О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 11L05

О ДВОЙНЫХ СУММАХ ГАУССА, СООТВЕТСТВУЮЩИХ КЛАССАМ ИДЕАЛОВ МНИМОГО КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ

У.М. Пачев, Р.А. Дохов

Кабардино-Балкарский государственный университет, ул. Чернышевского 173, Нальчик, 360004, Россия, e-mail: urusbiOrambler.ru

Аннотация. В работе рассматриваются вычисления двойных сумм Гаусса

(q,l) = Е Е е

mi = 1 m2 = 1

2xilQA(m l>m2>

соответствующих классам идеалов А мнимого квадратичного поля.

Ключевые слова: двойная сумма Гаусса, бинарная квадратичная форма, класс идеалов, мнимое квадратичное поле.

1. Введение. Вычислению сумм Гаусса разных видов посвящено большое число работ (см., например, [1-3]). Мы проведем вычисление сумм Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля, имея ввиду дальнейшие их применения

к вычислению одной суммы произведений ф (А) О л (?, 1) характера ф группы клас-

леС1

сов идеалов С1р мнимого квадратичного поля на двойные суммы Гаусса Ол(я,1). При этом результаты вычисления как однократных так и двойных сумм Гаусса мы даем в явном виде от дискриминанта квадратного трехчлена или бинарной квадратичной формы. Хотя это непосредственно не относится к основной теме исследования, тем не менее в части, следующей за этим введением, мы даем новое применение однократных гауссовых сумм к доказательству квадратичного закона взаимности для символа Якоби.

В остальных двух частях нашей работы проводится вычисление двойных сумм Гаусса в случаях нечетного и четного модулей, причем во втором случае предварительно выделяются относительно дискриминанта 8р три возможных случая:

(8р; 2а) = 1 при а > 1;

(8р; 2а)=4 при а > 2 ;

(8р; 2а)=8 при а > 3 ; а остальные случаи должны быть оставлены вне рассмотрения.

Начнем с вычисления однократной суммы Гаусса вида

9 2

X-^ • ах + Ьх + с

5(а,Ь,с;«) = ^е2"^^, (1)

Х=1

где (а,д) = 1. Такая сумма сводится к вычислению суммы Б (а,Ь) = Б (а,Ь, 0; д), т.е. суммы

9 2

х ^ -ах + Ьх

в (а, 6) = 5>2-—, (2)

Х=1

так как

5' (а, Ь, с; д) = е2жгч ■ 5' (а, 6; д) .

2. Леммы об однократных суммах Гаусса. Для вычисления гауссовых сумм сначала приведем ряд лемм, описывающих свойства этих сумм.

Лемма 1. Если и — целочисленная квадратичная форма или многочлен второй степени с целыми коэффициентами от п переменных и d \и и d \д, где ^числовой делитель f и д-положительное целое число, то

8 (Цх) ,С1) = Г8

□ Доказательство см. [1]. ■

Лемма 1 будет использована при п = 1; 2.

Лемма 2. Пусть д = д1д2, ..ди , где целые положительные числа д1,д2,... ,ди попарно взаимно просты и Q1 = д/д1}Qk = д/ди■ Тогда

Б и(х) д) = П Б(Qaf’ да).

а=1

□ Доказательство см. [1]. ■

Опираясь на леммы 2 и 6 (см. ниже), в качестве применения гауссовых сумм дадим новое доказательство квадратичного закона взаимности для символа Якоби.

Вместо суммы (1) будем вычислять сумму более общего вида

9 ^(ах2 + Ьх + с)

Б (1а,1Ь,1с:, д) = ^^е2жг « , (3)

Х=1

где вначале предполагаем, что НОД(2/а; д) = 1. При этом 1а, 1Ь, 1с — коэффициенты бинарной квадратичной формы Ща (т1,т2), а значения для сумм (1) и (2) соответственно получаются при I = 1 и с =0.

В следующей лемме дается выражение суммы (3) через обычную однократную сумму Гаусса.

Лемма 3. Пусть д — нечетное положительное число; I, а — целые числа, взаимно простые с д. Тогда

„ .(4 а)*Ш

5 (/а, /6, /с; д) = е пг « • 5 (/а; д) ,

где (4а)* — число обратное числу 4а по модулю д; Б = Ь2 — 4ас.

□ Имеем

9

2п {

S (la, lb, lc; q) = e

q (41a)* {4(1 a)2x2+412abx + 412ac}

Х=1

Так как у = 21ах + 1Ь вместе с х пробегает полную систему вычетов по модулю q, то

о .(4(а)* (у2-12°) .(4 (а)*г2В ,, .(41а)*{(21ау)2}

о п 111 \ \ 2жг-----------------—2Ж1---------------- \ Л 2Ж1----^

Ь (1а, 1Ь, 1с; д) = У,е 4 =е 4 ' У/е 4 =

У=1 У=1

-2ттг(4а)*Ш 2тгг^£1 -2тгг(4а)*Ш с /, \ Ш

= е ч ■ е 4 = е я-5 (1а; д) . ■

У=1

Лемма 4. Пусть д - любое целое положительное число; I и а — целые числа, взаимно простые с д; Ь — четное число. Тогда

а* I -О

5 (1а, 1Ъ, 1с; д) = е~2ж% « • 5 (1а; д) , где И = Ь2 — 4ас.

□ Доказательство проводится аналогичными рассуждениями, использованными в случае леммы 3. Заметим, что лемма 4 содержит как частный случай результат из [1]. ■

Следующий случай, когда в сумме Б (1а, 1Ь, 1с; д) число Ь нечетно, а д четно является наиболее сложным.

Лемма 5. Пусть целые числа I, а, Ь, из которых Ь нечетно, взаимно просты с четным числом д. Тогда

0, если q = 0 (mod 4) ;

\е~2ж1~ ■ S (la; Ад), если д = 2 (mod 4) ,

где D = b2 — 4ac; a* — число, обратное числу a по модулю 4q.

□ В случае q = 0 (mod 4) формула доказывается с использованием леммы 2 и рассуждений статьи [4] (лемма 5) (элементарные выкладки, приводящие к этому равенству, мы опускаем).

Доказываем теперь формулу в случае q = 2 (mod 4), т.е. когда q = 2 ■ q2, где q2 -нечетное число. Воспользуемся тем, что при q = 2 (mod 4) и b — четном справедлива формула (см. [1] гл.1, лемма 2)

S(a,b;g) = -e ж% ■ S (а; Ад)

где a*a = 1 (mod 4q). Тогда

q l(ax2 + bx + c) i

S (la, lb, lc; g) = е2жг « = е2жг~ч ■ S (la, lb; g) =

x=1

о -1с 1 о •(1а)*12Ь2 1 „ . {(1а)*12Ь2-41с}

= е2жгТ • ^е~27тг^Г- • 5 (/а; Ц) = ~2е~2жг--------*5----^ • 5 (1а; Ад) =

1 „ . (а)*{1Ь2-1-4ас} 1 „ ■ а* Ш

= -е~2жг------*5-----. 5 (/а; Ц) = -е~2жг— • 5 (/а; Ад) . ■

Замечание. Результаты лемм 3-5 при с = 0 были получены Клостерманом [5]. Мы даем их в общем виде с указанием зависимости от дискриминанта О квадратичной формы.

Поскольку в леммах 3-5 формулы для Б (1а, 1Ь, 1с; д) выражены через сумму Гаусса Б (а, д), то нам еще понадобится следующая лемма.

Лемма 6. Пусть д — целое положительное число; а — целое число, взаимно простое с д. Тогда

S (a; q) = <

(-] i(q 2 ) Jg , если q = 1 (mod 2) ,

V qJ

j (1 + ia) y/g , если g = 0 (mod 4) ,

0, если q = 2 (mod 4) ,

где ^ ^ —символы Якоби.

□ Доказательство см. [1]. ■

3. Вычисление двойных сумм Гаусса в случае нечетного модуля. Перейдем теперь к вычислению двойной суммы Гаусса

q q

GA(qJ)=Yl Ee (4)

mi = 1 m2 = 1

в случае (g, D) = 1, где D — дискриминант квадратичного поля F = Q(y/d).

Лемма 7. Пусть q — нечетное положительное число; l, a — целые числа, взаимно простые с q. Тогда, если (8F, q) = 1, то

СлЫ)=(^) (-1)^-3,

где A — класс идеалов поля F дискриминанта 8f .

□ В силу лемм 3 и 6 в случае нечетного q будем иметь

q q * 2 2

X---л , ^ X--л о - (41a) * I2 Dy2

Ga (g-, I) = S {Ja, Iby, ley ; g) = e ж% « -S(la;q) y=i y=i

q

w--> г-,_ • LDay

e“ « ■ S (la; q) = S (—laD; q) ■ S (la; q)

y=i

Так как в силу леммы 7 сумма О а (д, 1) не зависит класса идеала , то по свойству характеров получаем, что

Лемма 8. Пусть f = ах2 + Ьху + су2 — примитивная форма и М — любое целое число. Тогда f представляет целое число, взаимно простое с М.

□ Доказательство см. [6], гл.14, лемма 2.1. I

Лемма 9. Форма f = ах2 + Ьху + су2 собственно представляет только те числа, которые встречаются среди первых коэффициентов, эквивалентных ей форм.

□ Доказательство см. [7]; гл VI, п.4. I

Леммы 8 и 9 в совокупности позволяют сводить рассмотрения двойных сумм Гаусса О а (д,1) к случаю, когда первый коэффициент квадратичной формы QA (т\,ш2) взаимно прост с модулем д.

Теорема 1. Пусть д — нечетное положительное число; I, а — целые числа, взаимно простые с д п 8р - дискриминант квадратичного поля Г = С^(у/Я). Тогда

1) Если д 15р, то

^ Ф (А) О а (д,1) = 0.

АеОЧр

где d = НОД (6р ,д),

8

0, д, д' = 1 (mod4)

1, д ■ д' = — 1 (mod4)

2, д, д' = — 1 (mod4) ,

символы Якоби.

2) Если д\6р, то СА (д,1) = (^) • г(?2 ) д^/д.

□ 1) В силу условия

(1а, д) = 1

и леммы 3 имеем

Ч Ч - о о

х---г ✓ ^ х---г о • (4а1)*12Ву2

с а (я, 0 = ^ 0а’ ^су ’ о) = Е/е ж% 4 ■ з я) =

у=1 У=1

\ ^ _2тгг^Ож1

= 2^е 9 -5(/а;д).

У=1

Применяя теперь к первому сомножителю лемму 1 и, учитывая еще лемму 6, будем иметь

Я 1 п/ 2

С А (д, = е • 5 № 0) = с1-Б (-/а£>', д1) Б (1щ д) =

У=1

=<г'(—

^ Л-д,

с1- - •

д' ) ) \й) \ д'

где, как легко проверить, показатель в определяется указанными равенствами.

2) Пусть теперь д |£^ т.е. д |Д. Тогда

я 2 я

С а (д, I) = е~'2ж % 4 ’ 3 (^а> ?) = Е/ ^ ^а’ ^ = ^ ^а’ ^ =

У=1 У=1

/а\ ^ч-1%

9

Теорема 1 является дополнением к соответствующим результатам, относящимся только к случаю ($^, д) = 1. Она будет использована при вычислении суммы (4) в случае, когда (£р,д) > 1.

В заключении этой части нашей работы дадим новое применение однократных гауссовых сумм к доказательству квадратичного закона взаимности для символа Якоби. Для нечетных положительных взаимно простых чисел д1 и д2 этот закон имеет вид

да) \д2/

где слева стоят символы Якоби. Воспользуемся леммой 2 при п = 2. Тогда для гауссовых сумм вида

Я 2

2тг г^-

е ч

х=1

имеем

Б (ж2; д1д2) = 5 (д1Ж2; д2)Б (д2Ж2; д1)

114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №19(162). Вып. 32 Обозначая д = д1 ■ д2, где НОД(д^ )=1, по лемме 2 получаем

^КЗ-(й<№)’+№)^-

Но по лемме 6 в случае д = 1(mod2) имеем

Б (ах2-, д) =

Из этих двух равенств следует, что

Тогда

92^ {Я_\\ ^д!д3-1^3 ^Ч1-1^2 ^ЧЗ-1^2 (<?1 ЗД)2-(Ч1 +до-1)2 (41 ЗД + Ч1 +Ч2-1)(Ч1 ЗД-<?1 -ЗД + Р

91/ 492 У

Обозначая теперь д1 = 2к + 1, д2 = 21 + 1, из последнего равенства получаем

4. Вычисление двойных сумм Гаусса в случае четного модуля. Сначала будем рассматривать двойную сумму Гаусса

2

а

Са(2 , /) = Е е 2“

т1,т2 = 1

в случае д = 2а и при этом (/, 2) = 1.

Как сумма С а (2а ,1), так и бинарная примитивная квадратичная форма

QA (т1,т2) = аш2 + Ьти + си2 , (а, Ь, с) = 1

соответствуют классу идеалов мнимого квадратичного поля Р = (^ дискрими-

нанта 5р, где d — целое отрицательное число, свободное от квадратов. Как известно, дискриминант 5р определяется равенством

. = Г d, d = 1 (mod4) ,

\ 4d, d = 2; 3 (mod4) .

Для квадратичной формы QA (т1,т2) дискриминант О определяется равенством

О = Ь2 — 4ас, и значит, О = 0; 1 (mod4).

Мы будем опять рассматривать соответствие между классами идеалов поля Г и

бинарными квадратичными формами QA (т1,т2), при котором 8р = О. Наши рас-

смотрения будут сводиться к следующим случаям:

1) (£р, 2а) = 1, а > 1 и значит, Ь — нечетное и О = 1 (mod4) ;

2) (8р, 2а) = 4, а > 2 если О = 12 (mod16);

3) (£р, 2а) = 8, а > 3 если О = 8 (mod16).

Сравнения для О в случаях 2) и 3) равносильны тому, что О = 4^ при d = 2; 3 (mod4).

В случае (£р, 2) = 2 и значит, 5р = 0(mod4)

Для вычисления суммы Гаусса 0'А (2а, I) в случае (8р, 2а) = 1 нам понадобится следующая лемма о сумме вида

2а

/ 2 // /// 2

/ х\ X—Л ^ -2а х + 2а ху + 2а у , ,,, ,,,

5 (</?, 2 ) = Е е ^ > гДе V = 2ах +2а ху + 2а и а нечетно.

х,у=1

Лемма 10. Пусть р (Ь) = 2а'х2 + 2а"ху + 2а'''у2, где а1, а11, а111 — целые числа и а11 нечетно; d = 4а'а"' — а''2, Ь — целое положительное число.

Тогда

в2-! ^ 1+1

5'(« 2‘) = {(-1)4т1'2}

□ Доказательство см. [4], гл.1, лемма 3. I

Лемма 11. Если а, Ь, с, I - целые числа, из которых Ь и I нечетные, то О а (2а; I) =

^2_!

(—1) —в-" • 2" , Б = Ь2 — 4ас при любом а>1.

□ По лемме 1 имеем

2а г(2ах2+ 2Ъху + 2су2) 2 1 I (ах2 +Ьху + су2)

5 (//; 2") = Е е-------------55----- = 4 Е е2Ж1----------^------- •

х,у= 1 х ,у= 1

Тогда в силу леммы 10

С А (2"-1; /) = -5 (/ /; 2") = - |(-1) т(«+!) . 2“+1| =

2 2 2 2

(—1) 8 ("+1) . 2"-1 = (—1) —8 (°+1) . 2"-1 = (—1) —8 (0_1) . 2"-1

откуда

СА(2а-,1) = (-!)—-а-2а. ■

Так как в силу леммы 11 сумма О а (2а; I) в случае (8р, 2а) = 1 не зависит от идеала А, то получаем, что по свойству характеров

£ ф (А) С а (2а; /) = 0.

А€С1р

Перейдем теперь к вычислению двойных сумм Гаусса при НОД(^^, 2а) > 1. Начнем со случая НОД(£р, 2а) = 4, т.е. когда 4||О 0 при а > 2. Тогда 2||Ь и О/4 нечетно.

В силу следствия 1 замечания 1 статьи [5] можем предположить, что первый коэффициент квадратичной формы QA (т1,т2) есть нечетное число. Тогда

2 г(ах2 + Ьху + су2)

С А (2°; I) = 8(1 (ах2 + Ьху + су2) ; 2") = ^ е-----------55--- =

х,у=1

х,у= 1 х,у= 1

2а + 2 2“ . * \В\ 9

= 5Г{*в-;2») ■ 5 2“

г=1 у=1

где аа* = 1 (mod2а).

Применяя теперь лемму 6, получаем

^ (2“; >>=(£) (1+п *х (ф) - 0+я*) *=

. (1 + (1 + гг“^) • 2" = (-1)^#^“ • (1 + г;г“) • 2"х

1 + % |О | /4 = 1 (mod4)

Х ^ 1 — г1а |О|/4 = —1 (mod4)

(—1) (1 1 " • г1а ■ 2а+1 при \И\ /4=1 (mod4)

(—1) (1 1 §’ " • 2"+1 при \И\ /4 = —1 (тос14)

Таким образом, нами доказана

Лемма 12. Пусть НОД(£р, 2а) = 4 и I, а — нечетные числа.

Тогда

{ (-1) <|Л|'84) • гг° • 2"+1 при |£>|/4 = 1 (тос14)

0А (2 ; 1) Л (т| : 4)2 _ 1

[ (—1) 8 " • 2"+ при \D\fA = —1 (тос14)

где О = 5р, а - первый коэффициент бинарной квадратичной формы, соответствующей идеалу А.

Замечание. В полученной формуле множитель (—1) 1 8 " можно опустить в

г- / п ЯДП4)2-1

случае четного а, а в случае нечетного а этот множитель оудет равен (—1) 8 .

Лемма 13. Пусть НОД(5р, 2а) = 8, I, а — нечетные числа. Тогда

Г г1а • 2“+^, \D\Z8 = 1 (тос14)

А^,,) \ 2а+1^2, \D\fS = —1 (тос14)

□ Следуя доказательству леммы 12, имеем

1а* \П\

йл (2°; /) = 5 (/а*; 2") • 5 ( 2е

Так как НОД 2"^ = 2, то по лемме 1 получаем

Па* IО \ 1а* IО

(5^(2";/) = 5(/а*;2")-25( —2""М , где —^ нечетно.

Применяя теперь лемму 6, будем иметь

=(£)(1(^®) (‘^1 (-1) {1а 8 -1-(2«-1) . (|д|:Г~1-(а-1) . ^ + ^ ^ + ^22«+1 :

“ § (2а-1) . (_1) <|Л| 'в' -’(а-1) . ^ _|_ ^ _|_ ,^а^г

_ / (1 + г1а)2 л/22^+\ |£>|/8 = 1 (тос14)

” (1 + гг°) (1 - гг°) • v/22"+T, \D\f8 = —1 (тос14)

•/« . 2"+!>/2, |£>|/8 = 1 (пюс14) ,

2"+1-\/2, 1^1/8 = —1 (mod4) .

Наконец, рассмотрим сумму О а (д; 1) в случае произвольного четного числа д. На лемме 12 основано доказательство следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть д = 2а • д1 — целое положительное число; д1 нечетно; О — дискриминант примитивной бинарной квадратичной формы QA (т1, т2), соответствующей идеалу А квадратичного поля Г дискриминанта 8р = И, причем ^ = ±1 (mod4). Тогда

Г 7Лд,/,£>)г«1го(§) при |£>|/4 = 1 (тос14) ,

Оа (д; 1) — ч , ,

| 7^ (д,/,Г>) (§) при |-0|/4 = —1 (тос14) ,

где

7* Ы.О)=(£)- (^г^г) <®' (-1) ' 2“+1; -Л

d = НОД(д1, О); а — первый коэффициент формы QA (т1,т2).

□ Пусть / = QA (т1, т2) — примитивная бинарная квадратичная форма дискриминанта О. Тогда в силу теоремы 1 п.5 [4] получаем

С а (д; 1) = Б (2а1 /; д{) • Б (д1 1/, 2а) .

Беря в теореме 1 вместо 1 число 2а1, а в лемме 12 вместо 1 число д11, будем иметь

х

d J \ g1 : d

(—1) 4 ' s' • i^lla ■ 2a+l при \D\/4 = 1 (mod4)

(—1) (l 1 s’ • 2a+1 при \D\/A = —1 (mod4)

(g, D, I) ■ iqila (|) при \D\/A = 1 (mod4) ,

7d(g,A0 • (I) при |D|/4 = —1 (mod4) .

Проведя аналогичные рассуждения и, используя при этом лемму 13, получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть g = 2ag1 — целое положительное число, g1 нечетно, D — дискриминант примитивной бинарной квадратичной формы f = Qa (m1,m2), соответствующей идеалу A квадратичного поля F дискриминанта 8f = D, причем | D | / 8 = ±1 (mod4). Тогда

( jd(g,D,l) ■ iqila (I) при |L>|/8 = 1 (mod4),

Ga (g; l) — s , ,

| 7d(g,D,l)- (I) при |D|/8 = -l (mod4) ,

где

di = (D,gi).

Замечание. Теоремы 1-3 имеют применения в доказательстве обращения в нуль

суммы ф (A) Ga (g,l). С этой целью в них выделены сомножители, зависящие от

A&Clp

первых коэффициентов бинарных квадратичных форм Qa(^1, m2), через которые определены двойные суммы Гаусса GA(g,l).

Литература

1. Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. - 1962. - 65.

2. Хассе Г. Лекции по теории чисел / М.: Иностранная литература, 1953.

3. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел / М.: Мир. 1987.

4. Гриценко С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле // Чебышеский сборник. Тула. - 2003. - 4, №2. - С.55-67.

5. Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta Math. - 1926. - 49. - P.407-464.

6. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы / М.: Мир, 1982.

7. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика / М.: Наука, 1965.

ABOUT GAUSS’ DOUBLE SUMS CORRESPODING TO CLASSES OF IDEALS OF MAGINARY QUADRATIC FIELD

U.M. Pachev, R.A. Dohov

Kabardino-Balkar state University,

Chernishevsky Street 173, Nalchik, 360004, Russia, e-mail: urusbiOrambler.ru

Abstract. The work considers the calculation of Gauss’s double sum

q q ,r, i > n l 1\ \ \ ' 2wi Qa ni’r"2

Ga (q, I) = E E e 9 >

mi = 1 m2 = 1

corresponding to classes A of ideals of imaginary quadratic field.

Key words: Gauss’s double sum, binary quadratic form, class of ideals, imaginary quadratic field.