Разложение неполного стандартного базисаполя в многомерную цепную дробь Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.138

В. К. Шурыгин

РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПОЛНОГО СТАНДАРТНОГО БАЗИСА ПОЛЯ Q(mD) В МНОГОМЕРНУЮ ЦЕПНУЮ ДРОБЬ

Приведен алгоритм разложения неполного стандартного базиса поля иррациональностей q(^d ) в многомерную периодическую цепную дробь общего вида.

The algorithm of decomposition of incomplete standard basis of the field Q(mD) in the multidimensional periodic continued fraction of the general form.

Ключевые слова: поле алгебраических иррациональностей, единицы поля, стандартный базис поля, алгоритм Якоби — Перрона, многомерная цепная дробь.

Key words: algebraic irrationalities field, units of field, standard basis of the field, Jacobi — Perron algorithm, multidimensional continued fraction.

Введение

В последние десятилетия значительно возрос интерес к известному алгоритму Якоби [1 — 3] и его обобщениям [4—9], приводящим к понятию многомерных цепных дробей. Объясняется это большей частью тем, что с помощью обычных цепных дробей, получаемых посредством алгоритма Евклида, полностью решается вопрос о нахождении так называемых единичных элементов в кольце O[4t ], образованном присоединением к кольцу целых рациональных чисел иррациональности Vt, где t — целое рациональное число, не содержащее квадратов. В дальнейшем под O[^t] будем понимать кольцо действительных чисел вида

^ ak , где t, ak, k = 0,1,..., m -1 суть целые рациональные числа, t не

k=0

содержит m-х степеней целых чисел с арифметическими операциями, индуцированными полем действительных чисел. Набор иррациональностей Ф,..., mtm-1 при этом будем называть неполным стандартным базисом кольца O[^t]. Попытки применения алгоритма Якоби при нахождении единиц в O[ft ] позволили решить эту задачу лишь частично. Связано это с периодичностью алгоритма Якоби. Перроном [8] доказано, что так называемая правильная двумерная цепная дробь в случае ее периодичности сходится к неполному стандартному базису кольца o[3Tt ], более того, этот результат легко обобщается на случай O[mTt], m > 3 [9].

155

© Шурыгин В. К. , 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 155-168.

156

Однако доказательства обратного утверждения о разложении базиса кольца 0[Ф ] в периодическую (т - 1)-мерную цепную дробь при шї3 неизвестно до сих пор. Для нахождения же единиц упомянутого кольца используются именно периодические многомерные цепные дроби. В многочисленных работах Бернштейна [2 — 7] и некоторых других авторов приведены бесконечные классы колец 0[Ф ] , в основном при т = 3, для которых многомерная цепная дробь, получаемая при разложении неполного базиса кольца, оказывается периодической, но в общем случае периодичность таких разложений не доказана.

Цель работы — исследование периодичности многомерной цепной дроби общего вида, которая получается при разложении неполного базиса кольца 0[ф:]. Приводится алгоритм разложения базиса кольца

0[Ф ] в периодическую многомерную цепную дробь общего вида, из которой для некоторых бесконечных классов параметра £ могут быть получены правильные многомерные периодические цепные дроби. Схожие результаты имеются в работах автора [13 — 15]. Вопрос сходимости разложений в работе не обсуждается. Полученные разложения не всегда совпадают с приводимыми другими авторами, но последовательности так называемых подходящих векторов, выписанные для приводимых разложений и полученных ранее, содержат общие элементы.

1. Определение т-мерной цепной дроби

1.1. Следуя Бриньону [10], определим т-мерную цепную дробь. В (т + 1)-мерном пространстве рассмотрим последовательность векторов

а(1)

V п У

, п = 0,1,...,

(1.1)

при этом полагаем а0т+4 = 1. Процесс образования векторов из (т + 1)-мерного пространства с помощью соотношения

( А(1) ^ (А4 Л(1) Vа(т+1) ^

АПт+:)

Л (т+1) А(т+1)

Ап-т-1 ' ' ' Ап-1

, п = 0,1,...,

(1.2)

Г1 і + к = 0

где А(к) = \ ' 'к = 1, 2, ..., т + 1; і = -1, -2, ..., -(т + 1),

7 [0, і + к * 0; 1 К ’

будем назрівать т-мерной цепной дробью. Такое название записанного итерационного процесса связано с тем, что в случае т = 1 этот процесс приводит к образованию векторов двумерного пространства, координаты которых суть элементы подходящих дробей обычной цепной

дроби общего вида а(1) +

„(2)

а(Ч +___________2

а1 „(!)

(2)

ап =

1.2. Данную (1.1) и (1.2) ш-мерную цепную дробь запишем таблицей

Лт)

„(Ч

а^ - ап^ -

а^ - • апш) ••• , (1.3)

а<1) - • 41 - _

конечной или бесконечной в зависимости от конечности или бесконечности последовательности (1.1). В первом случае ш-мерную цепную дробь естественно назвать конечной, во втором — бесконечной. Вектор (1.1), если следовать терминологии обычных цепных дробей [11], назовем и-м звеном ш-мерной цепной дроби (1.3), а его координаты — члена-

ми п-го звена. Л'

(ш+1) _

А (т+1) ЧА" У

и-й подходящий вектор ш-мерной цеп-

( А(і) Ат Л

ной дроби, а вектор формальных дробейВ;ш) = —(Щ+їр---/—(Щ+Т)"

V Ап Ап у

и-й вектор подходящих дробей. Если НшоПт) существует и конечен, то ш-мер-

п^ад

ную цепную дробь естественно назвать сходящейся, а сам предел, то есть Б(ш) = Ііш БПш) = (Е1ш),..., ОШш)), —значением цепной дроби (1.3), и говорить,

п^ад

что ш-мерный вектор Э(ш) разлагается в ш-мерную цепную дробь (1.3).

1.3. Методом математической индукции установим соотношение

дві

А(1)

АПш+1)

А'" Л

А,

(ш+1)

= (_1)ш(п 1) ^й<ш+1), доказанное О. Перроном [9] в слу-

/

чае, когда в ш-мерной цепной дроби (1.3) все ап' — целые числа, у = 1,2,...,ш+1;и=0,1,..., причем я*пт+1) =1; и = 0,1,0; \;=1,2,...,ш; п = 1, 2,... В этом случае, когда на члены звеньев цепной дроби налагаются такие условия, ш-мерную цепную дробь называют правильной.

1.4. К правильной цепной дроби приводит так называемый ш-мер-ный алгоритм Якоби — Перрона, который, согласно Л. Бернштейну [4], может быть определен так. Для вектора ш-мерного пространства

Ко =

.(1)

, т ^ 1, с помощью некоторой функции Т строится а0 =

( лш) Л

„(1)

= Т(а0')), V = 1, 2, ., ш, — другой вектор.

Например, если К0 є , то в качестве Т можно взять так называемую целую часть числа, то есть аО'0 = [а0'’)], V = 1,..., ш. По векторам К0 и а0 строится новый вектор :

1

а(11) =-

с0ш) _ а0ш)

(')

, а1; = ■

у('_1) 0

*0ш) _ а0ш)

,('_1)

0 , ' = 2,3,..., ш.

157

158

Затем процесс повторяется для . Имеем ш-мерную цепную дробь

Лш )

Лт)

1

„( ш)

й(1) й(1) ... ^

1.5. Две ш-мерные цепные дроби будем называть равными, если совпадают последовательности их векторов подходящих дробей, то есть

(1.4)

если ) = Б '(ш), п = 0,1, ..., где )—вектор п-х подходящих дробей

цепной дроби, стоящей в последнем равенстве слева, а Б '(пш) — аналогичный вектор дроби справа.

По индукции легко доказать, что (1.4) верно тогда и только тогда, когда элементы членов звеньев ш-мерных цепных дробей связаны:

ЬП) = Рп-„+1 •. • РпаП ^ „ = 1,2, ••• , ш + 1, п = 0, 1, . , (1.5)

' а<ш+1) • • ап:+1) ••• Ь<ш+1) • . ь(ш+1) п

а0ш) а1ш) • аПш) • = ь0ш) Ь<ш) Ь1'ш) п

_ а(1) а<1) • • 4? ••• _ ь(1) ь<1) • • Ь(1) п

где р1, р2,... — произвольная последовательность ненулевых элементов (чисел), рк = 1, к = 0, -1,..., -(ш-1). Равенство (1.4) с (1.5) в теории обычных цепных дробей называется тождественным преобразованием [11].

1.6. Выше было отмечено, что при ш = 1 соотношения (1.1) и (1.2) приводят к обычной цепной дроби, которую можно записать в виде

й(1) +-

„(2)

+

(2)

(1.6)

а1+•

Попытаемся и в случае ш > 1 найти выражение ш-мерной цепной

дроби (1.1) — (1.2), аналогичное (1.6). Для первых векторов Л,

( ш + 1)

имеем:

' а01) Л Г а<2) + Л ' а21)(а(2) + а<1)а01))+^

а02) За 14 )+ V й21)(а<3) + а<1)й02))+42)а02) + 44)

лош+1) = а0ш) 1 V У Л<ш+1) = й<ш+1) + а<1) й0ш) а(1) V У Л2ш+1) = й21)(а<ш+1) + 41)а0ш))+й22)а0ш) ага4 + а22)

Отсюда, выражая векторы подходящих дробей, получаем:

и

,(ш) _

=(й01), й02), ..., я0ш)

), иш) =

А(1)

А2 = я(1) +.

Д(ш+1) й° +

Л1)

(1)

4^

а(ч

а22)

а2ш+ч

V

=а02) +-

а(2)

С + Отт,а

ал

.(3)

(2) + О-—, ..., а0ш) +

,(ш + 1) Л

(3)

а(ч

(1)

4^

а(ч

(1)

А2ш)

А2ш+ч

(1)

= а0ш) +■

П(ш+1)

(1)

о

2

Легко заметить закон роста «многоэтажное™» подходящих дробей, согласно которому понятие ш-мерной дроби можно ввести следующим образом. Пусть задана ш + 1 последовательность каких-либо символов:

(1.7)

Определим формально операцию, применяемую к символам этих последовательностей, которая заключается в переходе от символа аП)

а('+1)

(V = 1, 2, ..., ш, п = 0, 1, ...) к символу а{^) +—^+1—. Последовательно при-

аи+1

меним эту операцию к символам (1.7), причем операция применяется лишь к символам, имеющим наибольший нижний индекс. Итак, начиная, например, с а0^, получаем последовательность дробей:

а< т+ч, а2т+ч

a(om), а1т), а(2т),

я02), а(2), а22),

а(1), а(1), а2:),

„(-+1).

а( ^ л0

я1*+1)

а(1)

ао') +■

а^+2)

а(1)

„(1).

о2^

а(і)

где все а^+’) = 0, если у + ] >т + 1. После «бесконечного числа» шагов получаем последовательность «многоэтажных» дробей, которая и будет

последовательностью подходящих дробей вида

А

(V)

А”)

А”)

А(т+1) ' А(т+1) ' А(т+1)

А) А1 А2

то есть последовательность V - х координат векторов подходящих дро-

бей Б)т), Б1т), Б

->(т)

2. Разложения

2.1. Для обычных цепных дробей известно [12] разложение любой бесконечно дифференцируемой функции х(?) (производная п-го порядка х(п)^0) ф 0, п = 1, 2,...) в цепную дробь в окрестности t0:

х(£) =

Х)Г

Т Т

(2.1)

Д-10 Д-2)

где Т = £ - £0, хп0 = хп (£0), а функция хп (^) связана с хи-1(£) соотношением

Т

Хп-1(0 - Х

-, х0(£) = х(£ ).

п-1,0

Обтічно разложение (2.1) называется формулой Тиле [11]. Используя ее, можно получить разложения в цепные дроби многих известных функций [12], пригодные для вычисления, например, их значений.

2

159

160

2.2. Разложение, аналогичное приведенному выше, для т-мерных цепных дробей, по всей видимости, будет иметь вид

т

а(т)Г

(хМ ..., хт(0) =

Т

хт,0,0 а(1т)Т

хр+1,0,0 а?+1)Т

х ,0,0 а?)Т

х2,0,0 а<2)Т

х1,0,0 а<1)

а(р+1)тр

а(р)ТР-!

а(р2)Т

а.

(1)

Тт-1 Тт

• а^Т-1 а(тт)Тт-1 • ••

• ат-+11)Т’ ат+1)Т’ •••

• а(т-1Тр-1 а|т Т-1 •••

• а^-Т а(т2)Т •••

• ^ атч •

где хк,00 = хк0(Ь0), к = 1,2,..., т, а(), ; = 1,2,., неизвестные пока постоянные. Полагая хк 0(Ь) = хк (Ь), получаем:

а1т)Т+

Т2

хт0(0 = хт,0,0 +-

т

а<3)Т2 + •

", хт-1,0(^) хт-1,0,0 +

а(1) + а32)Т+• ^"2 т _,(1)

«э +•

а(11) +-

а(2)Т+ и2 1 ^ (1)

«э +•

а22)Т+

а(Ц + а32)т+• а2 + а31) +•

а(11) +-

а(3)Т2-^^^^ аз1) +•

а(1) , аз2)т + —

2 2 „,(1)

и так далее. Из первого соотношения

Т

По определению полагаем: х11 (Ь) =

хт0(Ь) хт,0,0

^ - ^0

= а11) +-

а(2)Т+

^"2 1 ^ (1)

а33)Т2 +•

(1) а32)Т +—

а21) +—-----------------

а31) +•

-. Тогда а1) = х110.

хт0(Ь) хт,0,0

Далее, из второго соотношения с учетом уже полученного

1,0(Ь ) х т-1,0,

0 (т)

___ ___ ГЧ ' ’

хт0(Ь) - хт

= аг +

Т

(1) а(32)Т + • а21) + —---------------

а31) +•

/,\ хт-1,0(Ь) хт-1,0,0 (т)

отсюда хт1(г) =--, а1 ’ = хт ,10.

хт0(Ь) - хт ,0,0

Продолжая процесс, получаем:

,, „)Т+<¥ +•

хр,(()-х'=<" +-(а1±^-, х„,,(() = хю(>)-Лр^ , а“) =х+ 0, +=1,., т

хт0()-хт,0,0 И) . «3 )Т+• хт0(Ь)-хт,0,0 , ,

“2 +а31) +•

Используя индукцию по п, нетрудно убедиться в справедливости соотношений аП) = xv,п 0, V = 1, 2,.., т, п = 1, 2,...

Таким образом, ш-мерная вектор-функция скалярного аргумента х(£) = (х^),..., хш(Ь)) разлагается в следующую ш-мерную цепную дробь:

Т ■ • • тр ■ ■ ■ Тш-1 Тш ■ ■ ."

Хш ,0,0 Т ,0 8 Хш ,р ,0Тр ш- Т о & в ш- Т о В 8 X

Хр+1,0,0 Хр+1,1,0 Т ■ ■ ■ Хр+1,р,0ТР Т ,0 в 1+ Т ,0 ш, 1+ , (2.2)

Хр,0,0 Т ,0 5Р Хр ,р ,0Тр-1 5Р Т О В 5Р X Т о В 5Р X

Х2,0,0 Х2,1,0Т ■ ■ ■ Т ,0 ; 5Р 2 X Т ,0 2 Т ,0 ш, 2 X

Х1,0,0 Х1,1,0 ,0 й4 ,0 ,ш- Й4 1 ,0 ,ш Й4

II 1 О Хv,п,0 = Х™ ^ < = т-н О = К £ V0(*) = Хv ^),

Хп (0 = > н 1 й > К -1,п-1,0 ———, V = 1, 2,.., ш, п = 1, 2,‘-- , Х0п ( ) = ^ (2.3)

Хш,п-1(Г) - Хш ,п -1,0

2.3. Рассмотрим несколько конкретных вектор-функций.

А) Сначала найдем разложение в двумерную цепную дробь вектора

(а(1)ю2 +р(1)ю+у(1), а(2)ю2 +р(2)ю+у(2)) при некотором ^ ю3 = t, t0 = О3. Имеем:

= а(1)О2 + р(1)О + у(1), х2 0 0 = а(2)О2 + р(2)О + у(2).

1,0,0

„(Ч х _™(2)п2 ^(2)т

2,0,0

(2)

Далее хц({) =

’-О3

а(2)(ю2 - О2)+Р(2)(ю-О) а(2)(ю +О) +р(

ю2 +юО+О2 3О2

, то есть х110 =

(2)

х = а(1)(ю2 -Р2) + р(>-О) = а(1)(ю + Р) + р(1) Отсюда х =

Л21\*/ (2)/ 2 т-^\ , о(2)/ тл\ (2)/ , тл\ , о(2) ‘ Д-210

2а(2)О+р(2)' 2а(1)О + р(1)

а(2)(ю2 - О2) + р(2)(ю- О) а(2)(ю + О) + р(2)‘—~210 2а(2)О + р(2) ‘

(2а(2)О+р(2))(а(2)(ю+О)+р(2))(ю2 +юО+О2)

Продолжим процесс: х12(^ = -

Х22 (0 =

(а(2)О+р(2) )(ю + О) + О(а(2)ю + р(2))

а(1)р(2) -а(2)р(1)

3О2(2а(2)О + р(2))2

а(1)р(2) -а(2)р(1) 3О(а(2)О + р(2))

и, значит, х120 =

220 _.(1)„(2) (2)р(1) . Далее будет получаться Х130 =

а(1)р(2) -а(2)р(1) '

3О2(а(1)р(2) -а(2)р(1))

а(1)р(2) -а(2)р' х230 = 3О(3а(2)О + р(2)), х140 =

3О2

", х240

2а(2)О + р(2) 3О(а(1)р(2) -а(2)р(1))

5а(2)О + р(2)

Используя индукцию, нетрудно доказать: х1Эп-10 =

(2а(2)О + р(2))(5а(2)О + р(2))’ 3О2((3п - 1)а(2)О+р(2))2

а(1)р(2) -а(2)р(1) '

-х,.„ = У^УГ,х», = 3^3па«)0+

а(1)р(2) -а(2)р(1)

3О2

П,3п+1,0

(3п + 2)а(2)О + р

(2) , Х2,3п+1,0

(3п-1)а(2)О+р(2)

= 3О(а(1)р(2) -а(2)р(1))

((3п - 1)а(2)О + р(2) )((3п + 2)а(2)О + р(2))

х

2,3п-1,0

161

162

Таким образом, рассматриваемая вектор-функция разлагается в следующую двумерную цепную дробь:

Т

уМо+ р(1)

Т2

у(2)р + р(2))

а(2)р2 +р(2)р+у(2) 2а Р+р(1) Т 3Р(^Р+р(2)) т

а р +р р+у _ ^ , а(1)р(2) -а(2)р(1) 1

2а(2)Р+р(2)

Т

а(1)Р2 +р(1)Р+у(

,(1)

3Р2 3Р2(2а(2)Р+р(2))2

а(1)р(2) -а(2)р(1)

2а(2)Р+р(2)

Т2

3Р((3п - 2)а(2)Р+р(2)) а(1)р(2) -а(2)р(1) 3Р2((3п - 1)а(2)Р+р(2))2 а(1)р(2) -а(2)р(1)

Т2

3Р(а(1)р(2) -а(2)р(1))

Т2

3 Р(3 па(2 О +р (2))Т ________________________________________________________________

((3п - 1)а(2О + р(2))((3п + 2)а(2О + р(2)) 3Р2 (а (1)р(2)-а (2)р(1)) 3Р2

Т

(3п - 1)а(2О + р(2

(3п + 2)а(2 О + р(2

Три последних звена в этой записи суть звенья с индексами соответственно 3п - 1, 3п, 3п + 1, п = 1, 2, ..., Т = t - Р3. Легко видеть, что при а(2) = 0 полученное разложение становится периодическим, если следовать терминологии обычных цепных дробей. Это разложение

р(2)Р+у(2) а(1)Р2 +р(1)Р+у(1)

Т

2а(1)Р+р(1)

р(2)

3Р2

р(2)

Т2

Т ™Т (1) а(1)

3Р Т Зр(2)ОТ 3а(1)РТ

(1)

(2)

3р(2)Р2 ... 3р(2)Р2 3а(1)Р2 3 ..

а(1) а(1) р2)

Наконец, в простейшем случае а(1) = р(2) = 1, а(2) = р(1) = у(1) = у(2) = 0 :

Т Т2 ■ ■ ■" Т ^ Т 2 ^

О 2РТ 3РТ ■ ■ ■ . Вот так О 2РТ 3РТ

О2 3Р2 3Р2 ■ ■ ■ О2 3Р2 3 2

лучше за-

писывать периодические цепные дроби, выделяя период и предпериод. Б) Найдем разложение в четырехмерную цепную дробь вектор-

функции (^?, ), полагая Ьа = Р5, f = ю5. Имеем

Х100 = Р , Х200 = Р , Х300 = Р , Х400 = Р, Х11(^) =

ю5 - Р5 4

ю-Р

= Хю4-1Р1,

ю4 - О4 -Л 3-к к ю3 - О3 -Л 2-к к ю2 - О2

х21 (^) =-;;- = Ею О , Хэ^) =------— = ^ю О ,х«(0 =------------;г = ю + р.

ю-Р ю-Р П0 ю-Р

Таким образом, х110 = 5Р4, х210 = 4Р3, х310 = 3Р2, х410 = 2Р. Далее можно найти:

х120 = 5Р4, х220 = 10Р3, х20 = 6О2, х420 = 3Р, х130 = 5Р4, х230 = 10Р3, х^ = 10Р2, х430 = 4Р, х140 = 5Р4, х240 = 10Р3, х310 = 10Р2, х^ = 5Р, х150 = 5Р4, х250 = 10Р3, хш = 10Р2, х450 = 5Р и так далее. С 4-го звена будет однозвенная периодичность. Получаем:

к=0

Т Т2 T з ^ T 4 ^

D 2DT 3DT2 4DT3 5DT3

D2 3D2T 6D2T2 10D2T2 10D2T2

D3 4D3T 10D3T 10D3T

D4 5 а 5D4 5D4 5D4 V У

,# ,# ) =

2.4. Найдем разложение в (т - 1)-мерную цепную дробь вица (2.2) вектор-функции |’і’-1, ..., ’і|, і0 = Пт. Для этого докажем три леммы. Лемма 1. Функции хп(і) из (2.3) имеют вид

хт (і) = 1 Vі ют-^,

і=0

(2.4)

ю

= ’і, V = 1, 2,..., т -1, п = 0,1,..., причем аЦ-1 = 1.

Доказательство. Используем индукцию по п. Утверждение очевидно при п = 0. Пусть лемма справедлива при п = 0, 1, ..р - 1, тогда

хщ,(1) =

-1(і) - Xv-1

^+1 X

,р-1,0 _ і=0

V* Л і) г»і^т^+1-і

X <Л,р-^ ю

- X а«,р-10т

лт-1,р-1(1) Хт-1,р-1,0 (ю + ат-1,р-1^) + ат-1,р-1Р)

X а«,р-10к (Ют-~1-і - Dm-v+1-і ) m-v m-v-і

------------------------------------= Х а^-^ X Vют-v-і-' =

ю-D

763

=ХаХ-!^’™-'1 +...+Vі-

...+Dm-v) =ххаЛР-^т--і=ХХ"^

При этом а^ =Х а(0-)1,р-1 = а(0)1,р-1 = 1. Согласно принципу математиче-

і=0

ской индукции отсюда следует справедливость леммы для п = 0, 1, ... □ Следствие 1. При V = т - 1 из леммы 1 вытекает:

Хт-1,п (*) = Ф + D, Хт-1,п,0 = (1 + «т-1,„ )0, Хт-1,п V) - Хт-1,п,0 = ^ - О

Следствие 2. Коэффициенты «Vп в представлениях (£) в виде (2.4)

удовлетворяют рекуррентным соотношениям «п =Х я!^'-)-1,п-1, Я(,С-)1,п-1 = 1.

)=0

Лемма 2. Функции (2.4) удовлетворяют х„;„+1(0 = хтЮ, v = 1,2, ..., т-1. Доказательство. При V = 1 согласно (2.3) имеем:

х00^) - х000 ^т - от т-1

х11(і) =

хт-10(і) - хт

=Х Vі ют - і-1.

Ю- D і=0

Далее, х12 (і) =

х01(1) - х0

хт-1 1(і) - хт-1 -

ют - Dn'

ю - D

, то есть при v = 1 лемма имеет

место. Допустим теперь, что х^, ^ 1 (і) = х^ (і), v = 1, 2,..., р -1, р < т. Тогда

164

р, р+1

(Ь) =

хр-1,р (Ь) - Хр

——. Отсюда, согласно индуктивному предполо-

Хр-1,р -1(Ь ) Хр-1,р-1,0

ю-Т

”-1,р (Ь) - Хт-1,р,0

жению и следствию 1 из леммы 1, вытекает Хр р+1(*) =

то есть согласно (2.3) хр ,р+1(Ь) = хрр (Ь). □

Следствие 1. Для функций (2.4) имеют место равенства X,„+8 (Ь) = xvv(Ь), V = ^ 2 -, т, 5 = 0,1, - .

Доказательство. При в = 0 следствие очевидно, при в = 1 оно вытекает из леммы. Пусть утверждение следствия верно при в = 0, 1, ..., р - 1. То _! _! ,,ч Х.-1,.+р-1(Ь) Х.-1,.+р-1,0

гда, согласно следствию 1 из леммы 1, Х..+ (Ь) =

ю-Т

Отсюда по индуктивному предположению и лемме

Х (Ь) = Х.-1,.+р-1(Ь) Х.-1,.+р-1,0 = Х.-1,.-1(Ь) - Х.-1,.-1,0 = Х (Ь)

Х^ + р (Ь) = 7л = тл = Х"(Ь),

г ю-О ю-О

то есть согласно индукции следствие доказано. □

Следствие 2. Начиная с т - 1 искомое разложение становится однозвенно периодическим. В самом деле, начиная с V = т - 1, равенства Х.,.+5 (Ь) = Х„ (Ь) выполняются для всех функций (2.4).

Лемма 3. Коэффициенты а{-п+1 функций (2.4) имеют вид а-) = СП+- , . = 1,2, —, т -1, п = 1,2, —, V, - = 0,1, —, т -V. (2.5)

п! к!

Доказательство. Утверждение при п = 0: а.-1) = 1 = С°, - = 0,1, —, т - V очевидно. Допустим, что (2.5) имеют место и при п = 0, 1, ., р - 1. Тогда

- - -

согласно следствию 2 из леммы 1 а!;-,’ = 1+ Х а(-)1,р-1 =1 + ХС£-2+у = ХСр-2+у.

У=1 у=1 у=°

Отсюда по известной формуле aVp) = Срр-11+-. □

Следствие 1. Коэффициенты искомого разложения имеют вид XV,,0 = Хга (Ь0) = ст-v+„Dm-v, V = 1,2, —, т -1, п = 1,2, —, V. Доказательство. Согласно лемме 1, следствию 1 из леммы 1 и лемме

3, хп0 = тр а^.О'”-'' = aVm-,VI)+1Dm^ = Спт^+„0”^. Таким образом, можно за-

писать, наконец, искомое разложение:

Т

С2т

Т2

сЗот2

ГТ-р-1 С1т_рГГ-р-1Т с” -р+1Т”-р-1т2 ТТ-р С1р+1ЕГ-рТ С1„,2ЕГ-рТ2 О”

т-р+2

р+1 С”-р+2О”-р+1Т С”^О-р+Т2

р+3

О”-2 С1-1Тт-2 Т с2 т”-2т

О”-1 С10”-1 С10”-1

Т

Ср+1ВТ

С”-1тт-р-1тр

С” о^тр-1

С^-1 От_р+1 Тр-2

С” Т”-2Т СП О”-1

Т”-1

Сп-1ттт-2

Ср+1тт-р-1тр С? т”-ртр-1

Ср-1 т”-р+1 тр-2

С2 т”-2т с1 О”-1

(2.6)

к=0

Это однозвенно периодическая (т - 1)-мерная цепная дробь, период которой начинается с (т - 1)-го звена. □

2.5. Используя тождественное преобразование многомерных цепных дробей, описанное в 1.5, приведем полученное разложение (2.6) к виду обыкновенной (т - 1)-мерной цепной дроби, то есть к виду, в котором верхняя строка таблицы (цепной дроби) состоит лишь из единиц. Подбираем последовательность множителей р:, р2,..., рп,... так, чтобы

РкРк +1 •••■ • Р т+ к-1Тт-1 = 1 (2.7)

для любого к = 1, 2, ..., при этом р{ = 1, г = 0, -1,...,1 -(т-1). Нетрудно убедиться, что (2.7) имеют место, если все рк = Т-1, к Ф т1, рт1 = 1,1 = 1,2,...

" О С20 С32 О • • • С^о • • •

о2 с3 о2 с4 о2 . . . Ср+2 о2 • • •

от-р-1 сш-рот-р-1 сш - р+1ош - р-1 • • • ст-1от-р-1 • • •

0 - р С - р + 0 - р С - р 2 0 - р Срот-рТ-1 • • •

от-р+1 ст - р+2 от-р+1 ст-р+3 от-р+1 • • • СР-1от-р+1т-1 • • •

ош-2 ст-10т-2 С2т от-2Т-1 • • • с2 от-2т-1 • • •

0т-1 С1тГ>т-1Т-1 сШ от-1Т-1 • • • С1 ош-1т-1 • • •

( ОТ1 ОТ-1 Ст-10 Ст 1 о • • • Ср-1о '

сі-2 о2Т-1 с;ш-2 о2 ст-2 о2 • • • Ст-2 о2Т-1

СР+1от-р-1Т-1 ср+1от-р-1 СР+1 от-р-1 • • • Ср+1 ош-р-1Т-1

Срот-рТ-1 Срот-р Срот-р • • • Срош-рТ-1

СР-1от-р+1Т-1 ср-1от-р+1 ср-1от-р+1 • • • Ср 1 ош - р+1Т-1

с2 ош-2Т-1 С2ош-2 с2 ош-2 • • • с 2 ош-2т-1

Ч С1 от-1Т-1 С1 ош-1 С1 от-1Т-1 • • • С1 ош-1Т-1

(2.8)

В записи (2.8) верхняя строка, состоящая из единиц, опущена. То же и в последующих разложениях в правильные цепные дроби.

Таким образом, тождественное преобразование, примененное к (2.6), дает уже т-звенно периодическую (т - 1)-мерную цепную дробь (2.8), период которой, как и ранее, начинается с (т - 1)-го звена.

Отметим, что если Т |СШОш-р, р = 1,2,...,т-1, то разложение (2.8) становится правильной цепной дробью, естественно, если Т > 0. Если же Т = 1, то правильной цепной дробью является уже разложение (2.6).

Рассмотрим в заключение несколько примеров.

о 20 (ЭОГ1 30 30

А) Если т = 3, то (2.8): | ^ї2,^? | =

О2 3В2Т-1

3В2Т-1 3В2 3В2Т-1

165

166

При Ь = О3 +1, то есть Т = 1, получаем двумерную правильную цепную дробь

При Ь = О3 + 3 : ^2 ^2 ^2 л ^2 ^2 . Наконец, если Ь = О3 + 30, то

" О 2О Г 30 V . При і = О3 + О : " О 2О Г 3 3О 3оУ

О2 302 1301 О2 3О [ 3О 3О2 3О J

" О 20 Г О О 3 О 3

О2 О2 102 2 О 2 О 3

О О2

2 О О

1 30

О 302

30

О

(2.9)

В работе Л. Бернштейна [3] приводится разложение такого же вектора, найденное непосредственно с помощью алгоритма Якоби:

О О2 +1

О -10 0

О 1 О

2 О -1

3О2 + 3

О -10 1

О 1 О -1

(2.10)

Сравним эти двумерные дроби при О = 2, то есть разлагая (^196, ^14). Разложение (2.10) примет вид

21003 1 0 1 3

5212 15 2 1 1 15

0 1 5 11 12 29 482 1005 1034 2521 41922

1 0 2 5 5 12 200 417 429 1046 17394

0 0 1 2 2 5 83 173 178 434 7217

Три последних строки — координаты подходящих векторов-столбцов. Разложение (2.9) при О = 2 будет иметь вид

24166 1 6 6

4 2 2 12 2 2 12 2

0 1 4 12 29 424 1034 2521 36880 89920

1 0 2 5 12 176 429 1046 15302 37309

0 0 1 2 5 73 178 434 6349 15480

Некоторые подходящие векторы этих двух различных разложений совпадают. Это, по-видимому, будет иметь место и в более общем случае. Просто доказать, что 293 +14 • 123 +196 • 53 - 3 • 14 • 29 • 12 • 5 = 1, то есть є = 29 +12^14 + 5^196 — один из единичных элементов кольца 0[Ш], а є-1 = 1 + 2^14 - ^196. Легко проверить, что є-1 — основная единица.

Б) Вот трехмерная цепная дробь, получающаяся из (2.8) при т = 4:

" О 2 О 30 ' 40Т-1 40 40 40 ^

О2 3 2 6 о2т -1 6 О2 Т-1 6 2 6 2 602Т -1

О3 4 О 3Т-1 4 О 3Т-1 4 О 3Т-1 \ 4 О3 403Т-1 403Т-1 У

(№ ,#" )

Отсюда имеем несколько правильных трехмерных цепных дробей.

" В 2 В 3 В г 4 В >

При і = О4 +1: В2 3В2 6 В2 6 В2

В3 4 В3 4 В3 ч 4 В 3 У

При t = D4 + 2 :

При t = D4 + D:

D D2 D3

D

D2

D3

При t = D4 + 2D :

2 D

3D2 2D3

2 D

3D2 4 D2

D 2 D

D2 3D2

D3 2 D2

Г 2 D 3D2 2D3

Г 4 6 D 4D2

\

3D Г 2 3D 2 D2

3D

3D2

2D3

3D 6D 4D2

4D 6D2 4D3

4D 6D2 4D3

4D 3D 6D2 2D2 4D3

4D

6D2

2D3

4D 6D2 4 D2

4D ^ 3D2 2 D3

4 D ^ 6D 4D2

4D 4D ^

6D2 3D

2 D2 2 D2

Аналоги подобных разложений автору пока неизвестны. В дальнейшем автор найдет единичные элементы колец O \mt J с помощью

разложений (2.6) и (2.8) и в более общем случае попытается применить эти разложения к решению диофантовых уравнений, к которым сводится задача представления целого рационального числа разложимыми формами.

Список литературы

1. Jacobi C. G. J. Allgemeine Theorie der Kettenbruchanlichen Algorithmen, in welchen jede Zahl aus drei Vorhergehenden gebildet wird // J. reine und angew. Math. 1868. Vol. 69. P. 29 - 64.

2. Bernstein L. Periodical continued fractions for irrationals of degree n by Jacobi's algorithm // Ibid. 1963. Vol. 213, N 1-2. P. 31-38.

3. Bernstein L. Periodical of Jacobi's algorithm for a special type of cubic irrationals // Ibid. 1964. Vol. 213, N 3-4. P. 137-146.

4. Bernstein L. The Jacobi-Perron algorithm // 1st Theory and application. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 207, N 1-4. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. P. 1-160.

5. Bernstein L. Units from periodic Jacobi-Perron algorithms in algebraic number fields of degree n > 2 // Manuscripta math. 1974. Vol. 14, N. 3. P. 249-261.

6. Bernstein L. Units and periodic Jacobi-Perron algorithms in real algebraic number fields of degree 3 // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 212, N 485. P. 295-306.

7. Bernstein L. Der Hasse-Bernsteinsche Einheitensatz fur den verallgemeinerten Jacobi-Perron Algorithmus / / Abh. math. Semin. Univ. Hamburg, 1975. 43. P. 11-20.

8. Perron O. Der Jacobische Kettenalgorithmus in einem kubischen Zahlenkorper // Sitzungsber. Bauer. Acad. Wiss. Math. Naturwiss. Kl. 1972. T. 1. P. 13-49 ; 1973. T. 2. P. 9-22.

9. Perron O. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorith-mus // Math. Ann. 1907. 64. P. 1-76.

10. Brignon M. P. Sur une generalisation de la notion de fraction continue // Compies rendus Acad. Sc. Paris, 1972. Vol. 214, N 4. P. A292-A295.

11. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., 1956.

12. Ауслендер Г. О разложении функций в ряды и непрерывные дроби // Выч. мат. и матем. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 565-568.

13. Шурыгин В. К. Об одном алгоритме разложения в многомерную цепную дробь. Калининград, 1996. Деп. в ВИНИТИ 05.05.96, N 1463-B96.

14. Шурыгин В. К. К разложению кубических иррациональностей в двумерные цепные дроби. Калининград, 1996. Деп. в ВИНИТИ 22.11.96, N 3396-B96.

167

15. Шурыгин В. К. Единицы порядков полей вида Q(^D) // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. Вып. 10. С. 110-112.

Об авторе

Виктор Константинович Шурыгин - доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: shuryginvictor@yandex.ru

About the author

Victor Shurygin - Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: shuryginvictor@yandex.ru