CC BY
14
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 2
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-2-98-128
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСТО-ВЕЩЕСТВЕННЫХ
______________U 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕИ1
Н.М. Добровольский, Н. Н. Добровольский (г. Тула), Д. К. Соболев, В. Н. Соболева (г. Москва)
Аннотация
В работе предложена новая классификация чисто-вещественных алгебраических ирра-циональностей на основе их разложения в цепные дроби.
Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей а степени п ^ 2, начиная с некоторого номера т0 = т0(а), последовательность остаточных дробей ат является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.
Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности а в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби -
Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.
В работе доказываются предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена, связанные с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.
В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа а и о его предельных точках.
Ключевые слова: минимальный многочлен, приведённая алгебраическая иррациональность, обобщенное число Пизо, остаточные дроби, цепные дроби.
Библиография: 28 названий.
CLASSIFICATION PURELY REAL ALGEBRAIC IRRATIONALITIES
N. M. DobrovoPskii, N. N. Dobrovol'skii (Tula) D. K. Sobolev, V. N. Soboleva (Moscow)
Abstract
We study the appearance and properties of minimal residual fractions of polynomials in the decomposition of algebraic numbers into continued fractions.
It is shown that for purely real algebraic irrationalities a of degree n > 2, starting from some number m0 = m0(a), the sequence of residual fractions am is a sequence of given algebraic irrationalities.
The definition of the generalized number of Piso, which differs from the definition of numbers he's also the lack of any requirement of integrality.
It is shown that for arbitrary real algebraic irrationals a of degree n > 2, starting from some number m0 = mo (a), the sequence of residual fractions am is a sequence of generalized numbers Piso.
1Работа выполнена по гранту РФФИ № 15-01-01540а
Found an asymptotic formula for the conjugate number to the residual fractions of generalized numbers Piso. From this formula it follows that associated to the residual fraction am are concentrated about fTactions — ®m-2 is either in the interval of radius O (-rJ1— ) in the
Wrn-l Wm-1 /
case of purely real algebraic irrationals, or in circles with the same radius in the General case of real algebraic irrationals, which have complex conjugate of a number.
It is established that, starting from some number m0 = mo(a), fair recurrent formula for incomplete private qm expansions of real algebraic irrationals a, Express qm using the values of the minimal polynomial fm-1(x) for residual fractions am-1 and its derivative at the point Qm-1-
Found recursive formula for finding the minimal polynomials of the residual fractions using fractional-linear transformations. Composition this fractional-linear transformation is a fractional-linear transformation that takes the system conjugate to an algebraic irrationality of a in the system of associated to the residual fraction, with a pronounced effect of concentration about rational fraction — Qm-2 ■
It is established that the sequence of minimal polynomials for the residual fractions is a sequence of polynomials with equal discriminantly.
In conclusion, the problem of the rational structure of a conjugate of the spectrum of a real algebraic irrational number a and its limit points.
Keywords: minimal polynomial, given an algebraic irrationality, generalized number Piso, residual fractions, continued fractions.
Bibliography: 28 titles.
1. Введение .................................................................................99
2. Необходимые определения и факты ....................................................101
3. Дробно-линейные преобразования для многочленов и линейные преобразования форм 103
4. Дробно-линейные преобразования целочисленных многочленов .......................107
5. Поведение остаточных дробей и их сопряжённых чисел ...............................108
6. Свойства минимальных многочленов остаточных дробей...............................109
7. Классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей .............111
8. Цепные последовательности с дробно-линейными преобразованиями..................115
9. Предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена .............120
10. Заключение ...........................................................................125
Список цитированной литературы ........................................................125
1. Введение
История теории цепных дробей насчитывает уже более трехсот лет. В значительной степени основы этой теории были заложены в трудах Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа. Согласно этой теории для любого вещественного иррационального2 а имеет место единственное разложение в бесконечную непрерывную дробь
1 1
а = ао = до +--1-= +--1-, (1)
<?1 +-1- <?1 +-1-
11
+— +--
ак+1
где неполные частные цк и остаточные дроби ак однозначно определяются из условий
Цк = [ак],к ^ 0; ак =-1-, к ^ 1.
ак-1 - дк-1
2На протяжении всей главы через а обозначается только вещественное иррациональное число.
Как обычно, через Р^и будем обозначать числитель и знаменатель к-оа подходящей дроби
Рк о *
к числу а. Эти числа связаны хорошо известными рекуррентными соотношениями
Як
Г Рк = ЯкРк-1 + Рк-2 [Як = Як Як-1 + Як—2
которые остаются верными при к ^ 0, если принять обычное соглашение, что Р—\ = 1, Р— 2 = 0
И Я—1 =0 Я—2 = 1
Аналогичные формулы справедливы для числа а и его остаточных дробей:
а
ак+\
ак+\Рк + Рк—1 Мк+гЯк + Як—1
аЯк—г - Рк-1 Рк - аЯк '
к 1.
(2)
Благодаря известному равенству
Рк Як—1 - Рк—гЯк = (-1)к—1 (к > -1)'
которое легко доказывается по индукции, соотношения между числом а и его остаточными дробями можно переписать в виде
Рк ^
а = ——+
(-1)
к
Як Як (®к+1Як + Як—1)
ак+1
Як—1
+
(-1)
к—1
(к ^ 0).
(3)
Як—1
+
Як Як (Рк - аЯк) Як Як\Рк - аЯк |'
Заметим, что соотношения между подходящими дробями позволяют записать вещественную иррациональность а в виде знако-чередующегося ряда
а =
до + £
(-1)
V- 1
=1 Яv—lЯv
О разложение алгебраических иррациональностей степени п > 2 в цепные дроби известно очень мало. Это один из труднейших вопросов современной теории чисел. В работах [1], [2], [3] —[4], [6], [14], [12], [13], [15] — [17] представлены различные аспекты этой теории.
Наиболее развита теория цепных дробей квадратических иррациональностей. В последнее время обнаруживаются новые интересные факты касающиеся этих дробей (см. [20]).
Отметим, что в работе [24] даётся описание множества приведённых алгебраических иррациональностей п-ой степени и установлено, что это множество обладает свойством рациональной выпуклости. В работе [25] показано, что аналогичным свойством обладают и обобщенные числа Пизо.
В работе [10] исследовались минимальные многочлены остаточных дробей разложения вещественных алгебраических иррациональностей в цепные дроби. В этих вопросах существенную роль сыграли дробно-линейные преобразования минимальных многочленов вещественных алгебраических иррациональностей. Это естественно, так как каждое число эквивалентно своей остаточной дроби, а эквивалентность задается с помощью унимодулярного дробно-линейного преобразования.
Целью данной работы — дать новую классификацию чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби и установить предельные соотношения для коэффициентов минимальных многочленов остаточных дробей.
1
Отметим, что случай приведённых алгебраических иррациональностей n-ой степени имеет тесную связь с квадратурными формулами с весами в методе К. К. Фролова (см. [7]—[9], [22], [23]). Дело в том, что приведённые иррациональности порождают чисто-вещественные алгебраические поля n-ой степени. Если рассмотреть решётку подобную решётке целых сопряжённых алгебраических чисел из чисто-вещественного алгебраического поля, то точки взаимной решётки, попавших в единичный n-мерный куб, будут образовывать алгебраическую сетку. Именно эти сетки и используются в методе Фролова, решая проблему построения квадратурных формул, дающих правильный порядок убывания нормы линейного функционала погрешности приближённого интегрирования на классе Ef периодических функций с быстро убывающими коэффициентами Фурье.
Кратко остановимся на содержании данной статьи.
Во втором разделе (стр. 101-103) даются необходимые определения и обозначения, которые используются на протяжении всей статьи.
Третий раздел (стр. 103-107) посвящён рассмотрению дробно-линейных преобразований многочленов и линейных преобразований однородных бинарных форм и детальному изучению их свойств.
Четвертый раздел (стр. 107-108) посвящён рассмотрению дробно-линейных преобразований целочисленных многочленов и изучению их свойств.
В пятом раздел (стр. 108-109) дается описание поведения остаточных дробей и их сопряжённых чисел для разложения алгебраических чисел в цепные дроби.
Шестой раздел (стр. 109-111) посвящён изучению минимальных многочленов остаточных дробей.
В седьмом разделе (стр. 111-115) строится новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей с точки зрения разложения их в цепные дроби.
В восьмом разделе (стр. 115-120) дается определение цепной последовательности дробно-линейных преобразований плоскости и интерпретация полученных результатов в терминах этих последовательностей.
Девятый раздел (стр. 120-124) посвящён доказательству предельных соотношений с коэффициентами минимального многочлена, связанных с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.
В заключении (стр. 125-125) формулируются дальнейшие перспективные направления исследований.
Отметим, что все пропущенные доказательства теорем и лемм содержатся в работах [10],
[И].
2. Необходимые определения и факты
Прежде всего напомним определения приведённой алгебраической иррациональности п-ой степени. Здесь мы следуем работам [12], [13], [24].
Определение 1. Пусть
п
f (х) = ^ акхк е Z[x], ап > 0 к=0
— произвольный целочисленный неприводимый многочлен3, у которого все корни а(к (к = = 1,2'... ,п) — различные вещественные числа, удовлетворяющие условию
-1 < а(п) <...< а(2) < 0 ' а(1) > 1,
тогда алгебраическое число а = называется приведённой алгебраической иррациональностью степени п.
Нетрудно видеть, что если а = — приведённая алгебраическая иррациональность, то все п алгебраически сопряжённых полей 0>(а;(1)), ..., Q(a(пЛ|) являются вещественными.
Заметим, что для минимального многочлена /(х), задающего приведённую алгебраическую иррациональность а степени п, всегда выполнено неравенство
ао < О, (4)
так как на промежутке [0; го) имеется только один корень а, при х > а имеем /(х) > 0, поэтому /(0) < 0. Кроме того выполняются неравенства
ап + а-п—1 + ... + а,1 + ао = /(1) < 0, (5)
ап - ап—1 + ... + (-1)п—1а1 + (-1)пао = (-1)п/(-1) > 0. (6)
Лемма 1. Для произвольной вещественной алгебраической иррациональности а степени п её остаточная дробь а1 также является вещественной алгебраической иррациональностью степени п, удовлетворяющей неприводим,ом,у многочлену
Ь(х) = ^2 акАхк е Ъ[х], а,п,1 > 0,
к=0
где
п
ак,1 = - Е атС2+к—пд™+к—п' (0 < к < п).
т=п—к
Справедливо равенство
¡1(х) = -Мдо)Ц (ж -
з=1 4 а
П(Ж аО)1- до) .
Замечание 1. Отметим,что из неравенств
-1 < а(п) <...< а(2) < 0
вытекают, неравенства
-1 < Р(2) = ~(2Г-< ... < ^ = -ЯГ-< 0.
а(2> - д0 а(п> - д0
Таким, образом, упорядоченность сопряженных чисел меняется на противоположную. Из этой леммы по индукции доказывается следующая теорема.
В частности, неприводимость многочлена означает, что (а0,... ,о„) = 1.
Теорема 1. Для произвольной вещественной алгебраической иррациональности а степени п все её остаточные дроби ат также являются вещественными алгебраическими ир-рациональностями степени п, удовлетворяющими неприводимым, многочленам
¡т(х) =У^ак,тХк € Ъ[х], ап,т > 0,
к=0
где
ак,ш = - а1,ш-1^1+к-пд1+'к^п, (0 О < п).
= п к
Многочлены ¡т(х) имеют корни
а® = а)Ят-2тГ2 (! ^п). (7)
Рт-1 - аU)Qm-l
Справедливы равенства
п
/т(х) = -/ т— 1 (Ят-\) Д (х - а®
3=1
3. Дробно-линейные преобразования для многочленов и линейные преобразования форм
Как обычно, N — множество натуральных чисел, Ъ — кольцо целых чисел, Q — поле рациональных чисел, К — поле вещественных чисел, С — поле комплексных чисел.
Через Ъ[х], 0>[х], М[х], С[х] мы будем обозначать соответствующие кольца многочленов, а через РЪ[Х, У], Р0> [Х, У], РМ[Х, У], РС[Х, У] — соответствующие мультипликативные группы однородных форм.
Справедливы очевидные вложения
Ъ[х] С <0[х] С М[х] С С[х], РЪ [Х, У] С Р^ [Х, У] С РМ [Х, У] С РС [Х, У].
Пусть К — одно из множеств Ъ, ^ К ми С, тогда, если
а = (а0, а1,...,ап) € Кп+1,
то
Ш = £ а„х" € К[х], Р3(Х, У) = £ а„Х"Уп— € РК[Х, У]. Нетрудно видеть, что справедливо равенство
Г,(Х,У )=Уп^( Х). (8)
Формула (8) задает биекцию р между Кп[х] — К-модулем всех многочленов степени невыше п и К-модулем РКп[Х, У] — всех однородных форм порядка п.4
Здесь мы принимаем соглашение, что нулевая форма и только она принадлежит всем РК„[Х,У].
Обозначим через М2 (К) кольцо квадратных матриц второго порядка с элементами из К. Через М* (К) будем обозначать мультипликативную группу кольца М2 (К), то есть множество всех невырожденных матриц, а через Ы2 (К) — множество унимодулярных матриц. Таким образом, имеем
М =
^ ^ еМ2 (К)' если А, В'С'Б е К;
М еМ* (К)' если det М = АИ - ВС = 0;
М еЩ (К)' если det М = ±1.
Определение 2. Для произвольной невырожденной матрицы М из М2 (К) дробно-линейным преобразованием, М многочленов ¡а(х) е К[ж] назовем преобразование, заданное формулой
М(Ш) = (Сх + Б)п¡^.
Определение 3. Для произвольной невырожденной матрицы М из М2 (К) линейным, преобразованием, М формы Ра(Х, У) е РК[Х, У] назовем преобразование, заданное формулой
М(Ра(Х, У)) = (АХ + ЗУ, СХ + ИУ).
Очевидно, что единичная матрица Е задает тождественные преобразования:
Е (Iа (х)) = Ш, Е(Рг(х))= Р^ (Х,У). (9)
С произвольной матрицей М е М2 (К) свяжем матрицу М(п+1 е Мп+1 (К), заданную равенством
( Пп с11сип—1
м(п+1) =
ВП
п 1
т(1,1)
Вп—1П т(п - 1,1)
Вп С1 АВп—1
Сп—1 с п—1в
т(1, п - 1)
= ( т(У'2) )„=
т(п - 1'П - 1) СШ—1Ап—1В
]=0,...,п v=0,...,п '
Сп \ АС п—1
Ап—1С Ап
(10)
где
min(п—v,j)
т(и'1 )= Е
Х=тз,х(0 ^—V)
Лемма 2. Для произвольной невырожденной матрицы М е М2 (К) справедливо равенство
М Ш(х)) = ф), (11)
где
Ь = а ■ М(п+1). (12)
Из леммы 2 следует, что любое дробно-линейное преобразование с матрицей М е М* (К) переводит К^ж] в себя.
Лемма 3. Для произвольной невырожденной матрицы М е М2 (К) справедливо равенство
М (Ра(Х'У)) = Р^Х'У)' (13)
где
Ь = а ■ М(п+1). (14)
Из леммы 3 следует, что любое линейное преобразование с матрицей М € М2 (К) переводит РКп[Х, У] в себя.
Из этих лемм вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Для, произвольной невырожденной матрицы М € М* (К) биекция р, заданная, равенством (8), сохраняется, то есть, если
М (Мх)) = /ь(х), (15)
то
М (Ра(Х,У)) = Р^(Х,У ). (16)
Будем через ЩЛ[х] обозначать множество всех многочленов степени п с ао = 0 и через РК^[Х, У] — всех невырожденных однородных форм порядка п, то есть форм Ра(Х, У) с ап = 0 и а0 = 0.
По основной теореме алгебры для любого многочлена /а(х) € КП[х] имеется п корней а(1\ ..., а(п) € С и справедливо разложение в СП [х]:
¡а(х) = ап(х - а(1)) ...(^х - а(п^ . Переходя к формам, получим два разложения
Ра(Х, У) =ап (Х - а(1)У^ ... (х - а(п)У^ = = ао (р(1)Х + У) ... [р(п)Х + У) ; = и = 1,...,п.
Таким образом, бинарная форма Ра(Х, У) имеет п корневых прямых
Х -а(и)У = 0 (и = 1,...,п), на которых она обращается в ноль.
Лемма 4. Для любых многочленов ¡'а(х), д^(х) и произвольного дробно-линейного преобразования с матрицей М € М2 (К) справедливо равенство
М (Ш ф)) = М (Iа(х))М (дъ(х)).
Лемма 5. Для любых форм Ра(Х, У), С^(Х, У) и произвольного линейного преобразования с матрицей М € М* (К) справедливо равенство
М(Ра(Х, У)в$(Х, У)) = М(Ра(Х, У))М(в$(Х, У)).
Лемма 6. Для любого дробно-линейного преобразования с матрицей М € М* (К) и многочлена /(х) с корнями а(^ (А = Са(г/) V = 1,... ,п) многочлен
М (1 (х)) = ^ Кх"
имеет корни
№ = °а(и) - В (1 <1У<п) ь= , приС = 0,
Р = А-Са(-) (1 <1У<п), Ьп = \апАп, при С = 0,
ъ = { °п f (%) , при О = 0,
0 \ апВп, при О = 0.
Из леммы 6 вытекает, что корни многочлена / (х) преобразуются в корни многочлена М(/(х)) под действием дробно-линейного преобразования комплексной плоскости
Бг - В
М*(г) =
-Сг + А
с матрицей
К -С л)•
Лемма 7. Для любого линейного преобразования с матрицей М е М2 (К) и формы Р(X, У) с корневыми прямыми X - = 0 (и = 1,... ,п) форма
М (Г (Х'У)) = ^ bv X V Уп—
v=0
имеет, корневые прямые
(А - Са^Х - (Ба^ - В)У = 0 (1 < V < п), Ьп = ^(А,С),
Ьо = ^(В, Б).
Из леммы 7 вытекает, что корневые прямые формы Р (X, У) преобразуются в корневые прямые формы М(Р(X, У)) под действием линейного преобразования двумерного комплексного пространства
М*(Х, У) = (БХ - ВУ, -СХ + АУ)
с матрицей
К -С лУ
Лемма 8. Для композиции о дробно-линейных преобразований справедливо равенство
М1 о М = М ■ М1,
где ■ — матричное умножение, при этом корни многочленов преобразуются по закону
(М1 о М)* = М* ■ М*.
о
М1 о М = М ■ М1,
■
(М1 о м)* = М* ■ М*.
Напомним определение дискримнанта ) многочлена
/ (х) = ап хп + ап—1хп—1 + ... + а1 х + ао, ап = 0, имеющего корни а(1\ ..., а(п\ Согласно определению
Ои)= апп—2 П(«М - «^У .
V<|I
Аналогично, дискриминантом Б(Р) формы
^(X, У) = апХп + ап-гХп~1У + ... + ^ХУ""1 + аоУп, ап = 0,ао = 0, имеющей корневые прямые X — а(и)У = 0 (и = 1,... ,п), называется величина
) = апп"2 П (аМ — а^У = а20п~2 ^ (Р(и) — .
œ ' — œ
Данное определение корректно, так как по теореме Виета а(1 ...а(пп = (—1)п— и для
fi(v"> = ^у (v = 1,... ,п) имеем:
а2п~2 П — РМУ = ^П~2 П"
-2T!fa(u) аЫ)\2_ „2п-2 гг (a(v) —*(Р))2
v<n v<n
\a(v)a(v))'
п {œ(v) —a(ri)2
= а2Г2^-^^ = а1п~2П (a(^-a "
0 ~7~п-ап ) — а(^).
( П а(1,)\
Теорема 3. Для любого дробно-линейного преобразования с матрицей Ми многочлена ¡'(х) с корнями а(и) ( А = Са(1,\ ( = 1, . . . , п) М( ( х))
равенство для дискриминантов
^ М)п(п~^ БЦ) = Б(М(/)).
4. Дробно-линейные преобразования целочисленных многочленов
Обозначим через Рп[ж] множество всех неприводимых целочисленных многочленов f(x) g g Z [x] степей и п. Таким образом, если f (x) g Рп[ж], то
f(x) = апжп + ап-1жп~1 + ... + а1ж + а0, ап = 0 = а0, aj g Z (0 ^ j ^п)
и из равенства ¡(ж) = д(ж)к(ж), deg г ее(д(ж)) ^ degr ее(к(ж)) следует g (ж) = 1, к(ж) = ¡(ж). В частности, любой неприводимый многочлен является примитивным, то есть (ао,..., ап) = 1.
Через РРп[Х, У] обозначим множество всех неприводимых бинарных целочисленных форм F (Х,У ) g PZ [ж] степей и п. Таким образом, если F (Х,У ) g g PZ,^], то
F(Х, У) = апХп + ап- 1Хп~ 1У + ... + а1ХУп~1 + аоУп, ап = 0 = а0, аj G Z (0 ^ j ^п)
и из равенства F(Х,У) = С(Х,У)Н(Х,У), йедгее(С(Х,У)) ^ degree(H(Х,У)) следует С(Х,У) = 1, H(Х,У) = F(Х,У). В частности, любая неприводимая форма является примитивной, то есть ( ао,..., ап) = 1.
Обозначим согласно Г. Вейлю [5] через Ct(f) содержание многочлена ¡(ж), а терез Ct(F) — содержание формы F. Таким образом, Ct (f) = Ct (F ) = (а0,..., ап).
Лемма 10. Для любого дробно-линейного преобразования с унимодулярной матрицей М е и2(Ж) справедливо равенство
а (¡) = а (м и)).
В силу биекции р, заданной равенством (8) (стр. 103), для любого линейного унимодуляр-ного преобразования целочисленных форм справедливо равенство содержаний
СЧ (Р) = СЧ (М (Р)).
Лемма 11. Образ любого неприводимого многочлена ¡'(х) при дробно-линейном преобразовании с уним,одулярной матрицей М еЫ* является неприводим,ым многочленом.
В силу биекции р аналогичное утверждение справедливо для неприводимых форм.
Теорема 4. Для любого дробно-линейного преобразования с унимодулярной, матрицей М е Щ(Ж) и многочлена /(х) с корнями а^ (А = Са(и\ (и = 1,... ,п) и многочлена М(/(х)) справедливо равенство дискриминантов
Ои) = Б(М (/)).
В силу биекции р аналогичное утверждение И(М(Р)) = О(Р) справедливо для любого линейного преобразования форм Р из РЖп[Х, У] с унимодулярной матрицей М из Ы*(Ж).
5. Поведение остаточных дробей и их сопряжённых чисел
Введем следующие обозначения
' > 0,
5(а) = min
а(1)- а^
так как все корни различные.
Для т ^ 1 величины вт-\ (0 < вт-\ < 1) определяются из равенства
(1) Рт-\ . (-1)т 1 дт-\ а = а(1) =--+ -—--
Qm—1 Qm—lQm
Нетрудно подсчитать, что
О Qr<
"m— 1 =
amQm—1 ++ Qm-2
Остаточная дробь ат = ат имеет разложение
ат = а$ = qm +--1—^-> 1 (m ^ 1).
Qm+1 +--
1
+-
1
Qk +--
Теорема 5. Пусть а = а0 — вещественный корень неприводимого целочисленного многочлена
fo(х) = апхп + ап-1хп-1 + ... + а1х + а0 G Z[x], ап > 0,
а = œœ2\ ..., а(п) — его вещественные корни, и число а имеет, разложение в цепную дробь
1
а = ао = qo +--1-.
Q1 +-
1
+-
1
Qk +--
Пусть последоват,ельност,ь многочленов fт(ж) (m ^ 1) определена рекуррентными соотношениями
!ш(ж) = ^аКтжк G Z[ж], ап,т > 0, к=0
ет = sign( fm-1( qm-1)), п Лп-к)( а )
ак,ш = £т а^ш-С+^д^-"* = — 1) (0 < к < п). (17)
Многочлены ¡т(х) имеют корни
а® = ^^^гГ-2 (18)
Справедливы равенства
п
1т(х) = £т1т-1(Чт-1) П (х — а. (19)
3 = 1
Существует номер т0 = т0(а) такой, что для любого т ^ т0 остаточная дробь ат = а® является приведённой алгебраической иррациональностью и выполнены соотно-
и-т шения
От-2 =-1 -, (20)
°т-1 1
Qm-1 +--
1
+ -
1
Ç2 +--
1
а® = — + „ -, J 1Г . .--v (2 <3 <п). (21)
6. Свойства минимальных многочленов остаточных дробей
а = ао
гочлена
f0(ж) = апжп + ап-1жп-1 + ... + а1ж + а0 G Z[ж], ап > 0,
а = а(1\ а(2), дробь
а
(п)
а
1
а = ао = до +--
(Ц +
1
•■ +
1
Qk +--
Для последовательности минимальных многочленов ¡т(х) остаточных дробей ат = а^т последоват,ельност,ь дискриминантов И(¡т) целочисленная, стационарная.
а = ао
гочлена
а = аа2),
дробь
f0(х) = апхп + ап- 1хп 1 + ... + а1х + а0 G Z[x], ап > 0,
а
(п)
а
1
а = ао = до +--
Q1 +
1
■■ +
1
Qk +--
Если а — приведённая, алгебраическая иррациональность, то минимальный многочлен ¡т(х) для, остаточной дроби ат имеет вид
1ш(х) = (-1)m(Qm- 1х + Qm-2)nf0
Рт— 1х+Рт-2
„Qm— 1х ++ Qm— 2,
п и=0
Справедливы равенства
= Qm— 1
o
( Рт~ 1 ^
\Qm-1 J
а0,т = —Qm-2
o
(Рт-2 N
\Qm-2/
П~и ТГ^) 1)»
= QL- 1Qnm-2 Е-тг-^ (-1 + (о ^^п),
»=0 ^
ап— 1,т — Qm—1Qm—2 ( п
(пК Qfe )
(Qrn-2Qrn-1)» П~» 1
Qm—2Qm— 1 \Qm— 1
/0(qZ 0).
(22)
(23)
(24)
(25)
а
fо(х) = апхп + ... + а1х + ао G Р*п[х],
тогда
f(v\а) = 0 (и = 1,...,п).
( а, ) > 0
Р
а--
( а, )
-,2+е
Пусть
А(а) = max |а(1) - а(^1.
1
1
и
а
а
и,т
Лемма 13. Пусть а — вещественная иррациональность степени п > 2 и
fo(x) = апхп + ... + а1х + а0 G P^[х\
— минимальный многочлен, тогда при т > то для любой подходящей дроби ^^ к числу а справедливы, неравенства
с(а, е) (^)
п— 1
Q
2+s m
<
( Pm ^
Q m
< ап
(1 + Д(а))
п 1
Q
(27)
Из леммы 13 и теоремы 7 следует, что при п > 2 старший коэффициент ап,т минимального многочлена /т (х) для приведённой алгебраической иррациональности ат растет как величина порядка О {О^--^ ■
т > то
с(а, г) ()
п 1
Q2+£ Q m
<
fo ( Qm, )
< ап
(1 + Д(а))
п 1
Q
апс(а, е) Q'm~i £ < ап.т
= Qm— I
(Pm-1 N
\Qm-1 J
<ап(1 + А(а))п~ lQm~.2i
Обозначим через Аи (а) величину
А(а) = ^2 (аИ) -аи))и,
= 1, 2,
а п > 2
f0(x) = апхп + ... + а1х + а0 G Рп[х\
— минимальный многочлен, тогда при т > т0 для любой подходящей, дроби к приведённой алгебраической иррациональности а и остаточной дроби ат справедливы, соотношения
Qm 2 ат = --+
m i
f0
Рm
0\Qr,
Qm-l Q2m-l|fo( Q-)
+ (-1)
m-1 Xm
Xm
Qrn-1
где
Xm = Ai(cx) +
(-1)
m i
"m— l
Qm i Q m
А2(а)е |£m\ < 2.
(28)
(29)
7. Классификация чисто-вещественных алгебраических ирраци-ональностей
Рассмотрим неприводимый целочисленный многочлен
/ (х) = апхп + ... + а1х + а0,
а
= а(1)
а
(2)
а
( п)
вещественные числа. Этому многочлену
соответствуют п изоморфных алгебраических расширений поля рациональных чисел Р^ = 0 (а«),... ,рПп) = < (а(п)). Будем через (6>(1),..., в(п)) обозначать произвольный набор алгебраически сопряженных чисел, где в(и) £ £ Р^ •
а
п
а
п
Через (а(1),..., а(п^) обозначим рациональное арифметическое пространство:
' п— 1
п— 1
М=о
то,..., Шп-1 е 0>
Лемма 14. Рациональное п-мерное арифметическое пространство Рп(а(1), ...,а(п^) всюду плотно в п-мерном вещественном арифметическом простора,нет,ее Мп.
Доказательство. Пусть (Х1,... ,хп) е Мп — произвольная точка в п-мерном вещественном арифметическом пространстве Мп. Рассмотрим систему линейных алгебраических урав-
нении
Уо + У1а(1) + ... +Уп-1 (а(1))п = Уо + У1а(2 + ... + Уп— 1 (а(2))п~1 =
, Уо + У1а(п) + ... + Уп-1 (а(п))п 1 =
Так как определитель Вандермонда
W (а(1),...,а(п)) =
1 а(1 1 а(2)
1 а(п)
(а(1)) (а(2))
Х1 Х2
Хп
п 1 п 1
(30)
а
( п
п 1
= 0,
то система (30) имеет единственное решение (Уо,..., Уп-1
Пусть а = тах и е > 0 — произвольное положительное число. Определим
/л=0,...,п-1
V = 1 ,...,п, /л=0,...,п-
целые то,- ■ ■ ,тп-1 и натуральное N из условий
п ■ а
<£, т^ =^ ■ (у = 0,... ,п — 1).
п— 1 ^ „
Тогда для 9(и = ^ ^ (а(и)) имеем: м=о
в(
что и доказывает утверждение леммы. □
< ( = 1, . . . , п),
Определение 4. Точка, Х = (х1,... ,хп) е Мп называется точкой общего положения, если хи = 0 (и = 1,... ,п) и \х1 — х2\ + ... + \х1 — хп\ > 0.
Определение 5. Точка, х = (х1,...,хп) е Кп называется точкой абсолютно общего положения, если хи = 0 (и = 1,... ,п) и \хи х^ \ 0 для любых и = у.
Ясно,что в рациональном арифметическом пространстве (а(1),..., а(п)) не являются точками общего положения только рациональные точки вида (т, ..., т) т е 0>. Все остальные точки являются точками общего положения. Точками абсолютно общего положения являются только точки ( 0(1),..., 9(п)), где е(1) п в(2),..., в(п) 66 алгебраически сопряженные числа.
и
Ф^р^д^^^^^^ ^ ^лл тпочки абсолютно общего полооюсния х — (х1,.. . , Хп) £ Мп с выделенной координатой х„ её типом назовем матрицу
(
t ~Ь ^ ~Ь 1 ... tт,
1 к_ к+ к1 ... кт
(31)
где целые 11г .. ¿т, к-, к+, к^ .. ,кт определены условиями
< г + 1, ь <...< гт, и = г(1 ^т),
на полуинтервале ^, хи) ровно к- чисел, х^, на, интервале + 1) ровно к + чисел х^,
на, каждом, полуинтервале [tj, + 1) ровно к^ чисел х^ (у = 1,... ,т).
Таким образом, выполнено равенство
1 + к- + к+ + к1 + ... + кт = п.
Из леммы 14 сразу следует, что в любом рациональном арифметическом пространстве Рп (а(1),..., а(п)) для заданного V и типа (31) найдется алгебраическая иррациональность
п-ой степени в(и) £ Р^ такая, что набор сопряженных алгебраических иррациональностей (в(1),..., в(п)) имеет тип (31).
Определение 7. Типом алгебраической иррациональности п-ой степе ни ) £ Р^ называется, тип точки (6(1\ ..., 0(п^) с выделенной координатой в(
Из этого определения следует, что всякая приведенная иррациональность а = а(1 с алгебраически сопряженными числами а(2),... ,а(п) имеет тип
( Яо Яо Яо -1 \ \ 1 0 0 п - 1 ) ,
о а
дробь:
1
а = до +----> 1.
<И +-
1
•• +-
1
Як +—
а
и достаточным условием существования приведённой алгебраической иррациональности а
которого выполнены, условия
- - <а(и) <--— (2 ^ V ^ п), (32)
Я Я + 1
тогда
3 = я + -. (33)
а
Доказательство. Действительно, если Р имеет вид (33), то алгебраически сопряжённые к Р иррациональности имеют вид
Р(и) =1 + -^ (2 < и < п). (34)
а
Так как Р — приведённая алгебраическая иррациональность, то выполняются неравенства
1
—1 < д + —- < 0 (2 ^и^п), а(и)
□
п
а = а(1 е называется приведенной алгебраической иррациональностью порядка т, если найдется последовательность приведенных алгебраических иррациональностей ¡Зт,... ,Р1 такая, что
1
Ри = Яи +--
Яи -1 +
1
(и = 1,... ,т)
(35)
+
1
1
41 + -
а
и не существует приведённой алгебраической иррациональности Рт+ъ для, которой Рт — первая остаточная дробь.
а
а
имеют бесконечный порядок в силу периодичности цепной дроби.
Теорема 9. При п ^ 3 всякая приведённая, алгебраическая иррациональность а степени п имеет конечный порядок т ^ 0.
Доказательство. Пусть найдется последовательность приведенных алгебраических иррациональностей Рт,... $1 такая, что выполнены равенства (35), тогда последовательно для сопряженных чисел (и = т,..., 1) (у = 2,... ,п) находим
—1 < рт < 0,
—- <№-1 < —Ч,
т т- 1 т + 1
1
< Рт-2 <--
т- 1 +
1
т+1
Ят-1 +--
т
2+
2+
+
< Р1М) < -
1
Чт-1 +--
т
1
1
+
т- 1 +
1
2+
< Р[М) < -
+
т+1
т- 1 + 1
1
т+1
2+
+
т
т
Ят-1 +--
т
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
и, наконец,
(м) < __
< а(м) <
, т
1+
1+
+
1
Ят-1 +--
т
1
+
(М) < __
т- 1 + 1
1
Ят + 1
1+
1
< а(М) <
, т
1+
+
Чт-1 +
1
+
т+1
Чт-1 +--
т
Так как
Ит
т
1+
1+
+
+
Ят-1 +--
т
т- 1 +
1
Ят + 1
а а
(2) = . . . = а( п)
а
невозможно при п ^ 3. Теорема полностью доказана. □
Из доказанной теоремы следует, что каждая чисто-вещественная алгебраическая ирраци-а п
конечного порядка т ^ 0, либо эквивалентна некоторой приведенной алгебраической иррациональности конечного порядка т ^ 0.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
8. Цепные последовательности с дробно-линейными преобразованиями
В работе [15] дано определение сходимости последовательности целочисленных матриц к числу.
Определение 9. Говорят,, что матричное разложение
к=о
а
^ ( ак Ьк \
¿А V ск Лк)
к=о
выполняется соотношение
м = П ( ак Ък\ =( Ап Вп\
Мп = Д V ^ Лк ) = \Сп Вп)
А В
Ап Вп
ит —— = ит —- = а. п^-<х Сп п^-<х Вп
Б этом случае пишется
а 1
(а)=й (акй)
В работе [12] дается достаточно систематичное изложение теории матричных представлений действительных чисел. Нас сейчас будет интересовать случай, соответствующий обычным
а
ложение
\ / 1
а \ тг /Я: 1
(0 = П(? 0,
(36)
^т=п(* о)=(От От-,) (т>о)
так как
1 \ _ I Рт Рт-
1 0 О т О т- 1
и=о 4 7 4
и последовательность матриц Мт сходится к числу а в силу свойств подходящих дробей.
Рассмотрим произвольное дробно-линейное преобразование комплексной плоскости с матрицей М:
^ ( А В\ „„ , Аг + В
М =\А В), ™ = М(*) = СгГР*.
Из равенств (2) вытекает, что иррациональное число а и остаточная дробь ак+1 связаны взаимообратными дробно-линейными преобразованиями:
мк=(О О-). м*=(-Ррк-) ■
а = Мк (ак+1)
ак+1 = М*(а) . (37)
т( х)
выводу, что они получаются из корней исходного минимального многочлена под действием дробно-линейного преобразования М*_ 1. Дадим следующее определение.
а
следовательностью первого рода дробно-линейных преобразований для многочленов последовательность
где Р:(а) — числитель, а О:(а) — знаменатель подходящей дроби с номером V к числу а.
Цепной последовательностью первого рода дробно-линейных преобразований комплексной плоскости назовем последовательность
{м»=-р-аа )|*=о. 1.-1
Чтобы лучше понять эффект концентрации алгебраически-сопряжённых чисел к остаточной дроби ат около дроби — докажем следующие леммы.
М* ( )
М*
М * -АВ ^ А,В,С,Р £ Z, 1АР -ВС | = 1,С = 0,
тогда:
внешность круга, К (^, 1) = {г 1 ^ — ^ ^ 1} переходит во внутренность круга, К (—Ц,
с выколотым центром, окружность С , 1) переходит в окружность С (—^, -1),
внутренность круга К , 1) с выколотым, центром переходит, во внешность круга
К (—§, (Т?)' любое кольцо
А
< % — ^
С
< 1} (0 <г< 1)
переходит в кольцо К (—^, -^у?, -1),
точка, г = ^ — полюс дробно-линейного преобразования М * (г) с вычет, ом -¡Г?.
Рассмотрим дробно-линейное преобразование N*(,г) с матрицей
^ ^С С) С,В е 1,С = 0, ^(г) = ^^ = г + С.
0 С
Нетрудно видеть, что
С С
М* = N * ■М * ^ С с 0 С
(С С)(СС —АВ) = (
0 А С — В С С2 А С
Лемма 17. Пусть
М =
(АВ) N =(С —С\ \С С ) , 1 V 0 С ) ,
А, В, С, С е С = 0,
С С
тогда для дробно-линейного преобразования м,н,огоч,л,ен,ов М1 = N о М с матрицей
М1 = М ■ N =
{а о){ о с) (
А С В С А С
С2
0
и корней многочлена д(х) = М1(/(х)) справедливы, соотношения
д(х) = М1 (/(х)) = С2пхп/ ( ^ +
А В С А С
С
С2 х
/ А \ ™ Ни) (А^ / ч
= С 2п1 [с)хп + Е 1 и\ С 2(п-и)хп-и (ВС — АБ)1
и=1
(и) А С — В С (и>\ =- (1 ^и^п).
Р(и) = М* (а(и)) =
$ — а(и))
(38)
(39)
а
довательностью второго рода, дробно-линейных преобразований для многочленов назовем последовательность
( , л ( Ри(а)Яи(а) Ри-1(а)(^и(а) — Ри(а)Яи-1(а) \
\Ми'1(а)Ч (2(а) 0 ;
= 0, 1
,... ,
где Ри(а) — числитель, а (и(а) — знаменатель подходящей дроби с номером и к числу а.
Цепной последовательностью второго рода, дробно-линейных преобразований комплексной плоскости назовем последовательность
[М;А(а)=(
0 Ри (а)((и-1(а) — Ри-1(а)(и (а) —ЯКа) Ри (а)Яи (а)
)
и
Теорема 10. Пусть a — вещественная иррациональность степени п > 2 и
fo(x) = апхп + ... + а\х + ао G P*[х]
— минимальный многочлен.
Для последоват,ельност,и многочленов gv(х) = Mv>1(a)(f0(x)) и корней
ßP = M*,i(a)(a(^) (1 ^j^n)
справедливы, соотношения
lim ßij) =0 (2 ^j^n), (40)
*Ч = + (41>
Введём обозначения:
Av = а(1) — a(l+1) (1 ^u^n — 1), al(x\,..., Xk) — элементарный симметрический многочлен порядка v от х\,... ,Xk
(1 ^ v < к).
Лемма 18. Пусть выполнены, условия теоремы 10, тогда справедливы, предельные соотношения:
lim Ql (—1)1-1 ß(j) = (2 n), (42)
Aj-1
при 1 ^ ß ^ n — 1
lim Qf(—1)( l-1^aß(ßl2),.. .,ßln)) = *J Ar,..., тМ . (43)
\A1 An-1 J
Доказательство. Действительно, из доказательства теоремы 10 следует, что
q2 (-1)1 -1ßlj) = 1 1
— аj) —а( 1) + а 1) — аj)'
Qv (а) " Qv (а) ^ п- и. ul
Так как
lim ^ — a(D = 0, Qi (а)
то (42) установлено.
Соотношение (43) вытекает из (42) в силу однородности элементарных симметрических многочленов и их непрерывности. □
Теорема 11. При 1 ^ v ^ n справедливы, равенства
lim (a-m+i + (-1)m~1Qlfo(Q-) =-^ (а) , л . (44)
V Qm ) \Qm, '
Доказательство. Положим в лемме 17 А = Pm, В = Pm-1, С = Qm, D = Qm-1, тогда AD - ВС = (—1)m-1 и многочлен
/ Р N п f(v) (^Л g(x) = Mi(fo(x)) = Q-fo(Qq£) хп + £-^Qmn-)xn-(-1)m
имеет корни:
\т— 1
ßtt = М^^аХаЩ =-^-(2 ^j^n), (45)
ßm =от+1 + . (46)
Qm
Обозначим через ai, ..., an-1 элементарные симметрические функции от ß^, ..., ß
тогда по теореме Виета получим:
Из равенства (47) следует:
ß{m)(-i)m-iQ2m h( Qm)+ai(-ir-iQ2m fo( Qm)=fd Qm)
\ Qm / \ Qm / \ Qm /
„ Qm J \ Qm J \ Qm
lim Lm+i + (-i)m-iQmfo(Qm) = fo a
Qm J \QmJ
и равенство (44) доказано при v = 1.
Из равенства (48) и леммы 18 следует:
^(-ir^mQ^ Qmmv-i)(-1)(m-i)
Q m
/ р \ f(v) (—)
+Qmm (-i) {m-i>a„ (ßm2),.. .,ßmn)) Qm) =
lim (am+i + OH (-1)m-iQmfo(Qm) =-n (a) , \
\ Qm ) \Qm) v\av_ Л!
" 1 \ Ai ' ' An—i )
и равенство (44) доказано при 2 ^ v ^n. □ Теорема 12. Справедливо равенство
lim (am+i + QmМ Qm V Qm )
Доказательство. По формуле Тейлора получаем:
р
1 m
--a
Qm
(Pm\ = V ¡^(a) Y = _ V Ч fe) ( _Pm\
\Qm) ^ Vi \ Qm V ^ Г Qm)
n) m
f
ßmm + ai = (-i)m~1 QrJ., (47)
Qm fc)
f(v) (Еш
ß{m)av-1 + av = (-iy(m~1) 0 ^ . (2 < ^ n). (48)
»Qm fo( fe)
= 1. (49)
Отсюда и из равенства (47) следует:
РШ-^ТОт (а - ОО' + £ (а - От)" ) +
V О' ¿¿л/о(&) V Ош))
я
р
+01(-1)ш-1от-^-^ = 1,
J о о„.
11т (аш+1 + О^) (-1)шО2ш(а - = 1,
\ От ) \ От)
так как при V ^ 2
1[т{аш+1+°ш^)о2т{а - От) =0
в силу теоремы Рота. □
Замечание 2. Если утверждение теоремы 11 нетривиально, то утверждение теоремы 12 тривиально. Действительно, из равенства (3) следует,, что
. Ош-1 1
аш+1 +
О т О т | Рт - а О т | Поэтому
/ О„ Л „ ^ °ш тЬ -а
I Ош-1\ I аш+1 + ~О- 1 От
Р
Рт
--а
О т
Ош\Рт аОш\
9. Предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена
По теореме 5 (стр. 108)
!ш(х) = -/ш-1(яш-1)хп - 1Ш-Л1д1 ш-1)хп-1 - £ хп-:. (50)
' :=2 '
Из формулы (50) и формул Виета следует, что
/ Л\и ^Ш-1 (Яш-1) (1) , Л
(-1) -?-V = аШ>(У:-1 + а: (V = 1,..., п),
т- 1 ( т- 1 )
=-, а =0 а = _ (Л 2) а(п)\ = (2) + + (п) где ао = 1, = 0, = а1 1аш ,..., аш 1 = аш + ... + аш ,
а: = а:[а22),...,а2п)) = £ а''1- ...а'- (2 - 1) (51)
: : т
(2) (п)
ат , . . . , ат
Так как
(1) /т-1( Яш-1)
а'- =---а1,
1т-1( Ят-1)
то получаем п — 1 равенство
—у
fm-l(
Im-l)
fm-l(Qm-l) V fm-fm—i( Qm-l
í f'm-l( qm-l) — \ V fm-l(Qm-l) J
— ai)a„-i + a„ (v = 2,...,n),
(—1)
, f m-l( Qm-l) + --T-
fm-l( Qm-l) fm-l( Qm-l)
—aiav-i + av
(52)
Далее нам потребуются следующие следствия из теорем 5 (стр. 108) и 7 (стр. 110):
— fm-l( Qm-l) = Qm~ l
fm-l(Qm-l) nn-l n ,
- = Qm-lQm-2 n
1!
f m~l( Qm-l)
( Pm-l ^ \Qm-l J
( Pm-l ^
\Qm-l J
1
0 ( Pt1)
\Qm-l/
Qm-2Qm-l \Qm-
" fO^ (TT^) ( 1)m+(m-l)^
Qn-v QV V^ \Qm-í) ( — 1) y ^ rm-v Qm-lQm-2 / , . - r"
(Qm-2Qm-lY П->1
(0 < V < n),
f m-l(Qm-l) _ nn
' = Qm—2
n
( Pm-2 A
Qm-2
Лемма 19. Справедливо равенство
lim
( Qm-l V m^r\Qm-2j
= ( — 1УГп-1 (v = 1,...,n).
Доказательство. Действительно, согласно равенству (21) (стр. 109) имеем:
Qm-
m-lat) = —1 +
(—1) m
Qm-2
Qm-lQm-2 +*(l —<*»)
(2 ^и^ п),
lim
Qm-2
( Qm-1 \
\Qm-2 J
О» =
E
2^ni<...<nv<n j=l
П1—1 +
(—1) m
Qm-lQm-2 + <¿l) —d*))
lim (tF1)
\Qm-2 J
v
= £ (-1У = (—1yrn-
и лемма доказана. □
Лемма 20. При v = 1,... ,п справедливо равенство
lim | Qm-l í fm-l(Qm-l)\ í í _Qm-lV l m^rx\Qm-2\ fm-l(Qm-l) J \\ Q m 2
Ov-1 — Г
v-l n— l
Доказательство. Действительно,
Qm- l
( Qm-l \ Qm-2
l
_ r^v-l _
n— l
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
0
£ П(1
(-i)r
j=i\ Qrr-iQ^^Q^Q-1 + a(1) _ ))
G
/"<"—1 _
- Cn-1 —
„ Qm—lQm—2 J поэтому согласно равенствам (53) и (54) получим:
Qm-1 (fL—1(Qm—^\ f Q m— 1 \
}m—2 \fm—1(Qm—1) J \V Qm-2 J
v-1
Qm-2 \fm—1(Qm—1)
— О
Qrn—2
Qm-2
f m—1( Qm—1) m- 1 ( m- 1 )
(Tv-1 — C'
iv— 1 \
п-1 I
— О
Qrn-2
Qnm\Qm-2 (n f_ ( pm- 1 1 f (pm-1 А
J0\Qm- 11 Qm-2 Qm-1 J0 у Qm-1 ) )
Qm-1 f^Qm-i)
— О
П
f0
Pm
o\Qn
Qm—1Qm—2 Qm—2Qm—1 \f0 (fe)
Согласно лемме 13 (стр. 111)
р ( Pm-i \ J0\Qm-i)
Q2m-2Q2m-1
Prr
Qm-1
— О
(H
Qm 2
Предположим, что для бесконечного числа номеров т выполняется неравенство
Qm~ 1 > cQm-2 > 0,
тогда Qm—1 > 2. Но тогда,
a
Pm-2
Qm—2
<
1
Q m— 2 Q m— 1
<
1
1+2
clQm-2
что противоречит неравенству Рота (26). Отсюда следует, что
lim Qm=1 — 0, m^<x> Q2 „
m— 2
что доказывает утверждение леммы. □
Лемма 21. При и — 1,... ,п справедливо равенство
Qm—1
lim | f Qm— A fm—1(Qm—1) Qm—1i fm—1(Qm—1) \
C v—1
V \Qm—2j V!fm—1(q m—1) Qm—2\ fm—1( Qm—1)/ j
V !fm—1(Qm—1) Qm—2
— _(f - i)cn.
Доказательство. Действительно, согласно равенству (52) имеем:
/ Qm—1\V fL—1(Qm—1) — Qm—1 i fm—1(Qm— 1А ( Qm— A V 1 (_ i) v—1 Qm 2 ! m 1 ( m 1 ) Qm 2 m 1 ( m 1 ) Qm 2
( v 1 -
— i —
Qm— 1 t j | (_i) Qm 2 1
v 1
Qm 1
Qm 2
m 1 m v 1
Ч+(-1)"( t2)'
( v
1
1
Применяя леммы 19 и 20, получим
\\т ( ( (т-1\и Iт-1( Ят-1) (т-1 ( ¡т-1( Ят-1^\ ^-Л V \ Ят-2 ) и!/т-1(я т- 1 ) ( т- 2 т- 1 ( т- 1 ) п- 1
= —(п — 1)Сп-1 + Си-1 = —(и — 1)Сп
□
Лемма 22. При и = 2,... ,п и 2 ^ у ^ и справедливо равенство
11т
т^-<х>
(Ош~ли (ят^ят^^ (От—-)^т-^т-^
( т-2
глп £ / Рт — 1 \ (т-1 }°{ё-И]
0.
(60)
Доказательство. Действительно,
□
= 2, . . . , п — 1
( и г(»)( р™-1 \ ^ „
А (-1)т+(т — 1)^ Сп-
11т
т
т — 1
Е^О \Qm-1J (-1)— ' у- сп-и
п М (Ят — 2Ят — 1)'мСп-М ц=о
£11 Рт — 1\ <и-1
■1о{ёгп—1 1 С
( Рт — 1 А \Qrn-1 )
+
п 1
( т- 2 ( т- 1
(Рщ—Л
\От — 1 )
и
= Сп
(61)
/ и Ли)( Рт — 1 \ , , \
\ ^ ^ (дщ—т) -Г+(т—Х
и\
11т
т^-<х>
М=2
)т+(т—1)М С п-и
г ( Рт — 1 \
•Н от—г)
0.
(62)
При и = п справедливо равенство
11т (
Рт
Рт
+
Го
Рт
0т
( т- 2 ( т- 1
( Рт — Л
\ёт — 1)
= 1.
Доказательство. Из леммы 21, 22 и равенств (53)-(55) вытекает, что
\\т ( ( Ят-1\" Iт-1(Ят-1) Ят-1 ( Гт-1(с1т-1)\ ^-Л
1( т 1) ( т- 2 т- 1 ( т-
1 ) п- 1
Нш
т^-ж
( Ят-1 V
\Qm-2 /
* /0
Ст^1Сгп—2
и=0
( м)( Рт-1\
0 \Qrn-l) (—1)т+(т — 1)м Сп-и
суп
Qm— 1
(Рш=±\ \Qm-1 )
1т— 1
Ст-2
ст—-\ст—2 (п ( Рт — 1 1 г'(Рт-ЛА
■l0\Qт- Л Qт-2Qт- 1'>0^т-1 ) )
сп ст— 1 ! ( Рт-л \Qrn-1 )
(-ч *—1 Сп-1
Нш
т^ж
-п сп-\ +
( * Ам) ( рт —1 \
I ^ /° {я—) (-1)
и=0
т + (т — 1)м
п
С
(Ят—2Ят—1)м п—и
(Рт—Л
\Qrn-1 )
¡0
Рт — 1 И Qт — 1
С
-1 п 1
Ст—2Ст—1
(Рт—Л
= -(V - 1)С
Отсюда следует, что
Нш
т^-ж
¿-> и
и=0
-1) м
п
С
(Qm—2Qm—l)м п—и
( Рт — 1 \
^т —1 )
+
10
Рт 0\Q„
Сп-1
Ст—2Ст— 1
(Рт—Л
^т —1 )
= пСп-Х - (V - 1)СП = С
п
и первое утверждение леммы доказано. Далее, заметим что
£
и=0
/0 \Ят — 1) (-
Ят — 1) (—1)т+(т — 1)м
п
С
(Qт — 2Qт — l)M п-и
* /(М)( Рт — 1 \ . ,,
^ ^ [ят—и) (-1)т+(т—1)м Сп—*
и
и=2
' (Qт—2Qт — l)^I п—и
( Рт — Л
^т — 1)
+сп—* -
( Рт — 1 \
^т — 1 )
+
¡0
Рт 0 \Q-rn
С
—1 п— 1
Ст—2Ст—1
(Рт—Л
^т — 1 )
Отсюда и из (61) следует (62). Из равенства (56) следует, что
Е
и=0
Аи) ( Рт—Л
•>0 ^т — 1)
(-1)т+(т—1)и
р.
(С т— 2С т—
Так как (-1)т/0 ^рГ—22^ < 0 то при V = п из (61) следует
¡0
=-г Ст1).
\Ст—2/
Нш | -
т^-ж
Рт — 2 Qт — 2
Рт
Qт
+
Рт — 1 0 1 Qт — 1
Ст—2Ст— 1
( Рт — Л
\Qт — l)
= 1
и лемма полностью доказана. □
и
10. Заключение
Из материалов статьи видно, что приведённые алгебраические иррациональности в случае чисто-вещественных алгебраических полей играют принципиальную роль в вопросах разложения алгебраических иррациональностей в цепную дробь. Начиная с некоторого места все остаточные дроби являются приведёнными алгебраическими числами.
По-видимому, представляет интерес дальнейшее изучение явления концентрации около дроби - От^2 сопряжённых к остаточной дроби ат.
Qт — 1
Рассмотрим множество всех сопряжённых к остаточным дробям — сопряжённый спектр иррационального числа а. При п > 2 сопряжённый спектр является бесконечным множеством, а при п = 2 — конечным множеством.
Если множество всех дробей вида - 2 назвать рациональным сопряжённым спектром
Qт — 1
вещественного алгебраического числа, то возникает естественный вопрос о его структуре.
В квадратичном случае имеется конечное число предельных точек для рационального сопряжённого спектра — это сопряжённый спектр. Какая ситуация имеет место в общем случае?
Из материалов статьи видно, что теория дробно-линейных преобразований многочленов параллельна теории линейных преобразований однородных бинарных форм. Последняя теория оказывается во многом более простая и доказательства большинства утверждений более короткие.
Такая связь не является случайной. По-видимому, теория дробно-линейных преобразований многочленов более связана с диофантовыми приближениями первого рода, а линейные преобразования однородных форм — с диофантовыми приближениями второго рода.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. Г. Александров Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Алгоритмические исследования в комбинаторике. М.: Наука. 1978. С. 142-161, 187.
2. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Матем. тр. 2007. Т. 10, № 1. С. 97-131.
3. А. Д. Брюно Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4, № 2. С. 211-221.
4. А. Д. Брюно Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 2. С. 35-65.
5. Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.
6. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197-391.
7. Н. М. Добровольский Гиперболическая дзета-функция решёток // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.
8. Н. М. Добровольский Квадратурные формулы на классах Ef(c) и Н£(с) // Деп. в ВИ-
9. И. М. Добровольский О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 176-190.
10. И. М. Добровольский, И. И. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147-182.
11. И. М. Добровольский, H.H. Добровольский, И. И. Балаба, И. Ю. Реброва, И. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого. 2015. С. 134-149.
12. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. И. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34-55.
13. Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6-11 сентября 2014 г. - Нальчик: из-во КБГУ. С. 44-46.
14. Н. М. Добровольский, И. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47-52.
15. Подсыпании В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68-70.
16. В. Д. Подсыпании О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 13 16.
17. Е. В. Подсыпании, Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184-194.
18. Е. В. Подсыпании О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сб. 2007. Т 8, вып. 3(23). С. 17 19.
19. В. В. Прасолов Многочлены. — 3-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с.
20. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q(V5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77-94.
21. Фельдман И. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. — 200 с.
22. К. К. Фролов Оценки погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №. 4. С. 818-821.
23. К. К. Фролов Квадратурные формулы на классах функций: дис. .. .к-та физ.-мат. наук. М: ВЦ АН СССР. 1979.
24. Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66-72.
25. Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. И. Толстого 2015. С. 66-72.
26. N. М. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol'skii On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities // Bui. Acad. §tiin^e Repub. Mold. Mat., 2016, no. 2. P. 27-39.
27. Nikolai M. Dobrovol'skii, Nikolai N. Dobrovolskv, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiv and M. Z. Zgurovskv (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2^5
28. K. F. Roth Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1-20. corrigendum: p. 168.
REFERENCES
1. Aleksandrov, A. G. 1978, "Computer investigation of continued fractions." , Algorithmic studies in combinatorics Nauka, Moscow, pp. 1 12 161. 187. (Russian)
2. Berestovskii, V. N. к Nikonorov, Yu. G. 2007, "Continued Fractions, the Group GL(2,Z), and Pisot Numbers", Siberian Adv. Math., vol. 17, no. 4, pp. 268^290.
3. Bruno, A. D. 1964, "Continued fraction expansion of algebraic numbers", USSR Comput. Math, and Math. Phys., vol. 4, no. 2, pp. 1-15. (Russian)
4. Bruno, A. D. 2015, "Universal generalization of the continued fraction algorithm", Chebyshevsky sbornik, vol. 16, no. 2, pp. 35-65. (Russian)
5. Wevl, Hermann 1940, "Algebraic Theory of Numbers." , Annals of Mathematics Studies, no. 1. Princeton University Press, Princeton, N. J., viii+223 pp.
6. Voronoi, GF 1896, On Generalization of the Algorithm of Continued Fraction, Warsawa University.
7. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "Hyperbolic Zeta function lattices." , Dep. v VINITI 24.08.84, №6090-84. (Russian)
8. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "Quadrature formulas for classes Ef(c) and Hf(c)." , Dep. v VINITI 24.08.84. № 6091-84. (Russian)
9. Dobrovol'skii, N. M. 2015, "About the modern problems of the theory of hyperbolic zeta-functions of lattices" , Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 1(53), pp. 176 — 190. (Russian)
10. Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2015, "About minimal polynomial residual fractions for algebraic irrationalities" , Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 3(55), pp. 147-182. (Russian)
11. Dobrovol'skii, N. M., Sobolev, D. К. к Soboleva, V. N. 2013, "On the matrix decomposition of a reduced cubic irrational" , Chebyshevskii Sb., vol. 14, no. 1(45), pp. 3 1 55. (Russian)
12. Dobrovol'skii, N. M. к Yushina, E. I. 2014, "On the reduction of algebraic irrationalities" , Algebra and Applications: Proceedings of the International Conference on Algebra, dedicated to the 100th anniversary of L. A. Kaloujnine, Nalchik, 6-11 September 20Ц - Nalchik: publishing house KBSU., pp. 44 - 46. (Russian)
13. Dobrovol'skii, N. \!.. Dobrovol'skii, N. N. к Yushina, Е. I. 2012, "On a matrix form of a theorem of Galois on purely periodic continued fractions", Chebyshevskii Sb., vol. 13, no. 3(43), pp. 4752. (Russian)
14. Podsvpanin, V. D. 2007, "On the expansion of irrationalities of the fourth degree in the continued fraction" , Chebyshevskii Sb., vol. 8, no. 3(23), pp. 13 10. (Russian)
15. Podsvpanin, E. V. 1977, "A generalization of the continued fraction algorithm that is related to the Viggo Brun algorithm" , Studies in number theory (LOMI), 4- Zap. Naucn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), vol. 67, pp. IS I 191. 227. (Russian)
16. Podsvpanin, E. V. 2007, "On the expansion of irrationalities of higher degrees in the generalized continued fraction (Materials V. D. Podsvpanin) the manuscript of 1970" , Chebyshevskii Sb., vol. 8, no. 3(23), pp. 17 19. (Russian)
17. Prasolov, V. V. 2001, "Polynomials." Translated from the 2001 Russian second edition by Dimitrv Leites. Algorithms and Computation in Mathematics, 11. Springer- Verlag, Berlin, 2004. xiv+301 pp. ISBN: 3-540-40714-6.
18. Trikolich, E. V. k, Yushina, E. I. 2009, "Continued fractions for quadratic irrationalities from the field Q(\/5)" , Chebyshevskii Sb., vol. 10, no. 1(29), pp. 77—94. (Russian)
19. Frolov, К. K. 1976, "Upper bounds for the errors of quadrature formulae on classes of functions." , Dokl. Akad. Nauk SSSR Vol. 231, no. 4, pp. 818—821. (Russian)
20. Frolov, К. K. 1979, "Kvadraturnve formulv na klassakh funktsiv." , PhD thesis. Moscow. VTS AN SSSR. (Russian)
21. Yushina, E. I. 2015, "About some the reduction of algebraic irrationalities" , Modern problems of mathematics, mechanics, Computer Science: Proceedings of the Regional scientific student conference. Tula: TulSU, pp. 66-72.
22. N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol'skii 2016, "On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities", Bui. Acad. §tiin^e Repub. Mold. Mat., no. 2, pp. 27-39.
23. Nikolai M. Dobrovol'skii, Nikolai N. Dobrovolskv, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva 2016, "Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition" , Springer International Publishing Switzerland, V. A. Sadovnichiv and M. Z. Zgurovskv (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2^5
24. Roth, K. F. 1955, "Rational approximations to algebraic numbers" , Mathematika., vol. 2, pp. 1-20. corrigendum: p. 168.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. И. Толстого
Тульский государственный университет
Московский педагогический государственный университет
Получено 02.03.2017 г.
Принято в печать 12.06.2017 г.
