О развитии алгоритма Якоби-Перрона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.6

О развитии алгоритма Якоби-Перрона

Э.Т. Аванесов, В. А. Гусев, Н.П. Хариш, кандидаты физ.-мат. наук

Рассматривается аналог алгоритма Якоби-Перрона, называемый алгоритмом ближайшего целого, который позволяет эффективно решать задачу нахождения основных единиц алгебраических полей.

Ключевые слова: многомерные цепные дроби, алгоритм Якоби-Перрона, кубические поля.

On Development of The Jacobi-Perron Algorithm

E.T. Avanesov, N.P. Kharish, V.A. Gusev, Candidates of Physics and Mathematics

The authors consider an analogue of the Jacobi-Perron algorithm called the nearest integer algorithm which allows to solve the problem of calculating the basic units of algebraic fields.

Key words: cubic field, basic units, algorithm, periodic dissection.

В настоящее время проявляется интерес к цепным дробям и их многочисленным применениям.

Алгоритмы многомерных цепных дробей являются, в некотором смысле слова, обобщениями хорошо известного алгоритма Евклида. Применение этих алгоритмов в теории алгебраических полей позволяет решать задачи нахождения ОНД целых элементов поля и определения единиц.

В случае п = 2 известна теорема Лагранжа о периодичности разложения вещественных чисел в непрерывную дробь. Для кубических полей Якоби [1] построил алгоритм как обобщение алгоритма Евклида. Работы Якоби продолжил Перрон, обобщивший результаты Якоби. Перрон [2] изучил сходимость алгоритма,

ввел понятие характеристического уравнения, исследовал вопрос о его приводимости, в том числе, при периодичности.

В большинстве работ по алгоритму Якоби-Перрона, его развитию и применениям рассматриваются чисто кубические поля. Известны [3 - 5] следующие предложения:

Теорема 1. Не существует натуральных т , т ф а3, а е N, таких, что алгоритм Якоби-Перрона для пары вещественных чисел

чисто периодический.

Теорема 2. Для того, чтобы алгоритм Якоби-Перрона вещественных чисел

(т,3^2), т є N , был периодическим с пред-

периодом длины 2 и периодом длины 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение т = О3 +1.

Из этого следует, например, что основная единица чисто кубического поля

К (т), т ф 28 , будет є = -т + Зт .

По аналогии исследованы и классы чисто

m = D3d3 + D, D3 ± d, D3 ± 3d ,

основную единицу вида E =

порождающие

3 т - й т - й3 .

Теорема 3. Пусть а, к - ненулевые целые числа, а - нечетно,

-.2 1„2,Л ЛМ„2,,2 0\ Тогда элемент

m = a

'\a2k3 - 1)(a2k2 - 2

).

23m2 - единица чисто

1 - 3к (в2к3 -1) 3т + 3к

кубического поля К(т), а при в < 1, к > 0

эта единица будет основной.

Теорема 4. Пусть V - натуральное

число, т = (V3 +1) (V3 + 2). Тогда

Е = 1 - 3V (V2 +1) Зт + 3V 2^т^ является основной единицей поля К(т).

Очевидно, на таком пути можно получить основные единицы новых классов чисто кубических полей.

Развитием алгоритма Якоби-Перрона может служить его аналог, называемый алгоритмом ближайшего целого числа.

Пусть X - вещественное число, по известной схеме строим непрерывную дробь, полагая

Фо = х, Яо = {ф0}>

1

ф,+1 = ■

фі - q-,

, q,+1 = b+1b i = ^Д..^n;

кубических

полей

k (зт),

где X = {д0,д1,...,дп-1,фп}; символ {а} означает ближайшее целое число к числу а, т. е. такое целое число, что |а - {а} < 0,5, и далее

I Ак+1 = <^к+1 ■ Ак - Ак-1,

[бк+1 = Як+1 ■ Вк - Вк-1,

А-2 = 0, А-1 = 1, В-2 = -1, В-1 = 0; к = -1,0,1,2,...

Этот аналог алгоритма Якоби-Перрона, называемый алгоритмом ближайшего целого числа, применим и к чисто кубическим полям. Его достоинство - более быстрый

по времени по сравнению с другими известными методами.

С помощью алгоритма Якоби-Перрона можно получить приближения вещественных чисел в виде подходящих дробей, числители и знаменатели которых выражаются рекуррентно линейной комбинацией соответственно числителей и знаменателей предшествующих подходящих дробей.

Приведем вычислительную процедуру, предлагающую целочисленное выполнение всех видов расчетов. Для чисто кубических полей она определена следующими формулами:

Гк+1 = (Ак - Скйк ^к1,

&к+1 = (йк3т - АкСк)ОкЛ

Нк+1 = (С2 - Акйк )0-1, " Вк+1 = (ЕкГк+1 + &кНк+13т + Нк^к+13т^)ОкЛ Ск+1 = (Ек^к+1 + &кГк+1 + НкНк+13т )ОкЛ йк+1 = (ЕкНк+1 + ^к^к+1 + НкГк+1)ОкЛ

Ок+1 = (АкГк+1 + СкНк+1^т + Оквк+13т2 )0,1, где а- = Вк - ак^Ок; е- = Г- -ак2@к и далее

аk,i =Pk,iУ Л j = 1,2;

Рк+1,1 = Рк,2 -ак,2У к,

Рк+1,2 = У к ;

Ук+1 = Рк,1 - ак,і У к, ^к = ІУогтук,

Ок1 = Вк + Ск Зт + Ок 3т2,

Ф к,1 = Ак + Ск Зт + Ок 3 т2,

<Зк2 = Гк + 6к Зт + Ок 3т2,

Ф к ,2 = Ек + бк Зт + Нк ^т2.

Пример. Если

т = 71, а01 = 371, а02 = ^Л2,

то алгоритм ближайшего целого числа приводит к следующему выводу: основная единица чисто кубического поля К (371) равна є = 1788355606552816482 + +431884645684316172371+

+104299361097609542537ї2.

Алгоритм Якоби-Перрона оставляет открытым центральный вопрос теории - описание множества чисел с периодическим разложением. Применительно к кубическим полям существуют такие элементы а1 и а2, что их разложение по алгоритму Якоби-Перрона - периодическое, а элементы {1, а1, а2} составляют базис поля.

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема 5. Во всяком поле К порядка n + 1 существует бесчисленное множество линейно-независимых наборов (a1, а2,..., an) таких, что их разложение по алгоритму Якоби-Перрона чисто периодическое, и при этом элементы 1,a1,a2,...,an составляют базис поля К.

Тем самым задается следующий алгоритм.

Пусть К - алгебраическое числовое поле порядка n + 1, где

f (x) = xn+1 - Cnxn +

+Cn-1xn-1 -... + (-1)nC1x + (-1)n+1 = 0 - характеристическое уравнение, далее aj e Z, aj > 0, an > max(a1,a2,...,an-1),

Cn =(n + 4 + 1 ak,

4"+M: --1r-k

Разложение корня уравнения f(x) = 0 по алгоритму Якоби-Перрона чисто периодическое с длиной периода n + 1. Тем самым задается следующий алгоритм.

Шаг 1. Произвольным образом подбирается некоторая единица е поля К.

Шаг 2. С помощью преобразования Чирнгаузена находится для е минимальный многочлен, а значит, вычисляются коэффициенты Ci (i = 1,2,..., n).

Шаг 3. Рассматривая (*) как треугольную систему уравнений, решаем ее относительно неизвестных ai (i = 1,2,..., n).

Шаг 4. Определяем базисные элементы a,- (i = 1,2,..., n).

Шаг 5. Выписываем искомое решение.

Список литературы

1. Jacobi C. Allgemeine Theorie der ketten-bruchahnlichen Algorithmen, in welche jede Zahl aus drei vorhergeh enden gebildet wird // J. reine angew. Math. - 1868. - T.9. - С. 29-64.

2. Perron O. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus // Math. An-nalen. - 1907. - T.64. - С. 1-64.

3. Bouhamza M. Algorithme de Jacobi-Perron dans les corps de nombres de degree 3 // Bull.Sci.Math.(2 Serie). - 1964. - T.108. - №1. -С. 101-111.

4. Bernstein L. The Jacobi-Perron algorithm: its Theory and Application. - Berlin: Springer Verlag, 1971. - С. 1-153.

5. Elsner L., Hasse H. Numerische Ergeb-nisse zum Jacobischen Kettenbruchalgorithmus in rein-kubischen Zahlkorpern // Math. Nachrichten. -1967. - T.34. - С. 95-97.

і*)

ak; i = 1,2,..., n-1.

Аванесов Эдуард Тигранович,

Пятигорский государственный технологический университет,

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики,

Гусев Владимир Алексеевич,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина»

кандидат физико-математических наук, профессор,

зам. декана факультета информатики и вычислительной техники,

e-mail: [email protected]

Хариш Неллия Петровна,

Пятигорский государственный технологический университет, кандидат физико-математических наук кафедры высшей математики,