CC BY
45
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511.3
ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ДИСКРЕТНОМУ ЭРГОДИЧЕСКОМУ МЕТОДУ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
У. М. Пачев (г. Нальчик)
§1. Историко-библиографические сведения
Начнем с классической задачи теории чисел о числе гк (т) решений диофан-това уравнения
х\ + х2 + ... + х2к = т, (к ^ 2) , (1)
связанного с представлением целого числа т суммой к квадратов целых чисел. Здесь мы не рассматриваем тематику точных формул для числа решений уравнений. В нашем обзоре основное внимание будет уделено вопросам получения асимптотических формул для числа представлений целых чисел квадратичными формами от трех и более переменных.
Для уравнения (1) при к ^ 4 Райт [1] доказал существование представлений (х1, х2,..., хк) € Zfc большого числа т суммой к квадратов, лежащих в данной сферической области.
Исследование числа решений уравнений (1) значительно легче поддается при четных значениях к = 2в, а именно, см [2], как впервые заметил Рамануджан, для числа г2з (т) представлений числа т в виде суммы 2в квадратов справедлива асимптотическая формула
г2з (т) = ^ (т) + £2^ (т), (2)
где 52з (т) - арифметическая функция, представленная в виде некоторой суммы по делителям числа т, а е2з (т) - остаточный член. Отметим, что для в ^ 2 порядок величины 52з (т) есть т8-1, а остаток имеет согласно еще не доказанной гипотезе порядок
£23 (т) = 0£ [тв21+е^
(3)
где £ > 0,
Таким образом, 52s (m) дает довольно хорошую аппроксимацию для функции r2s (m). Даже в елучае s = 2 как показано Якоби (ем, монографию [2]), остаточный член равен нулю, так как
r4 (m) = ^4 (m) = 8 ^ d (4)
d/m
41 d
Отметим также, что для s = 12 £2s (m) совпадает с коэффициентом т (m)
функции Рамануджана
ГО ОО
А (9) = 9 П (1 - qm)24 = £ Т (m) qm.
m=1 m=1
Делинем [3] доказано, что
\т(т) \ ^ d(m)m^, (5)
d ( m)
Учитывая оценку d (m) << m£, £ > 0 и результат Делиня получается, что
r24 (m)
ного в (3),
В аналитической арифметике квадратичных форм отдельные исследования были проведены по вопросу представления целых чисел квадратичными формами с четырьмя переменными (см, напр, [4]), В частности, в 1926 г, Клостерманом
[5] был решен вопрос об асимптотике числа решений уравнения
аж2 + by2 + cz2 + dt2 = N
при N ^ то, т,е, вопрос о целых точках па 4-мерном эллипсоиде методом контурного интегрирования. При a = b = c = d =1 получается четырехмерная
сфера
ж2 + y2 + z2 + t2 = N.
В связи с этим встает естественный вопрос о распределении целых точек на k-мерпой сфере (1),
При k ^ 4 вопрос об асимптотическом распределении целых точек на поверхности (1) и даже на k-мерном эллипсоиде был исследован А,В, Малышевым
[6].
Круговой метод был применен А,В, Малышевым [6] и к положительным квадратичным формам f = f (ж1; ...,xs), где s ^ 4, Суть этого метода заключается в следующем (подробности см, [6], гл. 3), Если R (f, m) - число предетав-mf
f (xi,...,xs)= m, xi,...,xs £ Z, то рассматривается тета-ряд квадратичной формы f:
С©
^ (f, m) = wf(xi--xs) = ^ R (f, m) wm,
xi,...,Xs=1 m=0
R ( f, m)
муле Коши для коэффициентов степенного ряда получаем выражение через контурный интеграл
R(f,m) = -^—^i9(f,m)w~m~1dw, (6)
г
где Г - замкнутый контур, содержащий w = 0 и лежащий внутри круга |w| < 1, например, Г : |w| = е-™ (или |ги| = 1 — ^), Контур Г разбивается на дуги
|w| е2пгб, 01 <0 ^ 02,
содержащие рациональные 0 с малым знаменателем (большие дуги), дающие
R ( f, m)
(малые дуги) дают вклад в остаточный член.
Применение кругового метода дает следующую асимптотическую формулу (см. [6])
s_
IT 2 о л / ч 3 ч 1 \
R (/, т) =----------------rmi Н (/, т) + О Ы± + ^т±~±+£\ , (7)
r(i)W)}2
где H (f, m) - "особый ряд" данной задачи, причем
H (f, m) » m-£, е > 0;
d (f) - определитель формы f.
Этим методом А.В. Малышевым [6] решена и более общая асимптотическая задача о числе Rg>bl>...>bn (&/,т) представлений (x1; ...,xn) £ Zn числa m положительной n-арной квадратичной формой f, удовлетворяющих условиям:
(xi, ...,xn) £ Q/,m, (xi, ...,xn) = (bi, ...,bn) (modg) ,
где П/,m - выпуклая область на поверхности эллипсоида, f (x1; ...,xn) = m. При
этом также как и в случае формулы (7) в главном члене для Rg,b1,...,bn (&/,т) в качестве одного из сомножителей присутствует функция Hgbl...bn (f, m) - особый ряд данной задачи (исследования этого особого ряда см, [6], гл, III, §2), К таким же результатам (при n ^ 4) приводит и применение теории модулярных форм (см, [2]), Модулярные формы, являясь по виду объектами анализа,
имеют широкие применения в аналитической арифметике квадратичных форм. Теория модулярных форм позволяет получать оценки, а иногда и точные фор-R (f, m) m f
[7]. Приложение Б, Аналитические методы).
Наиболее сложным для исследования оказался случай тернарных квадратичных форм, к которым до появления фундаментальных работ Иванца [8] и Дьюка [9], обычные аналитические методы оказались неприменимыми, ибо не были получены нужные для этого нетривиальные усреднения сумм Клостерма-на
ж-^ i'. -ux+ux 1( mod q)
/\ {ii. ('. q) Y, e ------'---- >
x mod q
где суммирование ведется по приведенной системе вычетов x (modq), например, оценка усреднения по q ^ X, имеющих вид ^ K<yU,v’q'> ^ Xе (гипотеза Липпика),
q^x
Заметим также, что приведенная выше асимптотическая формула (7) для R (f, m) уже не работает при s = 3, так как в пей главный и остаточный члены получаются одинакового порядка.
Вообще, как отмечал Ю.В, Линник [8], результаты об асимптотике числа решений диофантовых уравнений, содержащих мало переменных по сравнению со степенями входящих в них переменных, недоступны обычным методом аналитической теории чисел,
В связи с этим Ю.В, Линник [11] разработал новый для того времени оригинальный метод аналитической теории чисел, использующий некоммутативную арифметику и, названный при его дальнейшем развитии, дискретным эргодиче-ским методом (далее ДЭМ), Но в последствии к вопросу представления целых чисел тернарными квадратичными формами применялся и метод модулярных форм. Прогресс в этом направлении был достигнут Г, Иванцом [9], В, Дюком
[10], В,А, Быковским [12], Но не все задачи, решаемые с помощью ДЭМ поддаются методу модулярных форм (см, например исследование Голубевой Е.П.
[13]).
§2. Идея дискретного эргодического метода на модельном примере
Говоря об истоках эргодического метода Ю.В. Липпика нужно отметить, что при построении этого специального метода аналитической теории чисел Ю.В. Линник исходил из замечательных исследований Б.А. Венкова [14] по теории поворотов целых векторов - целых кватернионов с нулевой скалярной частью. В своих исследованиях по теории поворотов Б.А. Венков каждой паре (L, L) целых примитивных векторов L и L нормы m (повороту L ^ L) сопоставлял
m
фиксируя L, он заставлял пробегать L = Q-1LQ примитивные векторы L
нормы га, когда Q пробегает целые кватернионы разных норм, С помощью таких поворотов Б,А, Венков [14] передоказал теорему Гаусса о числе г3 (га) представлений числа га суммой трех квадратов,
Ю.В, Линник [10] использовал теорию поворотов Б,А, Венкова (и ее обобщения) иначе: фиксируя нечетное число д > 0, он рассматривал числа га > 0 с условием символ Лежандра
= 1 для всех простых р/д, (8)
так что для любого 5 > 0 и I Е Z выполняется сравнение
I2 + га = 0 (шо^). (9)
С помощью поворотов вида, V = Q-1VQ, где N ^) = д, учитывая при этом
сравнение (9) и аналог основной теоремы арифметики для кольца целых кватернионов, Ю.В, Линник [10] следующим образом строил потоки целых примитивных векторов V нормы га. Для любого такого вектора V в силу (9) можно записать
I + V = В • V, В = Ql • ... • Qs, N ) = д, (10)
где Q1, ,,,, Qs, В, V - целые кватернионы. Тогда по вектору V с помощью (10)
можно построить "цепочку" Z = zL] целых примитивных векторов нормы га длины 5:
Z = {Ь(1) = £,£(2),...,£^)} , (11)
где
Ь(1) = Q-1VQl = Q2 •... • Qs • V • Ql - I,
Ь(2) = Q-1V(1)Q2 = Qз •... • Qs • V • Ql • Q2 - I,
V(s) = Q-1V(s-1)Qs = V • В - I.
Цепочку целых примитивных векторов нормы га, начинающуюся с V будем также обозначать
V ^ Ь(1) ь(2) ^... ^ ь(,5).
Совокупность х (га, /) цепочек Z = zLs), начинающихся со всех г (га) примитивных векторов V нормы га образует поток векторов порядка 5 при данном
l (modq); при этом длина s каждой цепочки выбирается как величина порядка log m (если m достаточно велико, то непересекающиеся цепочки будут длиной порядка log m). Тогда оказывается [11], что вопросы асимптотической (при m ^ то) равномерности распределения целых векторов
L = x!*1 + x2i2 + x3*3
(здесь i1; i2, i3 - кватернионные единицы) нормы m по классам вычетов по заданному модулю g или по поверхности сферы в смысле сферической меры можно заменить вопросами эргодичности так построенного потока.
Первая из задач (см,, например, [15]) - проблема построения асимптотической формулы для числа r (m; g, L0) целых примитивных векторов L нормы m с дополнительным условием
L = Lo (modg),
L0
ДЭМ при кватернпонной интерпретации целых точек на сфере,
В случае модельной задачи разъясним понятие эргодичности потока. Говорим, что поток (m, l) "эргодичен" , если при
s ^ log m (12)
цепочки Z потока (m, l) можно разбить на две категории:
1) "плохие" цепочки Z, которых мало и их количество оценивается
o (r (m)), (13)
r ( m)
2) "хорошие" цепочки Z, которые "эргодичны" : при m ^ то
# {j/Lj Е Z, Lj = L0 (modg), j = 1,s}--------(14)
P (g,m)
где p (g, m) - число векторов L0 (modg) примитивных (modg) с условием
N (L0) = m (modg). (15)
Z
элементов
L(j) e Z(j = 1,...,s)
попадающих в класс вычетов L0 (modg) асимптотически равна их доле при равномерном распределении по классам вычетов (modg) целых примитивных Lm
При этом вопросы эргодичности потока изучаются с помощью операторов В, которые создают этот поток, а задача об операторах Вводится к вопросу о представлении чисел кватернарными квадратичными формами, исследуемому круговым методом (см, [6], гл, III),
Сопоставляя ДЭМ с классической эргодической теорией, отметим, что в случае ДЭМ речь идет не о применении результатов классической эргодической теории, а об использовании их дискретных аналогов для вывода асимптотики числа решений диофантовых уравнений, связанных с алгебраическими полями (см, [8]), И по технике доказательств ДЭМ существенно отличается от классической эргодической теории отсутствием "работающего" аналога понятия меры, В современном варианте ДЭМ эта техника в общих чертах выглядит следующим образом (в первую очередь имеется в виду эргодичность потока в "модельной" задаче),
I0. Предполагая "неэргодичноеть" поетроеиного потока xs (m, l) из всех r (m) цепочек Z e (m, l) выделяем > ar (m) (a > 0) таких, что в соответ-
ствующих им операторах В = Q1 •... • Qs число появлений среди Q1,...,Qs данного примитивного кватерниона Q нормы q "ненормально" мало (в модельной задаче: < (1 — 7) /3s, где /3 = р^д , &о (Q) - число прими-
тивных примарных кватернионов нормы q), здее ь a> 0 и y> 0не зависят m
0
Маркова весьма малы (см, [16]), получается, что число различных кватернионов в выделенных цепочках
«(qs)1-Y, (16)
где y > 0 те зависит от m,
0
log m
s — -------
|_ 2 log q
и a>0 в любых > ar (m) кватернионных равенствах из (4) число различ-В
> mb£. (18)
Это предложение и его различные модификации мы будем называть "ключевой" леммой ДЭМ,
(17)
4°. В предположении (17) оценки (16) и (18) при т ^ то противоречат друг другу, что и доказывает "эргодичность" потока (т,/),
Из эргодичности потока (т,/), используя еще при этом теорему "перемешивания" , уже сравнительно просто выводится соответствующая равномерная распределенность векторов £ по модулю д.
Конечно, это простейший вариант ДЭМ, связанный с уравнением xf + x2 + x23 = m
реносится на обобщенные кватернионы [6] и на матрицы второго порядка [17]. Соответственно имеются различные варианты "ключевой" леммы ДЭМ.
§3. Обзор результатов, полученных ДЭМ в аналитической арифметике тернарных и бинарных квадратичных форм
1. Положительные тернарные квадратичные формы
Все законченные результаты, полученные с помощью ДЭМ, касались вопроса о представлении чисел тернарными квадратичными формами (S = 3), т. е, о числе решений уравнения
f (x1,x2,x3) = m, (19)
где f (x1,x2,x3) - целочисленная тернарная квадратичная форма.
Первоначально ДЭМ применялся только к положительным тернарным квадратичным формам, причем основополагающей как по методу, так и по результатам была работа Ю.В. Линника [11]. В этой работе, состоящей из двух частей была доказана ключевая лемма метода, правда, в ослабленном виде: вместо оценки (18) при условии (17) была получена более слабая оценка для числа В
1 -2 . , л
> (20)
(1 , \ log т
V 2 ' 1 ) log (
i1_i)
ГДе Т =---------21ogq ПРИ 5
Оценка (20) позволила доказать, что
г(т,д) > 1о§1о§т1о§1о§1о§т (21)
для числа примитивных векторов Ь нормы т с условием
I + ь =
где и - целый кватернион; к (—т) - число классов собственно примитивных
т
т
положительными тернарными квадратичными формами f = f (x1,x2,x3) специального вида, названными им "удобными" и принадлежащими роду G[q>1] инвариантов [q, 1], задаваемому характерами
xAf) = (=f) = Ы)“
для всех простых p/q, где q > 1 - нечетное число (определение инвариантов тернарной квадратичной формы см. [6], гл. III).
m
f
/с \ h (-m)
Г (/, гп) > -— ----- —-— --------------------------, 22)
log log m log log log m
В ч. II работы [11] впервые рассматривается новая задача о числе примитивных представлений r (m; g, 6^ 62, 63) числa m суммой трех квадратов, принадлежащих данному классу вычетов (61,62,63) (modg), т.е. задача о числе решений диофантова уравнения
m = (gx1 + 61)2 + (gx2 + 62)2 + (gx3 + 63)2 , причем доказано, что
г{т-дМММ) > ]—j----------------------------------h\ т) 1-• (23)
log log m log log log m
В дальнейшем Ю.В. Линником и А.В. Малышевым [18], в эргодичеекий метод было внесено два существенных усовершенствования.
Во-первых, "ключевая лемма" доведена ([18], гл. I) до неравенства (18), т.е.
m
оценку
r (m,Q) > h (-m), (24)
истинную по порядку.
Из оценки (24) в работе [18] выводятся оценки
r (m; g, 61, 62, 63) > h (-m) , (25)
г (/, т) » к (—т), (26)
истинные по порядку.
/
/
впя типа (8), связанного с возможностями ДЭМ. В дальнейшем этот результат включался в более общий и точный результат о формах, представимых суммой
трех квадратов линейных форм (ем, монографию [6], гл, VI, §1), Впоследствии выявилась возможность получения для рассматриваемых величин г (/, т) не только неравенств, но и асимптотических формул (при т ^ то). Итог всем таким исследованиям по ДЭМ подводится в монографии Ю.В. Линника [8].
Результаты применения ДЭМ к вопросу представления чисел тернарными квадратичными формами до 1975 г, описаны в §3 обзора А,В, Малышева [19], В работе [19] была сделана попытка усовершенствования ДЭМ, Рассмотрения ведутся на примере обыкновенных кватернионов, причем, что интересно это то, что доказательство не использует теории поворотов Б,А, Венкова,
Попытка получить с помощью нового варианта ДЭМ оценки остаточных членов в асимптотических формулах приводят лишь к условным результатам
[15] (как и при использовании прежнего варианта ДЭМ), В работе А,В, Малышева и У.М. Пачева [15] уточняются исследования гл, VI монографии [6], где с помощью нового варианта ДЭМ получены асимптотические формулы для числа представлений чисел некоторыми положительными тернарными квадратичными формами, причем даются оценки остаточных членов. Начиная с работы [15], развитие ДЭМ шло по двум направлениям:
а) по линии уточнения результатов. Здесь техника ДЭМ совершенствовалась на случае форм, содержащихся в сумме трех квадратов. Эти результаты были перенесены [20] еще на некоторые классы форм;
б) по линии получения возможно более общих результатов (см, [15]),
Дальнейший вклад в развитие ДЭМ внес М, Петерс [21], применившего этот метод к положительным тернарным квадратичным формам самого общего вида, В своих рассуждениях М, Петерс помимо ДЭМ существенно использует теорию епинорных родов, в частности результаты М, Кнезера по представлению чисел тернарным епинорным родом; но при этом получены только оценки снизу. Уже в работе М, Петерса [21] отмечается, что с помощью ДЭМ для числа представлений такими формами могут быть получены оценки, истинные по порядку (но пока - не асимптотические формулы). Результаты М, Петерса были далее усилены Ю.Г, Тетериным [22], В дальнейшем Ю.Г, Тетерин [22] перенес ДЭМ для положительных тернарных квадратичных форм на алгебраические числовые поля,
2. Неопределенные тернарные квадратичные формы
Естественным образом возникает вопрос и о применениях ДЭМ к неопределенным тернарным квадратичным формам. Первоначально ДЭМ прилагался лишь к простейшей неопределенной тернарной квадратичной форме
/° = /° (х1,Ж2,Жз) = Ж1Ж3 - (27)
связанной с теорией приведения бинарных квадратичных форм. Изучалось распределение целых точек на двуполостном гиперболоиде (Ю.В, Линник, [10])
/о (хі,х2,хз)= т, т> 0 и на однополостном гиперболоиде (Б.Ф, Скубенко, [23])
(28)
/о (хі,х2,хз) = т, т< 0.
(29)
Эти исследования составляют содержание гл, V, VI монографии [10],
т /о
му представлению (х1;х2,х3), удовлетворяющему равенствам (28, 29), т,е, каждой точке (х1;х2,х3) на поверхности сопоставляется бинарная квадратичная
т
Эти три объекта будем считать всегда сопоставленными и заданными одновременно, Ввиду указанных интерпретаций проводились также исследования по применениям ДЭМ к вопросу об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм заданного определителя (см, [8]),
При применениях ДЭМ к форме /° различаются случаи двуполоетного (т > 0) и однополоетного (т < 0) гиперболоидов. В случае двуполостного гиперболоида исследования затрудняются тем, что эта поверхность не компактна и примитивных точек бесконечно много, но зато в связанном с ним мнимом квадратичном поле имеется только конечное число единиц. Трудность преодолевается тем, что рассматривается не все поле двуполостного гиперболоида,, а лишь (компактифицированная) фундаментальная область на нем и нужные для этого потоки строятся на этой области,
В случае же однополостного гиперболоида, добавляется еще одна трудность, связанная с бесконечностью числа единиц в связанном с ним вещественном квадратичном поле (эта трудность была преодолена Б.Ф, Скубенко своей теоремой о циклах приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм: если / и /' - длины двух циклов приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм определителя Д то /'// ^ /од(|Д + 1)).
Исследования с помощью ДЭМ неопределенных тернарных квадратичных форм существенно использует арифметику кольца целых матриц 2-го порядка. Арифметика матриц второго порядка вместе с теорией поворотов вектор-матриц была построена А.В. Малышевым и У.М. Пачевым [17]. Но при доказательстве эргодичности цепочек целых точек наряду с ключевой леммой используется и асимптотика матриц 2-го порядка большой нормы (см. [24]), сопоставление которых дает противоречие с предположением неэргодичноети цепочек.
^ (х, у) = Х1Х2 + 2;Г2Ху + Хзу2
т
(30)
(31)
В работе А,В, Малышева [25] (ем, также [26]) намечена программа дальнейшего развития этих исследований. Статьи [27] представляют первый шаг в этом направлении, В них исследования К).В. Линника [8] перенесены на двуполостные гиперболоиды довольно общего вида, а именно
f (жьж2,жз) = m,
где f - тернарная квадратичная форма, содержащаяся в форме fo, т, е, f имеет вил
(з з з \
У CikXk , ^ C2kXk , ^ C3fcX4 ’ (32)
k=l k=l k=l )
ГДе Cik e Z.
Сформулируем основной результат для форм вида, (32), полученный в [27], Обозначим через r (Af,m; g, bl; 62, 63) число всех примитивных точек (xl,x2,x3) на поверхности
f (xl,x2,x3)= m, m> 0, (33)
удовлетворяющих условиям
(xl,x2,x3) e Af>m, (xl,x2,x3) = (bl,62,63) (modg),
где Af,m - ограниченная квадратичная область на поверхности (33) с f-гиперболической мерой (площадью) А. Тогда, считая еще выполненными необходимые рядовые условия формы /, включая и условие = 1) получаем при
m ^ то
r(Af,m\g, 61,62,63) ~-г------8 fa)) ^
Ао (ад)2 П (1 + ^
p/wg \
где Ао = тр — полный гиперболический телесный угол; w = det (с^-); s (f, m,g, (cij)) — число решений (mod (w)) решений ***
f (д^1 + 61, дх2 + 62, дх3 + 63) = т (modwg); г (т) = Н (—т) + Н' (—т)
- общее число примитивных точек области приведения.
Аналогичное исследование в случае однополостных гиперболоидах довольно общего вида, было проведено А,В, Малышевым и Нгуен Нгор Гой [28],
Исследования Ю.В, Линника и У.М. Пачева были обобщены в небольшой заметке Карпова А,Н, [29] на случай двуполостного гиперболоида,
f (xl,x2,x3)= m, m> 0,
где / - целая изотропная форма (т,е, представляющая нуль нетривиальная),
В дальнейшем в связи с новым доказательством А,В, Малышевым и Б.М. Широковым [30] ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц второго порядка появилась возможность исследования с помощью ДЭМ изотропных тернарных квадратичных форм, охватывая оба случая гиперболоидов (см, предварительное исследование [31], содержащее эргодические теоремы и теоремы "перемешивания" для целых точек на изотропных гиперболоидах).
Вопрос об обобщении исследований Ю.В, Линника, Б,Ф, Скубенко и У.М. Пачева на случай неопределенных тернарных форм общего вида, ставился в обзоре А,В, Малышева [32], В связи с этим отметим, что в последнее время в работе [33] получено полное решение вопроса о представлении целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами / общего вида,, при этом существенно использовалось соотношение
которому удовлетворяет изотропная форма /; здесь 6 - бееквадратное целое число = 0; /0 - простейшая неопределенна я форма; сц- € Z,
Наряду с указанными исследованиями по тернарным квадратичным формам производились также исследования по применениям ДЭМ по асимптотическому подсчету числа приведенных бинарных квадратичных форм. Это направление исследований, в котором также используется ДЭМ, берет свое начало с работы Ю.В, Линника [33], Оно продолжено им в заметке [35], посвященной асимптотической геометрии гауссовых родов положительных бинарных квадратичных форм. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены А,В, Малышевым и У.М. Пачевым (см, [36]),
Отметим один из результатов автора по этой тематике (см, [37]), описывающий асимптотическое поведение классов гауееового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного числа. Обозначим ^ (—т; С, д2) число классов положительных бинарных квадратичных форм гауееового рода С определптеля т, арифметический минимум которых делится на д2, Тогда,
3
3
3
к=1
к=1
к=1
если
1 для всех простых делителей р/д, то при т ^ то
где V (д) - число различных простых делителей числа д.
4. О некоторых нерешенных задачах
Отметим ряд интересных, на наш взгляд, задач, применение ДЭМ к которым вполне реально.
1, Представляет интерес получение асимптотических формул в задачах представления чисел положительными тернарными квадратичными формами в тех случаях (см, §3), когда М. Петерс и К).Г. Тетерин получили лишь оценки. Эти исследования предполагают существенное развитие арифметики обобщенных кватернионов (эрмитионов),
2, Реальным является использование ДЭМ для обобщения исследований К).В. Линника, Б,Ф, Скубенко, У.М. Пачева на произвольные неопреде/
остается исследовать только случай анизотропных форм. Для этого требуется развить общую арифметику неопределенных (обобщенных) кватернионов - аппарата матриц второго порядка здесь уже недостаточно. Но в некотором смысле арифметика неопределенных кватернионов проще арифметики положительных кватернионов - здесь в максимальном порядке все идеалы главные и арифметика близка к арифметике Гурвица гамильтоновых кватернионов,
3, Одной из важных проблем метода является получение безусловных остаточных членов в задаче представления чисел изотропными тернарными квадратичными формами, избавляясь при этом от условия типа ( ) или гипотезы (Н) о пулях Ь-фупкции Дирихле, Безусловное решение этой задачи со степенным понижением остаточного члена в случае простейшей неопределенной тернарной квадратичной формы было получено в работе Дьюка [10] методом модульных форм полуцелого веса,
4, Представляет большой интерес распространенный результат Дьюка на другие более общие неопределенные тернарные квадратичные формы или же тот же результат Дьюка обобщить на распределение по арифметическим прогрессиям,
5, Интересно также получить для величины к (—т; С, д2) из §аеимптоты в более общем случае. Предполагается, что
2^) к (-т)
Д1 (—га; G, д) ~ ——— •-при т —> ос,
ао (д) *
где * - число гауссовых рядов положительных бинарных квадратичных
т
6, Условия представимости чисел положительными тернарными квадратичными формами (полученные с помощью ДЭМ) были использованы Ю.В, Линником (см, [18], гл, IV) для доказательства представимости всякого достаточно большого целого числа в виде семи кубов неотрицательных целых чисел. Явно видны перспективы продолжения этих исследований.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Wright Е.М. The representation of a number as a sum of life or more squares. Quart J. Math., 4, 37-51, 228-338 (1937).
[2] Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. - М.: Фазис, 1988. - 133 с.
[3] Делипь П. Гипотеза Вейля. Успехи математических наук. - 1975. 30(5), 159-190.
[4] Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратными формами с четырьмя и более переменными // ИАН СССР, сер. Матем,, 23, 337-364 (1959).
[5] Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form Acta Math., 49; 407-464 (1926).
[6] Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратными формами // М.-Л.: Тр. Мат. Ин-та АН СССР, 1962. Т. 65. - 212 с.
[7] Касселс Дж. Рациональные квадратные формы. - М.: Мир, 1982. - 436 с.
[8] Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. - Л.: Издательство Ленингр, Ун-та. 1967. - 208 с.
[9] Iwaniee Н. Fourier coefficients of modular forms of half integral weight // Invent, math. - 1987. V. 87. - P. 385-401.
[10] Duke W, Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Mass forms // Invent. Math. - 1988. V. 92. №1. - P. 78-90.
[11] Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // Известия АН СССР. - 1940. Сер. Матем. Т. 4. Ж/5. - С. 363-402.
[12] Быковский В.А. Арифметико-аналитические свойства бинарных положительно определённых квадратичных форм // Зап. научи, еемин, ЛОМИ. -1981, Т. 106. - С. 5-20.
[13] Голубева Е.П. Геодезические на верхней полуплоскости и распределения квадратичных иррациональностей // Зап. научи, еемин, ПОМП РАН. -1988. Т. 254. - С. 28-55.
[14] Венков Б.А. Об арифметике кватернионов // Изв, Росс. АН. Сер.6. - 1992. Т. 16. - С. 205-220, 221-246.
[15] Малышев А,В,, Пачев У.М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичным формами (новый вариант дискретного эргоди-ческого метода) // Зап. научи, семин, ЛОМИ, - 1979, Т. 82, - С, 33-87,
[16] Липпик Ю.В, Цепи Маркова в аналитической арифметике кватернионов и матриц // Вести, Ленингр, Ун-та, - 1956, №13, - С, 63-68,
[17] Малышев А,В,, Пачев У,М, Об арифметике матриц второго порядка // Зап. научи, семин, ЛОМИ, - 1980, Т, 93, - С, 41-86,
[18] Липпик Ю.В,, Малышев А,В, Приложения арифметики кватернионов к теории тернарных квадратичных форм и к разложению чисел на кубы // Успехи мат.наук. - 1953. Т. 8, Вып. 5. - С. 3-71. Иепр.: - 1955. Т.10. Вып. 1. - С. 243-244.
[19] Malyshev A.V. Yu .V. Linings argotic method in number theory // Act. arithm.
- 1975. V. 27. - P. 555-598.
[20] Белова H.H., Малышев А.В. Эргодические свойства целых точек на эллипсоидах рода G[n,i] // Зап. научи, семин, ЛОМИ, - 1981, Т.106, - С, 17-51,
[21] Peters М, Darstellungen dureh definite ternare quadratische Formen // Act, arithm. - 1977. Bd. 34. №1. - S. 57-80.
[22] Тетерин Ю.Г. Асимптотическая формула для числа представлений вполне положительными тернарными квадратичным формами // Изв, АН СССР.
- 1985. Сер. Матем. Т.49. №2. - С. 393-426.
[23] Скубенко Б.Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Изв. АН СССР. - 1962. Сер. Матем. Т. 26. №5. - С. 721-752.
[24] Подсыпании Е.В. Распределение целых точек на детерминантной поверхности // Зап. научи, семин. ЛОМИ. - 1980. Т. 93. - С. 30-40.
[25] Малышев А.В. О применении дискретного эргодического метода в аналитической арифметике неопределённых тернарных квадратичных форм // Зап. научи, семин. ЛОМИ. - 1980. Т. 93. - С. 5-24.
[26] Малышев А.В. Дискретный эргодический метод Ю.В. Линника и его дальнейшее развитие //В кн. Ю.В. Липпик. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции, - Л.: Наука. 1979. - С. 418-430.
[27] Пачев У,М, О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научи, семин, ЛОМИ, - 1980, Т. 93, - С, 87-141,
[28] Малышев А,В,, Нгуен Нгор Гой, О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научи, семин, ЛОМИ, - 1983, Т. 121. - С. 83-93.
[29] Карпов А.Н. О представлении целых чисел изотропными квадратными формами // Зап. научи, семин. ЛОМИ. - 1986. Т. 151. - С. 66-67.
[30] Малышев А.В., Широков Б.М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вести. Ленингр, ун-та. - 1991. Серия 1. Вып. 2. - С. 34-40.
[31] Пачев У,М, Эргодические теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых точек на некоторых изотропных гиперболоидах //В кн. "Актуальные проблемы теории чисел" , МГУ, - 2002, - С, 133-151,
[32] Malyshev A.V. Discrete argotic method and its applications to the arithmetic of ternary quadratic forms // Topics in classical number theory, Budapest, -1981. V. 34. - P. 1023-1049.
[33] Пачев У.М. Представление целых чисел изотропными формами // Изв. РАН. - 2006. Сер. матем. Т. 70. №3. - С. 167-184.
[34] Липпик Ю. В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // 1-3 Вести. Ленингр. Ун-та. - 1955, №2. - С. 3-23; №5. - С. 3-32; №8. - С. 15-27.
[35] Липпик Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эрго-дической теоремы // Докл. АН СССР. - 1956. Т. 108. №6. - С. 1018-1021.
[36] Малышев А.В. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический механизм которых делится на заданное число // Алгебра и теория чисел. Вып.4. Нальчик. - 1979. - С. 53-67.
[37] Пачев У.М. О числе классов гауееового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа // Матем. заметки.
- 1994. Т. 55. №2. - С. 118-127.
Кабардино-Балкарский гоеударетвеннвй университете им. Х.М.Бербекова
Поступило 1.06.2010
