CC BY
39
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 1 (2013)
УДК 511.9.
О МАТРИЧНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРИВЕДЕННОЙ КУБИЧЕСКОЙ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ1
© 2012. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева (г. Тула, г. Москва)
Аннотация
В данной работе рассмотрено матричное разложение приведенной кубической иррациональности а, удовлетворяющей уравнению
х3 — 4х2 — 5х — 1 = 0.
Для матричного разложения
а ) ( 310941 • к + 155427 156744 • к + 78333 )
(“) = п(
\ / Ь_п \
1 / и V 61578 • к + 30882 31041 • к + 15564
к=0
построен алгоритм перехода к обычной непрерывной дроби.
Ключевые слова: непрерывная дробь, матричное разложение, приведенная кубическая иррациональность, алгоритм перехода от матричного разложения к непрерывной дроби.
Библиография: 2 названия.
ON MATRIX DECOMPOSITION OF ONE REDUCED CUBIC IRRATIONAL
© 2012. N. M. Dobrovol’skii, V. N. Soboleva, D. K. Sobolev (Tula, Moscow)
Abstract
In this work we considered the matrix decomposition of the cubic irrational a satisfying the equation
x3 — 4x2 — 5x — 1 = 0.
1 Работа выполнена по гранту РФФИ 11-01-00571
For decomposition of the matrix
a \ tt / 310941 • k + 155427 156744 • k + 78333
(a)=n(
\ / U—C\ \
1 I H V 61578 • k + 30882 31041 • k + 15564
k=0
an algorithm of transition to regular continued fraction is constructed.
Keywords: continued fraction, matrix decomposition, reduced cubic
irrational, algorithm of transition from matrix decomposition to continued fraction.
Bibliography: 2 titles.
Посвящается 85-й годовщине со дня рождения Зинаиды Никитичны Добровольской (01.02.1928 — 30.06.1950)
1. Введение ..................................................24
2. Алгоритм Лагранжа для приведенной алгебраической иррациональности п-ой степени ........................................26
3. Свойства матричных разложений..............................31
4. Алгоритм перевода матричного разложения в обыкновенную цепную дробь .....................................................41
5. Результаты символьных расчетов ............................43
Список цитированной литературы ............................... 44
1 Введение
Пусть а приведенная кубическая иррациональность, то есть а(1) = а > 1, а сопряженные алгебраические иррациональности удовлетворяют соотношению
— 1 < а(3) < а(2) < 0. Понятие приведенной кубической иррациональности является естественным обобщением приведенной квадратической иррациональности.
Нетрудно видеть, что положительный корень а уравнения
х3 — 4х2 — 5х — 1 = 0
является приведенной кубической иррациональностью.
Действительно, для многочлена /(х) = х3 — 4х2 — 5х — 1 имеем:
1 (—1)= 1 (0) = 1 (5) = —1, 1 (6) = 41, 1 1)=8.
поэтому а = а(1) > 5, —1 < а(3) < — 2, — 2 < а(2) < 0.
В работах [1] и [2] рассматриваются матричные разложения алгебраических иррациональностей. В частности, для кубической иррациональности а, удовлетворяющей уравнению
/ (Ь) = Ь3 + аЬ2 + Ы + с, / (а) = 0
дается матричное разложение
і —аі2 — 2Ьі — 3с ) ( 3к + 2 1 3і2 + 2аі + Ь у у 0
3і2 + 2аі + Ь —аі2 — 2Ьі — 3с 1 і
(?) _ п
4 7 к=0
К
3к + 1
аЬ — 9с 2Ь2 — - 6ас
2 а 2 — 6Ь аЬ -9с
и утверждается, что оно сходится при і, для которых разность \і — а\ мала. Общее определение сходимости матричного разложения следующее.
Определение 1. Говорят, что матричное разложение
їж ( ак Ьк \
УЛск ік>
сходится к числу а, если для матриц
Мп
П{ ак Ьк \ _ / Ап Вп \
к=Д ск ік ) _ V Сп Бп )
выполняется соотношение
Ап
ііт —
п^ж Сп
Вп І1Ш ——
п^<Х Бп
а.
В этом случае пишется
(?)_ к=|Х:: і)
Цель данной работы — получить новую форму матричного разложения приведенной кубической иррациональности а, рассмотреть реализацию алгоритма Лагранжа разложения этой иррациональности в обыкновенную непрерывную дробь, построить алгоритм перевода матричного разложения в обыкновенную цепную дробь, сравнить результаты работы двух алгоритмов.
Во втором разделе рассматривается алгоритм Лагранжа разложения в непрерывную дробь для произвольной приведенной иррациональности п-ой степени.
Третий раздел содержит описание основных свойств матричных разложений.
Четвертый раздел посвящен построению алгоритма перевода матричного разложения в обыкновенную непрерывную дробь.
Пятый раздел содержит сравнение результатов работы двух алгоритмов для приведенной кубической иррациональности а.
0
2 Алгоритм Лагранжа для приведенной алгебраической иррациональности п-ой степени
Прежде всего дадим определение приведенной алгебраической иррациональности п-ой степени.
Определение 2. Пусть
п
/(ж) = акхк Е Z[x], ап > 0
к=0
— произвольный целочисленный неприводимый многочлен2, у которого все корни а(к (к = 1, 2,...,п) — различные вещественные числа, удовлетворяющие условию
-1 < а(п) < ... < а(2) < 0, а(1) > 1,
тогда алгебраическое число а = а(1) называется приведенной алгебраической иррациональностью степени п.
Заметим, что для минимального многочлена /(х), задающего приведенную алгебраическую иррациональность а степени п, всегда выполнено неравенство ао < 0, так как на промежутке [0; то) имеется только один корень а, при х > а имеем /(х) > 0, поэтому /(0) < 0.
Для любого вещественного а, являющегося приведенной алгебраической иррациональностью степени п, рассмотрим разложение в бесконечную непрерывную дробь
1
а = 0_о + 1-•
41 +------
1
•• +---------------
Как обычно через Рк и Qk будем обозначать числитель и знаменатель к-ой подходящей дроби
Рк 1
= 4о + --------- ---, к ^ 0,
Qk 1
41 + -—1
. . +-
4к
2В частности, неприводимость многочлена означает, что (ао,
7 аГі) ----- 1*
а через ак — к-ую остаточную дробь
1
ак = Як +---------------------1--------, к ^ 0.
Цк+1 + 1
+ —
1
Яп +
Таким образом а = ао и справедливо равенство
ак+1Рк + Рк—1 , ^ п
а =------7л---------Я-, к ^ 0,
ак+1^к + Qk—1
если принять обычное соглашение, что Р-1 = 1 и Q-1 = 0.
Лемма 1. Для произвольной приведенной алгебраической иррациональности а степени п её остаточная дробь а1 также является приведенной алгебраической иррациональностью степени п, удовлетворяющей неприводимому многочлену
п
к
(х/
к=0
где
Л(х) = ^Як,1Жк € Z[x], ап,1 > 0,
ак,1 = ^, А =(Ьо,...,Ьп), Ьк = - ^ атСт+к-пя0;+к-п, (0 ^ к ^ п).
Ьк , А = (Ьо,...,Ьп), Ьк = -
т=п-к
Доказательство. Рассмотрим многочлен
1 I • х'* =
к=0
9(х) = -! (яо + х = ¿ Ькхк.
х
Так как а = д0 + -1, то д(а1) = 0. Справедливы равенства
/ Л \ п п к
¡[Яо + х ) • хп = ^ акхп-к(яох + 1)к = ^ акхп—к^ СШяШ ^ ' к=о к=о т=о
п п п п
\ л л \ л гут+к—пт+к—пт ______ \ л к \ А гут+к—пт-
/ ^ ак / ; Ск Яо х / ;х / ; атСт Чо
к=о т=п—к к=о т=п—к
поэтому
п
Ьк = -5] атСт+к—пят+к—п, (0 ^ к ^ п)
т=п к
и Ьп = —/(до). Так как д0 < а, /(а) = 0, ап > 0 и а — единственный положительный корень многочлена /(х), то /(до) < 0 и, следовательно, Ьп > 0.
Поэтому, разделив многочлен д(х) на наибольший общий делитель его коэффициентов, получим неприводимый многочлен /]_ (х).
Далее заметим, что корням а(к (к = 1, 2,...,п) многочлена / (х) соответствуют корни в(к) (к = 1, 2,... ,п) многочлена д(х), которые связаны равенствами
а“’ = «о + щ, в<к = (к = 1--п>-
Отсюда следует, что
-1 <в(к) < 0 (2 ^ к ^ п),в(1) > 1
и, значит, а1 = в(1) — приведенная алгебраическая иррациональность степени п. Лемма полностью доказана. □
Теорема 1. Для произвольной приведенной алгебраической иррациональности а степени п все её остаточные дроби ат также являются приведенными алгебраическими иррациональностями степени п, удовлетворяющими неприводимым многочленам
п
/т(х') ^ ^ ак,тх ^[х]> ап,т > °
к=0
где
Ьк,т & _ (ь ь )
ак,т ] , &т (Ь0,m, ■ ■ ■ , Ьп,т),
&т
п
Ьк,т = - £ ат-А+^т-Г, (0 ^ к ^ п).
1=п-к
Доказательство. Действительно, утверждение теоремы следует по индукции из леммы 1. □
Теорема 2. Неполное частное дк определяется однозначно как натуральное число, удовлетворяющие условию
/к(«к) < 0, /к(дк + 1) > 0.
Доказательство. Действительно, так как /к(ак) = 0, дк < ак < дк + 1, ап,к > 0 и ак — единственный положительный корень многочлена /к (х), то /к(дк) < 0 и /к(дк+1) > 0. □
Нетрудно понять, что для вычисления дк требуется 0(1п дк) вычислений значений /к(х). Действительно, рассмотрим последовательность /к(1), /к(2), ..., /к(2т), /к(2т+1), где т = ^2(дк)]. Ясно, что /к(2^) < 0 при 0 ^ ^ т и
/к(2т+1) > 0. Далее методом деления пополам стягиваем отрезок [2т; 2т+1] до отрезка [дк; дк + 1], что потребует ещё вычисления т значений /к (х).
Таким образом описание версии алгоритма Лагранжа для вычисления неполных частных разложения приведенной алгебраической иррациональности а степени п в цепную дробь закончено.
Теорема 1 обобщается на случай цепной дроби произвольной чисто-вещественной алгебраической иррациональности а степени п. Докажем предварительно лемму о преобразовании корней.
Лемма 2. Пусть
— произвольный целочисленный неприводимый многочлен, у которого все кор-
Доказательство. Утверждение леммы доказывается аналогично доказательству леммы 1. □
Теорема 3. Для произвольной чисто-вещественной алгебраической иррациональности а степени п все её остаточные дроби ат, начиная с некоторого номера т0 + 1, являются приведенными алгебраическими иррациональностями степени п.
Доказательство. Действительно, пусть а = а(^ и
П
/(х) = акхк Є Щ[х], ап > 0
к=0
ни а(к (к = 1, 2,...,п) — различные вещественные числа, удовлетворяющие условию
и для целого д справедливы неравенства
тогда многочлен
имеет корни в(к) = а(к)_д (к = 1, 2,... ,п), удовлетворяющие неравенствам
в(к) < 0 при к ^ к0,
1 < в(к) при к0 > к ^ к\,
0 < в(к) < 1 при к\ > к ^ 1.
— вещественные корни целочисленного неприводимого многочлена
п
/(х) = акхк Є Щ[х], ап > 0.
к=0
Пусть д0 = [а], к0,0 = ко и к1у0 = к1 определены как и в лемме 2 при д = д0, тогда к0,0 > і ^ кі,0 и многочлен
/і (х) = —/ (д0 + • хп = ^ ак,іхк
' х к=0
имеет корни
а^ < ... < а^ < а1\
среди которых п+1 — к00 отрицательных корней, к1}0 — 1 положительных, меньше 1 и к0,0 — кі,0 положительных корней больше 1.
Заметим, что остаточная дробь а1 = а^ и к0,0 — к1>0 ^ і ^ 1.
Пусть уже определен целочисленный многочлен /т (х) для остаточной дроби ат = Оть^, тогда, полагая д = дт = [ат], к0,т = к0 и к1т = к1 определены как и в лемме 2, тогда к0 т > іт ^ к1т и многочлен
Ут+1(х) /гт{ дт + | ' х ^ ^ ак,т+1х
^ ^ к=0
имеет корни
а(п) , < < а(2^ < а(1) ат+1 < • • • < ат+1 < ат+1,
среди которых п +1 — к0,т отрицательных корней, к1т — 1 положительных, меньше 1 и к0,т — к1,т положительных корней больше 1.
Заметим, что остаточная дробь ат+1 = а(^+^1) и к0,т — к1т ^ ]т+1 ^ 1.
Из доказательства леммы 2 следует, что ]1 ^ ]2 ^ ^ ]т ^ • • •; к0д ^
^ к0,2 = к0,1 — к1 ,0 + 1 ^ ^ к0,т = к0,т_1 — к1 ,т_1 + 1 ^ • • •.
Величины к0,т, к1, т имеют простой смысл — числа при к0,т > V ^ к^_,т
являются т—ыми остаточными дробями для чисел а(и+^_^т'). Так как из однозначности разложения числа в цепную дробь следует, что найдется т0 такое, что неполные частные дк при 0 ^ к < т0 — 1 одинаковые для чисел а(и) при к2 ^ V ^ к3, к2 ^ ^ к3 и неполное частное дт0-1 для числа а = а(^') отлич-
но от соответствующих неполных частных для чисел а(^ при к2 ^ V ^ к3, то к0,то_1 = к1,то_1 + 1, к0,то = 2, к^о = 1. Отсюда следует, что ато+1 = ат1+1 является приведенной алгебраической иррациональностью. □
Остановимся на описании целого класса приведенных кубических иррациональностей.
Рассмотрим при натуральном р ^ 4 многочлены
/(р, х) = х(х + 1)(х — р) — 1 = х3 — (р — 1)х2 — рх — 1.
Утверждается, что положительный корень а(р) уравнения f (р,х) = 0 является приведенной кубической иррациональностью.
Действительно, для многочлена f (р,х) = х3 — (р — 1)х2 — рх — 1 имеем:
f (Р, —1) = f (Р, 0) = f (Р,Р) = —1 f (Р + 1) = р2 + 3Р + 1 > 0,
f
(Р'—2)
2р + 1 8
— 1 > 0,
поэтому р +1 > а(р) = а(1) > р, —1 < а(3) < — 1, — 2 < а(2) < 0. Так многочлен f (р,х) не имеет рациональных корней, то он неприводим.
как
Рисунок 1.
На рисунке 1 приводится текст программы вычисления неполных частных приведенных кубических иррациональностей а(р).
Для заданного натурального р ^ 4 программа вычисляет п неполных частных разложения а(р) в непрерывную дробь в виде таблицы по 40 значений в одной строке.
3 Свойства матричных разложений
В этой работе мы будем рассматривать только неотрицательные целочисленные невырожденные матрицы.
Отметим несколько простейших свойств матричных разложений.
Лемма 3. Пусть
('0=к:: і)
— сходящиеся матричное разложение, г1 < .. .гп < ... — произвольная монотонная последовательность натуральных чисел и г0 = 0. Если матрицы шк заданы равенствами
т:
то матричное произведение
т:
:=о
сходится к числу а.
Доказательство. Действительно, если
П( а: Ь: \ = /Ап ВЛ
к=и Vе: й: ) = \Сп Бп)
Мп и
а1
Иш Мп
то
АВ
пп
Ііш —- = Ііш —— = а,
п^Ж Сп п^Ж Вп
а, следовательно,
11ш Агк -1
Иш
Вгк-1
:^ж Сгк-і :^ж Бгк-і
а.
Но, применяя сочетательный закон матричного умножения, получим
п п /гк + 1-1 ( ч \ гп + 1-1 ( ч
пт:=п п (а,)) = п а: х)=
:=о :=о V ,=гк К 3 3 ;) :=о 4 : ;
(
АІп+і 1 ^гп+і
Сгп+і — і В
Мгп+і-і
поэтому матричное произведение
ж
т:
:=о
сходится к числу а. □ Лемма 4. Пусть
(а)=п( а:::)
сходящиеся матричное разложение и
а, Ь,с^ ^ 0, det
( а Ь \ \ с d )
= 0,
тогда матричное произведение
(а Ь \ Т~\ ( ак Ьи \
Vе d / к=0 V ск ^ )
сходится к числу аа+ь,.
& ва+а
Доказательство. Действительно, если
то
а, следовательно,
П( аи Ьк\ = (Ап Вп\ к 0 \ ск ^ ) \Сп Вп)
АВ
пп
11ш — = пш —— = а,
п^Ж Сп п^Ж Вп
( а Ь ) Л ( ак Ьк \ = ( [с d) ПД ск d к)
аАп + ЬСп аВп + ЬВп , сАп + dCn сВп + dDn
)
и
11ш
аАп + ЬСп
11ш
а Сп + Ь
Сп_________
-,Ап
аа + Ь
11ш
аВп + Ь
Шп______
Вп
11ш
аВп + ЬВп
п^ж сАп + dCn п^ж сАп + d са + d п^ж сВп + d п^ж сВп + dDn ’
Сп Шп
поэтому лемма полностью доказана, так как все матрицы неотрицательные и а > 0. □
Лемма 5. Пусть
(а)=п( а :о
— сходящиеся матричное разложение, тогда для любого п > 0 матричное произведение
ак Ьк ск dk
тт ( ак Ьк \
^ ск dk )
сходится к числу ¡Зп и а
к=п
Ап — 1 вп + Вп — 1 Сп — 1 вп +Шп — 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, утверждение леммы следует из предыдущей леммы при а = Ап_ 1, Ь = Вп-1, с = Сп-1 и d = Вп-1. □
Лемма 6. Пусть
('0=п(:: Ч)
— сходящиеся матричное разложение, г1 < . . .гп < ... — произвольная монотонная последовательность неотрицательных целых чисел и
(5 к) =(01) о=1'
тогда матричное произведение
3=1к=Ь—1+1
где г0 = -1, сходится к числу а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть
И
±у±т
Ип =
т гЬ -1
п п
]=1 к=гь—1+1
П( ак Ьк\ = (Ап Вп\ \ ск ^ ) \Сп Вп)
) = (Ат В !гп)
) \Ст Вт) ’
ак Ьк
ск dk
Р
± ГГ
П/з •
3=1
тогда
поэтому
Иг
(Агт Вгт\ = Р И' = (РтА'т РтВ'т\ \Сгт Вгт) РтИт \ЕтС'т ¥тВ’т)
Аг
а = 11ш
т^ж Сг
А
и1ш С
т^ж С
- т
В'
11ш ТГ
т^ж
11ш
Вг
Ж
и лемма доказана. □ Лемма 7. Пусть
('0-п(а £)
— сходящиеся матричное разложение к иррациональному числу а, тогда все матрицы, входящие в разложение, — неособенные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, пусть матрица
ап Ьп
\ сп ,Лп у
особенная. Тогда и матрица
(Ап Вп)
\Сп Вп)
также будет особенной, то есть Пт = 7^ или Сп = тАп, Жп = тВп. Вычисляя
->п -- 7п
П С А Сп тАп Вп
Пп Сп
I Ап+1 Вп+Л ___ (Ап Вп\ ( ап+1 Ьп+1 \
\Сп+1 Вп+1 Сп Вп) \ сп+1 dn+1 /
убеждаемся, что ^Сг+1 = тШт! = и, вообще, ^ = Пк = при к ^ п, поэтому лемма доказана. □
Положим Дп = det Ип = АпЖп — Вп Сп, 8п = а^п — Ьпсп. Лемма 8. Пусть в бесконечном матричном произведении
ж ( ак Ьк ) Д V с: dk ) к=0 у 7
все матрицы — неособенные, целочисленные, положительные с условием
\6п\ К\
¿к < 0, ш1п(-Щ-, ^ ¿< 1,
у ап^п спЬп )
тогда матричное произведение сходится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего, заметим, что
Дп - det Ип --- АпЖп ВпСп ------
= (Ап_1ап + Вп_1сп)(Сп_1Ьп + Жп_^п) — (Ап_1Ьп + Bn_1dn)(Cn_1 ап + Вп_1сп) (Ап_1Вп_1 Bn_1Cn_1)(andn Ьпсп) - Дп_1 ¿п.
Отсюда следует, что Дп - (—1)п+1\Дп\ (п - 0,1,...).
Рассмотрим разности 7п — ^ при п - 0,1,.... Имеем:
Сп Пп
Ап Вп Дп Дп— ^п
Сп Вп СпВп (Сп_1ап + Вп_1сп)(Сп_1Ьп + Dn_1dn)
Ап
Сп
Вп
\Дп_1^
ш1п ( ———, -—- ) < ------------;
Сп— 1В^— 1 \ап^п спЬп ) Сп— 1В^— 1
\Дп_1\ ЛШ
У ап^ спЬп )
Ап
Сп
Вп
Вп
Ап
Сп
Вп
Жп
Ап_1 (Ап_1ап + Вп_1сп)Сп_1 Ап_1 (Сп_1ап + Вп_1сп)
Сп 1
СпСп_1
сп(Вп_1Сп_1 Ап_1Вп_1) спДп_1
СпСп- 1
СпСп- 1
Вп_1 __ (Ап_1Ьп + Bn_1dn)Dn_1 Вп_1(Сп_1Ьп + Вп_^п)
Вп_1 DnDn_1
Ьn(An_1Dn_1 Вп_1 Сп_1) Ь
пД п_ 1
DnDn_1 DnDn_1
Вп_1 ___ (Ап_1ап + Вп_1 cn)D п_1 (Сп_1ап + Dn_1cn)Bn_1
Dn_1 ^^1
_ аn(An_1Dn_1 Вп_1 Сп_ 1) _ апДп_1 _
cnDn_l cnDn_l;
Ап_1 ___ (Ап_1Ьп + Bn_1dn)Cn_1 (Сп_1Ьп + Dn_1dn)An_1
С = ПС
Сп_1 DnCn_1
dn(An_1 Dn_1 Вп_1Сп_1) dnДn_1
и С
DnCn— 1
тл С
DnCn— 1
Отсюда можно сделать вывод, что
А2к
э
Ао Во
С <Db•
Ао Во
Со; до А2к В2к
<
В
2к
э
D
2к
э
С2к D2k
В1 А1 Dl; С\ В2к+1 А2к+1
В2к+1 < А2к+1
э
D2k+1 А2 В2
~С[ Ъ~2 А2к+2 В2к+2
С2к+1
...
С
2к+2 D2k+2
...
_ D2k+1 С2к+1.
Таким образом, мы имеем стягивающуюся последовательность вложенных отрезков, а значит последовательность их концов сходится к общему пределу, что и доказывает утверждение леммы. □
Заметим, что из доказательства леммы следует, что имеем две монотонные последовательности дробей, сходящихся к а:
Ао < В1 < А2 < < А2к < В2к+1 < А2к+2 < (2)
Со Dl С2 "' С2к D2k+l С2к+2 " ‘ ’ и
Во А1 В2 В2к А2к+1 В2к+2
йо >С >й2 >...>^, >Ск+7 >^к+2 >---- ( }
Рассмотрим следующую последовательность матриц:
Ип
<
2 • 2п+1 + (—1)п+1 2п+1
22
+ (—1)п 2п
)
Нетрудно видеть, что Ио
Действительно,
(■2 0
Ип = Ип 1
12 10
(
2 • 2п + (—1)п 2 • 2п_1 + (—1)
2
п1
2 • 2п+1 + (—1)п+1 2 • 2п + (—1)п 2п+1 2п
") ■(=:)
п).
Отсюда следует, что
Ип
(”) (10)
и матричное произведение
(”Ш 10)
сходится к натуральному числу 2, то есть имеет место равенство
(гн")п( и)
Последовательность матриц (4) и матричное произведение (5) демонстрируют, что не всякое матричное произведение можно перевести в обыкновенную цепную дробь.
Выделим класс матриц М+ и подклассы М+(д), М±, М* и М*(д) (д Е М).
Определение 3. Будем говорить, что целочисленная неотрицательная матриц И Е М+, если выполнены условия
И
а ^ с ^ 0,Ь ^ d ^ 0, det И - ad — Ьс - 0, а,Ь,с^ Е Ъ. (6)
Подкласс задается равенством
М± = {И Е М+\det И < 0} а подкласс М+(д) — равенством
М+(д) = |
И Е М+
а 'Ь
с Я = д
■}
п
п
Лемма 9. Ш+ — мультипликативная полугруппа.
Для любых матриц И,К,Ь Е Ш± справедливо включение
И • К • Ь Е Ш±. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если И= ( а Ь ), К
(а 0' к.(ц)
И, К Е Ш+,
то
ае + Ьд ^ се + dg ^ 0, а/ + ЬИ ^ с/ + dh ^ 0, det И К - det И det К - 0,
поэтому И • К Е Ш+ и первое утверждение леммы доказано. Если
аЬ с d
( а Ь ) \ с d )
И • К • Ь,
то а ^ с ^ 0,Ь ^ d ^ 0 и det И • К • Ь < 0 и лемма полностью доказана. □
Определение 4. Будем говорить, что целочисленная неотрицательная матриц И Е Ш*, если выполнены условия
И
Ш
аЬ \ с d )
Подкласс Ш*(д) задается равенством Ш*(д) = |И Е Ш
а Ь
с А
е N.
(9)
а 'Ь
с А
■}
:ю)
Ясно, что
ж
Ш* = У Ш*(д).
9=1
Лемма 10. Пусть матрица
и=( аЬ) еш*(9)
и
К
а1 Ь1
V с1 dl )
— произвольная невырожденная целочисленная матрица, удовлетворяющая условию det К > 0, а1, Ь1, с1, d1 ^ 0, тогда И • К Е Ш*(д).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из условия следует, что а - дс + г, 0 ^ г < с, Ь - qd + 5, 0 ^ в < d. Далее имеем:
Ы-К
(
(
аа1 + Ьс1 аЬ1 + са1 + ії,еі сЬ1 +
д(са1 + dc1) + га1 + $с1 д(сЬ1 + dd1) + гЬ1 + ^ са1 + dc1 сЬ1 + dd1
)
О'
Так как det И • К < 0, 0 ^ га1 + вс1 < са1 + dc1, 0 ^ гЬ1 + вd1 < сЬ1 + dd1, то
д
Ш1 J
и утверждение леммы полностью доказано. □
Теорема 4. Пусть в бесконечном матричном произведении
аа1 + Ьс1 аЬ1 + bdl
са1 + dcl сЬ1 + ddl
П( ак Ьк \ ( ак Ьк\
и <0=Птк' т = 1 с, О
все матрицы тк Є Ш*, тогда матричное произведение сходится к числу а > 1.
Если число а — иррациональное, то для любой матрицы т Є Ш+ \ Ш* и п Є N найдется і > п такое, что
П( ак Ьк \
V ск >їк)
к=п 4 '
Ш*.
ак Ьк
Ск &к
и ак = {ї}. вк = {|},
Доказательство. Положим дк =
тогда ак (Чк + ак) ' ск) Ьк (дк + @к)dk и $к акdk Ькск скdk(ак @к) < °-
Поэтому
Ш1П
( \&к\ \6к\ • (
----Г, —Г~ = Ш1П , _ .
\акdk скЬ; \дк + ак дк + Рк ; 1 + Рк 2
вк ак вк ак\ вк
Ш1П ( -----------, -------—\ <
1
< -
и по лемме 8 матричное произведение (11) сходится к числу а > ^ 1.
Пусть
т
(а\)> ып,.=п(а: 1)
4 7 к=п 4 7
Ы-^Ы,
I Ап,, Вп,\
\ Сп,і Пп, )
Согласно лемме 5 имеем:
1. Ап,, 1 . Вп,, п
11ш - 11Ш ~ - Рп-
,—Сп , ,—— / /,
п,,
Так как а — иррациональное число, то и вп — иррациональное число для любого натурального п.
Заметим, что
т • Ип* =
(
аАп+ ЬСп,* аВп+ Юп,*
сАп,* + ЛСп,* сВп* + ^п,*
)
и
11ш
аАп+ ЬСп*
л ■ аВп,г + Шп* аРп + Ь , ^
Пш „ -----------= —---------------; Е Ч,
*^ж сАп* + ЛСп* ^ж сВп,* + dDn,t свп + d
поэтому найдется натуральное Ьо такое, что для любого Ь ^ Ьо выполняется равенство
аАп,* + ЬСп авп + Ь аВп
сАп,1 + лСп,* _ свп + л сВп,* + ^п,* _
что и доказывает утверждение теоремы, если положить Ь -
□
Лемма 11. Пусть матрица
( Ьо, при det т • (—1)*0 п > 0,
| Ьо + 1, при det т • (—1)*0_п < 0.
И-(а л)ЕиШ+(д>
4 7 д=1
тогда её можно представить в виде
И
и матрица (
(в(? 1))
К
12)
К -( е И) Е Ш+ \0 Ш+(д).
' ' д=1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего заметим, что если И Е Ш+(д), то И=
и
(д 1 V ( с л \
у 1 0 у у а — дс Ь — qd )
( с л )
у а — дс Ь — qd )
Ш+
а — дс Ь — qd
и это представление единственное. Отметим, что шах(с, л) > шах(а — дс, Ь — qd), шах(а, Ь) ^ шах(с, л). Поэтому, если
(
с л
а — дс Ь — дл
)ж
Е и Ш+(д),
я=1
то процесс выделения сомножителей вида
(11)
можно продолжить, но он оборвется за конечное число шагов. Оставшаяся матрица К, будет принадлежать множеству
ГО
М+ \ и ЭД+(д).
9=1
□
4 Алгоритм перевода матричного разложения в обыкновенную цепную дробь
Для а(р) рассмотрим матричное разложение (1) при Ь = р, а = —р + 1,
Ь = —р и с = — 1, получим
(Т) = п((
^ 7 к=0 ' ''
р3 + р2 + 3 р2 + р р2 + р р3 + р2 + 3 1р
)
)
3к + 2 0
0
3к + 1
)
р2 — р + 9 2р2 + 2р + 2
2р2 — 6р + 6 р2 — р + 9
ПМ (р,к)’
:13)
к=0
где
М(р, к)
(
р
р3 + р2 + 3 2
р2 + р 1
р3 + р2 + 3
3к + 2 0
0) ( 3к + )1 ( 1 р )
) ( 1 0 ) = ( Ак (р) Вк (р) )
/ V 0 1 / V ^к (р) Ок (р) у
3к + 2 1 р2 + р 0
р2 — р + 9 2р2 — 6р + 6
2р2 + 2р + 2 р2 — р + 9 У V 0 3 ) V Ск (р) Ок (р)
Ак (р) = (27 + 9р + 33р2 + 32р3 + 8р4 + 10р5 + 4р6)к+ +9 + 5р + 16р2 + 16р3 + 4р4 + 5р5 + 2р6,
Вк (р) = (18 + 36р + 12р2 + 24р3 + 8р4 + 4р5 + 2р6)к+ +6 + 21р + 5р2 + 12р3 + 4р4 + 2р5 + р6,
Ск (р) = (6 + 24р + 26р2 + 8р3 + 10р4 + 4р5)к+
+4 + 13р + 14р2 + 4р3 + 5р4 + 2р5,
Вк (р) = (27 + 9р + 21р2 + 8р3 + 4р4 + 2р5)к+
+ 18 + 4р + 11р2 + 4р3 + 2р4 + р5.
)
В следующей программе на рисунке 2 реализован алгоритм перехода от матричного разложения а(5) к обычной непрерывной дроби.
Символьные вычисления дают следующие значения:
м( ) _ / 313Ш + 15645 16226к + 8106 \
М (4 ’ к) _ V 7686к + 3864 3983к + 2002 ) ’
М(5 к) _ ( 103647к + 51809 52248к + 26111 \
м (5 , к) _^ 20526к + 10294 10347к + 5188 )
Значение М(5 , к) использовано в указанной программе.
Рисунок 2.
Лемма 12. Программа на рисунке 2 реализует алгоритм перевода матричного разложения в цепную дробь.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, прежде всего заметим что
и
103647 + 51809' 20526fc + 10294 52248fc + 26111 10347fc + 5188
103647fc + 51809 20526fc + 10294
5+
5+
1017fc + 319 20526fc + 10294 ' 513fc + 171 ' 10347fc + 5188
52248fc + 26111 10347fc + 5188
Є m*
поэтому на основании теоремы 4 матричное разложение
ОО /
П
k=0 v
103647fc + 51809 20526fc + 10294
52248fc + 26111 10347fc + 5188
)
сходится.
Далее заметим, что внешний цикл fork £ 0..n реализует вычисление произведения
' 103647k + 51809 20526k + 10294
k=0
и выделение произведения
52248fc + 26111 10347fc + 5188
)
]f[(і)
j=0 v /
с помощью внутреннего цикла while r = floor (D
Вспомогательный цикл forkk £ 1..3 позволяет уменьшить числа в матрице M, если это возможно. Согласно лемме 6 сокращение на общий делитель всех элементов матрицы не меняет значение матричного разложения. Поэтому на основании теоремы 4 и леммы 11 указанная программа осуществляет вычисление неполных частных. □
5
5
5 Результаты символьных расчетов
Символьные вычисления по программам на рисунках 1 и 2 показывают, что программы дают одни и те же неполные частные. Вычисление с помощью программы, основанной на матричном разложении, оказываются более быстрыми.
Вычисления с/кг(100) дает значения 592 неполных частных, а с/кг(200) уже
— 1194 значений. Так как результаты представлены в виде матрицы, содержащий 40 элементов в каждой строке, то последние элементы последней строки могут быть нулевыми. Приведем распределение значений неполных частных с учетом указанных нулевых значений, которые не являются неполными частными.
Это распределение вычисленно с помощью программы на рисунке 4.
зиЬтайтх(^, 0,1,0,19) —>
гиЬтаіїіх^,0,1,20,39) —> ялЬтаїгіх^уО,1,40,59) —> зиЬтаігіх($1,0,1,60,75) —>
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
б 484 196 114 75 51 44 ЗО 17 20 11 11 14 9 б 10 5 10 5 2
20 21 22 23 24 25 27 28 29 ЗО 33 34 35 36 37 40 42 43 44 47^ 53221 1 141412121 1 1 122,]
54 55 60 63 68 78 79 82 84 87 93 95 97 111 120 123 128 129 134 140
11212222111111 1 1 1 1 1 1
141 154 164 176 180 201 228 234 244 255 288 425 467 1333 1813 3139 12 111111111111 1 1
Рисунок 3.
Рисунок 4.
В заключение авторы выражают свою глубокую благодарность профессорам Г. И. Архипову и В. Н. Чубарикову за полезные обсуждения и внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 3(23). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 46.
[2] Подсыпанин Е. В. О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сборник 2007 Т. 8. Вып. 3(23). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 47 — 49.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Московский педагогический государственный университет Поступило 10.01.2013
