пара Туэ Т = {Р(t),Q(t)} удовлетворяет линейному определяющему соотношению к-ого порядка, если а(1)Р(t) + b(t)Q(t) £ (fk(x)). Подмодулем с одним определяющим, соотношением к-ого порядка назовем множество М(a(t), b(t) | fk(t)) всех пар Туэ, удовлетворяющих этому

к

Если a(t) = 0 (mod fk(t)) и b(t) = 0 (mod fk(t)), то определяющему соотношению к-ого порядка удовлетворяют все пары Туэ, и этот тривиальный случай исключается из дальнейших рассмотрений.

Пусть a(t) = 0 (mod fk(t)) и b(t) ф 0 (mod fk(t)), тогда на числитель пары не накладывается никаких ограничений, а знаменатель будет принадлежать главному идеалу ( fk(t)). Если a(t) ф 0 (mod fk(t)) и b(t) ф 0 (mod fk(t)), то числитель и знаменатель пары Туэ меняются ролями.

Поэтому все перечисленные тривиальные случаи исключаются, и дальше рассматриваем

a( ) ( ) ф 0 (mod ( )) Далее заметим, что если

d(t) ф 0 (mod f(t)), a(t) ф ai(t) (mod fk(t)), b(t) ф bi(t) (mod fk(t)),

то справедливы равенства

М(a(t)d(t), b(t)d(t) I fk(t)) = М(a(t), b(t) | fk(t)) = М(ai(t), bi(t) | fk(t)).

Поэтому, окончательно, выделяем для дальнейшего рассмотрения только случай

a(t)ф 0, Ь(Ь)ф 0 (mod f(t)), max(dega(t), degb(t)) < kdegf(t), (a(t), b(t)) = 1. (11)

Из определения непосредственно следует, что свободный модуль ранга 2

fk (t)Z[t\2 СМ (a(t), b(t) Ifk (t)).

В частности, линейно независимые пары То = {fk(t), 0^ и Ti = {0,fk(i)} принадлежат М(a(t), b(t) Ifk(t)).

Нетрудно указать пару из М(а(1), Ь(1) | /к(£)) \ /к(1)ЪЩ2. Такой парой будет пара

Тз — {ъ$), -а(г)}. Очевидно, что справедливо включение

М(а(1), Ъ(1)) С М(а(1), Ъ(1) | /к+1(1)) С М(а(1), Ъ(1) | /к(I)) С М(а(1), Ъ(1) | №)

( )

натурального к.

Лемма 7. Если Т — {Р(Ь)^(Ь)} и и — Щ1),Б(г)} - две пары Туэ из М(а($, Ь($ | /к(г)),

то

Р(1)Б(1) - R(t)Q(t) — /к(1)ф), ф) е ЪЩ.

доказате Т и М( а( ), ( ) | к( ))

а(1)Р (I) + — С1(1)/к ($, + ь^ю — С2(г)/к(г),

где сф), С2$) е ЪЩ.

Пользуясь этими равенствами, получим

а(ф(1) (Р(1)Б(I) - R(t)Q(t)) — — а(ф(1)Р(1)Б(1) - (с 1(1)/к(I) - а(1)РШС2(1)/к(I) - Ь(1)Б(I)) — — /к(I) {с1(1)Ь(1)3(1)+ С2(1)а(1)Р(I) - С1(1)С2(1)/к(I)

Так как по условию (а(ЩЬ), /(г)) — 1, то а^Ь^с^Щ^Б($+(ьфафР-с^)С2^)/к

и

— С1(ф(1)8(1) + С2(1)а(1)Р(I) - С1(1)С2(1)/к(I)

) а(Щг) [ ]

□

Лемма 8. Если Т — {Р(Ь)^(Ь)} пара Туэ из М(а($, Ь(Ь) | /к(г)), то

Т + /к (I) ■ Ъ2Щ СМ (а(1), Ъ(1) ик (I)). Доказательство. Так как /к(1) ■ Ъ2Щ с М(а^), Ь(Ь) | /к(1)) и

т — {р (г)мтем ш, ъ(ъ цк т

□

Теорема 9. Существуют две линейно-независимые, примитивные пары Туэ Тк, ик п к

М(а^), Ь^) | /ктакие, что любая пара Туэ V из М(а^), Ь^) | /к однозначно предста-вима в виде

V — С1(*)Тк + С2 (1)Щ, (12)

1( ) 2( )

Доказательство. Возьмем в качестве Tk одну из пар Туэ, принадлежащих

M(a(t), b(t) \fk(t)),

наименьшей степени m. Так как пара {b(t), -a(t)} G M(a(t), b(t)) С M(a(t), b(t) \ fk(t)), то степень m < п. Пусть пара Т = {P(t),Q(t)}. Если d(T) = 1, то (d(T), f (t)) = 1 и из равенства

a(t)P (t) + b(t)Q(t)=<p(t)fk (t)

следует, что d(T) \ p(t) и для Pi(t) = щ^), Qi(t) = <fii(t) = d^T) G Z[t] справедливо

d(T )■

d(T )

соотношение

a(t)Pi(t)+b(t)Qi(t) = <pi(t)fk(t), {Pi(t),Qi(t)} G M(a(t), b(t) \ fk(t)).

Поэтому можно без ограничения общности считать, что пара Т — примитивная пара Туэ из

M( a( ), ( ) \ k( )) m

пара Туэ не может иметь вид {Р(t), 0} ми {0, Q(t)}.

Пары Туэ Tk,0 = {fk(t), 0} и Tki = {0,fk(t)} из M(a(t), b(t) \ fk(t)) одновременно линейно независимы с Tk-

Пусть для определенности степень этой пары Туэ Tk = {Р(t),Q(t)} равна степени числителя пары и старший коэффициент числителя равен ро, а знаменателя — qo, то есть

m mi

Р(t)= potm+Pi(t), Pi(t) = £pvtm~v, Q(t)= qotmi +Qi(t), Qi(t) = £qvtmi-V, mi < m.

V =i

V =i

Рассмотрим пару Туэ T', заданную равенством

T' -.{

{tnk-mP(t) - pofk(t), tnk-mQ(t)}, если mi < m,

{tnk-mP(t) - pofk(t), tnk-mQ(t) - qofk(t)}, если mi = m.

Ясно, что пара Туэ T'G M(a(t), b(t) \ fk(t)) и линейно независима от пары Туэ Tk = {P(t), Q(t)},

п

M( a( ), ( ) \ k( )) Tk

Пусть Uk одна из этих пар Туэ наименьшей степени s. Из предыдущего следует, что s < пк. Аналогично случаю пары Tk, можно считать, что Uk — примитивная пара Туэ из M(a(t), b(t) \ fk(t)) наименьшей степени s < пк. Пусть такие выбранные пары Туэ имеют вид:

Tk =

{m m Л ( s s ^

Е9vtm-v,Еhvtm-v\, Uk = y,uvf-V,Evvf-V\.

V=o V=o V=o V=o

По выбору пар т ^ в.

Далее для выбранных пар

доУо — Нощ = 0,

так как в противном случае пара и0Ь3-тТк — д0ик = {Р(Ь), Q(t)}, где

P (t) = Y(uo 9v - goUv ) ts V- Y 9oUvts V = Y(uo9v - go Uv ) tS V- Y 9oUvts V,

v=m+i v=i v=m+i

V=o m

Q(t) = Y(uohv - goVv)ts~V - Y 9oVvts~V = Y(uohv - goVv)ts~V - Y 9oVvts~V,

v=0 V=m+1 v=1 V=m+1

Тк

ик

М( а( ), ( ) | /( )) Тк ик

формуле (12). Пусть Ш является такой парой наименьшей степени I и имеет вид

Ш — ; \ - ^

Ки=о и=о )

Очевидно, что I ^ в ^ т. Рассмотрим пару

{R(t),S(г)} — (иодо - РоУо) 11-тТ + (роПо - додо1-8и + (доУо - иоко)Ш

т

R(t) — (иодо - РоУо)^2д^1 и + (ро1по - додо)^и^1 и + (доУо - иоко)^2р

и=о и=о и=о

те I

— (иодо - РоУо) Ед^1-и + (ро1по - додо)^2и^1-и + (доУо - иоР^1-

и=1 и=1 и=1

т

я (г) — (иодо - РоУо)^2 + (роНо - додо)^2 + (доУо - иоко)^2 дЛ

т

^ Н+ (роко - додо) Е + (9оУо - иоНо) ^ .

и=1 и=1 и=1

Тк ик

Ш □

к

ого порядка М(а(1), Ь(1) | /к(1)) является двумерной решеткой многочленов Л(Тк, ик) с базисом /Тк, и к /, причём базис примитивный, то есть обе пары Туэ Тк и и к являются примитивными

п п к

Теперь можно утверждать, что имеет место бесконечная цепочка вложенных двумерных решёток многочленов:

Ъ2Щ Э Л(Т1, и1) Э ... Э Л(Тк, ик) Э .... (14)

Теорема 10. Для двумерной решётки многочленов Л(Тк, ик) — М(а(1), Ь(£) | /к(1)) справедливо равенство

det Л(Т, и) — det М(Т, и) — ±/к(г). (15)

Доказательство. Прежде всего, заметим, что пары V1 — {/к(1), 0} и V2 — {0,/к(£)} принадлежат решётке Л(Т, и) — М(а^), Ь^) | /к

Пусть базис /Тк ,ик /имеет вид Тк — {Р (£)^(£)}, ик — {R(t),S(t)}, тогда, согласно лемме 7, имеем: Р(£)Б(1) - Q(t)R(t) — (ро^)/к(1) и найдутся целочисленные многочлены (и — 1, 2; у — 1, 2) такие, что выполнены равенства

с1Л(1)Р (1) + Cl,2(t)R(t) — /к (I)

сц(Ш1) + а,2(г) я (1) — 0 ,,

С2,1(г)Р (1)+ C2,2(t)R(t)—0 . ^

Отсюда следует, что

С2,1(Шг )+ С2,2(1)Я (1)—/к (I)

С1,1(1)(Р(1)Б(1) - Q(t)R(t)) — /к(1)Б(I)

С1,2Ш.Р- Q(t)R(t)) — -/к№(1) С2,ШР(1)Б(1) - Q(t)R(t)) — -/к(1Щ1) С2,2Ш.Р- Q(t)R(t)) — /к(1)Р(I)

к .

Из (17) вытекает, что

c1A(t)<po(t) = S (t) Cl,2(t)<fio(t) = -Q(t)

C2,i(t)<po(t) = -R(t) • C2,2(t)<po(t) = P (t)

Из примитивности пар Туэ Тк и Uk делаем вывод, что ^o(t) = с(Тк,Uk) = ±1 и теорема доказана. □

5. Подмодули с к линейными определяющими соотношениями

к

когда одному и тому же определяющему соотношению удовлетворяет не только пара, но и её

к - 1

Определение 11. Пусть f (t) — унитарный, неприводимый многочлен с целым,и коэффициентами, а (f(t)) = f(t)Z[t] — главный идеал в Z[t], порожденный многочленом f(t). Пусть a(t), b(t) — произвольные многочлены из Z[t], Будем говорить, что па-

T = { P( ), Q( )} к

a(t)P (v)(t) + b(t)Q(v\t) G (f(x)) для v = 0,...,к - 1. Подмодулем с к определяющими соотношениями назовем множество

M (a(t), b(t) \ f(t),k) = { {P (t), Q(t)} \ a(t)P (v)(t) + b(t)Q(v)(t) G (f (x)) (v = 0,...,k - 1)}

— всех пар Туэ, удовлетворяющих этим линейным, определяющим соотношениям.

Если a(t) = 0 (mod f(t)) и b(t) = 0 (mod f (t)), то определяющим соотношениям удовлетворяют все пары Туэ, и этот тривиальный случай исключается из дальнейших рассмотрений.

Пусть a(t) = 0 (mod f(t))n b(t) ф 0 (mod f(t)), тогда на числитель пары не накладывается никаких ограничений, а знаменатель и его производные будут принадлежать главному идеалу ( f(t)). Если a(t) ф 0 (mod f(t))n b(t) ф 0 (mod f(t)), то числитель и знаменатель пары Туэ меняются ролями.

9(V )(t ) G ( f (t )) (v = 0,... ,k -1)

( ) G ( k( ))

к

к = 1

Пусть к ^ 1 и из g(t) G (fk(t)) следует g(v\t) G (f(t)) (v = 0,...,k - 1) для любого ( )

Пусть g(t) G ( fk+1(t)), тогда g(t) = c(t)fk+1 (t). Поэтому

g'(t) = c'(t)fk+1(t) + ф)(к + 1)fk(t)f'(t) G (fk(t)).

Отсюда, в силу индукционного предположения, следует (g'(t))(v) G (f(t)) (v = 0,...,к - 1). Но это означает, что g(t)(v+1 G ( f(t)) и достаточность доказана.

Необходимость. к = 1

Пусть к ^ 1 и из g(v\t) G (f(t)) (v = 0,...,к - 1) следует g(t) G (fk(t)) для любого ( )

Пусть g(v)(t) е (f(t)) (г/ = 0,..., k), тогда g(t) = c(t)fk(t), g'(t) = c1(t)fk(t). Поэтому g'(t) = c'(t)fk (t) + c(t)kfk-1(t) f (t) = Cl(t)fk (t).

Отсюда, в силу неприводимости f (t), следует c(t) = c2(t)f (t), c2(t) е Z[t], Но это означает, что

g(t) е ( fk+1(t)) и необходимость доказана. □

Поэтому все перечисленные тривиальные случаи исключаются, и дальше рассматриваем только случай a(t)b(t) ф 0 (mod f(t)).

По аналогии со случаем одного определяющего соотношения выделяем для дальнейшего рассмотрения только случай

a(t) ф 0, b(t) ф 0 (mod f (t)), max(dega(t), degb(t)) < degf (t), (a(t), b(t)) = 1. (19)

Из определения непосредственно следует, что свободный модуль ранга 2

fk (t)Z[t]2 СМ (a(t), b(t) I f(t),k).

В частности, линейно независимые пары To = {fk(t), 0^ и Ti = {0, fk(i)} принадлежат М(a(t), b(t)I f(t),k).

Лемма 10. Множество М(a(t), b(t) | f(t), к) является Z[t]-подмодулем модуля Z2[t].

Доказательство. Пусть T = {Р(t),Q(t)}nU = {R(t), S(t)} из М(a(t), b(t) I f(t),k), тогда по определению

a(t)P (v)(t) + b(t)Q(v)(t) = chv (t)f(t), a(t)R(v)(t) + b(t)S (v)(t) = c2,v (t)f(t) (u = 0,...,k — 1),

где ci,v (t), c2,v (t) е Z[t] ( г/ = 0,...,k — 1). Пользуясь этими равенствами, получим

a(t) (Р(v)(t) + R(v>(t)) + b(t) (Q(v)(t) + S(v)(t)) = f(t) (ci"(t) + C2,v(t)) (u = 0,... ,k — 1),

что означает замкнутость М(a(t), b(t) | f(t),k) относительно операции сложения. Так как для любого c(t) е Z[t] имеем:

v

(Р(t)c(t))(v) = ^СЦРM(t)c(v-^(t) е Z[t],

V=o

то

v

a(1)(Р (t)c(t))(v) + b(t)(Q(t)c(t))(" = C(vt)(и(г)Р M (t) + b(t)Q^(t)^j =

v=o

v

= № EС£c(v-ri(t)ch,(t) (y = 0,... ,k — 1),

v=o

что доказывает замкнутость М(a(t), b(t) | f(t),k) относительно операции умножения на мно-

□

Лемма 11. Если Т = {Р(t), Q(t)} пара, Туэ из М(a(t), b(t) | f(t), k), mo

T + fk(t) • Z2[t] С М(a(t), b(t) | f(t),k).

Доказательство. Так как fk(t) • Z2[t] с M(a(t), b(t) | f(t),k) и

T = {P(t),Q(t)}eM(a(t), b(t) I f(t),k), то по свойствам модуля получаем утверждение леммы. □

Теорема 11. Существуют две линейно-независимые пары Туэ T, U степени меньше nk из M(a(t), b(t) I f(t), k) такие, что любая пара Туэ V из M(a(t), b(t) | f(t),k) однозначно представима в виде

V = a(t)T + C2(t)U, (20)

где C\(t) и c2(t) — многочлены с целым,и коэффициентами.

T

M(a(t), b(t) I f(t),k),

наименьшей степени m. В силу леммы 11 степень m < nk. Легко видеть, что такая примитивная пара Туэ не может иметь вид {P(t), 0} ми {0, Q(t)}.

Действительно, если {P (t), 0} G M (a(t), b(t) | f(t), k), то по лемм e 9 P (t) G (fk (t)), что противоречит неравенству m ^ nk. Аналогичные рассуждения справедливы для пары Туэ {0,Q(t)}.

Отсюда следует, что пары Туэ Tk,0 = {fk(t), 0} и Tk1 = {0, fk(t)} из M(a(t), b(t) | f(t), k) обе T T = { P( ), Q( )}

равна степени числителя пары и старший коэффициент числителя равен ро, а знаменателя — q0, то есть

mi

P(t)= potm+Pi(t), Pi(t) = J2 Pvtm-U, Q(t)= dotmi +Qi(t), Qi(t) = J2 ^tmi-U, m1 <

V=1 V=1

Рассмотрим пару Туэ T', заданную равенством

/ = j {tnk-mP(t) - ро f(t), tnk-mQ(t)}, если mi < m,

m.

' = {

{tnk-mP(t) - ро f(t), tnk-mQ(t) - qo f(t)}, если mi = m.

Ясно, что пара Туэ T' G M(a(t), b(t) | f(t), k) и линейно независима от пары Туэ T = {P(t), Q( )} n k

M( a( ), ( ) | ( ), k) T

U < n k

Пусть такие выбранные пары Туэ имеют вид:

{m m Л ( s s ^

E 9Vtm-v, E h»tm-u , и = y , E

v=0 v=0 ) l v=0 v=0 )

По выбору пар т ^ в <пк. Далее для выбранных пар

доУо - Ыио = 0, (21)

так как в противном случае пара ио— до!1 = {Р(Ь), Q(t)}, где

m m

P (t) = Y(uo - 9oUv ) ts u- Y Sou,? U = Y(u°9v - 90 u„ ) ts u - ^ gouvf v,

v=0 v=m+1 v=1 v=m+1

m m

Q(t) = Y(uoh„ - govv)ts~v - Y 9ovvts~v = ^(uoК - govv)ts~v - ^ govvts~v,

v=0 v=m+1 v=1 v=m+1

Т

и

М( а( ), ( ) | /( ), к) Т и

Ш

Очевидно, что I ^ в ^ т. Рассмотрим пару

ш — {Е ,

I и=о и=о )

{R(t),S— (иодо - РоУо)¿-тТ + (роко - додо^ 1-3и + (доУо - иоко)Ш

т

R(t) — (иодо - РоУо)^2д^1 и + (ро1по - додо)^и^1 и + (доУо - иоко) ^р^'

и=о и=о и=о

те I

— (иодо - РоЩ) Е+ (ро1по - додо)^2и„г1-и + (доУо - иоко) Е

и=1 и=1 и=1

т

я (г) — (иодо - РоУо)^2 + (ро1по - додо) Е + (9оЩ - иоко) Е

и=о и=о и=о

т

— (иодо - РоЩ) Е + (роко - додо) Е + (9оЩ - иоко) д^1-

Т и

Ш □

к

М (а(Ь), Ь(Ь) | /(Ь), к) является двумерной решеткой многочленов Л2(Т,и) с базисо м /Т,и/,

п

к М( а( ), ( ) | ( ), к)

следует, что имеет место бесконечная цепочка вложенных подмодулей (двумерных решёток многочленов)

ъ2щ э м(а(г),ъ(г) | /(г), 1) э ... э м(а(г),ъ(г) | /(г),к) э .... (22)

6. Дробно-линейные преобразования двумерных решёток многочленов

М

членов /а(%), где

п

„V

/а(я) — ЕаиХи, а — (ао,а1,... ,ап).

и

=о

Напомним, что ^(Ъ) — мультипликативная группа квадратных, унимодулярных, целочисленных матриц второго порядка. Таким образом, целочисленная матрица

М — {С Д) е^2(Ъ)

тогда и только тогда, когда

А, В, С, И е Ъ, 5(М )—<1в1М — АИ -ВС — ±1. М-1

М-1 — 5(М)( ИС -ВВ) еЫ2(Ъ).

Определение 12. Для произвольной матрицы М е Ы2(Ъ) дробно-линейным преобразованием М многочлена, /а(х) называется преобразование, заданное формулой

М(Ш) — (Сх + И)п/^ А+И^ .

Отсюда следует, что можно дать следующее определение дробно-линейного преобразования двумерных решёток многочленов.

Определение 13. Для произвольной матрицы М е Ы2(Ъ) дробно-линейным преобразованием М первого рода, двумерной решётки многочленов Л(Т, и) называется преобразование, заданное формулой

М(Л(Т, и)) — Л(М(Т), М(и)),

где для произвольной пары, Т — {Р(Ь),((Ь)} преобразование М(Т) первого рода, определяется равенством М(Т) — {М(Р($),М(Я(Щ.

Лемма 12. Для произвольной матрицы М е Ы2(Ъ) дробно-линейное преобразование М

Т, и

М( Т), М( и)

М( Т), М( и)

симые, то есть существуют два многочлена С1(Ь) и С2(Ь) с целыми коэффициентами одновременно неравные нулю, что с1(1)М(Т) + с2(1 )М( и) — {0, 0^. Так как М е Ы2(Ъ), то существует обратная матрица М-1 е ^(Ъ). Применим её к последнему равенству для пар, получим: М(с1(Ь))Т + М(с2(£))и — {0, 0^. Так как из М(с(^) — 0 следует с^) — 0, то получаем линей-

Т, и

□

М

Л( Т, и)

Оказывается, что можно дать и другое определение преобразования двумерной решётки Л( Т, и) М

Определение 14. Для произвольной матрицы М е и2 (Ъ) дробно-линейным преобразованием М второго рода, двумерной решётки многочленов Л(Т, и) называется преобразование, заданное формулой

М(Л(т, и)) — Л(М(Т), М(и)),

где для произвольной пары, Т — {Р(Ь),((Ь)} преобразование М(Т) второго рода, определяется равенством М(Т) — {И • М(Р(г)) - В • М(Я^)), А • М((¿(г)) - С • М(Р(г))}.

Лемма 13. Для произвольной матрицы М е Ы2(Ъ) и пары, Туэ Т справедливо равенство

М-1(М(Т)) — Т.

Доказательство. Действительно,

М-1(М(Т)) = М-1{{D ■ М(Р(t)) - В ■ М(Q(t)),A ■ М(Q(t)) - С ■ М(Р(t))}) = = 5(М){A ■ М-1(D ■ М(Р(t)) - В ■ М(Q(t))) + В ■ М-1(A ■ М(Q(t)) - С ■ М(Р(t))),

D ■ М-1(A ■ М(Q(t)) - С ■ М(Р(t))) + С ■ М-1(D ■ М(Р(t)) - В ■ М(Q(t)))} = = 5(М){(AD - ВС)М-1(М(Р(t))), (AD - ВС)М-1 (М(Q(t)))} = {Р(t), Q(t)} = Т.

□

Из доказанной леммы следует, что дробно-линейное преобразование второго рода имеет обратное преобразование, а, значит, оно преобразует двумерную решётку многочленов Л(Т, U) в двумерную решётку многочленов.

7. О полиномах Туэ

Напомним некоторые определения из работы [4], сделав необходимые для дальнейшего модификации.

Определение 15. Пусть f(x) — неприводимый многочлен п-ой степени с целым,и коэффициентам,и и старшим коэффициентом равным, 1, av — корень этого многочлена, а Р (t) и Q(t) многочлены с целыми коэффициентами. Тогда, T(t, av) = Р(t) - avQ(t) называется полиномом Туэ для av.

Таким образом, многочлены Р(t) и Q(t) из Z[t] , а полином Туэ T(t,av), вообще говоря, из его расширения Z[av][i ].

Другими словами можно сказать, что неприводимый многочлен f(x) Е Z* [x] задает отображение Туэ из декартового квадрата Z [t]2 в кольцо полип омов Z[av ][i] (и = 1,... ,п). Образом

Р( ) Q( )

Т (t ,av).

Ясно, что полиномы Туэ T(t, а\), ..., T(t, av), ..., T(t, ап) образуют полный набор сопряженных полиномов.

Определение 16. Порядком, полинома Туэ называется наивысшая степень (t - av) на, которую этот полином делится. Полином Туэ j-го порядка, обозначается через Tj (t,av). Полином Rj(t,av), удовлетворяющий раеенству Tj(t,av) = (t - av)jRj(t,av) называется множителем Туэ порядка, j для av, а, упорядоченная пара многочленов Tj = {Р^j(t),Qj(i)} — парой Туэ порядка, j. Многочлен Рj(t) называется числителем пары, Туэ. Через m,j обозначается степень числителя. Многочлен Qj (t) называется зн,а,м,ен,а,т,ел,ем, пары, Туэ. Через lj обозначается степень знаменателя. Величина kj = ma,x(mj, lj) называется степенью пары, Туэ.

Таким образом, для произвольной пары Туэ Т и соответствующего полип ома Туэ T(t, av) определены четыре функции:

( Т) m( Т)

• 1(Т) — степень знаменателя пары.

• к(Т) — степень пары.

Единственным полиномом Туэ бесконечного порядка является нулевой полином:

ТсоС£,аи) = 0 = (г — аи у • 0

для любого ] ^ 0 соответствующая пара Туэ будет обозначаться Тс = {0, 0}. Примем естественное соглашение, что ,?'({0, 0}) = т({0, 0}) = ¿({0, 0}) = &({0, 0}) = те.

Отметим пять простейших свойств полиномов Туэ, указанных в работе [4], и к ним добавим ещё шестое и седьмое свойства, которые сразу вытекают из определения полинома Туэ

1. (¿) является полиномом Туэ порядка ] .

2. Существуют полиномы Туэ любого порядка.

4. Сумма двух полиномов Туэ является также полиномом Туэ и его порядок не ниже наименьшего из порядков слагаемых.

5. Если а — алгебраическое число степени не ниже второй и полином Туэ 7)(Ь, а) = Р^ (Ь) — —aQj(¿) делится та многочлен р(¿) с целыми коэффициентами, то Р^(¿) и Qj(¿) делятся на р(Ь) и частное от деления Т^ (Ь, а) на р(Ь) есть многочлен Туэ порядка не выше

производные до порядка ] — 1 включительно являются полиномами Туэ порядка не ниже 1.

Прежде всего уточним свойство 1, а именно, многочлен /3(Ь) является полиномом Туэ для каждого алгебраического числа а\, а2, ■ ■ ■, ап. Его парой Туэ порядка ] является пара Т) = {¡К^), 0^- Таким образом, полиномы Туэ Т(Ь ,а\) = ..., Т(1 ,аи) = ..., Т(Ь,ап) = /•'(Ь) образуют стационарный полный набор сопряженных полиномов, но соответствующий полный набор сопряженных полиномов-множителей Туэ К(Ь,а\),..., К(Ь,аи), ..., К (Ь, ап) не является стационарным, так как

(п-1 п \-

£ I1 £ акак-1-Л = Ц(г). 1=0 к=1+1 )

ются уже упомянутая пара Т),о = 0} и пар а Тд = {0, (Ь)}.2 Свойство 2 является

содержательным, так как кроме тривиальных примеров, указанных выше, для любого порядка ] > 0 имеются нетривиальные примеры отличные от пар Туэ вида Тj = (1)То, где То — произвольная пара Туэ нулевого порядка. Именно на изучении таких нетривиальных приме-

В. Д. Подсыпанина.

Например, парами Туэ порядка 1 является пара Т\,о = {£, 1}, которой соответствует полный набор сопряженных полиномов Туэ первого порядка

Т\,о^, а\) = Ь — аг, ..., Т\,о^ ,ап)= ^ — ап,

2Мы и далее полиномы Туэ и пары Туэ будем обозначать, как правило, с помощью двух индексов. Первый индекс указывает на порядок, а второй на номер, если речь идет сразу о нескольких полиномах или парах.

со стационарным набором множителей Туэ К\,о(1,а\) = 1, а также пара

п— 1

п— 1

Тц = ^ -ао,^аз+ *

3=1

которая задает полиномы Туэ

(п-1

^ аз г3-1 + Г-1 | (и = 1,..., п). Действительно, так как ап = 1, то

п п

—а0 — ау ^ азЬ3-1 = — ау ^ аз {Ъ3-1 — а3у-1) = 3=1 3=2

п 3-2

= —(Ху (Ь — (Ху) ^ Е ^аV-2-1 = ^ — (Ху)^1>1(1,а1'), 3=2 1=0

п-2 п ._2_1

где Я1,1(1,ау) = — ау ^ & а3 аУ — множитель Туэ первого порядка для ау.

1=0 3=1+2

Свойства 3 и 4 позволят нам в следующих разделах на множестве всех пар Туэ порядка не ниже ] задать алгебраическую структуру унитарного модуля над кольцом целочисленных полиномов ЪЩ.

Остановимся подробнее на свойстве 5, которое является частным случаем теоремы 2 (см. стр. 58). Действительно, полином Туэ Т(Ь, ау) = Р(Ь) — ауимеет нулевую многочленную компоненту Р(¿) и первую многочленную компоненту —Q(t), что доказывает свойство ^

Свойство 6 очевидно, так как полином Туэ порядка ] отличен от нуля, а в кольце полиномов Ъ\ау][£] (и = 1,..., п) ненулевой полином делится на полином (Ь — ау)3 тогда и только тогда, когда его степень не меньше ] и от имеет корень ау кратности не меныне Эти рассуждения доказывают и свойство 7.

Лемма 14. Для любого полинома Туэ Т3(Ъ,а) = Р3 (Ь) — aQз(Ъ) порядка, ] ^ 1 соответствующая, пара, Туэ Т3 = {Р3(Ь), Qз(¿)} € М(1, —£ | f (Ь)), то есть выполнены, соотношения

/ ЖРз (г) — 1Яз (I)).

Доказательство. Действительно,

73-(I, а) = р3(г) — аЯз(г) = (г — а)я3(г) + (р3(г) — ^(г)).

Поэтому из делимости левой части на (Ь — а) следует делимость на этот бином последнего выражения в больших скобках. Но это выражение является многочленом с целыми коэффициентами, поэтому он будет делиться на многочлен / (Ь). □

Легко вычислить произведение полного набора сопряженных многочленов Туэ.

Теорема 12. Для любой пары, многочленов Р3 (Ь) и Qз(Ь) из ЪЩ, задающих полный набор сопряженных полиномов Туэ ]-ого порядка: Т3(Ь,а1) = Р3(Ь) — а^з(Ь), ..., Т3(Ь, ау) = Р3(Ь) — ауQз(Ь), ..., Т3(Ь, ап) = Р3(Ь) — апЯз(^ справедливо равенство

) = 0>п$) • иш)= I3 №з (V, (23)

у=1

П 73 (г, ау) = япа) • / (щ|) = I3 тз ®

где множитель Туэ Кз(Ь) = П Кз(Ъ,ау) € ЪЩ.

у=1

Доказательство. Действительно,

пт', )=ч® п (Ц — *)=^ ■ / (<§).

п

Так как Л (Ь — аи)з = /з(Ь), то равенство (23) доказано, а из делимости двух многочленов

из кольца ЪЩ в расширенном кольце Ъ[а1 ,..., ап]Щ следует делимость в ЪЩ, что

завершает доказательство теоремы. □

Определение 17. Формой А. Туэ — М. Н. Добровольского — В. Д. Подсы,папина называется бинарная полиномиальная форма Т(Р(Ь),<(Ь)), задаваемая равенством

Т(Р (г),<(г)) = Шп-и (г). (24)

и=0

Из определения видно, что ТДП-форма задает отображение из декартового квадрата ЪЩ2 в кольцо многочленов ЪЩ. Нетрудно видеть, что степень образа равна п -к, где к — степень пары {р(г

Формулу (23) теперь можно переписать в виде

(Рз Щ = Т (Рз (£)< (V) = зт

\Яз 0)) оп(1) 1()ЯП^).

/ ш) =Тз^зу= . (25)

Из этой формулы видно, что особый интерес представляют примитивные пары Туэ.

Определение 18. Пара ТуэТз = {Р3^),<з(Ъ)} порядка, ] называется примитивной, если её числит,ель и, знаменатель взаимно простые многочлены.

п

п

Т ( Р (г )с1(г),я(Ш)) = £ а„Р» (№п-(1)<Т(1) = йп(1)т(Р (г),<<(г)). (26)

V=0

Пользуясь формулой (25), можно определить два типа итерационных последовательностей рациональных чисел.

Определение 19. ТДП-последовательностью первого рода, для примитивной пары, Туэ Т3 = {Рз(Ь),<з(Ъ)} порядка, ] называется последовательность несократимых дробей, ^ ..., ..., удовлетворяющих соотношениям

С = ^ Рз (| ),*< (|)) ,

р1+1 = сС- дрРз(, Ш+1 =сС-(I > 0).

(27)

Определение 20. Последовательность {Тз^ = {Рз^(Ь),<з„(¿)}}^=0 примитивных пар Туэ называется монотонной, если 1 ^ ,]0 ^ ]1 ^ ... ^ ^ ....

Определение 21. ТДП-последовательностью второго рода, для, монотонной последовательности {Тз^ = {Рз^(Ь),<з„(¿)}}^"=0 примитивных пар Туэ называется последовательность несократимых дробей, Р0, ..., удовлетворяющих соотношениям

СV =1 §)

Р„+1 =с-1 чТ'Рк(, = сС-&<}»,(( > 0). (28)

Возникают естественные вопросы об условиях сходимости этих итерационных последовательностей.

8. Подмодули с одним полиномиальным определяющем соотношением порядка к

С помощью ТДП-формы дадим следующее определение.

Определение 22. Пусть f (Ь) — унитарный, неприводимый многочлен с целым,и коэффициентами, а (/к(£)) = /к(^ЪЩ — главный идеал в ЪЩ, порожденный к-ой степенью многочлена f(Ъ). Пуст,ь Т(Р(Ь),Я(Ь)) — соответствующая ТДП-форма. Будем говорить, что пара Туэ Т = {Р(Ь), удовлетворяет полиномиальному определяющему соотношению к-

ого порядка,, если Т(Р(£),Я(£)) € (¡к(ж)). Подмодулем с одним определяющим, полиномиальным соотношением к-ого порядка назовем множество М(Т(Р(£),Я(£)) | /к(1)) всех пар Туэ, удовлетворяющих этому полиномиальному определяющему соотношению к-ого порядка.

Из определения непосредственно следует, что свободный модуль ранга 2

В частности, линейно независимые пары То = {¡к$), 0} и Т1 = {0,(£)} принадлежат

для любого унитарного, неприводимого многочлена /(Ь) с целыми коэффициентами и любого натурального к.

Лемма 15. Для любого унитарного, неприводимого многочлена f (Ь) из общего случая, если Т = {Р(Ь),Я(Ь)} и и = {Я(1),3(£)} — две пары, Туэ из

Доказательство. Прежде всего, заметим, что утверждение достаточно доказать для примитивных пар Туэ. Действительно,

¡к тщ2 с м (т (р (1),Ж1)) 1 ¡к (г)).

м(Т(Р(I), Я(1)) I ¡к+1(1)) с м(т(р(I), Я(1)) 11к(I)) с м(т(р(1),Я(1)) I /(I))

м (т (р а), да)) I ¡к о)),

то

р(гщг) — ЩШ) = ¡к(1Ш), Ф) € Щ.

Далее заметим, что если

Так как Т и и из М(Т(Р(£),Я(£)) | (1)), то по определению

Т(р(г),я(г))= С1(г)/к1 (г), т(Я(г),8(г)) = С2(г)/к2(г), ь, к2 > к,

где С1(1), С2(1) € ЪЩи (С1(1)Л(I)) = (С2(1), №) = 1

Разложим левую и правую части этих равенств в кольце многочленов

Ъ\(ц, ...,а„,... ,ап]Щ,

получим

П () = * С). П () = «.М-

Заметим, что при V = у имеем:

р(¿) — = р((у) — (цЯ((у) = о

Д™ (г — аи )к1 = ((у — а^)к1 = ,

( )

Так как с\(аи) = 0 с2( аи) = 0 для любого и = 1,... ,п, то

Р (г) — а^) = Ях (г ,аи )(г — аи )к1, Я($ — аиБ (г) = Я2(г ,аи )(г — аи )к2,

где полиномы Я^,ау), Я2(Ъ,ау) € Ъ[ау

Положим д(1, ау) = а — ау)к1-кЯ\^, ау) и Ъ(1, ау) = (Ъ — ау)к2-кЯ2(1, ау). Тогда

Р (г)Б (г) — Я(г)яа) = — (у )кд а, (у) + Б (г)—

— — (у)к, (у) + (^ Я(1) = (1 — (у)к (д(г, (у)Б(I) — , (у)Я(1)). (29)

Формула (29) справедлива для любого V = 1,... ,п.

Таким образом, многочлен Р(1)3(Ь) — Я(Ь)(^(Ь) делится на п взаимно простых полиномов (1 — )к из кольца Ъ[(1,..., (п][£], а значит делится на их произведение, равное (1), что и доказывает лемму. □

( )

фициентами множество М(Т(Р| /квсех пар Туэ, удовлетворяющих полиномиальному определяющему соотношению к-ого порядка Т(Р(1),Я(1)) € (/к(х)), является свободным ЪЩ-модулем ранга 2.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если Т(£, ) = Р(^ — — полиномом

Туэ для (и = 1,..., п), то имеем разложение ТДП-формы Т(Р(Ь)Х(Ь)) в произведение полиномов Туэ:

п

Т(Р а ),яа)) = П Т(1 ().

у=1

Отсюда следует, что если пара Туэ Т = {Р€ М(Т(Р| /кто соответствующие полиномы Туэ Т(Ь, ) = Р(Ь) — (^(Ъ) будут иметь порядок не ниже к, и наоборот, если пара Туэ Т = {Р(Ь), имеет порядок не ниже к, то она удовлетворяет полиномиальному

определяющему соотношению й-ого порядка Т(Р(£),Я(1)) € (¡к(ж)).

Таким образом, множество М(Т(Р| /ксовпадает с множеством всех пар Туэ порядка не ниже к, которое является подмодулем Ъ\р ]-модул я Ъ2Щ.

Перейдём к доказательству того, что ранг этого свободного модуля равен 2. Для этого необходимо показать, что существуют две линейно-независимые пары Туэ Тк, и к из М(Т(Р(1),<(1)) | /ктакие, что любая пара Туэ V из М(Т(Р(1),<(1)) | /к(£)) однозначно представима в виде

V = С1(1)Тк + с2 №к, (30)

где с^) и с2(Ь) — многочлены с целыми коэффициентами.

Тк

М (т (Р а),<а)) цк

наименьшей степени т.

Пары Туэ Тк,0 = {¡к(г), 0} и Тм = {0, ¡к(*)} из М(Т(Р(г),<($) Цкне могут

Тк

М(Т(Р(1), I /к(1)) линейно пезависимые с Тк- Пусть Ик одна из этих пар Туэ наименьшей Пусть такие выбранные пары Туэ имеют вид:

{т т Л ( в 5

Е,Е, ик =Е^--,^Vvts-v\.

V=0 -=0 ) \ -=0 -=0 )

По выбору пар т

Далее для выбранных пар

д0У0 — Ыщ = 0, (31)

так как в противном случае пара и0Ь3-тТк — д0Ик = {Р(£), где

т в т в

Р(г) = ^2(и0дV — д0иV)— Е = ^2(и0д- — д0иV)— Е 90^^,

-=0 v=т+1 v=1 v=т+1

т т

<(1) = ^(и0К — )Г-" — Е 90Vvts-V = ^(и0К — д0УV)г-" — Е 90Vvts-V,

v=0 v=т+1 v=1 v=т+1

Тк

ик

М(Т( Р( ), < ( )) | ( )) Тк

Ик по формуле (30). Пусть Ш является такой парой наименьшей степени I и имеет вид

Ш =

(е^, Е

=0 =0

Очевидно, что I ^ в ^ т. Рассмотрим пару

{к(г),Б (г)} = (щд0 — Р0У0) ¿-тТ + (Р0!10 — ^^ ^ 1-3и + — щ1ъ)Ш

т s I

R(t) = (Uoqo - P0V0)J29vtl-V + (p°h° - Qo9o)EUutl-U + (g°v° - uoho)EPvtl-v =

v=0 v=0 v=0

т s

= (uoqo - P0V09vtl-v + (Poho - qo9o)EjUvtl-v + (,9оЩ - Uoho)^Pvtl-v,

v=l v= 1 v=l

т

S(t) = (uoqo - PoVo)J2 hvtl-v + ('Poho - Qo9o)E Vvtl-v + (goVo - uoho)^2 Vvtl-v =

v=0 v=0 v=0

т

= (uoqo - Povohvtl-v + (poho - qogo) E Vvtl-v + (9oVo - uoho) E 4vtl-v.

v=l v=l v=l

Эта пара не пред ставима через пары Тк, Uk и имеет степень меньшую I. Но это противоречит выбору пары W. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. □

Из доказанной теоремы следует, что подмодуль с одним определяющим полиномиальным соотношением к-ого порядка М(Т(Р(t), Q(t)) | fk(t)) является двумерной решеткой многочленов Л1(Тк, Uk) с базисом /Тк, Uk/.

Теперь можно утверждать, что имеет место бесконечная цепочка вложенных двумерных решёток многочленов:

Z2[t] D Л\(Т\, Ui) D ... D Лг(Тк, Uk) D .... (32)

□

9. Модули TDP J над кольцом Z[t] (j = 0,1,...)

Для изучения указанных выше итерационных последовательностей (см. опр. 19, 21) определим бесконечную последовательность вложенных модулей над кольцом Z[t].

Определение 23. Модулем TDPj называется множество всех пар Туэ порядка, не ни-

числителей слагаемых, а, знаменатель суммы — сумме знаменателей. Числитель произведения пары, Туэ на многочлен из Z[t] pa,вен, произведению числителя пары, на этот многочлен, а знаменатель произведения — произведению знаменателя на тот же многочлен.

Из свойств 1. — 4. на стр. 77 следует, что каждое множество TDPj не пусто и является унитарным модулем над кольцом многочленов Z[t]. Из свойства 6 вытекает, что степень любой пары Туэ из TDPj не меньше j . Таким образом, имеем бесконечную цепочку вложенных модулей

Щ2 = TDP0 D TDPi D ... D TDPj D ...

над кольцом Z[t].

Из теоремы 13 (стр. 81) следует, что TDPj = М(F(P(t),Q(t)) lf3(t)), и, следовательно, существуют две линейно-независимые пары Туэ Tj, Uj из TDPj такие, что любая пара Туэ V из TDPj однозначно представима в виде

V = ci(t)Tj + С2 (t)Uj, (33)

i( ) 2( )

Если положить TDP* = {Т е TBPj| j(T) = j} , то множество TDP* не является модулем, так как не замкнуто относительно сложения и операции умножения на многочлены. Справедливо очевидное разбиение модуля на непересекающиеся множества

те

TDP j = У TDP*,

v=

причем в это разбиение входит и ТВР^, = {{0, 0}} — нулевой модуль.

Введем на множестве всех пар Туэ ЪЩ2 линейный оператор дифференцирования следующим образом.

Определение 24. Для любой пары Туэ Т = {Рполагается Т = {Р'^), (^} — производная, от, пары, Туэ. Другое обозначение оператора дифференцирования пары, просто Т'.

Теорема 14. Для любой пары, Туэ Т = {Р(Ь), Я(1)} с порядком ](Т) > 0 справедливо равенство

Э(Т' )=з(Т) — 1. (34)

Доказательство. Действительно, если ](Т) > 0, то соответствующий полином Туэ Т(Ъ, () = (Ъ — ()3(т), () и полином , () взаимно прост с полиномом (Ъ — (). Так как

полином Туэ для пары Т' равен производной полинома Туэ от исходной пары и

га, ()=¿(т)а—(у(т)-1Ята, () + а—(у(т)Я'та, (), □

Из доказанной теоремы следует, что оператор дпфференцирования — отображает TDP* в -- (TDP.,-) С TDPi-b -- (TDP*) С TDP*-1.

TDP*—! при 1: — (TDPj) С TDPi-b -- (TDP*) С TDP*—

Замечание 3. Если пара Туэ Т имеет вид Т = и + {а, Ь}, где для пары, Туэ и её порядок .](и) > 1 и а, Ь целые числа, то ](Т) = 0, а, ](Т') = ](и) — 1 > 0 тпа,к как Т' = и'.

Непосредственно из определения оператора дифференцирования пар Туэ и из свойств дифференцирования многочленов вытекает следующая теорема.

Теорема 15. Для дифференцирования пар Туэ справедливы, следующие формулы дифференцирования:

Уа,Ь € Ъ : {а, Ь}' = {0,0}, Уа,Ь € Ъ : (а •Т + Ъ •и)' = а •Т' + Ъ •и', Уа(г) € ЪЩ : (а(г) • Т)' = а'(г) • Т + а($ • Т',

jk k ли лk—v

Va(t) е Z[t] : —k (a(t) •T) = — a(t) • -- T.

dt k v v > > k dtv w dtk—v

v=0

Теорема 16. Пара Туэ T = {P(t), Q(t)} имеет порядок не ниже j тогда и только тогда,

P(v)(t) = tQ(v)(t) (modf(t)) (и = 0,..., j — 1). (35)

Доказательство. Рассмотрим полином Туэ

T(t, а) = P(t) — aQ(t) = (t — a)Q(t) + P(t) — tQ(t)

для числа а, соответствующий nape Туэ T. Если j(T) ^ 1, то многочлен P(t) — tQ(t) делится

( — а) ( )

целое алгебраическое число а, отсюда следует сравнение (35) при и = 0. Согласно теореме 14 j T^ = j(T) — к при к ^ j(T), поэтому сравнение (35) выполнено для любого и < j(T), и

тем самым теорема доказана. □

Лемма 16. Если Тм = {Рк,1^),Як,1^)} и Тт,2 = {Рт,2&),Ят,2&)} - две пары Туэ,

РкЛ)Яш,2(1) — Рш,2(ь)Як,1^) = ¡з(ь)р(1), <р(г) е ЪЩ. ДОКАЗАТЕ льство. Так как к ^ ] и т ^ то по определению

ТкЛ(1, «V) = Рк,1 — ^Як^) = $ — «V)з — «V)к-зКкЛ(1, «V)) ,

где Кк,1(£,«и) — множитель Туэ порядка к для алгебраического числа «и. Аналогично Тш,2(Ь .«V) = Рт,2&) — «vQт,2(t) = ^ — «V )з — «V ^^ , «V)), ГД6 Ят,2^, «V) — МНО-

житель Туэ порядка т для алгебраического числа «и.

¿v •

Положим , «1/) = (Ь — «и)к-зЯк,1^, «1/) и , «1/) = (р — «1/)т-:зКт,2(^, «и)■ Тогда

Рк,1^)Ят,2^) — Рш,2 (¿)Як,1$) = ((* — «V У9(I, «V) — ^ЯкА^) Ят,2&) —

— — «V)зН(Ъ, «V) — «vQт,2(t)) Як,1&) =

= (1 — «V)з Ш, «V)Ят,2^) — , «V)Як,1^)) . (36)

Формула (36) справедлива для любого и = 1,... ,п.

Таким образом, многочлен Рк,1^)Ят,2(^) — Рт,2(^)Як, делится па п взаимно простых полиномов (Ь — «г,)з из кольца Ъ[«1,... ,«п][£], а значит делится па их произведение, равное /з (¿), что и доказывает лемму. □

Определение 25. Основными парам,и Туэ для порядка, ] назовем две пары, Туэ Тк,1 и Тт,2 порядка не ниже для, которых любая пара, Туэ Т13 порядка не ниже ] представляется по формуле

Т1,3 = С1(1)Тк,1 + С2(г)Тт,2, (37)

1( ) 2( )

и соответствующие основные полиномы Туэ. Зам

модулярной матрицы.

Доказательство. Пусть Тз1>1(Ь,«) Тз^р^Ъ,«) — основные полиномы Туэ для порядка ], а полиномы Тк1,1(Р,«) Тк2,2(г,«) выражаются по формулам

Ткг,1^, «) = Тзъ1$, «) • С1,1(г) + Тз2,2(Ъ, «) • 01,2(£) 1,

Тк2,2&, «) = , «) • С2,1&) + Тз2,2(1, «) • С2,2(Ь)

где С1,1(Ь), С1,2(Ь), С2,1(Ь), С2,2(^ — многочлены с целыми коэффициентами и

^ С1^) =с = ±1. (39)

Тогда система разрешима относительно Т]1>1{Ь, а), Тз2,2(Ь, а):

ТпЛ(1, а) = %Ъ1(1, а) • с*1Л(1) + ТъЖ, а) • с*^)

,

Тз2,2(Ъ , а) = Тк1,1(г, а) • + Тк2,2(Ъ, а) • с*М)

многочлены с целыми

где с\ла) = сЬ® = — с*2Л(1) = — с*^) = ^

коэффициентами.

Таким образом основные многочлены Т^1>1{Ь,а), Т]2,2(Ъ,а) выражаются через многочлены Тк1,1(Ь, а), Рк2,2^, а) порядка не ниже ], а следовательно через них выражаются все многочлены порядка не ниже ], и потому многочлены Тк1,1(Ь,а), Рк2,2^,а) являются основными.

С другой стороны, если полиномы Т]1>1{Ь,а), Тз2,2(Ь, а), а также полиномы Тк1,1^,а), Рк2,2^, а) являются двумя парами основных полиномов для порядка ], то имеют место равенства (38), (40) и, следовательно,

(с1Л(1) С1,2(1)\ (с*1Л(1) ¿[¿Щ =г = (1 0\

\С2Л(1) с2,2(1)) \с*2А(1) с*^)) ^ 1) ,

то есть матрица

гт = (с1,1(г) °1,2(г)\

является унимодулярной. □

Теорема 18. Если Ткл = {РкА^Хк,^)} и Тт,2 = {РтА^Хт^)} - две пары, Туэ,

Рк,1(№ш,2 (^ — Рт,2(№к,1(*) = Р(-Ъ),

то пары Тк,1 и Тт,2 являются основными для порядка, ].

Доказательство. Пусть пара Туэ Т1,3 = {Р1,3^),Я1,3(1)} имеет порядок не ниже 3. Рассмотрим три многочлена

сл(г) = Рт,2(№1,з(ъ) — Р1,з(тт,2(ъ), С2(1) = Р1,з(г)Як,1 (ъ) — Рк,1(Ш,з(Ъ,

Сз (I) = РкАЪЯтЖ) — Рт,2 (№к,1&).

Непосредственно убеждаемся, что

С1(Ь)Тк,1 + С2(1)Тт,2 + Сз(1)Т1з =Т^ = {0, 0}. (41)

По условию Сз(Ь) = /3(Ь), а по лемме 7 (стр. 68) многочлены С1 (Ь) и С2(Ь) имеют вид С1(Ь) = = (¿)(р(£) и С2(Ь) = (Ь)ф(Ь), где ^(Ь) и ф(Ь) — многочлены с целыми коэффициентами. Тогда равенство (41) можно переписать в виде

Г(г)^)Тк,1 + )ф(ъ )тт,2 + Щз = т^ = {0,0}.

Сокращая на /3(¿), что возможно, так как кольцо ЪЩ без делителей нуля, получим

^а)Тк,1 + Ф(Ь)Тт,2 + Т13 = Т^ = {0, 0},

следовательно,

т1гз = —<р(£)Тк,1—ттш,2.

□

Определение 26. Матрицей Туэ для порядка ] назовем матрицу МТ, вида

МТ, = (;«% <«) , (42)

такую, что две пары, Туэ Тк,1 = {Рк,1^), и Тт,2 = {Рт,2(Ь), (т,2(Ь)} порядка, не ниже

Если выполнено дополнительное условие <1в1 МТ, = , (Ь), то матрицу Туэ МТ, будем

м=ц 4.> М1=(/« 0) <,,

имеем, (1еЛМ = /(Ь), (1еЛМ1 = /(¿) и пары, Т1,1 = {£, 1} и Т1,2 = |—а0, | для, матрицы

М, и пары, Т1,3 = {¡'(Ь), м Т1,4 = {£, 1} для, м,ат,рицы М1; являются основным,и для порядка, ] = 1, то есть МТ1,1 = М и МТ1,2 = М1 — основные матрицы Туэ для порядка, 3 = 1- Но уже про матрицы М,,1 = М3 и М,,2 = М, с (\е1М,>1 = М,,2 = ¡3(Ъ) нельзя, утверждать,

( 0\

что они являются матрицами Туэ. Например, М2,2 =

М12 =

Т2,3 = {!'2^), 0} имеет порядок 2, а пара Туэ Т1,5 = {£ ■ (¡'(Ь) + 1), 1} имеет порядок только 1.

Лемма 17. Если для, полином,а, Туэ Ц(1, а) = Р(1) — а((г(1) = (1 — а)1 ■ д(1, а) выполнено соотношение

М^-^У) — г я(~1](1), (44)

то полином Ц(Ь, а) будет порядка, не ниже

Доказательство. Действительно, Тг^ ,а) = (1 — а)1 ■ д(1, а) где многочлен д(1 ,а) е 2[а][£] и д(Ь, а) не делится на (Ь — а).

,-1 (1-1 \ , а) = ^С1-1{11 (1 — — а)-1 ■ 9°-1-1) ^, а) =

1=0 \ь>=0 /

,-2 /1-1 \ /,-2 \ = (1 — а^^-АП (I — »)](Ь — а)г -1-1 ■ д(,-1-1) (I, а) + Щ (I — и)\(1 — а)г -,+1 ■ д(1, а).

1=0 \ь>=0 / \и=0 )

Так как последнее слагаемое делится на (Ь — а) только при I — ] + 1 ^ 1, то порядок I ^ ]. □ Теорема 19. Если Т,1у1(Р,а) = — аЯ,и1(Ь), Т,2,2^,а) = Р,2,2(Ь) — а(,2,2^) —

Рп,1(*)(,2,2^) — Р,п,2(1)(пЛ(1) = Р(1) С,,

где постоянная с, = ±1.

Доказательство. Ясно, что основными полиномами наименьшей степени для порядка О являются %,1(Ь,а) = 1, ,а) = а и Р0,1(^(0,2^) — Р0,2(£)((0,1(£) = 1 ■ 1 — 0 ■ 0 = 1. Поэтому данные основные полиномы наименьшей степени для порядка 0 удовлетворяют теореме. Следовательно, по теореме 17 ей удовлетворяют любые основные полиномы для порядка 0.

Пусть теорема доказана для основных полиномов для порядка ] — 1, и покажем её спра-

Пусть Тк1,1а, а) = Рк1,1 (^ — аЯк1,1^), Тк2,2^,а) = Рк2,2&) — аЯк2,2^) — основные полиномы для порядка ] — 1. Тогда любой пол ином Тг^ ,а) = Р1 (Ь) — аЯг (Ь) порядка не ниже ] представляется в виде

Т1 (г, а) = Ткъ1(Ъ, а) • а^) + Тк2,2а, а) • Ъ^),

где аг(Ь), Ь[(Ь) — целочисленные многочлены.

Полином 7г (1, а) имеет делителем (Ь — а), следовательно, производная ] — 1 порядка имеет ( — а)

Так как

Г1и-1)а, а) = £ Г-1 , а) • + , а) •

1=0

3-2

= ЕП-1 ,а) • ,а) • +

7=0

, а) • а1 (1) + Т^а, а) • Ъг (I)

и производные Рк^!^, а) и Рк^^, а) делятся на (1 — а)3-1 при 7 = 0,..., j — 2, то на (1 — а) должен делиться полином Туэ

Т(1, а) = Р(I) — аЯ(1) = Т^а, а) • аг(I) + Т^Ц, а) • Ъг(I),

где р(г) = р^т^ + р^^ьга), яа) = я^^ы^ + я^^)ь().

( )

{рЦ-ЧЪ — I • як-?®) аг(I) + [рк1-21)а) — t • Як-Чо) к(I). (45)

Если последнее условие будет выполнено, то согласно леммы 17 полином 7г (Ь, а) будет порядка

Пусть остатки от деления Р^—1 №) — ¿•Як-1 (¿) и рЦ—^^) —¿•Я<к221(^)ъд'- /(¿)6УДУТ г1( 2( )

I. Если оба основных полинома ] — 1 порядка, то Г1(Ь) и Г2(Ь) не равны 0. Действительно, если г^^а) = 0, то уровне (45) будет выполнено при аг(Ь) = 1, Ъг(Ь) = 0 и Тг(Ъ,а) = Тк1,1^,а) имеет порядок не ниже Аналогично, если Г2(Ь) = 0, то при аг(Ь) = 0 Ь^) = 1 получаем Тга, а) = Тк2,2(г, а) имеет порядок не ниже Пусть

(Ы1),Г2(0У 2>' (rl(t).r2(t)У

и пусть многочлены Р1(Ь), р2(¿), Ф1(Ь), Ф2 (¿) являются решениями уравнений

р^) = г2 (I), Ф1(1) = — Г' (I), Г' (1)Р2 (Ь) + Г>2 (ШУ)=№-

Для них условие (45) выполнено. Действительно, если Рк^ — 1 (¿) = ^+ гV(^

( = 1, 2)

(рЦ?® — г • Я^а)) Р1® + (рк*—1 V — t • як—?®) Ф1® =

= ¡(1 )(Я1(1)Р1(1) + д2(1 )Ф1 (I )) + п(г )Р1(1) + Г2 (I )Ф1(1) = №( Я1(1 )Р1(1) + д2(1)ф1(1)).

Аналогично,

Р

(,-1),

(*) — *■ Як-?®) ч>2® + (РГ21 ® — г■ Я1-:®) ф2(1) =

к ,1

к ,1

(,-1),

к2,2

-к2,2

= №)( Я 1(1)<Р2 (I) + Я2®Ф2®) + Г1(1)<Р2(1) + Г2(1)ф2(Р) = = ¡(1)(Я1(*)<Р1(1) + Я2(1 )ф1® + (П®, Г2®)).

Обозначим эти полиномы через

Т,1,1(г,а) = р,и1® — аЯ^,1 (t), т,2,2^,а) = р,2,2(^ — аЯ,2,2(1).

Тогда

Рп,1(Ш2,2^) — Р,2,2®Я,и1® = (Ркг,1(№к2,2 ® — Рк2,2®Яки1®)

(<Р1®Ф2® — чъ®Ф1®) = с^ ,®.

Действительно, так как

то

Т^,1(Ь, а) = Р,и1® — аЯ,ъ1® = Ткъ1(Ь, а) ■ р^) + Тк2,2(Р, а) ■ Ф1(Ь), Т,2,2(1, а) = Р,2,2® — аЯ,2,2&) = Тки1(1, а) ■ ^2® + Тк^^, а) ■ Ф2®,

Р,и (I) = Рки1&) ■ Ри ® + Рк2,2® ■ Фи ®, Я,» и ® = Яки1® ■ Ри ® + Як2,2® ■ Фи ® (и = 1,2)

Р,ъ1®Я,2,2® — Р,2,2(г)Яп,1 ® =

Рп,1^) Я,и1® Р,2,2® Я,2,2®

Ркъ1® ■ Р1(1) + Рк2,2(1) ■ Ф1(1) Якъ1® ■ <Р1® + Як2,2® ■ Ф1(1) Рки1® ■ <Р2® + Р^,2® ■ Ф2® Яки1® ■ ?2® + Як2,2® ■ Ф2® (<Р1® Ф1Щ (Рки1® Яки1® \<Р2® Ф2®)) \Рк2,2(*) Як2,2®

= (Рк1,1(Р)Як2,2 ® — Рк2,2®Яки1®) ■ (Р1 ®ф2® — Р2(1)Ф1 ®) = = {с,-1/,-1®) ■ ¡(1)= С ■/).

Следовательно, полиномы ,а), Т,2,2^,а) по теореме 18 являются основными и для

них теорема справедлива.

Если один из основных полиномов будет порядка выше ] — 1, пусть это будет Тк2,2^, а), то положим

Р1(1) = №, Ф1(Ъ) = 0, Р2^) = 0, Ф2(г) = 1.

Для них условие (45) выполнено. Действительно,

К-1^) — * ■ Як-?®) <рф) + (р^® — t ■ яЧ-?®) Ф1®

=/ ^ ■№-%)—г ■як-?®)

и

Так как условие (45) является необходимым и достаточным, а

Tkl,i(t, а) ■ <p2(t) + Tk2,2(t, а) ■ ф2(t) = Тк2,2(t, а), то условие (45) выполнено и для второго многочлена.

Обозначим эти многочлены через

Tji,l(t, а) = Pji,l{t) + aQji,1 (t), Th,2 (t, а) = Pj2,2(t) + aQj2,2(t).

Тогда

Pjl ,l(t)Qj2,2(t) - Pj2,2(t)Qji,l(t) = (Pki,l(t)Qk2,2 (t) - Pk2,2(t)Qkl,l(t)) ■ ■ (<l(t)^P2(t) - <2№l(t)) = C^fj(t).

Действительно, так как

Tn,l(t, а) = Pn,l(t) + cxQji,l(t) = Tki,l(t, а) ■ f(t),

Tj2,2(t, а) = Pj2,2(t) + aQj2,2(t) = Tk2,2(t, а),

to Pji,l(t) = Pki,l(t) ■ f(t), Qjill(t) = Qki,l(t) ■ f(t), Pj2,2(t) = Pk2,2(t),H Qj2,2(t) = Qk2,2(t) (v = 1, 2), поэтому

P3i,l(t)Q32,2(t) - P32,2(t)Q3i,l(t) = f(t )Pki,l(t)Qk2,2(t) -Pk2,2 (t)Qki,l(t)f(t)) =

= (Cj-lfj-l(t)) ■ f(t)= c^fj(t).

Следовательно, многочлены Tji>l(t, а), Pj2ß(t, а) по теореме 18 являются основными и для них теорема справедлива.

рема справедлива. Но в следствии теоремы 17 она тогда справедлива для любых основных полиномов Туэ для порядка j , что и доказывает теорему. □

Основные полиномы могут быть найдены следующим способом: пусть известны основные

полиномы j-ro порядка. Рассматриваем основные полиномы j + 1-го порядка как полиномы j( )

j( )

10. Дробно-линейные преобразования форм

Так как значением бинарной полиномиальной формы Т(P(t),Q(t)) является многочлен, то к нему можно применить дробно-линейное преобразование М многочленов с произвольной невырожденной матрицей М из М-2 (Z):

М (Т(P(t),Q(t))) = jta„(Ct + D)n'kPv (Q™-»(,

v=0 \ / \ /

где к — степень пары Туэ {P(t),Q(t)}. Введем следующие обозначения:

а = а(1\ а(2), ..., а(п) — полный набор алгебраически сопряженных чисел, корней неприводимого унитарного многочлена $(х) = /0(х) = хп + ап-1 хп~1 + ... + а1х + а0 Е Ъ[х], а — вещественный корень;

а = 0 +

1+

1

2+

+

(1т +--

— разложение в бесконечную цепную дробь;

Рт, Ят — числитель и знаменатель т-ой подходящей дроби, которые связаны рекуррентными соотношениями

\Р-1 Я 1

-1 = 1, Р 2 = 0 -1 = 0, Я 2 = 1

Рт = т Рт 1 + Рт 2

(т ^ 0), <

Ят = т Ят 1 + Ят 2

ат = т +

1

Ят+1 +--

т

а

Рт- 1ат + Рт-2

Ят 1 ат + Ят 2

ат

Ят 2 а — Рт 2

— Ят- 1а + Рт-1

1т(х) = ( — 1)т( Ят- 1х + Ят— 2)

ат

Рт 1 х + Рт 2 Я т 1 х + Ят 2

ат = Ят2а(1—Рт-2 (.»=

— Ят- 1а(и) + Рт— 1

т( х)

Через Тт(Р(Ь), Я®) будем обозначать ТДП-форму, соответствующую минимальному мно-т( х)

¡т(х) =Еа„тхк Е Ъ[х],

к=0

= Япт 1

(Рт-1 \ Ят 1

а0, т = — Япт 2

= Ят- 1(т—2

ЛМ) ( Рт—Л •'0 \Qrn-l)

(_1)т+(т— 1) м

(Рт-2 \ Ят 2

. с„

М=0

ап— 1,т = Ят—1Ят—2 [ п

(Ят-2Ят- 1)М п~М 1

Я т 2 Я т 1 0 Я т 1

(0 < V < п),

»(Рт1)) •

Ят1

1

1

1

1

1

а

а

и, т

то справедливы равенства

п

Тт(Р(г), Я®) = ап,ш П ,

и=1

Т(I,а$)=Р®

— полином Туэ для алгебраического числа а^т (^ = 1,... ,п). Теорема 20. Справедливо равенство М (Т(Р = Тт((Ят-2М (Р (I)) - Рт-2М (Я®)), (Рт- 1М (Я(*)) - Ят- 1М (Р (I)))).

Доказательство. Действительно, рассмотрим унимодулярную матрицу

М =( Я"'1 Я?'О , ^ М = Рт- гЯт— 2 - Рт-2Ят-1 = —Г

\ Ят-1 Ят-2 )

и применим её к ТДП-форме Т(Р(Ь),Я(^), получим

М (Т(Р(1),ЯШ = Е а,(Ят- 1Ь + Ят-2ТкРи( рт~г1 + Рт~2) ■

\Ят-11 + Ят-2/

ёШ) =1М МШ

п

= ап п (м (р (I))—а ^м т)))

X X V^ 11 ^ )) \ — п (и)

и=1 11и= 1(Ят- 1ат + Ят-2)

п

■ П (( Ят- 1а{т) + Ят-2)М(Р(I)) - (Рт-) + Рт-2)М(Я®))

и=1

п

Рт 1 - Я т 1 а

ап

П

(и)

и=1 Рт— 1Ят—2 Рт—2Ят— 1

п

■ П {(Ят-2М(Р(I)) - Рт-2М(ЯШ - а%) (Рт- 1М(Я® ) - Ят- 1М(Р($))) = =1

= Тт((Ят-2М (Р (I)) - Рт-2М (Я®)), (Рт- М (Я®) - Ят- М (Р ($))),

что доказывает теорему. □

11. Заключение

Из материалов статьи видно, что ТДП-формы подчиняются более сложным законам преобразования, когда мы рассматриваем ТДП-формы остаточных дробей. Сама форма подчиняется дробно-линейному преобразованию как и минимальный многочлен, а пара Туэ преобразуется с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.

В процессе исследования выяснилось, что особый случай, который связан с группой Галуа, требует специального рассмотрения.

В следующих статьях мы предполагаем продолжить данные исследования, сделав упор на изучении сходимости итерационных ТДП-последовательностей первого и второго рода.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Из-во " Наука" 1976.

2. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М.: ГИ И*Л 1947.

3. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Перевод Б. Б. Демьянова, общая редакция И. М. Виноградова, комментарии Б. И. Делоне. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 978 с.

4. Добровольский М. Н. О разложении иррациональностей третьей степени в непрерывные дроби // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 4-24.

5. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О формах А. Туэ — М. Н. Добровольского — В. Д. Подсыпанина // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 70-109.

6. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147-182.

7. Н. М. Добровольский, H.H. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого. 2015. С. 134-149.

8. Н. М. Добровольский, И. Н. Добровольский, Д. К. Соболев, В. И. Соболева Классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 2. С. 98-128.

9. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34-55.

10. Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6-11 сентября 2014 г. - Нальчик: из-во КБГУ. С. 44-46.

11. И. М. Добровольский, Н. И. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47-52.

12. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М. Из-во "Наука" 1965.

13. А. И. Кострикин Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 272 с. — ISBN 5-9221-0166-8.

14. Лежен Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР 1936.

15. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф., посвященной 85-летию содня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, 2015. С. 354-356.

16. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф.: [Доп. том]. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, 2015. С. 161-168.

17. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Математика и информатика: Материалы Международной конференции (Москва. 14-18 марта 2016 г.) / - М.: МИГУ 2016. С. 127-130.

18. Подсыпании В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68-70.

19. Подсыпании В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2007. T. VIII, вып. 3(23). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, С. 43-46.

20. Подсыпании В. Д. О многочленах Туэ и разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2010. T. XI, вып. 4(36). С. 25-69.

21. Подсыпании Е. В. О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47-49.

22. Е. В. Подсыпании Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184-194.

23. А. К. Сушкевич Теория чисел. Элементарный курс. — 2-е изд. — Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та им. А. М. Горького, 1956. — 204 с.

24. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q(\/5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, выи. 1. С. 77-94.

25. Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 200 с.

26. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — 2-е изд. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — 116 с.

27. Шмидт В. М. Диофантовы приближения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 232 с.

28. Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66-72.

29. Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. И. Толстого 2015. С. 66-72.

30. Nikolai M. Dobrovol'skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiv and M. Z. Zgurovskv (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2^5

31. Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sei. Imper. Petropol., 1737, v. 9.

32. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg, 1849. P. 99-104.

33. Galois E. Théorème sur les fractions contiues périodiques — Annales de Mathématiques (Gergonne), 1828/29, t. 19, p. 294; Oeuvres mathématiques. — Paris: Gauthier Villars, 1951. [Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.]

34. Lagrange J. L. Complement chez Elements d'algebre etc. par M.L. Euler, t. Ill, 1774.

35. Liouville J. Sur des classes très-étendues de quantités dont la irrationelles algébriques // C. R. Acad. Sei. Paris 18, 1844, C. 883-885, 910-911.

36. Roth К. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1-20. corrigendum: p. 168.

37. Thue A. Uber Annäherungswerte algebraischer Zahlen //J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. PP. 284-305.

REFERENCES

1. Van der Waerden, В. L. 1976 Algebra. Moscow: Iz-in "Science".

2. Wevl G. 1947 Algebraic number theory. M .: Gl I * L.

3. Gauss К. F. 1959 Proceedings on the theory of numbers. Translation of В. B. Demvanov, general edition I. M. Vinogradova, comments B. N. Delone. - Moscow: Publishing House of the USSR Academy of Sciences. 978 p.

4. Dobrovol'skii M. N. 2010 "On the decomposition of irrationalities of the third degree into continuous fractions" Chebyshevsky Sb. vol. XI, №. 4 (36). pp. 4-24.

5. Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N. 2010, "On the forms of A. Thue M. N. Dobrovolskv - V. D. Podsvpinina" Chebyshevsky sb. vol. XI, №. 4 (36). pp. 70-109.

6. N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, 2015 "About minimal polynomial residual fractions for algebraic irrationalities", Chebyshevskii Sb., 16:3, pp. 147-182

7. N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. S. Polvakova, 2015 "Fractional-linear transformations of polynomials and linear transformations of formsцProceedings of the XIII International Conference Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications, Supplementary volume. Tula: Publishing house Tul. State. Ped. The university of L. N. Tolstoy, pp. 134-149.

8. N. M. Dobrovolskv, N. N. Dobrovolskv, D. K. Sobolev, V. N. Soboleva, 2017 "Classification of purely real algebraic irrationalities" , Chebyshevsky Sb. Vol. 18, no. 2. pp. 98-128.

9. N. M. Dobrovol'skii, D. K. Sobolev, V. N. Soboleva, 2013 "On matrix decomposition of one reduced cubic irrational", Chebyshevskii Sb., 14:1, pp. 34-55

10. N. M. Dobrovol'skii, E. I. Yushina "On reduced algebraic irrationalities"Algebra and Applications: Proceedings of the International Conference on Algebra LA Kaluzhnina, Nalchik, September 6-11, 20Ц - Nalchik Iz-in Kabardino-Balkarian State University, pp. 44-46.

11. N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, E. I. Yushina, 2012 "On the matrix form of the Galois theorem on purely periodic continued fractions", Chebyshevskii Sb., 13:3, 47-52

12. Davenport G. 1965 Higher arithmetic. Introduction to number theory. Iz-in From the "Science".

13. A. I. Kostrikin, 2001 Introduction to Algebra. Part III. Basic structures: Textbook for high schools. —2 nd ed., Correct. M .: Physical and mathematical literature, — 272 p. — ISBN 5-9221-0166-8.

14. Lezhen Dirichlet P. G. 1936 Lectures on number theory. M — L .: ONTI NKTP of the USSR.

15. E. A. Morozova 2015 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Algebra, number theory and discrete geometry: Contemporary problems and applications: Proceedings of the Xlllth International Conference. Conf., Dedicated to the 85th anniversary of the birth of Professor Sergey Sergeevich Ryshkov Tula: Izd-vo Tul. State. Ped. Un-ta L. N. Tolstoy, pp. 354-356.

16. E. A. Morozova 2015 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Algebra, number theory and discrete geometry: Contemporary problems and applications: Proceedings of the Xlllth International Conference. Conf .: [Ext. Tom], Tula: Publishing House Tul. State. Ped. Un-ta them. L.N. Tolstoy, pp. 161-168.

17. E. A. Morozova 2016 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Mathematics and Computer Science: Proceedings of the International Conference (Moscow, March 14-18, 2016) / _ M MPGU pp. 127-130.

18. Podsvpanin V. D. 1968 "On the decomposition of irrationalities of the fourth degree into an continued fraction" Materials of the Interuniversity Scientific Conference of Mathematical Departments Pedagogical institutes of the Central zone. Tula, pp. 68-70.

19. Podsvpanin V. D. 2007 "On the decomposition of irrationalities of the fourth power into an continued fraction Chebyshevskii sbornik. T. VIII, vol. 3 (23). — Tula: Izd-vo Tul. State. Ped. Un-ta them. L.N. Tolstoy, pp. 43-46.

20. Podsvpanin V. D. 2010 "On Thue polynomials and the expansion of irrationalities of the fourth degree into a continued fraction"Chebyshevskii sbornik. T. XI, vol. 4 (36). pp. 25-69.

21. Podsvpanin E. V. 2007 "On the decomposition of irrationalities of higher powers into a generalized continued fraction (On the materials of VD Podsvpanin) manuscript 1970" Chebyshevskii sbornik T. 8, issue 3 (23). pp. 47-49.

22. E. V. Podsvpinin 1977 "On a generalization of the algorithm of continued fractions associated with the Viggo Brun algorithm"Zap. Scientific. Sem. LOMI. T. 67. pp. 184-194.

23. A. K. Sushkevich 1956 Number theory. Elementary course. — 2 nd ed. — Kharkov: Publishing house of Kharkov state. Un-ta them. AM Gorky, — 204 p.

24. E .V .Trikolich, E. I. Yushina 2009 "Chain fractions for quadratic Irrationalities from the field Q(V5)" Chebyshevsky sb. T. 10, no. 1. pp. 77-94.

25. Feldman N. I. 1981 Approximation of algebraic numbers. — Moscow: Izd-vo Mosk. University, p. 200

26. Khinchin A. Ya. 1949 Chain fractions. - 2nd ed. M .: — L .: GITTL, p. 116

27. Schmidt V. M. 1983 Diophantine approximations: Per. With the English. Moscow: Mir, — 232 p.

28. E. I. Yushina 2015 "On some reduced algebraic irrationalities" Modern problems in mathematics, mechanics, informatics: materials of the Regional Scientific Student Conference. Tula: Tula State University, pp. 66-72.

29. E. I. Yushina 2015 "On some generalized Piso numbers" University of the XXI century: research within the framework of scientific schools: materials of the All-Russian Scientific and Practical Conference. Tula: TSPU them. L.N. Tolstoy, pp. 66-72.

30. Nikolai M. Dobrovol'skii, Nikolai N. Dobrovolskv, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiv and M. Z. Zgurovskv (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2^5

31. Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sei. Imper. Petropol., 1737, v. 9.

32. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg, 1849. P. 99-104.

33. Galois E. Théorème sur les fractions contiues périodiques — Annales de Mathématiques (Gergonne), 1828/29, t. 19, p. 294; Oeuvres mathématiques. — Paris: Gauthier Villars, 1951. [Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.]

34. Lagrange J. L. Complement chez Elements d'algebre etc. par M.L. Euler, t. Ill, 1774.

35. Liouville J. Sur des classes très-étendues de quantités dont la irrationelles algébriques // C. R. Acad. Sei. Paris 18, 1844, C. 883-885, 910-911.

36. Roth К. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1-20. corrigendum: p. 168.

37. Thue A. Uber Annäherungswerte algebraischer Zahlen //J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. PP. 284-305.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Тульский государственный университет Получено 02.03.2017 г. Принято в печать 12.06.2017 г.