CC BY
13
110
УДК 511.138
В. К. Шурыгин ЕДИНИЦЫ ПОРЯДКОВ ПОЛЕЙ ВИДА Q(3D)
Приведен алгоритм нахождения единиц полей кубических иррациональностей, основанный на итерационном процессе.
The article has the algorithm of finding units of cubic irrationalities fields based on iterative process.
Ключевые слова: поле алгебраических иррациональностей, модуль поля, единицы модуля поля, циклическая группа.
Key words: algebraic irrationalities fields, module of field, units of module of field, cyclic group.
В работе автора [1, с. 6] показано, что итерационный процесс
fa cD bD f 1 ^
An = 5An_j, n = 0,1,2, ... с матрицей 5 = b a cD = и 0 , где D
a b О 10 V
фиксированное рациональное число, такое, что — кубическая ир-
рациональность; а, Ь, с — вообще говоря, произвольные рациональные
( Р. л
числа, приводит к последовательности подходящих векторов An =
Qn
yRny
периодической двумерной цепной дроби общего вида с однозвенным
f д ^
3 (bcD - a2)
3a ,
периодом
, где Д = det 5 . Эта цепная дробь сходится к не-
Pn
I-*™ Qn
полному стандартному базису поля Q(ro): lim-^ = ю , lim—— = ю, ю = D.
n^<x> R n^<x> R
——
Q(o) — расширение поля рациональных чисел, оно образовано из поля Q рациональных чисел присоединением к нему иррациональности ю. Кроме отмеченной выше рекурсии можно рассмотреть еще две:
B =5■ B -,, C =5• C -,, где B =
n n-1 ' n n-1r^ n
f DRn ^ f DQn
Pn = n u DRn , P-1 = 1, Q-! = R-!
V Qn V V Pn V
Таким образом, имеет место Мп = 5Мп_1, Мп = Если далее М0 = I — единичная 3 х 3 матрица, то
f Pn DRn DQn ^ Qn Pn DRn
Rn Qn Pn
Mn = 5n+1, n = 0,1,2...
(1)
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2011. Вып. 10. С. 110 — 112.
Совокупность матриц Мп, п е Ъ образует циклическую мультипликативную группу, в которой образующий элемент 5 или 8"1.
Заметим, что в О(ю) вводится норма — функция № О(ю) ^ О, которая для всякого ц = а + Ью + сю2 е О(ю), согласно Делоне [2, с. 273], определяется соотношением N(ц) = (а + Ью + сю2)(а + Ью| + сю2|2)(а + Ью|2 + сю2|), где 2га
§ = exp ^“3"J — первообразный кубический корень из единицы. Легко
проверить, что N(|a) = Д = a3 + Db3 + D2c3 - 3Dabc .
Из выражения (1) запишем det Mn =Дп+1, то есть
Pn3 + DQJ3 + D2 ^,3 - 3DPnQnR = Дп+1.
Если теперь n +1 = 3k, то вследствие полной мультипликативности
нормы
L3k-1 I + DІ | + d2 I I _3D "3к-1
+d2
R3
То есть если
дк ) у дк
Р3 к-1 Q3 к -1 R3 к-1
дк ' дк ' дк '
Q3 к-1 If R:
= 1.
дк )У дк )У дк
целые рациональные числа, то
„ _ Р3к-1 , Q3к-1 „ , R3к-1 „2
Є = -----;----1-----;---Ю +-------;--Ю
единица порядка поля Q(ro). Такой же ре-
дк дк дк
зультат получается, если двумерную цепную дробь общего вида, полученную в работе [1, с. 10], с помощью тождественного преобразования [1, с. 5] удается привести к виду правильной. Например, если
! = p2, b = p, c = 1, то (ю2, ю) =
T
3 pT
v3P2y
, T = D-p3 [1, c. 10].
р 2 рТ
р2 3р2
Применение тождественного преобразования позволяет записать эту дробь в виде обыкновенной
р 2р (3рш 3р 3р р2 3р2ш ^3р2ш 3р2 3р2ш
(2)
где ш = 1/Т. Такое же разложение приведено у Бернштейна [3, с. 33]. Цепная дробь (2) оказывается правильной, если 3рш — целое рациональное, то есть Т |3р . Используя рекуррентные соотношения, имеющие место для элементов подходящих дробей обыкновенной двумерной, вычисляем Р2 = 9р6 ш2 + 9р3ш +1, О2 = 9р5 ш2 + 6р2 ш, _К2 = 9р4ш2 + 3рш. Находим, что д = р6 + Ор3 + О2 - 3Ор3 =(р3 - О)2, Р23 + Щ3 + О2Я23 - 3ОРДЯ2 = 1, е = (р6 ш2 + 9р3ш +1) + (р5 ш2 + 6р2 ш)+( 9р4ш2 + 3рш)ю2 — единица в
О(ю), даже единица порядка поля О(ю), если е — алгебраическое целое.
Похожий результат получается и из следующих рассуждений. Пусть опять ц = а + Ью+ сю2, а уе О (ю), причем ц-у = Д, Д = N (ц).
Тогда N (ц•у)= Д3, N (ц)- N (у) = Д3, N (у) = Д2.
Поскольку норма вполне мультипликативна, то при любом к е Ъ ц3к -у3к = Д3к, N(ц3к)• Щу3к) = Д9к, Мц3к) = Д3к, N(у3к) = Д6к.
111
112
IV1 ^ fv31
Из двух последних соотношений имеем N 1"ДГ | = 1, NI Д2Т |= 1.
Следовательно, при всяком целом рациональном к е=цДк", Л=Дк—
два единичных элемента в Q(ro), причем л =е-1.
Компоненты е и "л зависят от четырех параметров — a, b, с, к, и подобрать эти параметры так, чтобы е и л были алгебраическими целыми, трудно. Однако если положить a = p2, b = p, с = 1, то несложно подсчитать несколько степеней ц и v. При тех же обозначениях, что и выше, находим
ц = p2 + рю + ю2, v = T(-p + ю), ц2 = (3p4 + 2pT) + (3p3 + T)ю + 3p2ю2, v2 = T2(-p + ю)2 = T2(p2 -2pa+a2), v3 = T3(-p + ю)3 = T3(T + 3p2ю-3pю2), ц3 = (9p6 + 9p3T + T2) + (9p5 + 6p2T )ю + (9p4 + 3pT )ю2.
3
Отсюда е = — = (9p6m2 + 9p3m +1) + (9p5 + 6p2m)ю + (9p4 + 3pm)ю2, Д
3
е-1 = — = (-p + ю)3 m = 1 + 3p2тю - 3pmю2.
То есть если T|3p, то е и е-1 — две единицы порядка. Более того,
-1 -1 (ю- p)3
е можно придать вид е = —3—-гг.
ю - p
В работе [4, с. 132] Бернштейн утверждает, что в случае целочислен-ности е-1 — основная единица порядка в Q(<b).
Список литературы
1. Шурыгин В. К. К разложению кубических иррациональностей в двумерные цепные дроби. Калининград, 1996. Деп. в ВИНИТИ 22.11.96, №3396-В96.
2. Делоне Б. Н. Решение неопределенного уравнения x3q + y3 = 1 // Известия российской Академии наук. 1922. Т. 6, 16. С. 273 — 280.
3. Bernstein L. Periodical continued fractions for irrationals of degree n by Jacobi's algorithm // J. reine und angew. Math. 1963. Vol. 213, № 1—2. P. 31 — 38.
4. Bernstein L. On units and fundamental units // Ibid. 1972. Vol. 257. P. 129 — 145.
Об авторе
Виктор Константинович Шурыгин — доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: [email protected].
Author
Viktor Shurygin — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: [email protected].
