CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 4.
УДК 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-281-305
Тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса
3. X. Рахмонов, Ф. 3. Рахмонов
Рахмонов Зарулло Хусенович —доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Республики Таджикистан, директор Института математики им. А. Джураева (г. Душанбе) .
e-mail: zarullo-r@ramMer.ru
Рахмонов Фируз Заруллоевич —кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института математики им. А.Джураева (г. Душанбе). e-mail: rakhmonov.firuz@gmail.com
Аннотация
Работа посвящена получению нетривиальных оценок коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса вида
вз(а; х, у) = ^(п)е(ап3),
х—у<п^х
в малых дугах m(L32(B+18)) при у > х4L8B+944 и г = y5x-2L-32(в+18).
Ключевые слова: короткая двойная тригонометрическая сумма, функция Мёбиуса, метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, нетривиальная оценка, малые дуги.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
3. X. Рахмонов, Ф. 3. Рахмонов Тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса // Чебы-шевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 281-305.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.
UDC 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-281-305
Short cubic exponential sums with Mobius function
Z. Kh. Rakhmonov, F. Z. Rakhmonov
Rakhmonov Zarullo Khusenovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Academician of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: zarullo-r@ramMer.ru,
Rahmonov Firuz Zarulloevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: rakhmonov.firuz@gmail.com
Abstract
The work is dedicated to the conclusion of non-trivial estimates of short cubic exponential sums with Möbius function of the form
Ss(a; x, y) = ^(n)e(an3),
x—y<n^x
over minor arcs m(L32(B+18)) for y > x4L8B+944 and t = y5x-2L-32(s+i8).
Keywords: shorts double exponential sum, Möbius function, method for estimating exponential sums with prime numbers, nontrivial estimate, minor arcs.
Bibliography: 18 titles. For citation:
Z. Kh. Rakhmonov, F. Z. Rakhmonov, 2019, "Short cubic exponential sums with Möbius function" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 281-305.
1. Введение
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое число а из промежутка [-ж, 1 — ж], жт = 1 представимо в виде
а 1
а = - + Л, (а,д) = 1, 1 < д < т, Ш . Я дг
Через М(Р) обозначим те числа а, для которых д ^ Р, через т(Р) обозначим оставшиеся а. М(Р) и т(Р) соответственно называются большими и малыми дугами. Тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида
Sk (а,х) = ^ ß(n)e(ank),
п<х
при к = 1 впервые рассматривал Г. Дэвенпорт. В 1937 году [1], воспользовавшись методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова, он доказал, что для всякого фиксированного В > 0 имеет место оценка
|^1(а,ж)| < -в,
где постоянная под знаком ^ зависит только от Л. Такую же оценку при к ^ 2, к - фиксированное целое число, получил Хуа Ло-кен [2]. Эти безусловные результаты Г. Дэвенпорта и Хуа Ло-кена до сих пор остаются самыми точными.
Наилучший условный результат в случае к = 1 принадлежит Бейкеру и Харману [3]. Они в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) доказали, что
|51(а,ж)| < х4+е,
где постоянная под знаком ^ зависит тольк о от е. Эту оценку для к ^ 2, к - фиксированное целое число, обобщили Т. Жан и Дж. Лю [4].
Т. Жан [5], рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида
Sk (а; х,у) = ^ ß(n)e(ank),
х-у<п<х
при к = 1и у ^ х з +£ получил нетривиальную оценку
ISk (а; x,y)l^ yL-В. (1)
5
Затем он получил эту оценку уже при у ^ х8+£ [6]. Первую безусловную нетривиальную оценку вида (1) при к = 2 и у ^ х 16 +£ получили Т. Жан и Дж. Лю [7].
В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана Г. С. Лу и X. X. Лао [8] доказали оценку вида (1) при к = 2 и у ^ х з +£.
Кумчев A.B. [9] получил нетривиальную оценку суммы S^(а; х,у) в малых дугах m(P) при у ^ х®+£, в = 1 — 2fc+3 и т = х1+2вР-1. Отсюда, в частности, для Ss(a; х,у) следует нетривиальная оценка при
8 +г 2- _ 1 У ^ X 9 +£, Т = X 9 Р 1.
Все безусловные нетривиальные оценки коротких тригонометрических сумм Sk(а; х,у), как и коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами вида
fk (а; х,у)= Y. Л(п)е(апк),
х—у<п<х
в малых дугах получены методом оценок сумм с простыми числами U.M. Виноградова, основу которого, наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида
Jk(а; x,y,M,N)= ^ a(m) ^ Ь(п)е(а(тп)к),
М<т^2М N<n^2N
х—у<тп^х
где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, х > Xq, у _ вещественные числа.
Основным результатом этой работы является теорема 1 о нетривиальной оценке суммы Бз(а; х,у) в малых дугах m(L32(B+18)), В ^ 11 при
у > х-L8B+944, Т = 4L-32(в+18),
X2
и её доказательство проводится методом оценок сумм с простыми числами U.M. Виноградова по схеме работы [10], в котором была получена нетривиальная оценка для короткой кубической тригонометрической суммы с простыми числами /з(а;х,у) в малых дугах, в сочетании с методами работ [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Основными утверждениями, позволившими получить новую оценку Бз(а;х, у), являются нетривиальные оценки двойных сумм J3(a;x,y,M,N) на малых дугах, соответственно имеющих "длинную" сплошную сумму (лемма 5) и имеющих близкие по порядку суммы, составляющие двойную сумму (лемма 6).
2. Известные леммы
Лемма 1. Пусть Н и у - произвольные целые числа, Н ^ 1. Тогда справедливо соотношение
у+н . 1 .
Y^ е(ах) < min i Н , INI = min ({аЬ 1 — {а}).
X—У+1
Доказательство см. [17].
Лемма 2. При вещественном числе а, подчинённом условиям,
а в
а = - + , (a,q) = 1, 1 < q < N, |0| < 1, q q2
а) для, суммы
g+q' ,
V — \ min I TT
\\az\\
1
Vg = £ min(u, , </ < q, U > 0,
z=g
имеем неравенство
Vg < U + qlnq,
б) а для суммы
v — У —
С<Й0,5, ^\\
имеем неравенство
V ^ qln q.
Доказательство см. [17], стр. 61. Лемма 3. . При х ^ 2 имеем
Е (п) <х (In х)гк-1, к — 1,2.
п^х
Доказательство см. [18].
Лемма 4. Пусть f (п) — произвольная комплекснозначная функция, ui ^ х, г ^ 1;
ь т'
= Щг - к)!, Х(п)— Кп).
d\n, d^ui
Тогда имеет место тождество
J2^(n)f(п) =(-1)r Еx(ni)••• Ех(пг) Е v(m)f(ni•••пг'^)+
п^.х ni>ui nr >ui ni"^nrm^x
г
+ e(-Dfc-1^,fc е ^(mi)••• е mk)е •••ef(mi•••mkni•••nk-i).
k=1 mi m^^ui ni nk—l
mi-mt ni^-n^-i^x
Лемма 4 доказывается аналогично лемме 6 работы [16].
Обозначения: х, у достаточно большие положительные вещественные числа; q натуральное число, ^ = \nxq~, Му и - целые числа; ^(п) — функция Мёбиуса; Тк(п) — число представлений числа п в виде произведений к сомножителей;
3. Короткая кубическая двойная тригонометрическая сумма с
и
длинным сплошным суммированием
Лемма 5. Пусть в сумме J3(a] х, у, М, N) выполняются условия lam| ^ r4(m), Ьп = 1, у/х < у < хL-i. Тогда при
L8A+4i°2 < q < y3L-8^-4i°4, ху-1L2A+i026 <N < хL-2A-S,
где А — абсолютная постоянная, справедлива оценка,
\ Зз(а;х,у,М,М)| < У
& А'
Доказательство. Для удобства условия ху-4&2А+х°26 < м ^ х&-2А-8 в те0ремв) с учетом неравенства ММ х х, заменим на &2А+8 ^ М ^ у1 &-2А-х°26^ а сумму З3(а; х, у, М, М) обозначим через Ш. Возводя Ш в квадрат, найдем
\Ш\2 = ^ ат ^ ^ ^ е(а((/их)3 - (ти)3)).
М<т<2М М<ц<2М и<-и^2М и<и!^2М
х—у<ти^х х—у<^и-1 ^х
Разбивая сумму на три части, для которых соответственно выполняются условия ти < /их, ти = /их и ти > /их, и имея в виду, что
( V
е ата^ ^ 1= ^
е
« е |ет) ) « 24,
М<т,^2М и<-и,и1^2М х-у<г^х т\г,М<т^:2М I х-у<г^х \т\г х-у<ти=^и1^х \ и<г/т^2М )
получим
\Ш\2 = Шх + Ш2 + 0 (у&24) , (2)
Ш = Е ат а^ е(а((/лих)3 - (ти)3)),
М<т<2М М<ц<2М и<и<2М и<и1<2М
х — у<ти^.х тп<^и-1 ^х
Ш2 = Е ат а^ ^2 е(а((/их)3 - (ти)3)).
М<т<2М М<ц<2М и<и<2М и<и1<2М
х — у<ти^х х — у<^и^ <ти
Имея в виду, что \Шх\ = \Ш2\, оценим только В сумме по их, делая замену переменной, вместо и,\ вводим переменную г = /их — ти,, для которой выполняются условия
ти + г = 0(то(,/л), и/ < ти + г ^ 2М/, 0 < г ^ х — ти.
Тогда
(/их)3 — (ти)3 = (¡лих — ти)((ти)2 + ти/их + (¡лих)2) =
, , .2 ти + г ( ти + г \2 > , , .2 2.
= г ( (ти) + ти/л ■--+ I / ■- ) ) = г(3(ти) + 3тиг + г ),
( ти + г \ 2 \
i" ■ —))
и сумма Шх принимает вид
Шх = ^2 ат ^2 а^ ^2 Е е(аг(3(ти)2 + 3ти,г + г2))
ат а^
М<т<2М М<ц<2М и<и<2М и^<т-и+г^2М^ х-У<ти^х 0<г^х-ти
ти+г=0(то<1^)
У^ ат ^2 а^ ^2 ^е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)),
М<т<2М М<^<2М 0<г<у Р<и<а
где
^ (-т-т им — г х — у\ ^ ( „т 2Мм — г х \
^ = т&х[ и,—-,-- , С = 2М,---^ .
т т т т
2
а
т
Разбивая сумму Ш1 на слагаемые, с уеловием (т, у) = (I, й ^ 2М, имеем
Ш1 = Е Е ат Е а^ Е У] е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)).
й^2ММ<т<2М М<ц<2М 0<г<у р<и<а
(т,1) = < ти = — г(то<1)
Условие ( т, у) = й в сумме Ш равносильно условиям т = тй, у = уй, (т,у) = 1. Следовательно, сравнение ти = —г(той у) разрешимо только в случае, если г имеет вид г = Гй. Поэтому, заменив его на сравнение ти = —Г(той у), а переменные суммирования т, у, г соответственно на тй, уй, г = Гй, найдем
= Е Е ашй Е а^й Е Е е(аМ3(3(ти)2 + 3тиГ + Г2)),
0<Г(1<у Рт д <и<°т¡1
гпи = — г(то<1{Х)
иу — Г х — у\ . / „т 2Ыу — Г х \
у -), = шт ( 2Ы,-у-,— ).
т т й
й^2ММ<тй<2М М<д<<2М 0<гй<у Рт 1 <и<ал¡1
(т ,/2) = 1 гпи = — г(то<1д)
= шах( и,
т т й
Сравнение ти = —Г(той у) равносильно сравнению и = —Гт- (тойу,), где т- определяется из сравнения тт-1 = 1(той у). Поэтому, представляя и в гаде и = —Гт-1 + уи, получим
Ш1 = Е Е а-тл Е а{1й Е Е е(аГй3(Г2 + д(и,т,у))),
й^2М М<т4<2М М<Д<<2М 0<гс1<у д<й<5тд
(т, 1) = 1
■ = + Гт-1 ^ = + Гт-1
■та — ^ + ~ , Ътй — + л ,
у у у у
з(ти)2 + зтиг + г2 = з(т(уи — Гт--1))2 + зт(уи — гт-1)г + г2 = = з(туи — г тт-1)2 + з(туи — г тт-1)г + г2 = д(и, т, у) + г2.
В сумме Ш1, ради удобства, обозначая переменные суммирования т, у, Г и и через т, у, и
Ш1 = Е Е е(ай3г3)Ш(г, й),
<1^2М 0<гё,<у
Ш (г ,й)= Е ата Е а^а Е е(3агй3д (и,т,у)),
М<тй<2М М<1<<2М ■т1<и<9т1
(т, ¡) = 1
■ = рт>1 + гт~-1 = / Пу — гх — у \ (3)
■ т,и = -, Рт,и = ШаЛ П.
' та — , ± ти — '"«л . ^, ,
у т т й
+ гт-1
5та —
/ т 2Ыу — г х \
= шт( 2Ы,-^-, —
т т й
у т т й
д(и, т, у) = (туи — гтт-1)2 + (туи — гтт-1)г.
Разобьем в Ш1 отрезок суммирования по й на не более чем ^ интервалов вида И < й ^ 2И, И ^ М. Получим не более ^ сумм Ш (И) вида
Ш(И) < Е Е 1Ш(г,й)1. (4)
Имея в виду, что И ^ М и М ^ ^2А+8: рассмотрим два случая: И > ^2А+8 и И ^ ^2А+8.
2. Оценка Ш(И), И > ^2А+8, В сумме Ш(г,й) оценим сверху длину интервала суммирования по и, воспользовавшись условием М ^ у4. Тогда имеем
3 Т I 1 _ Ртц л . у л Уй -I . 2уй
1т, — ■т, + ^ у +1 < туй +1 <М2 + 1 ^ М2.
Подставляя эту оценку в правую часть (4), воспользовавшись соотношением |am| ^ T5(m), затем леммой 3, последовательно получим
W(D) « е е е T4(md) е TA(¡ld)(Gm^ - + 1) «
D<d^2D 0<rd<y M<md<2M M<^d<2M
( m, ¡л) = 1
« e t2(d) d e T4(m^) j« j e ^ ( e ) «
D<d^2D M<md,¡id<2M D<d^2D \Md-1<m<2Md-1
(m,fi) = 1 4 7
2 y2L6 y2L6 y2
« °2 D¿^2D4 « D(lnD)~15 < L2A+8((2A + 8)lnL)-15 « L2^1'
3. Далее всюду будем считать, что D < d ^ 2D и D ^ L2A+8. Возводя неравенство (4) в квадрат и применяя неравенство Коши, получим
W2(D) < y £ e |W(r,d)l2, (5)
D<d^2D 0<rd<y
|w (r,d)l2 = £ amda^d / j andavd
M<md,^d<2M M<nd,„d<2M Fm^<U<Gm^ Fnv <U1<5n„
(m,/л) = 1 (n,v) = 1
Fnv = ^ + ^, =max (u,^n-l *_n-JL
v v \ n nd ,
_1 ; ' (6) Gnv + m-1 . í 2N v -r x
Gnv =-, Gnv = min 2N,-,—
n n d
Воспользовавшись явным видом g(ui,n,v) — g(u,m, /) в |W(r,d)l2, то есть соотношением g(ui,n, v) - g(u,m,/) =
= (nvu1 - rnn-1 )2 + (nvu1 - rnn-1)r - (m/u - rmm-1)2 - (m/u - rmm—1)r = (7) = (nvu1 - rnn-1 - m/u + rmm~-1)(nvu1 + m/u - rmm-1 - rnn-1 + r),
разбивая сумму |W( r, d)|2 на три суммы Wrd, W'rd и W"d, найдем
|W ( r, d)|2 = Wrd + W'rd + W?d, (8)
Wrd = Y amda^d Y andavd Y E e(3^rd3(g(v,1,n, v) - g(u,m,/))),
M<md,¡id<2M M<nd,vd<2M Fm^<U<5m^ Fnv<u1<Snv
(m, n) = 1 (n, v) = 1 — —1
4 u ' 4 ' ' nvu1-mnv >mfiu-rmm^
Wrd = amda^d andavd ^ ^ e(3ards(g(u1,n, v) - g(u,m,/))),
M<md,/^d<2M M<nd,ud<2M Fma<U<Gma ?nv<U1<9nv
( m, ¡л) = 1 (n, v) = l
ivui —rnn-
w"d = E amdaßd E anda^d E E 1.
M<md,/j,d<2M M<nd,vd<2M Fm^<U<Sm^ Fnv<u1<Snv
(m, u.) = 1 (n,v) = 1 —1 —1
y v ' ' nvu1 —rnnu =m/j,u-rmm^
4. Оценка W^d- Пользуясь определениями параметров Fnu ж то есть со-
отношениями (3) и (6), легко показать, что условия Fmß < и < Gmß и Fnv < и1 < Gnv соответственно равносильны условиям
_и \ / & \
Um,Uß — г, ——— j < m/ли — rmm-1 ^ min \ 2Nm, 2Nß —
_ у \ / ^ \
Un,Uv — r, —_— j < nvu1 — rnn-1 ^ min 2Nv — .
Поэтому, вводя обозначение Ъ = туи — гтт-1 = пищ — гпп-1, найдем
= Е ш2(Ъ), Ш(Ъ) = Е атаа^а.
х—у<Н(1^х Н=тци-гтт—1
М<тЛ,^(1<2М, (т,ц)=1
■т и ти
Из условий Ъ = туи — гтт-1 и тт-1 = 1 + у1, £ — целое, следует, что
Ъ + г = туи — г(тт-1 — 1) = у(ти — Н), то есть у является делителем числа Ъ + г, следовательно,
ш
(h) ^ Е lamdl Е Kd| « Е тd) Е ^(/d) ^ Т1(d)T5>{h)T5(h + r).
m\h р\h+r m\h p\h+r
M<md<2M M<pd<2M (m,p) = 1
-1
■ <Л__I гт1 <ц
Отсюда, воспользовавшись леммой 3, найдем
га« т4( й) Е т2(ъ)т2 (ъ + г) « .
х-у<Нс1^:х
Отсюда с учетом (8) и (5), имея в виду, что \Wrdl = получим
Ш2(И) «у Е Е 1Шг*1 + У3^54-1. (9)
0<(1^2В 0<гё,<у
5. Преобразуем ШГ(1 так, чтобы сумма, по и стала линейной. Для этого, делая замену переменных, вместо ^вводим а = пищ — туи, с областью изменения вида
^ í t 7 ч rf таи + а _1 _1 Л
и = < а : т/ли + а = 0{modnu), Fnu <- ^ Gnu, а > rnn. — гтт. > .
При этом, воспользовавшись соотношением (7), представим разность д(и\, n, и) — д{и,т,/) как функцию а, то есть
д(ил,п, и)—д(и, т, /) = {nvu\ — т/и + гтт— rnri-l){nvu\ + т/и — гтт— rnn.1 + г) = = {а + гтт~1 — ти.1){а + 2т/ли — гтт~1 — rnn.1 + г) = д1{и, а, т, /, n, и),
и сумма Wrd принимает вид
Wrd = Е amdapd Е andaud Е ^е{3аг(£3д1{и,,а,т,/,n,v)) .
M<md,^d<2M M<nd,vd<2M Fm^<U<Gm^ (m, ¡л) = 1 (n,v) = l
и и параметров Fmp-¡ Gnu i найдём возможно допу-а
. G . G „ Gnu + m-1 Fmp + rin-1 а ^ nuGnu — т/ли ^ nvGnu — т/л^тц = nu--т/л
и /
(2Nv — г x \
2N,-, —- I
n nd)
iTTUu — r x — y\ _i _i y _i _i
— т тал U,-,-— + rnn,, — гтт., ^ - — гтт., + rnn,.
т т( ) р d р
С учётом найденной границы в сделав сумм у по и внутренней, найдём №Г(1 = Е атЛа^ Е ап<1аи(1 ^ ^ е(3агв3д1(и,а,т,а,п, и)) ,
М<т<1,11<1<2М М<пЛ,иЛ<2М аЕО-1 иЕЧ
(т, ^) = 1 (п, = 1
= |а : 0 < а + гтт~1 — гпп-1 ^ ^| ,
■и / . _г\/ 1 \ Зпипи — а Зп^пг/ — а \
и = < и : таи, + а = 0(тоапи), -< и ^-, Зти < и < Ъта},
У та та )
то есть в внутренняя сумма стала линейной, переменная суммирования и пробегает те значения из своего сплошного интервала изменения, которые являются решением, линейного сравнения.
6. Разбивая сумму на слагаемые с уеловием (та, пи) = 5, 5 ^ 4М20Т2, имеем
№гс1 Е а-тла^й Е апла^л^^ е{3аг(3д1(и,а,т, а,п, и)) .
<5^4 М2(1-2 М<тЛ,^Л<2М М<пЛ,1>Л<2М аЕО1 пЕЧ
(т,^) = 1 (п,^) = 1, (гпц,пI-,) = 3
Условия (та, пи) = 5 с учётом условий (т, а) = 1 и (п, и) = 1 в сумме равносильны условиям
та = т05, (т,а) = 1, пи = пи5, (п,и) = 1, (ти,па) = 1,
т = тг], г]\5, а = 0$/ц, ("Ц,^/г1) = 1, п = п\, Х\5, и = и5/X, (Х,5/Х) = 1. Следовательно, в области Ч сравнение
таи + а = 0(тос(пи) а а = аи
мирования т, о п, и, а соответственно на гп^, /V: пьХ, и5/X, и5, перепишем предыдущее сравнение в виде
т аи = —а(то(Ши),
при этом параметры Рт^ Зт^ От^ Зпи, Рп^, 9™, и функция §1(и, а,т, а,п, и)
соответственно превращаются в параметры Зт,,иё/V рт-п,иё/V 9т,,/V Отг,,»ё/V Зп,х,иё/х, Рп\,Рб/х, 5йх,м/х, САх,Рб/х, и функцию д1(и) = д1(и,а5,гпг],а5/г],пХ,иё/X), которые имеют вид
З = Рт^,^/, + г(тУ)у/г, _ = / идо/Г] — г х-у\
Зтг1,иё/, ~ ¡- / + л. г- , , Ртг1,иёШаХ \ и, л , л ,
' 1 00/Г1 ¡>^11 у т-Ц тЩ )
9 = °ту,р,ё/, г(п)^Р,6/У О =т,п(плт 2м)5/71 — Г Х \
Згпг1, иё~ £ / + ~ £ / , °тп, иёшш I ¿1V, Л , Л ,
' 1 ¡)о/г] а°¡ч] V тц т^а)
З Рпх,йё/х г(пХ)йё)х Р шп(.Т Ци5/х — г х-у\
Зпх, /х = ~й5/Х~ + , Рпх,/х = ^У1, пХ , ~ш) ,
9 = °йх,иё/х г(пХ)-1/х о = / 2т5/Х — г х — у\
9пх,рё/х = —щхт + и5/X , °пх,р6/х = Ш1\21,-пх-,цл) ,
§1(и,а5,тг], а§/л,пХ, и5/X) = (а5 + ггпг] (тт))-1/, — гпХ (пХ)-1/^ х
х (а5 + 2т0$и — гтп^ (пт))-!, — г^ (п\):и1/х + г^ ,
и сумма Шг<1 представится в виде
=Е Е Е Ши §,У,А), (10)
ё^лм2а-2 ф л\ё
(ф/г?)=1(Л,ё/\) = 1
ШгЛ(5,т],Х)= Е алт^^ёЛ? Е айпхаам/Л ЕЕе (3агй3д1(и)) ,
М«.тц,<1д6/ц<2М М«п\,<106/\<2М ¡0 и
(т ,1) = 1 (п,И) = 1, (гп1,пИ) = 1
где суммирование ведётся по тем а и и, для которых соответственно выполняются условия
• 0 < аб + ггпг](гпг])^1/? — гП\(пХ).1/х ^ й
„„ , „ п, , „ ■пл,иё/\, а *ЗпЛ,иё/Лп& ~
• туи + р = 0(тойт>), -—-<и + -тт ^-—-, ■^иё/? <и < Ътп,и,&/?■
т у т у т у 1^/1 1,^/1
Подставляя правую часть (10) в соотношение (9), получим
Ш2(И) «у е е е е е 1Шы(5,г],\)1 +у3^54-1. (11)
0<с1^20 0<г(1<у ё^4М2а-2 ф Л\<5
(?,ё/г?) = 1(Л,ё/Л)=1
Разбивая отрезок суммирования по 5 не более чем на ^ интервалов вида В < 5 ^ 2В,
В
В ^ 2М2й 2, получим не более ^ сумм ШВ (И) вида
Шв(В) «у е е е е е 1Шы(5,л,Х)1. (12)
0<с1^20 0<гс1<уВ<6<2Б ф Л\<5
(?,ё/?) = 1(Л,ё/Л) = 1
В сумме Шга(5, г/, А), ради удобства обозначая переменные суммирования т, п, р, Р и Р соответственно через т, п, у, V и а, также выражение тц(тт])-/? — пА(пА)-/л через к, получим
и
' 4 •'^О/Ч? 4 ' ио/Л
-13,
ШгЛ(6,11, А) = Е аатг?аЛ11б/г? Е аЛпЛаЛ1,ё/Л ЕЕе (Загй3д1(и))
М<<тт],<1б/т1<2М М<<пХ,<1УЙ/Х<2М а и
(т, и) = 1 (п, 1;) = 1, (ти,пь') = 1
д1(и,...) = д1(и,а5,тг1, у5/г],пА,и5/А) =
= ( а 5 + г к) угб + 2ту5и — гтт] (т я)-1/? — гпА(пА)-/Л + г а и
0 < а5 + гк , туи + а = 0(тойпи), (13)
■пЛ,иё/Лп" + а < ЗпЛ,иё/ЛП1У ■ < О
< и + ^ , ■тг?, рё/г? < и ^ Ътг?,рё/г?,
т у т у т у
где
■ = Рщ^рё/? г(тУ)-ё/у Р =шах,(и иу8/Я — г Х—Л
■т?, иё/т? г / + г / , Рт?, иё/? шах \ и, , ,
у / у / т т й
-1
тг?, р,&/?г
т
О = °шг?,^ё/г? г(тУ)^ё/г? О = -п {2]ут 2ыу^у — г х \
Отп, иё/? г / + г / , Отг1, иё/г? шш I 2+У , , ,1
у / у / т т
РпЛ,иё/Л , г(пА)-/Л „ / ПуЬ/А — г х — у\
?пЛ,иё/Л = + и5/А , РпЛ^/Л = пА , -ЩАйТ) ,
пЛ,иг/Л = ^б/Г + уь/а , Кл^/л = шax{и,—пА
ОпЛ, иё/Л , г(пА)-ё)л „ . /ОЛГ 2Ы1Уб
пЛ,^/Л = ^ЩАГ + ^ЩАТ, °пЛ,и&/Л = шm{2N,-па-
Сравнение тци + а = 0(тойпи) равносильно сравнению
и = —атцп(тойпи), где числа т- и ц,- соответственно определяются из сравнений
ттп = 1(тойп и), = 1(тойп и).
Поэтому, представляя и в виде и = пии — атп , получим
5,r], Х) = Е алтг1ал^/г1 ^ айпхайиёе (3аг ^^ ^ а, т, Ц п, у, ^ ^ Х)) ,
М<йтг),й\х8/г)<2М М<д.п\,дл;8/\<2М а и
(т,/л) = 1 (п,и) = 1, (т¡л,п^) = 1
д2(и,а, т, ц, п, и, 5, г], X) = д1(пии, — ат- ц-, аб, тг], ц5/г], пХ, 1/5/X) =
= ( а 5 + г к) (а5 + 2тц5 (-пиу, — (гт- — гтг] (т — гпХ(пХ)-1/х + г^ = = 2 т цп и 5и ( а 5 + г к) + д3,
где часть д2(и, а, т, ц, п, и, 5, г/, X), не зависящая от и и имеющая вид
дз = (а§ + г— 2а5тт-1 цц-1 — -гт^т— гпХ(пХ)-/х + г) ,
и
(13) и имеют вид
5пХ,иё/Х а атп1 цп1 ^ - ^ ЗпХ,иё/Х а атп1 цп1
+--<и ^----+
тц тцпи пи тц тцпи пи
п п п п (15)
5т], р.ё/] + атп1 цп1 <и Зтг],р,ё/] + атпи цпи
пи пи
Переходя к оценкам, воспользовавшись условием ат ^ т±(т) и известным неравенством т4(кI) ^ т4(к)т4(1), получим
а^у/й а=кг (тойё)
Шгй(5,Г1,Х) ^ Е т4(йтг1)т4(йц5/г/) ^ т4(йпХ)т4(йи5/Х) ^
М<йт],йцё/г]^2М М<йпХ,йиё/Х<2М
(т, ц) = 1 (п,и) = 1, (т^,пи)=1 а=1
< Т4(5)тНй) Е Т4(тц) Е Т4(пи) Е
'Х^2М а^у/.
,пи) = 1 а=кг (т
У^ е (б агй3Ь5аи)
и
1 < и(г).
У е (б агй3тцпи5аи)
<
М<йт],йцё/г]^2М М <йпХ,йиё/Х^2М а^у/й
(т, ц)=1 (п,1 )=1, (т^,пи) = 1 а=кг(тойё)
М4<йЧ2^16М4 а<у/й
а=кг (той&)
У] е (багй3тцпи5аи)
( )=
е
1=т^пи, (т, ^)=(п,и)=(т^1,пи) = 1 М<йтг],йцё/г],йпХ,йиё/Х^2М
Оценим сверху величину и - длину интервала суммирования по и в Шгй(5,^, Х). Воспользовавшись определениями параметров и 3п1 из (14), затем неравенствами (15),
имеем
„ ЗпЛ,иё/Л — ■пЛ,иё/Л _ 1 (°пЛ,иё/Л г(пА)^ё/Л РпЛ,иё/Л г(п А)-ё / л\
^ ту ту \ уЬ/А уЬ/А уЬ/А уЬ/А I
= °пл,иё/л РпЛ,иё/л = 1 (Шп(2М Ш^/А — г, — ту ■уЬ/А туу5/А\ \ ' пА ' пАй)
- шах, (и, Пи6/А — Г ^ < ^ ■ 4, < У6й3
пА ' пАй )) ^ тууЬ/А пАй ^ М4 '
^ < 5тг], рё/? ■тц,рё/ц Отг?,рё/г? Ртг?, рё/? < 1 У < У&й3
п п ■ у / у п / т М4
Отсюда, а также из условия М < у4 следует, что количество слагаемых в сумме по и в ШГ(1(5, г], А) не превосходит величину
у5й3 у5й3 уВИ3
и + 1 < ---V 1 -— --
и +1 < М4 +1 « М4 « М4 .
С учётом последнего неравенства, суммируя по и, найдем
Ш,,(Ь,г,,А) « Ы)гМ £ гШ) е ш>" (^■ рЖЙ) . (16)
М4 < < 16М4 <Г<у/(1 х 11 117
64в2О4 < В2Ю4 <г=и(то<1 ё)
Рассмотрим отдельно два случая: В > *4А+19 и В < *4А+19.
7. Оценка Шв (И) при В > *4А+19. Пользуясь соотношениями 5 < 4М2й-2 и М < у4,
а
у у + 5 й у + 4М 2й-1 у у Т1 + 1= Г1 <--п- « -г! «
5й 5й 5й 5й ВИ
а
ШгЛ(д, п, А) « т2(6)т4(й) Е ■ У~Мг ■ ТИ « ВИ *15 т4(й) т2(5).
М4 < +< 16М4 64В2о4 < 1<в2ю4
Подставляя найденную оценку в (12), применяя лемму 3, а затем воспользовавшись условием
В ^ *4А+19, получим
19
, пилуним
3
в2Ъ2
Шв(И)« ВИ *15 -4(й) £ £ ^^ £1«
0<с1<2П 0<гс1<уВ<ё <2В ?\ё Л\<5
(?,ё/?)=1(Л,ё/Л) = 1
у4(\пВ)255 15 у—л У4 с/>15 т3(^ „
« В2И2 * £ Т4(6'Т (8>«£ « В< ё<2В В<ё <2В
„15 (1пВ)80 = _у4
«У ^ Г) с/)4А+3 п\-80 «
В *4Л+3 В(1п В)-80 *4Л+3 ' 8. Оценка Шв(И) при В < *4А+19. Поставляя оценку (16) в (12), получим
шБ (О) «у £ гЦО) £ £ Г^) £ гце, £ () =
0<с1<20 0<га<уВ<ё <2В М4 ^^ 16М4 а< Ц К 7
64В2ю4 << В^В4 <
£ я(Ъ) шш(, , ъ(Ъ) = Е^44(й)г44(6)т2(I),
V М4 ' \\аЪ\\у
3М4 <ь< зямрМ^ II И/ к=6гс1Чёа
32ВО <П< ВВ3
где символ " — означает, что
У М4 1бМ4 _
И<й < 2И, В <5 < 2В, г< _, -<1 < 1бмг, а < _.
, , ^ 64В2И4 В2И4, й
Далее, пользуясь условиями И < *2А+8, В < *4А+19} Н/Ьга = й35 х И3В и соотношением т(г) « г£, находим
^) = Т2(1) ^ т44(й)Т4(6)= т1(г) Е ^ Т4(й)Т4(6) =
ЦЬ ь =бй36га ЦЬ г\ ь ь.=бй36а
44
£ ^)££ £ ^(<0 Г44 (¿) «£ Г42 *
^ н£а|£ £=6й3г ^ нЬМ£
*2 £ Т42(*)Г3 (Н) < *1 тКН)
1
2 =
Поэтому
г,(И) «V*2 £ v™3, .
Ь< 'Вш
Применяя неравенство Коши, затем лемму 3, получим
Ш2 (И)« г,2* ■ У-2М1 *4095 У_ВП3 V тт (_±_\ « В(И) «_* ВБ3 * М4 4 тт^ М4 , \\ahW)«
к<
,,5 С/>4096
«У5*4096 Е тт(
во3
(_ В и3 1
М4 ' \\аН\\) '
Ь< У2М4
Ь< воз
_2М 4 _2М 4
Рассмотрим отдельно случаи > 0.5д и < 0.5д.
ВИ3 ВИ3
У2М4 1 _2М4
При -5- > 0.5а, разбивая интервал изменения Н на « -5- интервалов вида
ВИ3 дВИ3
д < Н < д + д', д1 < д, применяя утверждение а) леммы 2, а затем воспользовавшись условиями ВИ3 ^ 1, д^ *8А+4102 и М « _1 *п2Ап1026, найдем
Ш Ш)« _5*4096,У2М4 ^ ^ (_ВИ3 1 \ _7М4 (_ВИ3 + \ *409б =
_ У8 (*8А+4102 М4 \пд \ У8
= *8А+6\ д + у*п8Ап4102ВО3) « *8А+6 .
2 М4
При п г-,3 < 0.5д, воспользовавшись утверждением б) леммы 2, а затем условием д < В И3
< у3* 8А 4104 ^ получим
Ш2 (И) 1,5 9^4096 1 „ _ 5п (/>4097 = ____<1 „ _
' В(И) «_ ^ Ц7|| «_ ^ *8А+6 _3 *-8А-4103 « *8А+6 .
к<0.5д \\ \\ У
Подставляя полученные оценки для Ш, (И) в (11) при
И < * 2А+8, найдем 44
Ш2(И) «Лат2 + У54-1 « _
*4А+2 1 >> ^ *4А+2'
Отсюда, а также из оценки Ш(И) при И > *2А+8^ найденной в пункте 2, получим
,2
Ш1 «
*2А'
Из оценки Ш1 и равенства \Ш1\ = \Ш2\, с учетом соотношения (2) следует утверждение леммы.
4. Короткая кубическая двойная тригонометрическая сумма с "близкими" по порядку суммами
Лемма 6. Пусть ху-1 < N < у, М < N У < х*1ат1 < т5-к(т), |Ьп\ < тк(п), к = 1, 2, 3, тогда при
*32(А+13) < у < У_*-32(А+13) х£>32(А+13) <ы < у*-8(А+13)
^ ^ х2 ' У ^ '
(17)
где А — абсолютная постоянная, справедлива оценка,
I мо; х, у, М, N)\«у*-А.
Доказательство. Далее для удобства сумму 33(о;х,у,М,Ы) обозначим через З3, при этом, не ограничивая общности, будем считать, что МЫ х х и и = N ^ у/х. Возводя сумму Jз в квадрат, применяя неравенство Коши и лемму 3, получим
\,н\2 «М*(5-к)2-1 ^ ^ Цп\)Ь(п2)е(от3(п2 —п¡)).
М<т<2М N <п1,п2<2М
х-у<тп1,тп2 <х
Разбивая двойную сумму по П1 и П2 на три части, для которых соответственно выполняются условия П1 < П2, П1 = П2, Щ > П2, и воспользовавшись соотношением
£ е \&п\2« е е -Кп) < е -и*)«у*к(к+2),
М<т<2М N<п<2N х-у<Ь<х тп= х-у<г<х
х-у<тп<х М<т<2М
N<п<2N
а также имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями щ < П2 и щ > П2 равны,
получим
Ш2 « М* (5-к)2-1^2 Тк (П1) Е Тк (П2)
N<п1<2N 0<п2-п1<2N-п1
Е <оот3(п2 — п1))
М<т<2М х-у<тп1,тп2<х
+ УМ*2 к2-8к+24.
Положим г = П2 — П1 и П1 = п, тогда правая ча сть последнего неравенства принимает вид \Jз\2 « М(5-к)2-^з1 + у*2к2-8к+24) « х (5-к)2-^31 + у*2к2-8к+24) , (18)
Jзl = Е Тк(п) Е Тк(п + г)
N<п<2N 0<г<2N-п
М<т<2М ^ <т<
п — п + г
е(огт (3пг + 3п + г )
Из условия Х-пУ < т < п+р находим
х хх — _ _ _
г <--п <---= — ^ —.
т т т т М
Возводя Jзl в квадрат, дважды применяя неравенство Коши и воспользовавшись леммой 3, имеем
2
1Т |2 2к2п2 ^ ^ ы «Е Е
М<п<2М 0<г<2М—п
'< Л' < М
У е(агт3(3пг + 3п2 + г2)
М< т<2 М Х-М <т<
п — п + г
_ ^^ Е Е Е е(аг( т3 — т\)(3пг + 3п2 + г2).
М
'< ^М<п<2М-г М<т1,т2<2М
х — у^ ^ X
-- <т1 ,т2 < —,—
п 12 — п + Г
т1 т2
т1 < т2 т1 = т2 т1 > т2
ее е 1= е е 1 < ее «■
'< ум<п<2М-г М<т<2М г< М М<т<2М, N<п<2И-г г< М х-у<<
М х-у <т< X М р-у<тп<х-тг М
п — п + г
т1 < т2 т1 > т2
получим
| л 1|2«Ы + М) ^-2«(Ш1 + т
■з2 = £ £ Е е(аг(т2 — т'1)(3пг + 3п2 + г2)).
'< М N<п<2N-г М<т1 <т2 <2М
Х-М <т1 <т2 <^Хг-
п 1 2 — п + г
Положим к = т2 — т1 и т1 = т, тогда ■з2 принимает вид
■з2 = £ £ Е е(акг(3тк + 3т2 + к2)(3пг + 3п2 + г2)).
'< М N<п<2N-г М<т<т+к<2М
Х—М <т<т+к<^Х-
п — п + г
Из условия Х-у < т < т + к < п+р находим
х х х — х х —
к <--т <---<---= — ^ —.
п + г п + г п п п п N
Поэтому
■з2 Е Е е(акг(3тк + 3т2 + к2)(3пг + 3п2 + г2)).
р< Мк< jLN<п<2N-г М<т<2М-к Х-М <т<-к
п — п + г
■ 2
2
■ 2|2 < ^Е£ Е Е е(3акг (т2 — т1)(к + т2 + т1)(3пг + 3п2 + г2)).
г< ММ к< М N<п<2N-г М<т1,т2<2М-к Х—М <т1,т2<—Х--к
п 12 — п + Г
Разбивая двойную сумму по т^ т2 на три части, для которых соответственно выполняются условия т1 < т2, т1 = т', т1 > т', и воспользовавшись соотношением
ее е е 1 < еее «млн
г< Цк< jLN<п<2N-г М<т<2М-к г< Ц к< Ц х-у< 1<х ^ <т<--к
п — п + г
а также имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями т1 < т2 и т1 > т2 равны, получим
, т |2 у2 Лт , У3* \ / У2Ы1Т , \
= Е Е Е Е е(3акг(т2 — т1)(к + т2 + т1)(3пг + 3п2 + г2)).
г< ММ к< jLN<'п<2N-г М<т1<т2<2М-к
<т1<т2<—Ц--к
п 1 2 п+ г
Положим к = т2 — т1 и т1 = т, тогда Jзз принимает вид
,133 =Е £ £ £ е(3аккг(2т + к + к)(3пг + 3п2 + г2)).
г< ММ к< N<п<2N-г М<т<т+Н<2М-к ^^ <т<т+Н<—.--к
п п+ г
Из условия < т < т + к < — к находим
х
п + г ..... "п + г п " ~ п п ' п ' " N
х х х — х х — к <--т — к <---- -к <---- -1 = ^-1 <4-.
Поэтому
Jзз = £ £ £ £ £ е(3аккг(2т + к + к)(3пг + 3п2 + г2)).
г< Цк< % Н< ЦМ<т<2М-к-Н N<п<2N-г
<п< -г
т — т + к + п
Возводя \,133 \ в квадрат, четырежды применяя неравенство Коши, имеем \ Jзз \2 < N2 £££ £ £ е(9аккг (п2 — п{)(2т + к + к)(г + п2 + т)).
N 2
г< Цк< % Н< ЦМ<т<2М-к-Н N<пl,п2<2N-г
^ <п1 ,п2 < т+к+п -
Разбивая двойную сумму по П1 и П2 на три части, для которых соответственно выполняются условия П1 < П2, П1 = П2, Щ > П2, и воспользовавшись соотношением
еее е е 1 < ееее -м«щ-2«^
г< Цк< % Н< ЦМ<т<2М-к-Н -г г< Ц к< % Н< Ц х-у< 1<х
<п< -г
т — т + к + п
а также имея в виду, что модули сумм соответственно с условиями П1 < П2 и щ > П2 равны, получим
\ ^\2 «& (|^ + ^) « (+ Ш)• <21>
J34 = ^ ^ ^ ^ ^ е(9аккг(п2 — п1)(2т + к + к)(г + п2 +п1)).
г<Цк< % Н< ЦМ<т<2М-к-Н N<пl<п2<2N-г
<п1<п2 < -г
т 1 2 т+ к+п
Положим I = п2 — п1 и п1 = п, тогда ■34 принимает вид
■34 = еее е е е(9акШг (2т + к + Н)(2п + г + 1)).
'< ММ к< N Ь< уМ<т<2М-к-Ь N<п<п+1 <^-г
х-М <п<п+1 < т+Х+ь -г
Из условия ^-у < п < п + I < т+к+ь — г находим
х х х — х х —
I < -;-г — п — г < ------- — г <---- — 1 = — — 1
т + к + Н т + к + Н т т т т М
Следовательно,
■34 = ее ее е е факШг (2т + к + Н)(2п + г + 1)).
К ММ г< ММ к< N Ь< N М<т<2М-к-Ь N<п<2N-г-1
Х-М<п< А^ -г-1
т т + к + п
Переходя к оценкам, найдём
и«|<ееее е
1< ММ '< ук< N Ь< ММ<т<2М
Е е(18ак 1Нг (2т + к + Н)п)
N<п<2N-г-1
< п<
т """т + к + к
п
_х__г — 1 — Х—У <
т + к + Н т ^ М
п
| ■34 | <
е е е т[п{
М М
1
,г< Ък,Н< %М<т<2М М \\18акНг(2т + к + Н)\1 у4
М N 1<ММ 2
)« е4 М.
Применяя неравенство Коши, затем лемму 3 и соотношения МN х х, получим
1Ы2«
V- 2, л V- ÍVN 1 У У5*24 ^ (_1 1 \
гМ ^« — Е4 (м;
t< М— t< -М—
1<„АТ 1<~АТ 1 ^ ГТ.А1
(22)
Теперь, представляя соотношения (18), (19), (20) и (21) в виде
^3132 « ^31116 «
' х1б£>16(5-к)2-16 х16_16^32(к2-4к+12)\
■31\1& +-N16-),
N16 V8N16
16 ^ I _ 1У__18 + _24124*8 ^ ^16к2-16
16
1М8 «
х
20 4 4
У814 |4 У2014*'
ШГ +
х4 33 х8
I■33|4 «( 1~4и3412 + ^)
) •
х216
и последовательно воспользовавшись ими, представим |■3<[32 через |■3412- Имеем ( , „ х16г.16 р>32(к2-4к+12)\
I ■3132 « {_8Х8^32 I8 + _2418*8) * 16(2к2-10к+23) + х _ ^^- «
« У1^ {х414^3314 + У1214*4 + _818*8) + х6^ *32(к2-4к+12) «
«У32 ((¥0и3412 + х! ++ ^) + ) *32(к2-4к+12).
Из условия ху 1 < N < у следует, что
I ■3 I 32 « У32(У41 ■3412 + х! + Ж1) *32(к2-4к+12).
(23)
Для оценки суммы I ■3412 в этом неравенстве воспользуемся формулой (22) и рассмотрим случаи _4/(х1) > 0, 5д и у4/(х1) < 0, 5д.
Для оценки суммы I ■3412? которую мы представили в виде (22), рассмотрим случаи _4/(х1) > д/2ш _4/(х1) < д/2.
Оценка |J34| при _4/(хN > 0, 5 д. Разбивая интервал изменения £ на « _4/(дхN) интервалов вида д < Н < д + (/, д' < д, применяя утверждение а) леммы 2, найдем
|т |2 У5*24 У4 / У N 1 ч У9*24 (_ N \ / У10 У9* \ г/?24
^ «■ ^ ет1чг_N,м)« (v+д1пд)«[_х~4+Ьш) * .
Подставляя эту оценку в (23), затем воспользовавшись условиями (17), получим
I л32«_32 (^ (^+%) * *+%+^) *^«
4 32 32
« _3\\ + Ц + N4) * 32(к2-4к+13) « *32к(к-4) « . (24)
Оценка при _4/(хN) < 0, 5д. Применяя утверждение б) леммы 2, имеем
, т ,2 У5 *24 V- 1 у5* 24 , У5 я *25 ^^ « Е ТйЖ « ^пд « О--.
<0,5
Подставляя найденную оценку в (23), затем воспользовавшись условиями (17), получим
I ^32«_32{ _х4 ■ ^+хЦ+ж1) * 32(к2п4к+12)«
СГ _,32 (х^! + — + — \ с/>32(к2-4к+13) „ _32 с/>32к(к-4) „ _32 «У \_5 + _N + у4 ) * « *32А * « *32А .
Из этой оценки и из (24) следует утверждение леммы.
5. Короткая кубическая тригонометрическая сумма с функцией Мёбиуса
Теорема 1. Пусть В ^ 11 — абсолютная постоянная х > х® > 0 и
Б3(а;х, _) = У^ ц(п)е(ап3), а = а + , (а, д) = 1.
д д2
Х- у< п< Х
Тогда при у ^ х 5 %8В+944 и % 32(В+18) КцК у5х-2%-32(В+18) справедлива
З3(а;х, у) <
оценка
Доказательство теоремы. Для простоты сумму Б3(а;х, у) обозначим через §. Имеем
— в
§ = V у(п)е(ап3), а = - + , (а, о) = 1, \в\ К 1.
а а2
х—у<пКх
В лемме 4 возьмём г = 3, и1 = хз и ¡(п) = е(ап3). Имеем
§ = 3§1 - 3§2 + §3, §1 = £ у(т1)е(ат31) = 0,
т1Ки1
х-у<тз Кх
§2 = £ Кт1) ^ Кт2) £ е(а(т1т2П1)3),
т2Ки х-у<т\т2 п1Кх
§з = £ Кт1) ^ Кт2) £ у(тз)^ ^ е(а(т1т2тзП1П2)3).
т1Ки т2Ки тзКи пз х-у<т\т2тзп\п2 Кх
Разобьём в §к, к = 2, 3 облети изменения каждого т1, ■■■ ,тк,п1, ■■■ ,Пк-1 на те более % интервалов вида М^ < тj К 2М^ N < п^ К 2Иу Получим не более « %2к-1 сумм вида
(М, = £ у(т1)... тк ) £ ... Е
е(а(т1... ткщ ... Щ-1)3).
М1<т1К2М1 Мк<тк К2Мк М1<тК.2М1 Мк-1<пк-1КМк-1
х—у<тз...ткп\...пк—зКх
Переходя к оценкам, имеем
§ < %3 тах \§2(М, + %5 тах \§3(М, Х)\, (25)
Суммы § к(М, ЭД), к = 2,3 оцениваются почти одинаково. Остановимся на оценке суммы §3(М, N и, не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия
у = х4%8В+944, х3 > М1 ^ М2 ^ М3, N1 ^ N2, 2-5х К М1М2М3М1И2 < х. (26) Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра N1:
1. N1 > -2В-18]
2. ху-1 %2В+1036 <N1 К -2В-18;
3. ху32(В+18) <N1 К ху-1 %2В+1036•
4. N1 К ху32(В+18\ NN > ху32(В+18);
5. NN Кху32(В+18).
Для рассмотрения случаев 1, 2 и 3 сумму §3(М, N несколько преобразуем. Для этого, вводя обозначение
—т —
Е у(т1) Е ж(т2) Е Ж(т3) ^ 1, \—т\ К Т4(т),
М1<т1 К2М1 М2<т2К2М2 Мз<тзК2Мз М2<тК2^
т1т2тзп2=т
разбивая интервал суммирования МlМ2МзN2 < т < 24МlМ2МзN2 на интервалы вида М < т < 2 М
■з(а; х, _, М, N1) = ^ ат Е е(а(тп)3).
М<т<2М ^<п<2^
Х- у< т п< Х
Случай 1. N1 > х*-2В-18, в этом случае сумма по щ очень длинная, и мы её оценим как короткую кубическую сумму Г. Вейля, представляя в виде
Jз(а■,х,v,М,Nl)= ^ ат ^ е(а(тп)3),
М<т<2М Х1-у1<п<Х1
х1 = тт (х, 2N1) , _1 = тт (—, 2^) — тах( — — —, NЛ < —, \т / \т / \т т / т
х \ < х
п) < N1
М < т < тт(2М,х) < — < *2В+18. (27)
V ' п) N1 х '
Дважды применяя неравенство Коши и лемму 3, воспользовавшись методом Г. Вейля, затем Н
I Jз(a■,х,v,М,Nl)|4 «Мз(\пМ)30 ^
М< т<2 М
Е е(а(тп)3)
Х1 - у1 < п< Х1
<
. < мз(\пМ)30 Е 11б_ Е
М< т<2 М 0< к< у1 0< < у1- к
(б ат к Н)
0<Ь< у1 - к-
+ 24_3 + 2(_1 + 1)2 I «
<Мз(ЫМ)30 У I — У У тт(— + i <
< ( ) мЬ^окМ ^М \\батЩ> М3
< (_М е Т3(п)тп (М ^) + уЦ (1пМ)3°.
\ М<п<12у2М-1 4 II II/ у
Применяя неравенство Коши, затем лемму 3 и имея в виду, что (\пМ)60 « найдём
■ (а^,—^^^8 « I _2М4 Е ^(п) Е тт(_6М2\ (\пМ)60 «
\ ,„.^„,2 ъ/г-1 ,„.^„,2 Л/Г-1 \ \\ II / I
п<у2М-1 п<у2М-1
М, \\ап\\
« _5М2*9 У тп( У,^) + У6М2*. _ \М \\ап\\) _
п< у2 М-1
п
г. *32(В+18) < 0.5д < _2М-1-, П. _2М-1 < 0.5д < у5х-2*-32(В+18).
i. Разбивая интервал изменения п на « у2 (М д)-1 интервалов ви да д < Н < д + д\ д' < д,
4
применяя утверждение а) леммы 2, затем воспользовавшись условием М К %2В+18^ найдём
д+я' / 1 ч
> т1п ( —, —-— )
=д \М, \\ап\\)
< + д\пд) + у6М< ^ + 2В+28 + у6%4В+37 =
М
2 9+4' / 1
\.Н(а] х, y, М, ^)\8 « у5М9 ■ ^ £ тт (М, ^ ) + ^ «
у7М%9 (у , , * 2^
М
у8 (^8 В+50 ^10 В+69 £912В+,8, у
/ с/}8 В+50 с/110 В+69 ^12В+78\ - + - + -2- <
\ 1 У У2 )
% 8В+41\ д у У2 / % 8В+41 '
П. Применяя утверждение б) леммы 2, затем воспользовавшись условием М К %2В+18, найдём
а-,х,у,М,т)\8 < у5М9 V 1-^+у6М< у5дМ10 +у6М<
' \\ап\\
пК0,5д
10
« + № В+37 = У8 ( У2 + %12 В+78\ У8
< х2%20В+530 + у ^ %8В+41 \х2% 12В+489 + у2 I < %8В+41 '
Случай 2. ху- 4%2В+1036 < N1 К -2В-18, В этом случае ,]3(ах^^^) является короткой двойной кубической тригонометрической суммой с "длинной" сплошной суммой. Поэтому применяем лемму 5 для оценки ,13(а] х, у, М, N), полагая А = В + 5, и при В ^ 149
из выполнения условия этой леммы
%8В+4142 < д < у3%-8В-4144
следует условия доказываемой теоремы, то есть неравенство
% 32(В+18) Кд К у5 х-2%-32(В+18). Таким образом, все условия леммы 5 выполняются, поэтому
а-,х,у,М,т)\ <
%В+5 '
Случай 3. ху-1%32(В+18^ < N1 К ху-1 %2В+1036. Применяя для оценки суммы \,13(а] х, у, М,^) лемму 6, полагая А = В + 5, также воспользовавшись эквивалентностью следующих двух неравенств
у > х5%8В+944, ху-4%2В+1036 К у^-8(В+18),
имеем
Случай 4. N К ху-1%32(В+18\ ^N^2 > ху-1%32(В+18К Сумму §3(М, N преобразуем, вводя обозначения
—т = £ ж(т{) Е ж(т2) Е ж(т3), \—т\ К Т3(Н),
М1<т1К2М1 М2<т2К2М2 М3<т3К2М3
т1 т2 тз = т
п = 1, | п| К ( п);
М1<п1К2М1 М2<п2К2М2 п1 п2 = п
разбивая интервалы суммирования М1М2М3 < т < 8М1М2М3 и N1N2 < п < соот-
ветственно на интервалы вида М < т < 2М и N < п < 2N, получим не более шести сумм вида
■з(а; х, _, М, N) = ^ ат Е Ьпе(а(тп)3).
М<т^2М N<n^2N
х-у<тп^х
Из соотношения (26) и условия рассматриваемого случая найдём
xy-1L32(в+18) < N\N2 ^ N,
N ^ 4NN ^ 4N2 ^4 (xy-1 L32(B+18))2 = yL-8(в+18) ■ %L72(B+18) ^ yL-8(в+18).
yО
Отсюда и из условия рассматриваемого случая следует, что при А = В + 5 все условия леммы 6 выполняются. Поэтому, согласно утверждению этой леммы, имеем
I.J3(a;x,y,M,N)| < yL-в-5.
Случай 5. N1N2 ^ xy-1 l32(b+18) . В сумме S3(M, N), вводя обозначение
ат = Е Кт2) Y Кт3) Е Е 1 1ат I ^ Т4(т),
М2<т2<2М2 М3<т3^2М3 N1<n1^2N1 N2<n2^2N2
т2т3п\п2=т
разбивая интервал суммирования M2M3N1N2 < т ^ I6M2M3N1N2 на интервалы вида M <т ^ 2M, а также обозначая M1 через N, получим на не более четырёх сумм вида
J3(a;x,y, M, N) = ^ ат ^ ц,(п)е(а(тп)3).
М<т^2М N<n^2N
х-у<тп^х
Из соотношения (26) и условия рассматриваемого случая найдём
N = M1 > ^3)3 == ()3 > (x—L-xTm)
4
= xy-1L32(в+18)(-^^L-) 3 ^ xy-1L32(в+18).
\x3L32(b+18) )
Отсюда с учётом соотношения N = М1 < х 1 < _*-8(В+18) и Из условия рассматриваемого случая следует, что при А = В + 5 все условия леммы 6 выполняются, поэтому согласно утверждению этой леммы, имеем
|Jз(а]х,v,М,N) « -В-5.
Тогда из всех оценок, полученных в предыдущих случаях, и неравенства (25) найдём
^з(М, «_*-В-5, |§| = ^(а^, у^ « -В.
6. Заключение
Работа посвящена оценке коротких кубических двойных тригонометрических сумм и их приложению к нахождению нетривиальной оценки коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Davenport Н. On some infinite series involving arithmetical functions (II) // The Quarterly Journal of Mathematics. 1937. Vol. 8, № 1. P. 313 - 320.
2. Hua L. K. Additive theory of prime numbers — American Mathematical Soc. 1965. 190 pp.
3. Baker R. C., Harman G. Exponential sums formed with the Mobius function //J. London Math. Soc. 1991. Vol. s2-43, Is. 2. P. 193 - 198.
4. Liu J. Y., Zhan T. Exponential sums involving the Mobius function // Indag. Math. (N.S.). 1996. Vol. 7, Is. 2, P. 271-278.
5. Zhan T. Davenport's theorem in short intervals // Chin. Ann. of Math. 1991. Vol. 12B, Is. 4. P. 421-431.
6. Zhan T. On the representation of large odd integer as a sum of three almost equal primes // Acta Math Sinica. New ser. Vol. 7, Is. 3. P. 135 - 170..
7. Liu J. Y., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I // Monatshefte fur Mathematik. 1999. Vol. 127, Is. 1. P. 27-41, doi.org/10.1007/s006050050.
8. Lu G. S., Lao H. X. On exponential sums over primes in short intervals // Monatshefte fur Mathematik. 2007. Vol. 151, Is, 2. P. 153-164. doi.org/10.1007/s00605-007-0449-5.
9. Kumchev A V. On Wevl sums over primes in short intervals // "Arithmetic in Shangrila" — Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications. 2012. Vol. 9. Singapore: World Scientific. P. 116-131.
10. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2016. Т. 296. С. 220 - 242. DOI: 10.1134/S0371968517010174.
11. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3, Замонов Б. М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, вып. 1. С. 217 - 231.
12. Рахмонов 3. X., Замонов Б. М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 4(157). С. 7 - 23.
13. Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Российской Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 - 157.
14. Рахмонов 3. X., Рахмонов Ф. 3. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, № 11. С. 853 - 860.
15. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3. С. 56 - 60.
16. Рахмонов 3. X. Теорема о среднем значении ф(х,х) и её приложения // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1993. Т. 57, № 4. С. 55 - 71.
17. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука. 1976. 120 с.
18. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391 - 393.
REFERENCES
1. Davenport, Н., 1937, "On some infinite series involving arithmetical functions (II)", The Quarterly Journal of Mathematics, 1937, vol. 8, Is. 1, pp. 313-320.
2. Hua, L. K., 1965, Additive theory of prime numbers, American Mathematical Soc., 5. 190 pp.
3. Baker, R. С., к Harman, G., 1991, "Exponential sums formed with the Mobius function", J. London Math. Soc., vol. s2-43, Is. 2, pp. 193-198.
4. Liu, J. Y., к Zhan, Т., 1996, "Exponential sums involving the Mobius function", Indag. Math. (N.S.), vol. 7, Is. 2, pp. 271-278.
5. Zhan, Т., 1991, "Davenport's theorem in short intervals", Chin. Ann. of Math., vol. 12B, Is. 4, pp. 421-431.
6. Zhan, Т., 1991, "On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes", Acta Math Sinica. New ser., vol. 7, Is. 3. pp. 135 - 170.
7. Liu, J. Y., к Zhan, Т., 1999, "Estimation of exponential sums over primes in short intervals I", Monatshefte fur Mathematik, vol. 127, Is. l,pp. 27-41, doi.org/10.1007/s006050050.
8. Lu, G. S., к Lao, H. X., 2007,"On exponential sums over primes in short intervals", Monatshefte fur Mathematik, vol. 151, Is, 2, pp. 153-164. doi.org/10.1007/s00605-007-0449-5.
9. Kumchev, A. V., 2012, "On Wevl sums over primes in short intervals", "Arithmetic in Shangrila"^Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications, vol. 9, Singapore: World Scientific, pp. 116-131.
10. Rakhmonov, Z. Kh., к Rakhmonov, F. Z., 2017, "Short Cubic Exponential Sums over Primes", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211-233. doi:10.1134/s0081543817010175
11. Rakhmonov, Z. Kh., к Rakhmonov, F. Z., Zamonov, B.M., 2016, "Estimates of short cubic double exponential sums with a long continuous summation", Chebyshevskii Sbornik, vol. 17, Is. 1, pp. 217-231.
12. Rakhmonov, Z. Kh., к Zamonov, В. M., 2014, "Short cubic double exponential sums, with a long continuous summation", Izvestiya Akademii nauk Respubliki Tajikistan. Otdeleniye fiziko-matematicheskikh, khimicheskikh, geologicheskikh i tekhnicheskikh nauk, № 4(157), pp. 7-23, (in Russian).
13. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2014, "Sum of short exponential sums over prime numbers", Doklady Mathematics, vol. 90, No 3, pp. 699-700. doi.org/10.1134/S1064562414070138.
14. Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2013, "The sum of short double trigonometric sums", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, no 11, pp. 853-860, (in Russian).
15. Rahmonov, F. Z., 2011, "Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., no. 3, pp. 56-60.
16. Rakhmonov, Z. Kh., 1994, "Theorem on the mean value of ф(x, x) and its applications", Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49-64. doi.org/10.1070/IM1994v043n01ABEH001558.
17. Vinogradov, I. M., 1976, Osobye varianty metoda trigonom,etricheskikh summ (Russian) [Special variants of the method of trigonometric sums], Izdat. "Nauka", Moscow, 1976. 119 pp.
18. Mardjhanashvili, К. K., 1939, "An estimate for an arithmetic sum", Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.
Получено 15.11.2019 г.
Принято в печать 20.12.2019 г.
