CC BY
100
УДК 517.524
В.И. Шмойлов
научный сотрудник, Научно исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Ростов-на-Дону E-mail: Shmoylov40@at. infotectt. ru
В. В. Селянкин
старший научный сотрудник, канд. техн. наук, Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Ростов-на-Дону E-mail: selyankin@tgn. sfedu.ru
Г.А. Кириченко
аспирант,
Инженерно-технологическая академия, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
г. Ростов-на-Дону E-mail: vt_gak@mail.ru
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КОНЕЧНЫМИ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
Аннотация. Предлагается алгоритм представления рациональных чисел конечными цепными дробями, отличающийся от алгоритма Евклида. Алгоритм основывается на преобразовании рядов в так называемые соответствующие цепные дроби. Приводятся примеры разложения рациональных чисел в конечные цепные дроби при помощи этого алгоритма. Устанавливается расходящийся ряд, суммирование которого приводит к цепной дроби Фибоначчи. Рассмотрен пример суммирования расходящихся рядов при помощи r/j-алгоритма.
Ключевые слова: соответствующие цепные дроби, алгоритм Евклида, расходящиеся ряды, числа Фибоначчи.
V.I. Shmoylov, Southern Federal University, Rostov-on-Don
V.V. Selyankin, Southern Federal University, Rostov-on-Don
G.A. Kirichenko, Southern Federal University, Rostov-on-Don
ON ONE ALGORITHM FOR REPRESENTING RATIONAL NUMBERS OF FINITE CONTINUED FRACTIONS
Abstract. The algorithm representation of rational numbers by terminating continued fractions, characterized by the Euclidean algorithm. The algorithm is based on the conversion of the series in the so-called corresponding continued fractions. The examples of the expansion of rational numbers in the finite continued fraction with this algorithm. Set a divergent series whose summation leads to a chain Fibonacci fractions. An example of summation of divergent series using r/j-algorithm.
Keywords: corresponding to continued fractions, divergent series, Euclidean algorithm, Fibonacci numbers. Введение
Алгоритм Евклида позволяет записывать рациональные числа a/b цепными дробями вида:
a 1 /„n
Т = 9о +-S-■ (1)
b „ . 1_
1
1
^ + Ц!
q + 1
q2 +... +-
где qi - целые положительные числа.
Рациональное число представляется алгоритмом Евклида конечной цепной дробью, причём, запись рациональных чисел в виде цепной дроби (1) с последним элементом дп > 1 единственная [1]. Рациональные числа можно, однако, представить конечными цепными дробями алгоритмом, который отличается от классического алгоритма Евклида. Этот алгоритм связан с построением, так называемых, соответствующих цепных дробей, которые часто именуются как С-дроби.
Если цепные дроби (1), которые называют арифметическими или правильными, применяются прежде всего в теории чисел [2; 3], то С-дроби широко используются в математическом анализе и в вычислительной математике [4-7]. Известно немалое число алгоритмов построения соответствующих цепных дробей: формулы Хейлерманна-Стилтьеса, Тиле и другие [8]. Рассмотрим алгоритм построения соответствующих цепных дробей, который называют «методом деления рядов» [9]. Этот алгоритм позволяет наиболее просто изложить суть вопроса. 1. Построение соответствующих цепных дробей делением рядов Получим разложение в конечные цепные дроби рациональных чисел а/Ь, исходя из преобразования рядов в так называемые соответствующие дроби, которые обычно определяются следующим образом.
Если для степенного ряда
построена цепная дробь
9 ^
а0 + а1х + а2 х + а3 х3 +.
юлх (о2 х (3 х
(2п-1Х (2пХ
(2)
(3)
1 - 1 + 1 -... + 1 - 1 +... такая, что разложение п-й подходящей дроби совпадает с исходным степенным рядом (2) до члена спхп включительно, то есть
Р (х)
п = +а0 + а.х + а2 х2 +... + апхп + у„+1хп+1 +..., (4)
Оп (х) 0 1 2 п
то цепная дробь (3) называется соответствующей степенному ряду (2). Рассмотрим алгоритм построения соответствующих цепных дробей, который имеет некоторое сходство с алгоритмом Евклида.
Пусть функция представлена в виде степенного ряда
^х) = а0 + а1х + а2х2 + а3х3 +
+ апх + ... .
(5)
Запишем ряд (5) следующим образом:
^х) = ао + а1хг1
и найдём 21.
г (х) - а° = 1 + ^ х + % х2 + ^ х3 +.
п-1 „п-2
+ ... ,
или
где
г1 = 1 + Ь1х + Ь2х + Ь3х +
Ь = ^ Ь = ^
Ь = ^ и3 _ >
+ Ьп_1хп-1 +
Ь = ^
Определим г'= 1/г.
гу =
1 + Ь1 х + Ь2 х + Ь3 х + .
= 1 -сх + сл -с,х + слх -.
(6)
где
Ст = Ь1Ст-1 - Ь2Ст-2 + Ь3Ст-3 - Ь4Ст-4 + ...,
с0 = 1.
Запишем значения первых коэффициентов с,.
п
+апх +...
г1 =
+
а1 х
а
а
а
а
а
а
а
а
1
с1 = b1
c2 = ftf - b2
C3 = b3 - 2bb + Ьз
c4 = b4 - 3bfb2 + 2b1b3 - b4 + b22
Далее представим выражение (6) следующим образом:
z1 = 1 - c1xz2'
где
LA = 1 -Ах + Ах^ -Ax3 +.
z2 = 1 - d1x + d 2x2 - d 3x3 + d 4x4 - ...,
d1 = d2 = d3 = d4 =
Определим z2.
1 1
z 2 = — =-2-3-= 1 + e1x + e2 x2 + e3 x3 +... = 1 + e1xz3
z2 1 - d1x + d2 x2 - d3 x3 + Таким образом, получим следующие соотношения:
f (x) = а0 + a1xz1, z1 = 1 - c1xz2, z2 = 1+w,
Заменим коэффициенты a0, а1, с1, e1, ... через (, (o1, (, (, ... . Так как zn = 1/z'n, перепишем эти равенства следующим образом:
,. (x
f (x) = ( + (1xz1 = w0 + —
z1
' ^ и (x
z1 = 1 - w2 xz2 = 1--2r-,
z2
' И И (x
z2 = 1 + (3 xz3 = 1 + -^r-,
Исключая г\ , г'2 , г' ,..., получим соответствующую цепную дробь (3). Определим коэффициенты цепной дроби (3) через коэффициенты исходного ряда (2).
к а2
оо = ао, 0)1 = а1, ®2 = С = Ь1 = —,
а1
^ Ь2 - Ьп
)3 = «1 " "
С b1
(3 = e1 = d1, d = ^= - 1 2
Следовательно, a>3 =
2
a2 - a1a3
Аналогично определяются следующие коэффициенты цепной дроби (3):
( = a1(a-2 - a2a4) a2(a2 - a1a4)
z2 =
c1x
c1 c1
c1
а2 а а2 - а^) + а4 (а1а4 - а2а3) + а3 а2 - а2а4)] (а2 - а1а3)(аз - а2а4)
( =
(а22 - а^) [аб (а32 - а2а4) + а5 (а2а5 - а3а4) + а4 (а? - а3а5)] а2 - а2а4) [а5 (а22 - а^) + а4 (а1а4 - а2а3) + а3 (а32 - а2а4)] '
Формулы Хейлерманна-Стильтьеса [10], устанавливающие коэффициенты « цепной дроби (2) по коэффициентами а, исходного степенного ряда (2), имеют вид:
( =
Рп-Уп+1 РпУп
«„+•, = -
Рп+Уп
(рп¥п+1
(7)
где рп и уп - определители Ганкеля
Уп =
(8)
Р0 = 1 У = 1.
Используя формулы (7) и (8), запишем несколько первых коэффициентов « соответствующей цепной дроби:
а2
«0 = а0, «1 = а, « =
(3 =■
« =
а1(аз - а2а4) а2(а2 - а1а3)
а2[(а2(а22 -а^) + а4(а1 а4 -а2а3) + а3(а32 -а2а4))]
(а2 - а1а3)(а3 - а2а4)
Как видим, формулы Хейлерманна-Стилтьеса дают те же коэффициенты соответствующей цепной дроби (3) для степенного ряда (2), что и «метод деления рядов».
Если положить в (2) и (3) х= 1, то используя формулы (7) и (8), получим разложение числовых рядов
а0 + а1 + а2 + а3 +... + ап +...
в цепные дроби вида:
1 - 1 + 1 -... + 1 - 1 +... Легко заметить, что «явные» формулы (7) и (8) преобразования рядов в соответствующе цепные дроби мало пригодны в практическом плане, так как требуют вычисления определителей матриц Ганкеля высоких порядков. Известны эффективные рекуррентные формулы нахождения коэффициентов « соответствующих цепных дробей по коэффициентам а, исходных рядов, в частности, алгоритмы Висковатова, Хлопонина и Рутисхаузера [11]. 2. Рекуррентный алгоритм Рутисхаузера В алгоритме Рутисхаузера для ряда
а00 + а10 х + аХ1х2 + а12 х3 +... + а1п-1хп +... (9)
коэффициенты а/0 соответствующей цепной дроби
00 1 - 1 + 1 -находятся по рекуррентным формулам [12]:
1 + 1 -... - 1
1 -.
(10)
а
а
а
а
а
а
2
2
3
п
п
а
а
а
а
а
а
2
3
3
4
аа
п п -1
а
аа
п п -1
а
2п-1
2п-2
а
2
а2 - а1а3
а1 ' а2
«2п-1 «2п
0 х а^2 0 х а3 0 х а4 0 х а5 0 х
а2 0х а2п+1,0х
+
а,
«2,„ ■ «1,у
а3у _ -а2,у+1 + а2,ч ,
а _ а2у+1 ' аз,у+1 «4,Ч _ ,
(11)
а
а3у+1 «4,ч+1 + «4У ,
а
_ '2п-2у+1 «2-1,у+1 а2п-1у
1/ + 1 п I/
а,
Элемент схемы алгоритма Рутисхаузера определяется по формулам (11) за две операции. При нахождении элемента нечётной строки нужна операция сложения и операция вычитания, а при нахождении элемента чётной строки используется операция умножения и операция деления. Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (11), показана на рис.1.
Рисунок 1 - Схема алгоритма Рутисхаузера Найдём по формулам (11) несколько первых коэффициентов а0 соответствующей цепной дроби (10). Сравнивая (9) и (10), соответственно, с выражениями (2) и (3), можно записать:
Используя рекуррентные формулы (11), получим:
а00 _ (0 _ а0, «10 _ ( _ Ц,
а^20 0^2 ,
(12)
а3 а2 а2 — а1а3 «^3 0 (О3 «21 + ««2 0 I
а а а.,а0
Так как
а,
ап _«1,п-1 и ( _ «П,0 .
а10 а1
а21а31
2 2 «21 = 1 «30 = 1 «31 =
то подставляя эти значения в (12), имеем
а1(аз ~ а2а4) а2(а2 - а1а3)
Аналогично установим значение коэффициента «0:
«0 = О = «31 - «11 + «40-
После подстановки получим:
« = о =
а2 [а5 (а22 - а1а3) + а4 (а1а4 - а2а3) + а3 (а32 - а2а4)]
(а2 - а1а3)(а3 - а2а4)
Таким образом, рекуррентный алгоритм Рутисхаузера дает те же коэффициенты для соответствующей цепной дроби, которые получены «методом деления рядов» и по формулам Хейлерманна-Стилтьеса.
3. Представление рациональных чисел конечными цепными дробями
Запишем рациональное число а/Ь, где Ь > а, в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Не теряя общности, будем полагать, что имеет место чисто периодическая десятичная дробь:
а = п
Ь - и>а1,а2,---,а*,а1,а2,---,аА,а1,---,
которую представим в виде ряда
а а1 а2 ак а1 а2 ак а1
- = — +—V + --- +т +—гг +—+... + +—+... - (13)
Ь 10 102 10" 10"+1 10"+2 102к 102к+1
Построим для ряда (13) соответствующую цепную дробь по рекуррентному алгоритму Рутисхаузера, то есть по формулам (11).
Запишем ряд (13) в виде:
«10 +«11 +«12 +«13 +... + «1п +... .
По формулам (11) найдём коэффициенты « соответствующей цепной дроби
«10 «20 «30 «40 «2п,0 «2п +1,0 (ц)
1 - 1 + 1 - 1 +... + 1 - 1 +...'
Так как исходная бесконечная десятичная дробь периодическая и представляет рациональное число а/Ь, то соответствующая цепная дробь (14) будет конечной. В этом есть сходство с представлением рациональных чисел конечными цепными дробями, получаемыми по алгоритму Евклида. В качестве примера найдём конечную цепную дробь для отношения соседних чисел Фибоначчи Я7 /Я6. Числа Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению:
Я = Яп-1 + Яп-2, Я = 1, Я = 1.
Таким образом, числа Фибоначчи составляют последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .
Числа Фибоначчи имеют замечательную особенность, а именно, отношение соседних чисел Фибоначчи Яп /Яп-1 по алгоритму Евклида представляется правильной цепной дробью, то есть цепной дробью вида (1), которая имеет все частные знаменатели д,, равными единице:
Яп = 1 + 1 1 1 Яп-1 ++ 1 +1 +... +1.
п звеньев
В таблице 1 приведены коэффициенты 0, соответствующей цепной дроби, полученные
алгоритмом Рутисхаузера из представления рационального числа 21/13 рядом (15).
F7 21 _
" 13 _
21 13 _ 1 + — 10 1 +102
5 3 8 4 6
+ —- +—- +—- +—т + —... . (15)
103 104 105 106 107
Таблица 1 - Коэффициенты w соответствующей ряду (15) цепной дроби
Номер звена, n Коэффициенты цепной дроби, Wn Значения подходящих дробей, Pn/Qn
0 1,0 1,0
1 0,6 1,6
2 0,016666666667... 1,610169491525.
3 -0,483333333333... 1,62
4 -0,455172413793. 1,615356622998.
5 0,013009404388. 1,615388280133.
6 -0,096878422782. 1,615385501503.
7 -0,301125814734. 1,615384449150.
8 -0,136065573770. 1,615384615384.
9 -0,176e-1505 1,615384615384.
Можно записать конечную цепную дробь, в которую раскладывается рациональное число, заданное отношением чисел Фибоначчи Р7 / Р6 :
Я 21 . 0,6 0,0166... 0,4833... 0,4551... 0,0130... 0,0968... 0,3011... 0,1360... ....
— =-= 1 + —- —- —- —- —- —- —- . (1 6)
Р6 13 1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1
Здесь следует сделать одно замечание. В колонке 2 таблицы 1 коэффициенты а соответствующей цепной дроби даны в виде бесконечных десятичных дробей, хотя, как то следуют из формул Хейлерманна-Стилтьеса (7) и (8) или формул Рутисхаузера (11), эти коэффициенты конечной цепной дроби (14) записываются отношением целых чисел и после эквивалентных преобразований цепная дробь (16) может быть приведёна к виду:
ь+а а- а8, (17)
Ь1 + Ь2 +... + Ь8
где аI и Ь, - целые числа, причём, эти элементы звеньев цепной дроби могут быть как положительными, так и отрицательными.
Аналогичным приёмом, то есть построением соответствующих цепных дробей через ряды, можно построить конечные цепные дроби для простейших дробей вида 1/д, где д - целое число. Очевидно, что дробь 1/д разложить в цепные дроби, используя алгоритм Евклида, нельзя.
В качестве примера рассмотрим разложение числа 1/7 в цепную дробь.
1
- = 0,1428571428571... = 0,(142857).
1 1 4 2 8 5 7 1
— = — + —т +—т +—т + —г +—г + —7 +.... (18)
7 10 102 103 104 105 106 107
В таблице 2 приведены коэффициенты а соответствующей ряду (18) конечной цепной дроби, полученной с использование алгоритма Рутисхаузера.
Так как девятый коэффициент цепной дроби близок к нулю, то имеем конечную цепную дробь, представляющую число 1/7:
1 = 01 04 0,35 0,05 0,01428... 0,91428... 1,00546... 0,00546...
7 = 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 .
Возвращаясь к замечанию, сделанному к цепной дроби (16), отметим, что конечная цепная дробь (19) для числа 1/7 может быть преобразована к цепной дроби с целочисленными элементами.
Таблица 2 - Коэффициенты о соответствующей ряду (18) конечной цепной дроби, полученной с использование алгоритма Рутисхаузера
Номер звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих
п Оп дробей, Рг/Оп
1 0.1 0.1
2 0.4 0.166666666666.
3 0.35 0.142105263157.
4 -0.05 0.142857142857.
5 -0.014285714. 0.142867701404.
6 -0.914285714. 0.142862621768.
7 -1.00546875. 0.142857080206.
8 -0.00546875. 0.142857142857.
9 0.514е-1505 0.142857142857.
Полученные конечные цепные дроби (16) и (19) следует рассматривать как частные случаи соответствующих цепных дробей для степенных рядов: 1 + 6х + х2 + 5х3 + 3х4 + 8х5 + 4х6 + 6х1 +... =
„ 6х 0,166...х 4,833...х 4,551 ...х 0,130...х 0,968...х 3,011...х 1,360...х (20)
= 1 + — - - - - - - -.
1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1
х + 4х2 + 2х3 + 8х4 + 5х5 + 7х6 + х1 +... =
х 4х 3,5х 0,5х 0,1428...х 9,1428...х 10,0546...х 0,0546...х (21)
1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ' При х = 10-1 из цепных дробей (20) и (21) получим цепные дроби (16) и (19). Рассматриваемые степенные ряды, очевидно, являются расходящимися при х > 1. Тем не менее, эти расходящиеся ряды при х > 1 могут быть просуммированы, то есть могут быть установлены их значения, через конечные цепные дроби (20) и (21) при х > 1. «Сворачивая» цепные дроби (20) и (21) получим дробно-рациональные функции, для которых могут быть определены нули и полюсы. В частности, конечная цепная дробь (21) имеющая восемь звеньев, после эквивалентных преобразований примет вид:
Р8 (х) = х(с1 + с2 х + с3 х2 + с4 х3) О8 (х) d1 + ^ х + d3 х2 + d4 х3 + d5 х4' Вернемся к цепной дроби Фибоначчи:
Я 11 1 Пт —— = 1 + - - - . (22)
п®¥ Яп-1 1 +1+... +1+...
К цепной дроби Фибоначчи (22) можно прийти не только выполняя по алгоритму Евклида разложение в цепную дробь отношения чисел Фибоначчи Яп /Яп-1 при п ® ¥, но и раскладывая в соответствующую цепную дробь ряд, которым может быть представлен корень квадратного уравнения
х2 - рх - д = 0. (23)
Из формулы бинома Ньютона следует известный ряд, которым представляется корень квадратного уравнения (23):
х, = 2 + £ + , = р + Я _ 4 +- р: + -... + +.... (24)
2 14 р р р р р р
где Сп - числа Каталана.
С0 = 1, С1 = 1, С2 = 2, С3 = 5, С4 = 14, С5 = 42, С6=132, . . Имеется ряд рекуррентных и явных формул для чисел Каталана, например, формула Эйлера [13]:
2 • 6 • 10 •... • (4п -10)
Сп 1 =----, п > 3.
п-1 (п -1)! '
По ряду (24) можно построить соответствующую цепную дробь для корня квадратного уравнения (23):
х=р+№+-=р+--- - (25)
2 V 4 р + р + р +... + р +...
Если в квадратном уравнении (23) положить р = 1 и - =1, то из (24) и (25) получим: 1 + 7б
2
= 1 +1-1 + 2 - 5 +14 - 42 +132 - 429 +... + (-1)пСп +..., (26)
= = 1 +1 1 1 = = 1,618033... , (27)
1 2 1 +1 +... +1+... п®¥ рп-1
где Сп - п-е число Каталана, Еп - п-е число Фибоначчи.
Таким образом, цепную дробь Фибоначчи (27), определяющую корень квадратного уравнения *2 - * -1= 0, можно получить преобразованием в соответствующую цепную дробь расходящегося знакопеременного ряда (26), составленного из чисел Каталана. Корень квадратного уравнения
х2 - рх + д = 0 (28)
может быть представлен рядом
х = р + р - д = р - - - -2 - 2-3 - 5-4 -14-5 - 42-6 - 132д7 - 429-8 - (29) Х1 = 2 1 4 - =р р р3 р5 р7 р9 р11 р13 р15 ■ (29)
По ряду (29) определим соответствующую цепную дробь:
Х1 = р + № - - = р - " - (3°)
2 \ 4 р-р-р-•••-р.
Запишем ряд и соответствующую цепную дробь, которой может быть представлен корень алгебраического уравнения
х2 - х +1 = 0. (31)
Полагая в (29) и (30) р = 1, - = 1, получим:
1 /Ч/Э
Р
. / - 3 /—
х1 = е 3 = 1-1-1 - 2 - 5 -14 - 42 -132 - 429 -... (32)
22
х1 = 1 + ^ = еР = 1-11 1 . (33)
1 2 2 1-1-... -1-...
Если в (29) и (30) положить р = 2соэ<р, - = 1, то запишем ряд и цепную дробь, представляющие е'4*:
112 5
е'< = 2соэ<--1---1—---2—---5—- - (34)
2соэ< (2соэ<)3 (2соэ<)5 (2соэ<у
1 1 1
е'< = 2соэ<-----(35)
2соэ<-2соб<-— - 2соб<-— .
р
Полагая в (34) и (35) <р = —, получим ряд (32) и дробь (33).
3
Цепная дробь (33), очевидно, является расходящейся цепной дробью, так как комплексное число не может быть представлено последовательностью вещественных подходящих дробей. Для определения расходящихся в классическом смысле цепных дробей в [14] был предложен г/<-алгоритм:
Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = г0е'" , если существуют пределы
ni P /Q¡ I = r,, (36)
lim
^ lim ^ _<, (37)
n®¥ n 11
где P/Q¡ - значение i-й подходящей дроби, kn - число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей n подходящих дробей.
Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо позволяет, при определенных условиях, за последовательностью вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое, собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица e' устанавливается из "поведения" подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного числа z = r0e1ф°, то есть его модуль r0 и аргумент j0 могут быть определены, в частности, так называемым r/ф-алгоритмом, то есть формулами (36) и (37).
В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент ф0 примет значения 0 или п. Если ф0 = 0, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля r0:
z _ r0e0 = r0.
Если ф0 = п, то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число:
z=r°en =-r°.
Предложенный r/ф-алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики. Некоторые из применений r/ф-алгоритма рассмотрены в [15-22].
Подходящие дроби разложения (33) записываются формулой:
Pn _ sin(n + 1)р/3
Q ~ sinnp/3 ' (38)
Цепная дробь (33), имеет периодически повторяющиеся значения подходящих дробей. Среди подходящих дробей присутствуют пары со значениями 0 и ±¥. Такие цепные дроби условились называть ультрапериодическими [23]. Ультрапериодические цепные дроби есть ничто иное, как представление комплексного корня re j квадратного уравнения, причем, значение аргумента < кратно числур, то есть <_р/s, где s - рациональное число. Найти значения ультрапериодических цепных дробей при помощи r/<-алгоритма на компьютере нельзя, ибо среди подходящих дробей, как отмечалось выше, встречаются пары, имеющие значения 0 и ±¥. Однако это препятствие можно обойти, если вместо, например, цепной дроби (33) вычислять "близкую" цепную дробь
1 1 1
1 + e-T1- 71- ■ <39>
1 + e- 1 + e-... -1 + e-...
В таблице 3 приведены значения цепной дроби (39) при e _ 10-7.
Модуль и аргумент комплексного числа определялись при помощи r/j-алгоритма. Значением цепной дроби (39) является корень квадратного уравнения
х2 - (1 + 10-7)х +1 = 0,
то есть комплексное число, весьма близкое к числу ер/3.
Если в (34) и (35) принять ср_ 0, то получим сходящиеся ряд и цепную дробь:
1 _ 2 -1 -1 - 2___5___14 - - - 1 _ 2 -1 1 1
_ 2 8 32 128 512 22п-1 "', _ 2- 2-...-2-... Сп - число Каталана.
Таблица 3 - Определение значения цепной дроби 1 +10-7 -
7 1 1 1
1 +10-7 -1 +10-7 -...-1 +10-7 -...
Номер звена дроби Значения подходящих дробей Модуль комплексного числа, rn Погрешность, e = lr0 - r„| Аргумент комплексного числа, (рп Погрешность, (=j0 -
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1.99999990066E-07 1.00000029989E+00 5.99914472987E-07 1.00000109966E+00 2.19993070971E-06 1.00000429968E+00 8.59982064771 E-06 1.00001709980E+00 3.41993152517E-05 1.00006830203E+00 0.0004472135 1.0000000249 0.1668253300 0.9999930061 0.6655679837 0.9999842231 0.9128948239 0.9999924525 0.9801113303 0.9999974627 0.9995527864 0.0000000249 0.8331746699 0.0000069938 0.3344320162 0.0000157768 0.0871051760 0.0000075474 0.0198886696 0.0000025372 0.0000000000 0.7853981633 0.7853981633 0.9817477042 0.9817477042 1.0308350894 1.0308350894 1.0431069357 1.0431069357 1.0461748973 1.0471974934 0.2617993300 0.2617993300 0.0654497892 0.0654497892 0.0163624040 0.0163624040 0.0040905576 0.0040905576 0.0010225961
Заключение
Если представление вещественных чисел арифметическими цепными дробями, или цепными дробями Евклида, изучаются давно и успешно, то сколько-нибудь завершенной теории представления вещественных чисел так называемыми соответствующими цепными дробями не существует. Как и для арифметических цепных дробей имеет место утверждение: соответствующая цепная дробь, то есть цепная дробь, коэффициенты которой определяются формулами Хейлерманна-Стилтьеса или алгоритмом Рутисхаузера, конечна, если число а, которая она представляет - рационально, и бесконечна, если а- иррационально.
Выше было установлено, что конечные соответствующие цепные дроби, в которые раскладываются рациональные числа, ни есть знакоположительные цепные дроби, в отличие от цепных дробей Евклида, и, следовательно, не имеют свойства «вилки», когда подходящие дроби, аппроксимирующие заданное рациональные число, приближаются к нему с «избытком» и с «недостатком».
Наиболее интересная особенность соответствующих цепных дробей с вещественными звеньями - это их способность представлять комплексные числа, что открывает новые возможности в использовании аппарата цепных дробей в теории чисел.
Список литературы:
1. Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Наука, 1978. - 112 с.
2. Михелович Ш.Х. Теория чисел. - М.: Высшая школа, 1962. - 260 с.
3. Арнольд В.И. Цепные дроби. - М.: МЦНМО, 2000. - 40 с.
4. Lorentzen L. Waadeland H. Continued Fractions with Applications. - London, New-York, Tokyo, 1992. - 606 p.
5. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.
6. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений при помощи r/ф-алгоритма. - Та-
ганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - 330 с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/ф-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. - 608 с.
8. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Countinued fractions for Special Funktion. - 2008, Springer - 431 p.
9. Шмойлов В.И., Заяц И.А., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. - Львов, 2000. - 820 с.
10. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложение: пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 414 с.
11. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. - 228 с.
12. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.
13. Steven R. Finch. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003. - 618 p.
14. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей / НАН Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов: 2004. - 23 с.
15. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 1: Периодические непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. -645 с.
16. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. -558 с.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. Т. 3: Из истории непрерывных дробей / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. -520 с.
18. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 4. - С. 558-573.
19. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Плющенко С.В. О производной функции Вейерштрас-са // Приволжский научный вестник. - 2016. - № 1 (53). - С. 20-27.
20. Шмойлов В. И., Кириченко Г. А., Плющенко С. В. Применение r/ф-алгоритма для определения производной функции Вейерштрасса // Наука, техника и образование. - 2016. -№ 3 (21). - С. 37-47.
21. Шмойлов В.И., Кириченко Г.А., Лукьянов В.А. О постоянной Эйлера // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2016. - № 4 (118). - С.142-153.
22. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 298 с.
23. Шмойлов В.И. Ультрапериодические непрерывные дроби / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. - Львов, 2004. - 338 с.
