CC BY
14
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 1
УДК 512.643.8 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-1-44-64
ВСЕГДА НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ДВУХ ПРОЕКТОРОВ
А. М, Ветошкин (г. Королёв) Аннотация
В данной работе рассматриваются многочлены от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов имеют значением невырожденную матрицу. Результаты работы [1] о блочно-треугольной форме пары проекторов, применяются для вывода уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты всегда невырожденных многочленов. Из уравнений получен основной результат — всегда невырожденный многочлен раскладывается в произведение специальных многочленов. Специальный многочлен от проекторов Р, Я это или линейный бином — I + аР, I + вЯ-, или многочлен вроде такого — I + х\(РЯР — РЯ) + х2(РЯРЯР — РЯРЯ) + .... Доказывается, что специальные многочлены неприводимы.
Оказывается линейные биномы можно переставлять с некоторыми другими специальными многочленами. Если в произведении специальных многочленов переставить линейные биномы максимально влево,то будет получен вид произведения специальных многочленов, называемый стандартным. Доказано, что стандартная форма произведения специальных многочленов единственна.
Полученные результаты позволили получить описание строения всех многочленов от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов являются нильпотентными матрицами (нильпотентный многочлен). Аналогичные результаты получены для инволю-тивных многочленов, и многочленов-проекторов.
Ключевые слова: проектор, многочлен, всегда невырожденный многочлен, подобие, блочно-треугольная форма пары проекторов.
Библиография: 16 названий.
ALWAYS NONSINGULAR POLYNOMIALS OF TWO PROJECTORS
A. M, Vetoshkin (Korolev) Abstract
This paper discusses the polynomials of two projectors that with any selection of these projectors have the value of the nonsingular matrix. Results of work fl] about block-triangular form pair of projectors apply to deduce equations, that the coefficients of always nonsingular polynomials satisfy to. From the equations is obtained the main result, namely always nonsigular polynomial can be decomposed into a product of special polynomials. Special polynomial of two projectors P, Q is a linear binomial — I + aP, I + ftQ, or a polynomial like this I + x\(PQP — PQ) + x2(PQPQP — PQPQ) + .... It is proved that special polynomials are irreducible.
It turns out that linear binomials can be rearranged with some other special polynomials. If in a product of special polynomials the linear binomials are rearranged as much as possible to the left, you will get a product of special polynomials, called standard. It is proved that the standard form of product by special polynomials is unigue.
The obtained results have provided a description of the structure of all polynomials of two projectors that with any selection of these projectors are nilpotent matrices (nilpotent polynomials). Similar results were obtained for the involute polynomials and polynomials-projectors.
Keywords: projector, polynomial, always nonsingular polynomial, similarity, block-triangular form pair of projectors.
Bibliography: 16 titles.
1. Введение
Матрица P порядка m называется проектором, если P = P 2. В данной работе рассматриваются комплексные проекторы.
Для пары проекторов P и Q одного порядка введем обозначения:
Pj = PQPQ... Qj = QPQP^ (1)
j j
— здесь матричные сомножители P и Q чередуются; количество сомножителей -j. Например: Pi = P, P2 = PQ, Q3 = QPQ и так далее.. Многочлен f (P, Q) степени n запишем так:
n
f (P, Q) = adm + ^ (a,-Pj + bjQj), aj, bj e C. (2)
j=i
Для ненулевого многочлена хотя бы один из коэффициентов an, bn не равен нулю. Степень многочлена f (P, Q) обозначим как: deg f. Im — единичная матрица порядка m.
Далее, за исключением раздела 3, будем под многочленом понимать многочлен от двух переменных-проекторов вида (2).
P
aP + Im, a = -1, (3)
они образуют группу матриц по умножению. Обратная матрица к (3):
(aP + I)-1 = -a/ (a + 1)P + I.
Выражения вида (3), будем называть их линейными биномами, обладают тем свойством, что при a = — 1 для любого проектора P они являются невырожденными матрицами.
Определение 1. Многочлен от проекторов назовем всегда невырожденным, если он является невырожденным для любых проекторов входящих в него. Определим два множества линейных биномов:
R = {xP + I : x e C, x = —1}, (4)
RT = {xQ + I: x e C, x = —1}. (5)
Определим нелинейные биномы от двух проекторов и множества линейных комбинаций таких биномов с единичной матрицей:
n
Sk = P2fc+1 — P2k, S = {^ aiSi + I : ai e C}, (6)
i=1
п
tk = Р2/С+1 - Я2к, Т = а^ + I : а* € С},
(7)
г=1
п
4 = ^+1 - ^, = {^ агвТ + I: аг € С},
(8)
г=1
п
^ = ^+1 - , Тт = ^ а^Т + I : аг € С}.
(9)
г=1
Будем говорить о многочленах вида Д, гада гада Т, гада Ят, гада Бт и вида Тт.
Все многочлены (4)-(9) являются всегда невырожденными. Будем называть эти многочлены — специальными многочленами.
Будем говорить о специальных многочленах, отличных от линейных биномов, как о нелинейных специальных многочленах или как о нелинейных специальных множителях.
В разделе 2 рассматриваются различные свойства многочленов от двух проекторов.
В разделе 3 выводятся уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты всегда невырожденных многочленов. Для вывода этих уравнений используем максимально простой вид, к которому может быть приведена пара произвольных комплексных проекторов, — блочно-треугольный вид каждого проектора (см. [1], с уточнениями в [2]). Теорема об этом блочно-треугольном виде пары проекторов, полученная в работах [1] и [2], сформулирована в начале раздела 3. Следует сказать, что применение этой теоремы и дало возможность получить все основные результаты данной работы в разделах 4 и 5.
В разделе 4 получен основной результат данной работы — теорема 1.
Теорема 1. Любой всегда невырожденный многочлен f от двух проекторов вида, (2) можно представить как произведение специальных многочленов на коэффициент а0.
Вообще говоря, указанное в теореме 1 представление не единственно. Но некоторая форма произведения, которую мы называем стандартной, будет единственной. Это доказывается в теореме 4.
Определение 2. Будем называть всегда невырожденный многочлен от двух проекторов неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени.
Понятие "неприводимость"применимо только к многочленам степени больше 1.
В теореме 3 в разделе 4 доказывается, что неприводимы специальные многочлены (6)-(9).
В разделе 5 с помощью теоремы 1 решен вопрос о том, какие многочлены от двух проекторов при любом выборе этих проекторов будут нилыютентными матрицами — теорема 6. Аналогичный вопрос решен для инволютивных многочленов и многочленов-проекторов —
При доказательстве теорем 5 и 6 используется следующий факт, полученный в работе [3]: если многочлен от двух проекторов вида (2) для любой пары проекторов равен нулю, то все коэффициенты этого многочлена нулевые. (К сожалению, в работе [3] не оговаривается, что это утверждение верно для порядка проекторов т больше одного). Этот результат в [3] получен применением канонической формы пары ортопроекторов (см. [4]). В свою очередь, эта каноническая форма пары ортопроекторов получена из уже упомянутого блочно-треугольного вида пары проекторов из работ [1] и [2]. К этой тематике относятся также работы [5]-[9]. Обзор результатов об алгебрах порождаемых двумя проекторами дан в [10], смотри также [11]-[15].
Так как, многочлен (2) с ао = 0 не является всегда невырожденным, то обычно будем рассматривать нормированные многочлены (2), у которых ао = 1.
теорема 5.
2. Свойства многочленов от двух проекторов
Определим следующие преобразования многочленов от двух проекторов:
/ (Р,Я)т = / (Я,Р), пт
/(Р,Я)Р = /(I - Р,1 - Я)- к }
Преобразования тар являются инволюциями на множестве многочленов от двух проекторов.
Введенные инволюции не изменяют степень многочлена. Для т это очевидно. Для р: апРп = ап(1 — Р)(1 — Я)--- = (—1)папРп + Нп-1(Р, Я), где степень многочлена Нп-1(Р,Я) не больше п — 1.
Очевидно, что (вк)т = вк и (вк)т = вк- Таким образом, символ т в составных символах 5т, Кт,вк-.. можно воспринимать не как верхний индекс, а как символ задающий выполнение преобразования над многочленом или над всеми элементами множества многочленов. (Например, (Б)т = Бт). Аналогичные соотношения выполняются и для множеств К, Т:
К Б ^ Т
$ т $ т $ т (11)
Кт Бт ^ Тт
Отметим, что Кр = К с "точностью до множителя":
(хР + 1)р = (—хР + (х + 1)1) = (х + 1)(—х/(х + 1)Р + I). р
Схема (11) показывает, что любой нелинейный специальный многочлен мы можем привет р Б количество рассматриваемых вариантов.
Замечание 1. Кроме преобразований (10) мы можем рассмотреть и такие
/ (Р, Я)# = / (I — Р,Я), / (Р, Я)& = / (Р, I — Я).
Но их применение не выводит из множества специальных многочленов. Приведем несколько примеров:
в# = ¿1, в# = ¿1 — ¿2, в# = г3 — + ¿1, (в2 )# = вТ — в1 ,...
Утверждение 1. Многочлен от двух проекторов
/ (Р,Я) — апРп + ап— 1 Рп— 1 + Ьп-1Яп-1 + ... + ао^ а,п = 0, Ьп = 0, (12)
нельзя представить в виде произведения невырожденного линейного бинома вида (3) и п — 1 /(Р, Я)
дующих типов:
А) ап + ап-1 = 0, Ьп-1 = 0, В) ап + Ь,п-1 = 0, ап-1 = 0, ^^
С) ап-1 = Ьп-1 = 0, Б) ап-1 = Ьп-1 = —ап.
Доказательство утверждения 1 предваряет
Лемма 1. Многочлен /(Р,Я) вида (12) можно представить в виде
/ (Р,Я) = (гР + I )Нп-1(Р,Я), г = —1,
(14)
где Нп-1(Р, ф) — многочлен степени п - 1; тогда и только тогда, когда
(ап + Ьп-1 = 0) Л (Ьп-1 =0). (15)
(Л , V — логические связки "и "или"соответственно).
Замечание 2. Многочлен (12) не может быть представлен в виде (14) с левым множителем гф + I вместо гР + I.
При подстановке в (14) Н-1(Р, ф) в виде Н-1(Р, ф) = 52п=1 агРг + 52п- вгфг + аоI получаем соотношения для определения неизвестных г и а^,вг:
¿вп-1 = ап; вг = Ьг, г = 1, ...п - 1;
аг = гвг-1 + (г + 1)аг, г = 2, ...п - 1; а1 = га0 + (г + 1)а1.
Так как гЬп-1 = ап и ап = 0, то Ьп-1 = 0. Так как, г = ап/Ьп-1, то г = -1 при ап + Ьп-1 = 0. Лемма 1 доказана.
Замечание 3. Аналогично лемме 1, многочлен f (Р, ф), у которого ап = 0, Ьп = 0, имеет представление f = (гф +1)Нп-1(Р, ф), где Нп-1 многочлен степени п -1 тогда и только тогда, когда
(Ьп + ап-1 = 0) Л (ап-1 = 0). (16)
Перейдем к утверждению 1. Рассмотрим многочлен f (Р, ф) вида (12), который можно представить в виде произведения с невырожденным правым линейным множителем — f (Р, ф) = Нп-1(Р, ф)1(Р, ф). Где 1(Р, ф) = гР +1 ми гф + I. Транспонируем матрицу f (Р, ф): fТ = ¿Т НТ. Применим к последнему выражению лемму 1, учитывая, что Р Т , ф являются проекторами. Выражение типа Р^ 1 начинается с РТ ми фТ в зависимости от четности п. При нечетном п коэффициенты ап-1 и Ьп-1 меняются ролями. Поэтому условие (15) примет для данного случая вид
(ап + ап-1 = 0) Л (ап-1 = 0). (17)
При четном п, мы должны в (16) коэффициент Ьп заменить на ап, что снова дает (17).
Совмещая (15) и (17), получим условие:
[(ап + Ьп-1 = 0) Л (Ьп-1 = 0)] V [(ап + ап-1 =0) Л (ап-1 = 0)], (18)
которое выполняется тогда и только тогда, когда многочлен f (Р, ф) имеет одно из следующих представлений f = ¿1Н1, f = ^2^2 или f = ^Нз^, где ¿1, ¿2 — невырожденные линейные биномы; многочлены Н1, Н2 имеют степень п - 1, многочлен Н3 имеет степень п - 2. Отрицание (18) и дает типы А-Б, которые единственно возможны, если многочлен f (Р, ф) не имеет представления в виде ¿1^1, ^2^2 или ^Нз^ • Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Выполняется равенство
^ - Р^1)р = (-1)k(Pk - Ос-1), к > 2.
База индукции для к = 2, 3:
(Рф - Р)р = (I - Р)(1 - ф) - (I - Р) = Рф - ф, 5? = (I - РXI - £)(! - Р) - (I - РXI - ф) = -РфР + фР = -¿1.
Далее по индукции:
(Р^2 - Pk+l)P = [Рф(Р^ - Pk-1 )]Р =
= (-1)k(I - Р - ф + Рд)^ - ^-1) = (-1^+2^+2 - Ос+1).
В частности
вк — ¿к, ¿р — вк.
Утверждение 3
а) Если многочлен /(Р, Я) относится к типу А (см. утверждение 1), то многочлен /(Р, Я)р
/(Р, Я)
многочлен /(Р,Я)р относится к типу А.
б) Если многочлен /(Р, Я) относится к типу С (см. утверждение 1), то многочлен /(Р, Я)р
/(Р, Я)
многочлен /(Р, Я)р относится к типу С.
пп-1
равны апРп + ап-1Рп-1 = ап(Рп — Рп-1). Поэтому а) следует из утверждения 2.
р
(апРп + Н1(Р, Я))р = ап(I — РXI — Я)- + Н1(Р, Я)р = = (—1)пап[Рп — Рп-1 — Яп-1] + Нт(Р, Я).
Н1 , Н2
п — 2.
Утверждение 4
а) вкв1 = 0, ¿к¿1 = 0, вквт = 0, ¿к¿т = 0, к, I = 1, 2,... (19)
Ь) Множества К, Б, Т, Кт, Бт, Тт являются коммутативными группам,и всегда, невырожденных матриц.
а) Тождества (19) проверяются непосредственно. Здесь могут пригодиться такие факты:
вк Р = 0, Рвк = вк. (20)
Например
вк вг = вк (Рвг) = (вк Р )вг = 0. (21)
К, Кт Б
ется:
(авк + I )(ввг + I ) = (ввг + Г)(авк + I) = авк + ввг + I,
П=1 агвг + I = пп=1 (рчвг + I). ^
И каждый элемент этого множества — невырожденная матрица:
. агвг + I)-1 = —V. Лагвг + I. (23)
г=1 ^—'г=1
Аналогично для множеств Т, Бт, Тт. Утверждение 4 доказано.
Специальные многочлены разных видов некоммутативны. Но выполняется следующая "почти коммутативность": Утверждение 5
(хР + I )(авк + I ) = (а(х + 1)вк + ^(хР + I), ( ,
(хР + I )(а(х + 1)1к + Г) = (а1к + Г)(хР + I). { '
Доказательство сводится к непосредственному вычислению левых и правых частей в (24). Будем говорить, что множества К, Б, Т относятся к одному роду, а множества Кт, Бт, Тт к другому роду.
Таким образом, из утверждения 5 следует: в произведении нескольких многочленов, относящихся к одному роду, линейные биномы, если такие есть среди данных многочленов, могут быть "передвинуты"в любое место внутри этого произведения.
По отношению к произведению специальных многочленов выполним следующие действия:
Разобьем это произведение на отрезки стоящих рядом многочленов одного рода так, что слева и справа от сомножителей такого отрезка находятся сомножители другого рода или отрезок находится с краю всего произведения. Передвинем линейные биномы внутри каждого отрезка в одно место, например, влево. Если после этого имеются рядом стоящие многочлены одного вида, то заменяем их одним элементом этого вида — их произведением.
Далее снова повторяем такие же действия до тех пор, пока число сомножителей не перестанет сокращаться.
Будем называть произведение специальных многочленов стандартным: если в нем а) нет двух соседних сомножителей одного вида, б) в этом произведении никакой линейный бином не имеет левого соседнего сомножителя одного с ним рода.
Утверждение 6. Пусть имеется стандартное произведение специальных многочленов /г
/ = Д=1 /г. (25)
Тогда
N N-1
г=1 г=1
deg / = ^ deg /г - ^ V*, (26)
где V* = 1, если многочлены /г и /г+1 одного рода, V* = 0 если многочл ены /г и /г+1 разного рода. Равенство (26) можно эквивалентным образом записать так:
к N
deg / = deg Д / + deg Д / - Vk. (27)
г=1 г=к+1
Обоснуем, что формула (26) выполняется для произведения чередующихся биномов в и Ь одного рода:
вк ЬгвтЬад... (28)
Вычислим сначала вкЬг
вк Ьг = -Р2«+1 + Ра-1, а = к + 1. (29)
Затем
вкЬгвт = -(р2Ь+1 - Р2ь) + (^26-1 - р26-2) = -вб + вЬ-1, ^^
Ь = а + т = к + 1 + т.
Для этих двух произведений формула (26) соблюдается. Если мы умножим (30) справа на то результат умножения будет получен, как применение формулы (29) сначала к произведению -в^, а затем к вь-1Ьад. К результату применяем (30) и так далее, пока есть новые правые сомножители в (28). Выражение (28) в зависимости от четности числа сомножителей имеет вид:
вк ¿гвт^ ...¿г = агР2г+1 + <^-^¿-1 + . .., ( « = к + 1 + т + ... + ¿), , ^
вк ¿гвт^ ...ву = а,- в^ + + ..., (; = к + 1 + т + ... + у).
Получили, что произведения вк ¿г, вк ¿г вт, вкЬгвтЬ»... удовлетворяют (26). Отметим факт, что степень такого произведения всегда будет нечетной. Очевидно
. (2кг + 1) - V. , 1 = 2> . к + 1.
г=1 —'г=1 —'г=1
Замечание 4. Из (31) следует, что произведение (28) с четным числом сомножителей относится по классификации из утверждения 1 к типу С, а с нечетным к типу А.
Разобьем теперь произведение (25) на отрезки сомножителей одного рода. Применяя, по необходимости, преобразования тар приведем такой отрезок к виду:
к I т
(хР + I)(£ агвг + I)(£ № + I)(£ а'гзг + I)...
г=1 г=1 г=1
Умножение линейного бинома на многочлен из 5 не меняет степени этого многочлена:
кк (хР + агвг + I) = (х + 1) ^ агвг + хР + I.
г=1 г=1
Теперь этот отрезок сомножителей одного рода выглядит так:
к 1т
(^ 0[вг + хР + Г)(£ + Г)(£ агвг + I)... (32)
г=1 г=1 г=1
Раскрываем скобки в (32), получаем сумму слагаемых вида (28) плюс слагаемые, начинаю-хР
среди всех этих слагаемых, будет у следующего слагаемого:
а'^вквгМа'твт... = (а1вга'т) • вкивт... (33)
Выше доказано, что такое произведение удовлетворяет (26).
Степень всего произведения (25) определяется степенью произведения старших мономов отрезков произведения, образованных подряд стоящими многочленами одного рода:
РаЯьРе ... = Ра+Ь+с..^ где а,Ь,с,... — нечетные числа. Утверждение 6 доказано.
3. Уравнения для коэффициентов всегда невырожденных многочленов
Сформулируем результат о блочно-треугольном виде пары произвольных проекторов в таком виде (см. [1], с уточнениями в [2]):
Теорема 2. Пусть Р, Я — комплексные проекторы. Тогда существует подобие, приводящее обе матрицы Р, Я к одинаковой блочно-треугольной форме с диагональными блоками порядков 1 и 2.
У полученных блочно-треугольных матриц каждая пара диагональных скалярных блоков имеет лишь одну из четырех форм
(0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1). Каждая, пара, диагональных 2х2-блоков составлена из т,аких матриц:
гк 1- Хк 1 , ¿к = 0,1. ¿к 1 - ¿к
10
00 ,
(34)
1 0 z 1 — z
p= 0 0 , Я = z 1 — z
Обозначим двумерные проекторы в (35) как р и д, кроме того будем опускать индекс к у параметра г^.
1 П 1
г = 0,1. (36)
В данном разделе применив теорему 2 получим уравнения для коэффициентов всегда невырожденного многочлена /(Р,О) вида (2).
Пусть матрицы Р и О приведены к блочно-треугольной форме с блоками (34), (35) на диагонали. Тогда матрица / (Р,О), определенная формулой (2), будет иметь ту же самую блочно-треугольную форму. Диагональными блоками этой матрицы будут такие блоки, соответствующие (34) и (35):
/(0,0) = 1, /(0,1) = 1 + Ьг, /(1,0) = 1 + а,1, /(1,1) = 1+Е(аз + Ъ3),
3 = 1
п
/ & Я) = ¡2 + Е (азРз + Ь3 Яз).
3 = 1
Так как матрица /(Р, О) невырожденная, то из (37) получаем
(37)
(ИМ = — 1, 1 + J2(a3 + bj )=0.
3 = 1
(38)
В (37) матрицы р3- и дз определяются аналогично матрицам Рз и О в (1) : р2 = рд, дз = ЯРЯ и так далее.
Вычисления матриц рз и дз дают:
P2j+i = zjp, Я23+1 = zjq, j ^ 0 z 1 — z 00
P2j = Zj 1
Я23 = zj 1
z0 z0
j > 1.
/(Р, д)
(39)
f (P, q) = h + Y1 (a3Pj + b3Я3)
3=i
fll fl2 f2l f22
где
fii = 1 + ai + z(a2 + a3) + z2(ü4 + a5) + ...+ +z(bi + b2) + z2 (Ьз + b4) + ...,
fi2 = (1 — z)(a2 + za4 + z2ae + ...) + +(1 — z)(bi + zb3 + z2b5 + ...),
f2i = z(bi + b2) + z2(b3 + b4) + ...,
f22 = 1 + (1 — z)(bi + zb3 + z2 b5 + ...). Определим следующие производящие функции от коэффициентов (2):
ai(z) = ai + za3 + z2a5 + ..., a2 (z) = a2 + za4 + z2a6 + ..., Pi(z) = bi + zb3 + z2b5 + ..., fh(z) = b2 + zb4 + z2b6 + ... .
В этих рядах
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
ak,bk = 0, k > n.
(45)
Элементы матрицы / (p, q) (41)-(44) примут вид:
/11 = 1 + ai + z(a2 + в1 + Ä), f 12 = (1 - z)(a2 + в), f21 = + Ä), /22 = 1 + (1 -
Вычислим определитель матрицы /(p, q), который будет многочленом от z:
A(z) = /11/22 - /12/21 = Ао + A1Z + A2Z2 + A3Z3 + ... = = 1 + a1 + в1 + (1 - z)a1^1 + z(a2 + Ä + (z - 1)a2#2).
(46)
Отметим, что До = Д(0) = (1 + а1)(1 + Ь1) = 0. Для любого я многочленД(я) должен быть не равен нулю. Но по основной теореме алгебры у многочлена степени больше нулевой есть корень. Поэтому, чтобы многочлен (2) был всегда невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты Д1, Д2, Д3,... были нулевыми.
Получим выражения коэффициентов Д1, Д2, Д3, ...через аг, Ь^-. Для этого определим многочлены ((я) и ^(я).
<^(z) = a1(z)^1(z) = ^0 + ^1Z + ^2Z2 + ^3Z3 + ...,
k
^0 = Ö1 b1, <£1 = 01^3 + 03b1, ..., ^k = Z а2г+1&2к-2г+1.
г=0
■0(z) = a2(z)^2(z) = ^0 + ^1Z + ^2Z2 + ^3Z3 + ...,
k
^0 = Ö2&2, = 0264 + 04^2, ..., ^k = S а2г+2^2к-2г+2.
г=0
(47)
(48)
(49)
(1 - = (о + - (о) + я2((2 - (1) + Я3((3 - (2) + ...,
Ф - 1)^(я) = -я^о + я2(^0 - ^1) + - ^2) + - ^3) + ...
Обозначим
Ок = а2к + Ь2к + а2к+1 + Ь2к+1. (50)
Из (46), учитывая (47)-(50), получаем
Д1 = о 1 + (1 - (о - ^о = 0,
Д2 = о2 + (2 - (1 + ^о - = 0,... (51)
Дк = Ок + (к - (к-1 + ^к-2 - ^к-1 = 0,... .
Так как
к к-1 2к+1 (к - ^к-1 = ^ а2г+1Ь2к-2г+1 - ^ а2г+2Ь2к-2г = ^ (-1)г+1агЬ2k+2-г,
г=о г=о г=1
обозначим
2к+1
Ак = ^ (-1)г+1 агЬ2к+2-г, Ао = (о = аА. (52)
г=1
Получим уравнения для определения коэффициентов всегда невырожденных многочленов от двух проекторов:
01 + А1 - Ао = 0,
02 + А2 - А1 = 0,... (53) 0к + Ак - Ак-1 = ° ...,
ок Ак
Ап = 0, Ап— 1 = (-1)П+1апЬп
ок = 0, к > п/2. ^ '
Применим (54) к последнему равенству в (53) (при к = и), получаем важное следствие: У всегда невырожденного многочлена от двух проекторов оба старших монома не могут быть одновременно ненулевыми:
-Хп-1 = (-1)п+2ап Ьп = 0. (55)
Далее, как правило, будем считать, что
ап = 0, Ьп = 0.
(Таким образом, всегда невырожденный многочлен имеет вид (12), к нему применимы утверждение 1 и лемма 1).
Положим
I = \_и/2\ .
Заменим каждое уравнение в системе (53) на его сумму со всеми следующими уравнениями. Учитывая (54) получим
Е а, = \к-1, 1 < к < I, (56)
\к-1 = 0, I + 1 ^ к ^ и.
к
к = 1: ¿1=2 а, + £П=2 Ьг = а1 Ьц к = 2: Тл=4 аг + £п=4 Ьг = а\Ь3 - а2Ь2 + а3Ь.
(57)
к = I :
п— 1
и = 21 : ап + Ьп = ТГг-{ (-1)г+1а,Ьп-г, (58)
и = 21 + 1 : ап-1 + Ьп-1 + ап + Ьп = ТЩ- (-1)г+1агЬп-г-ъ
к = I + 1 :
и = 21 : -а2Ьп + а3Ьп-1 + ... - апЬ2 = 0, (59)
и = 21 + 1: а1 Ьп - а2Ьп-1 + а3Ьп-2 + ... - ап-1Ь2 + апЬ1 = 0.
к = и - 2 : ап-4:Ьп - ап-зЬп-1 + ап-2Ьп-2 - ап-\Ьп-3 + апЬп-4 = 0, к = и - 1 : ап-2Ьп - а,п-1Ьп-1 + а,пЬп-2 = 0, (60)
к = и : апЬп = 0.
4. Доказательство теоремы 1
В данном разделе из формул (57)-(60) сначала будут получены некоторые простые следствия, а затем в утверждениях 7 и 8 показано, что у всегда невырожденного многочлена или есть множитель — специальный многочлен, или он сам специальный многочлен. Это позволит доказать теоремы 1, 3 и 4. и=2
а2 + Ь2 = аф1, а2Ь2 = 0.
Ь2 = 0
а2РЯ + а1Р + ЬЯ + I = (а1Р + 1)(р1 Я + I).
Таким образом, всегда невырожденный многочлен второй степени можно представить в виде произведения линейных сомножителей — он приводим.
Многочлен третьей степени +I неприводим. В противном случае он представим в виде произведения двух сомножителей, степени которых есть 2 и 1 или 2 и 2. Из приводимости многочлена второй степени следует, что у многочлена + I должен быть линейный множитель. Но по утверждению 1 многочлен + I не может иметь невырожденных линейных множителей.
Возьмем всегда невырожденный многочлен / от двух проекторов, его коэффициенты удовлетворяют уравнениям (56). Считаем, что из его старших мономов ненулевым является моном
апРп- (В случае ненулевого монома Ьга^га применяем преобразование т к /). Если у / нет ли/
Г). Типы А, В по утверждению 3 сводятся друг к другу, (как и С, Б). Поэтому нам достаточно рассмотреть типы А и С.
При п > 2 уравнение (60) для к = п - 1 дает апЬп-2 = ап-1 Ьп-1. Для типов А и С выполняется Ьп-1 = 0. Поскольку ап = 0, получаем
А, С : Ь„-2 = 0. (61)
Утверждение 7. Пусть всегда невырожденный многочлен / для deg / ^ 3 относится к типу А, то есть выполняется:
а„ + а„-1 = 0, Ь„ = 0, Ьп-1 = 0.
Тогда, или / = дН, (deg д, deg Н < deg /), где д е Б, или / € Б. Так как выполняются (13) и (61) наш многочлен имеет вид:
га-2 га-3
/ = а„(Р„ - Рга-1) + ^ агРг + ^ Ьг^г + I.
г=1 г=1
Учитывая, что Р = 0, рассмотрим произведение
Н = (I + а*!)/ = а„(Р„ - Рга-1) + ЕП=-12 агР + Е^- Ьг^г + 1+
+Х ЕП=-13 ЬгРг+3 - X ЕП=-13 ЬгРг+1 + . ^ ;
Если Ьп-3 = 0 т° степень многочлена Н в (62) будет меньше п при выборе а так, что ап + хЬП— 3 = 0. Получаем / = (I - ж«1)Н, deg Н < п.
Из (60) для к = п - 2 получаем -ага-1Ьга-3 + апЬп-4 = 0 или Ьп-3 + Ьп-4 = 0. Если теперь Ьп-3 = Ьп-4 = 0, Ьп-5 = 0, то выписываем (62), но вместо $1 берем «2- Аналогично полагаем ап + жЬга-5 = 0 и получаем / = (I - х$2)Н, deg Н < п. И так далее. Когда мы
Ак-1 = 0 к = п - 3 -ап-1Ьга-5 + апЬга-б = 0 (все остальные нулевые), и поэтому Ьп-5 + Ьп-б = 0.
Ьг
п
Начнем с четного случая п = 2/. Предположим, что все пары коэффициентов Ьг нулевые: (Ьга-3,Ьга-4), (Ьп-5, Ьп-б), ...(Ь3, Ь2). Тогда (58) будет выглядеть так: ап = ап-1Ь1 или ап(1 + Ь1) = 0. Чего быть не может, так как оба сомножителя в последнем равенстве ненулевые Ь1 = -1 Ьг
Случай п = 2/ + 1. Аналогично, пусть все пары коэффициентов Ьг нулевые:
(Ьп-3, Ьп-4), (Ьп-5, Ьп-б), ...(Ь2, Ь1).
В этом случае все величины Ак = 0 Из (56) при 1 ^ к ^ / следует, что а2к+1 + а2к = 0. Таким образом, получили, что / € Б. Утверждение 7 доказано. Пусть многочлен относится к типу С.
Утверждение 8. Пусть всегда невырожденный многочлен /, deg / > 3 относится к типу С, то есть выполняется
ап-1 = Ьп = Ьп-1 = 0.
Тогда, / = дН, (deg д, deg Н < deg /), где д Е Б. Учитывая (61) многочлен имеет вид
п- 2 п- 3
/ = апРп + а, Рг + ^ ЬгЯг + I-
г=1 г=1
Рассмотрим произведение
Н = (1 + Х81)/ = апРп + Тп-12 агРг + =3 ЬгЯг + I +
+Х Еп=13 ЬгРг+3 - Х ЬгРг+1 + Х8Ъ ^
Если Ьп=з = 0, то степень многочлена Н в (63) будет меньше и, ват выбрать х так, что ап + хЬп— з = 0. Получаем / = (I - Х8\)Н и deg Н < и. Выпишем (56) для к = и - 2 и к = и - 3:
ап-^Ьп - ап-зЬп-1 + ап-2Ьп-2 - ап-Фп-з + апЬп-4 = 0, ^^
ап-вЬп - ап-Фп-1 + ап-4,Ьп-2 - ап-зЬп-з + ап-2Ьп-4 + ап-\Ьп-5 + апЬп-6 = 0.
Из первого уравнения (64) следует, что Ьп-4 = 0.
Если Ьп-з = 0, то второе уравнение (64) дает Ьп-6 = 0.
Если Ьп-5 = 0 при ап + хЬп-5 = 0, получаем / = (I - Х82)Н и deg Н < и.
Ьг
(Ьп-з, Ьп-4), (Ьп-5, Ьп-б),... Если первый член пары нулевой, то и второй нулевой (это следует
/
д Е Б. Если все пары нулевые, то уравнение (58) будет выглядеть одинаково для четного и нечетного и: ап = 0. Это противоречит тому что ап = 0. Откуда следует, что найдется пара с ненулевым первым элементом. И значит у / есть множитель д Е Б. Утверждение 8 доказано.
Приступим непосредственно к доказательству теоремы 1. Возьмем произвольный все/
/ = ¡1/1(2 (утверждение 1). Приводим оставшийся нелинейный множитель /1 к типу А или С (утверждение 3). Согласно утверждениям 7 или 8 выделяем левый нелинейный множитель: /1 = д/ д1 Е Б (БТ ,Т,ТТ). Полученный многочлен /2 освобождается от левых линейных множителей. И вновь выделяются нелинейные множители с помощью утверждений 7 или 8. И так далее. Процесс понижения степени неразложенных сомножителей закончится за конечное число шагов. Теорема 1 доказана.
Теорема 3. Многочлены из множеств Б,Т,БТ,ТТ неприводим,ы. Положим, что
/ = Пк=1 /г, / Е Б и Т и БТ и ТТ, /г Е Я и Б и Т и ЕТ и БТ и ТТ.
Считаем, что произведение в (65) стандартное. Утверждение 6 дает:
(65)
Ек к-1
. deg /г ->. Уг, Уг = 0,1. 66
г=1 *—Н=1
Обозначим д = Пьк=2 /г,
/ = /1д. (67)
Покажем, что deg /1 и degд меньше deg / = и, а значит / приводим.
Применим (27) к (67):
deg / = deg /1 + deg д - Vl. (68)
Если deg /1 ^ п, то из (68) следует, что
deg д ^ ^ 1.
Но из утверждения 1 следует, что / не имеет линейных множителей. Поэтому deg /1 < п. Кроме того deg /1 ^ 3. Из этого и (68) следует:
deg д = п - deg /1 + < п.
/
Рассмотрим такое произведение:
/1-1 / = д.
Выпишем, используя утверждение 6, степени левой и правой частей (69):
deg /-1/ = deg /1 + deg / - V =
= deg д = Ек=2 deg /г- Ег^-21 ^
где V = 1, если /1 и/ одного рода, V = 0, если они разных родов. Учитывая (66) получим:
2 deg /1 = V + Vl.
Однако, deg /1 ^ 3 и V + v1 ^ 2 ^ получаем противоречие, доказывающее теорему 3. Теорема 4. Представление всегда невырожденного многочлена в виде стандартного произведения специальных ммогочленов единственно. Докажем такое утверждение.
Лемма 2. Пусть всегда, невырожденный многочлен /(Р, ф) представлен в виде стандартного произведения специальных многочленов. Рассмотрим самый левый отрезок множителей одного рода. Пусть среди множителей этого отрезка нет, линейных биномов. Тогда, многочлен /(Р, ф) не имеет представления вида, (14) с левым линейным, множителем.
Пусть многочлен Н(Р, ф) является произведением всех левых сомножителей одного рода, о которых идет речь в условиях леммы 2, а д(Р, ф) произведение всех остальных сомножителей / (Р,ф). Тогда
/ (Р,ф) = Н(Р,ф)д(Р,ф).
Без потери общности можно считать, что Н(Р, ф) — это произведение такого вида
(Ек=1 ** + I)(Ег=1 вг*г + ^Е^ ^г + I)... •
По замечанию 4 многочлен Н(Р, ф) относится или к типу А, или С:
А : Н(Р, ф) = а„(Р„ - Рга-1) + ЕП-12 агРг + ЕП-12 Ьгфг + I, С : Н(Р, ф) = а„Р„ + ЕП=-12 агРг + ЕП=1 Ьгфг + I.
п
Так как, многочлен д(Р, ф) начинается с множителей другого рода, чем множители Н(Р, ф), учитывая (55), он будет иметь такой вид:
Ек— 1 » ^к
к=1 а Р? ^к=1 в ^ + I, к ^ 1.
Для обоих типов А и С у многочлена / = Нд старший моном будет апвкРп+к (учитывая нечетность п), а из мономов вида кфт наибольшая степень будет у монома
Ьп-2(ак-1 + вк )фп+к-3.
Таким образом, условие (ап + Ьп-1 = 0) Л (Ьп-1 = 0) из леммы 1 в данном случае не выполняется. Это означает, что многочлен / нельзя представить в виде / = I ■ д, где I — линейный множитель, deg д < deg/. Лемма 2 доказана.
Вернемся к теореме 4. Пусть утверждение теоремы 4 неверно, то есть существует некий
/
ние:
/ = /1/2.../к = д1д2...дт. (70)
Тогда /1 = д1 и /к = дт■ (Иначе мы сокращаем на эти многочлены). /1 д1
самый левый отрезок множителей одного рода произведения д1д2...дт не содержит линейных биномов, то многочлен / = д1д2...дт по лемме 2 не имеет левого линейного множителя, чему противоречит равенство / = /1/2.../^ Из замечания 2 следует, что /1,д1 одного вида.
Если /1 = д1, то опять имеем ситуацию, что /-1 / не имеет левых линейных множителей,
( /1- 1 д1 ) д2 . . . дт /1 = д1
/1 д1 /к дт
линейными множителями. Это можно получить, повторив рассуждения этого и предыдущего абзацев для транспонированного многочлена /Т = /т.../т = дТ...дт. /1д1
ния /=1 / = /2.../к = (/= 1 д 1 )д2...дт• Здесь многочлены /2и д1 = /=1 д 1 = I относятся к разным видам.
/1 д1
линейных. Поэтому следующее выражение станет стандартным произведением специальных многочленов:
/к = /=-1/=-2.../1 д1д2 ...дт
после перестановки линейных биномов в произведении /к^/к^.../-1, выполненной для при/
няться: тт(ш,к) ^ 2. Поэтому в левой части последнего выражения для /к больше одного
/
ство теоремы 4 завершено.
5. Нильпотентные многочлены, инволютивные многочлены и многочлены-проекторы
Лемма 3. Пусть В — квадратная матрица и А — невырожденная матрица. Пусть г(х) = £ 1г=0 ггХг — многочлен с комплексными коэффициента ми. Равенство г (В) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда г(АВА-1) = 0.
Данный факт и его доказательство хорошо известны. Из леммы 3 получаем: Следствие. Если А невырожденная, то г(АВ) = 0 ^ г(ВА) = 0. А А2 = I.
Применение теоремы 1 позволяет решить вопрос о том, как устроены многочлены, перечисленные в заголовке данного пункта.
Теорема 5. А) Многочлен д(Р, является инволюцией для произвольного вы,бора, проекторов Р, ( тогда и только тогда, когда
д = ид'и-1, (71)
где матрица и, задающая подобие, есть произведение специальных многочленов, а, д' есть одно из выражений:
д' = I, -I, I - 2Р, 2Р - I, I - 2(, 2( - I. (72)
Б) Многочлен д = д(Р, ф) является проектором для, произвольного выбора, проекторов Р, ф тогда и только тогда, когда
д = ид'и-1, (73)
где матрица и, задающая подобие, есть произведение специальных многочленов, а д' есть один из проекторов:
д' = 0, I, Р, I - Р, ф, I - ф. (74)
А) В одну сторону утверждение очевидно. Возьмем произвольный инволютивный многочлен д(Р, ф). Докажем, что он удовлетворяет (71). Выполняется д2 = I, поэтому д является невырожденным для любых Р и ф. По теореме 1 он равен произведению специальных многочленов. Считаем это произведение стандартным:
д = Пк=1 /г. (75)
Вначале полагаем, что д' = /1 .../к, д = ид'и-1, где и = I. Затем покажем, что в трансфор-и /г д'
(71)'и (72).
к=1 д
мом с коэффициентом -2: д = ±(! - 2Р), ±(! - 2ф). Далее считаем, что degд > 0. При к > 1 выражение д2 содержит соседние сомножители /к, /1.
д2 = /1/2 ... /к-1/к ■ /2 ... /к-1/к = ^ (76)
Если /к, /1 такие, что (76) остается стандартным, то по (26)
deg д2 ^ 2deg д - 1.
Так как по (76) degд2 = 0, получаем degд ^ 1/2. Но degд > 0. Получили, что равенство д2 = I не может выполняться, если произведение (76) стандартное. Перечислим случаи, когда (76) будет стандартным: /к, /1
/к, /1
Остались два случая, когда стандартность (76) под вопросом: /к, /1
/1 /к /к /1
Покажем, что случай Па сводится или к случаям а), б), или к случаю I. Без потери общности полагаем, что /1, /к € Б.
д' к > 2
д'
д' = /2 .../к /1. (77)
(При этом мы меняем трансформирующую матрицу и := и/1. В данном случае многочлен из леммы 3 равен г(х) = а2 - 1).
Используя (24) "спрячем"лпнейный бином "внутрь"произведения (77)
д' = /2.../к-1/к/1 = /2.../к—1 /1 /к, /к е Б. (78)
/1
пор пока не найдем другой линейный бином этого рода, если он существует. В любом случае
д'
д'
Полученное в (78) выражение будут стандартным. Вторая степень этого выражения не будет стандартной, только если нелинейные сомножители /2, /к одного вида — это случай I.
Если для случая На все множители д' = /1 .../к одного рода и к > 2, то применяя (24) получим, что
(д')2 = (/1)2/2.../ ■ /2.../к, (// = /г/1).
Выражение (д')2 будет стандартным произведением или когда сомножители /2, /к разного вида — для нечетного к, или для четного к для случая //2 = I. Для оставшегося случая /к/2 = I Для четного к (/ /2 = I эквивалентно /к/1/2 = /1) применим следствие из леммы 3 к выражению д' = /1../:
д' = /3.../к-1(/к Л /2) = /3.../к-1/1 = /1/3 ...//г-ъ
и := и/1 /2 д'
Случай 116 сводится к случаю а). Линейный бином /к переставляется в начало произведения:
д' = /к /1/2.../к-ъ (и := и/-1)...
Произведение д' осталось стандартным. Так как /к и /к-1 разных родов, то и (д')2 будет стандартным.
/1
д' = /2.../к-1(/к(и := и/1). д' (д')2
женпе /к/1 не будет единичной матрицей, то (д')2 будет стандартным произведением. Поэтому /к = /- •
к>2
только если оно имеет вид
д = ид'и-1. (79)
д'
д
Рассмотрим случай к = 2. Выражение д2 для д = /1/2 не будет стандартным только для случая II — /1 = хР + I, /2 = Ег аг$г + I. Учитывая (19) и (20) получаем:
д2 = (/1/к )2 = ((а +1) Ег а «г + ХР + I)2 = = (а + 1)(х + 2) Ег агйг + х(х + 2)Р + I.
Это произведение будет единичной матрицей только при х = -2. (см. [3]). В итоге получили такую инволюцию:
д = (V ад + /)(! - 2Р) = (I - 2Р)(- V. а^ + I), (80)
гг
для которой выполняется тождество
(V аг«г + !)(! - 2Р) = ((V. аг«г)/2 + I)(I - 2Р)(-(^. аг$г)/2 + I),
г г г
оно объясняет почему (80) не противоречит (79). Доказательство теоремы 5 А) завершено.
Б) Матрица V является проектором тогда и только тогда, когда матрица I - 2У является инволюцией. Из (71) получаем
I - 2У = ид'и-1, V = и(I - д')и-1/2.
Так как д' принимает значения из (72), то (I - д')/2 принимает значения из (74). Доказательство теоремы 5 завершено.
Матрица А называется нильпотентной индекса к, если существует целое число к ^ 2, что Ак = 0, но Ак-1 = 0. Назовем многочлен д(Р, () нильпотентным индекса к (к целое, к ^ 2), когда существуют проекторы Р и ( такие, что д(Р,()к-1 = 0, но д(Р,()к = 0 для любых Р(
Теорема 6. Многочлен д = д(Р, () будет нильпотентным многочленом индекса 2 тогда и только тогда, когда
д = и(/ - I)и-1, (81)
и/ альный многочлен из множеств Б,Т, БТ ,ТТ.
д
денный многочлен I + д. Так как если д2 = 0, то (I + д)-1 = I - д. По теореме 1
I + д = П\ /г = р- (82)
г=1
к=1
д = /1 -1, (83)
д2 = 0, если /1 Е Б, Т, БТ,ТТ. Из (82) получаем
д2 = р2 - 2Г + I = 0. (84)
Если /к, /1 такие, что произведение Р2 остается стандартным, то по (26) и (84)
deg Р2 = 2deg Р - у = deg Р ^ deg Р = у = 0,1.
Нетрудно показать, что никакой многочлен первой степени не является нильпотентным.
Р2
теоремы 5 А) повторяя дословно приведенные там рассуждения о том, какие многочлены д допускают сокращение в д2, получим
д + I = Р = ид'и-1. (85)
Причем многочлен д' - I является нильпотентным. Многочлен д' имеет сомножителей меньше, чем д + I, и является стандартным произведением. (При применении леммы 3 надо учитывать, что г(х) = (х - 1)2, это следует из (84)).
Рассмотрим случай к = 2. Вторая степень выражения д + I = /1/2 не будет стандартной,
как и в теореме 5, только для случая II — /1 = хР + I, /2 = £ г аг8г + I- Учитывая (19) и
г
д2 = (/1/2 - I)2 = ((х + 1) £г аг8г + хР)2 = = х2Р + х(х + г аг8г = 0.
Р, (
коэффициенты будут нулевыми. Таким образом, х = 0. Но мы не получили новых решений,
к = 1 к 2 учитывая (83) получаем формулу (81). Теорема 6 доказана.
6. Заключение
Таким образом, доказано что многочлен от двух проекторов, который является невырожденным при любом выборе этих проекторов, раскладывается единственным образом в произведение специальных многочленов. Последние не допускают разложения на сомножители меньшей степени.
Из этого результата получено, что многочлен-проектор подобен одному из "элементарных" проекторов P, I — P, Q, I — Q; а нильпотентный многочлен подобен линейной комбинации специальных нелинейных биномов одного вида. Трансформирующая матрица этих подобий есть всегда невырожденный многочлен. Аналогичные результаты получены в [16] для ортопроек-торов. Коэффициенты многочлена-ортопроектора определяются через коэффициенты чебы-шевских многочленов второго рода.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Икрамов X. Д. Об одновременной приводимости к блочно-треугольному виду пар косых проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 2. С. 181-182.
2. Икрамов X. Д. Одновременное приведение к блочно-треугольному виду и теоремы о парах комплексных идемпотент // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 6. С. 979-982.
3. Ветошкин А. М. Свойства многочленов от двух проекторов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 2. с. 189-192.
4. Джордж А., Икрамов X. Д. Замечание о канонической форме пары ортопроекторов // Зап. науч. семинаров ПОМП. 2004.
5. Икрамов X. Д. О канонической форме проекторов относительно унитарного подобия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 3. С. 3-5.
6. Икрамов X. Д. Каноническая форма как средство доказательства свойств проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 9. С. 1285-1290.
7. Икрамов X. Д. Квазидиагонализуемость косых проекторов как частный случай некоммутативной спектральной теоремы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 8. С. 1123-1130.
8. Икрамов X. Д. Канонические формы проекторов относительно унитарного подобия и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1534-1539.
9. Djokovic D. Z. "Unitary similarity of projectors", Aequationes Mathematicae, 42, 220-224 (1991).
10. Böttcher A., Spitkovskv I.M. "A gentle guide to the basics of two projections theory", Linear Algebra Appl. 432, 1412-1459 (2010).
11. Roch S., Silbermann В. "Algebras generated by idempotents and the symbol calculus for singular integral operators", Integral Equat. Operator Theory. 11, 385-419 (1988).
12. Gohberg I., Krupnik N. Extension theorems for Fredholm and invertibilitv symbols // Integral Equat. Operator Theory. 16, 514-529 (1993).
13. Альпин Ю. А., Икрамов X. Д. Об унитарном подобии алгебр, порождаемых парами ортопроекторов // Численные методы и вопросы организации вычислений. XVIII, Зап. научн. сем. IIOMII. 323, IIOMII. СПб., 2005, 5-14.
14. Spitkovskv I. М. "Once more on algebras generated by two projections", Linear Algebra Appl. 208, 377-395 (1994).
15. Spitkovskv I. M. "On polinomials in two projections", Electronic Journal of Linear Algebral5, 154-158 (2006).
16. Ветошкин A.M. Матричные многочлены от переменных проекторов, которые сами являются проекторами // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научн. тр. Вып. 341. М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. С. 69-78.
REFERENCES
1. Kh. D. Ikramov. 1998, "On simultaneous reduction of a pair of oblique projectors to block triangular form" , Comput. Math. Math. Phvs. 38 (2), pp. 173-174.
2. Kh. D. Ikramov. 2011, "Simultaneous reduction to block triangular form and theorems on pairs of complex idempotents" , Comput. Math. Math. Phvs. 51 (6), pp. 915-918.
3. Vetoshkin A. M., 2015, "Property of polinimials in two proectors" , Comput. Math. Math. Phvs. 55 (2), pp. 179-182.
4. A. George and Kh. D. Ikramov. 2006, "A note on the canonical form for a pair of orthoprojectors" , J. Math. Sci. 132 (2), pp. 153-155.
5. Ikramov Kh. D. 1996, "A canonical form for projectors under unitary similarity", Comput. Math. Math. Phvs. 36 (3), pp. 279-281.
6. Ikramov Kh. D. 2000, "The canonical form as a tool for proving the properties of projectors", Comput. Math. Math. Phvs. 40 (9), pp. 1233-1238.
7. Ikramov Kh. D. 2000, "The quasidiagonalizabilitv of oblique projectors as a particular case of the noncommutative spectral theorem", Comput. Math. Math. Phvs. 40 (8) pp. 1077-1084.
8. Ikramov Kh. D. 2004, "Canonical forms of projectors with respect to unitary similarity and their applications", Comput. Math. Math. Phvs. 44 (9), pp. 1456-1461.
9. Djokovic D. Z. 1991, "Unitary similarity of projectors", Aequationes Mathematicae, 42, pp. 220224.
10. Bottcher A., Spitkovskv I. M. 2010, "A gentle guide to the basics of two projections theory", Linear Algebra Appl. 432, pp. 1412-1459.
11. Roch S., Silbermann B. 1988, "Algebras generated by idempotents and the symbol calculus for singular integral operators", Integral Equat. Operator Theory. 11, pp. 385-419.
12. Gohberg I., Krupnik N. 1993, Extension theorems for Fredholm and invertibilitv symbols, Integral Equat. Operator Theory. 16, pp. 514-529.
13. Alpin Yu. A., Ikramov Kh. D. 2006, "Unitary similarity of algebras generated by pairs of ortho-projectors", J. Math. Sci. (N. Y.), 137(3), pp. 4763-4768.
14. Spitkovskv I. M. 1994, "Once more on algebras generated by two projections", Linear Algebra Appl. 208, pp. 377-395.
15. Spitkovskv I. M. 2006, "On polinomials in two projections", Electronic Journal of Linear Algebral5, pp. 154-158.
16. А. М. Vetoshkin. 2008, "Matrix polynomials in variable projectors that are projectors themselves", in Automation and Computerization of Data Processing Techniques and Technologies (Mosk. Gos. Univ. Lesa, Moscow, 2008), Vol. 341, pp. 69-78.
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, Мытищенский филиал
Получено 30.06.2016 Принято 13.03.2017
