Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «Длинным» сплошным суммированием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.524

ОЦЕНКА КОРОТКИХ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С «ДЛИННЫМ» СПЛОШНЫМ

СУММИРОВАНИЕМ

З. Х. Рахмонов, Ф. З. Рахмонов, Б. Ы. Замонов (г. Душанбе)

Аннотация

И. М. Виноградов первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

(а; х, у) = У^ Л(п)е(апк), а = а + Л, |Л| < —, 1 < ц < т.

а ат

х—у<п^х

при к =1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при

ехр(с(1п1пх)2) < ц < х1/3, у > х2/3+е,

основу которой наряду с «решетом Виноградова», при к =1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Л (а; х,у,М,^ = ^ а(ш) ^ 6(п)в(а(шп)к),

х — у<тп ^ х

где а(ш) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N ^ и < 2N, х > хо, у - вещественные числа.

Затем Хейзелгроув, В. Статулявычус, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо, Чжан Тао получили нетривиальную оценку суммы ^(а; х, у), у ^ хе, ц — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями — N/31 ^ Н, Н = Nе, соответственно при

Л 63 279 2 5

О =--+ £,--+ £, --+ £, --+ £.

64 308 3 8

Сумму J2(а; х, у, М, N) изучили Дж. Лю и Чжан Тао и получили нетривиальную оценку суммы 52 (а; ж, у) при у ^ хи +е.

Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм ^(а; х, у, М, N), в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах.

Ключевые слова: короткая двойная тригонометрическая сумма, метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, нетривиальная оценка.

: 12 названий.

ESTIMATES OF SHORT CUBIC DOUBLE EXPONENTIAL SUMS WITH A

LONG CONTINUOUS SUMMATION

Z. Kh. Rakhmonov, F. Z. Rakhmonov, B. M. Zamonov (Dushanbe)

Abstract

I. M. Vinogradov pioneered the study of short exponential sums with primes. For k = 1 using his method of estimating sums with primes, he obtained a non-trivial estimate for sums of the form

Sk(a; x,y)= A(n)e(ank), a = —+ A, |A| ^ —, 1 ^ q ^ т

q qT

x-y<n^x

when

exp(c(lnlnx)2) < q < x1/3, y>x2/3+E,

This estimate is based on "Vinogradov sieve" and for k = 1 utilizes estimates of short double exponential sums of the form

Jk(a; x,y,M,N)= ^^ a(m) b(n)e(a(mn)k),

M<m<2M u<n<2N

x — y<mn ^ x

where a(m) and b(n) are arbitrary complex-valued functions, M, N are positive integers, N < U < 2N, x > xo, y are real numbers.

Later, B. Haselgrove, V. Statulyavichus, Pan Cheng-Dong and Pan Cheng-Biao, Zhan Tao obtained a nontrivial estimate for the sum Si (a; x, y), y > xe, where q was an arbitrary integer, and successfully proved an asymptotic formula for ternary Goldbach problem with almost equal summands satisfying |p — N/3| < H, H = Nв, respectively when

„ 63 279 2 5

в =64+£, 30S+£, 3+£, 8+^

J. Liu and Zhan Tao studied the sum J2(a; x, y, M, N) and obtained a non-trivial estimate for the sum S2(a; x, y) when y ^ xте+e.

This paper is devoted to obtaining non-trivial estimates for the sum J3(a; x, y, M, N), with a "long" continuous summation over minor arcs.

Keywords: Short double exponential sums, Nontrivial estimate, Estimation Method for short exponential sums over primes

Bibliography: 12 titles.

1. Введение

И. М. Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

__a 1

Sk(a; x,y) = У^ A(n)e(ank), a = - + A, |A| ^ —, 1 ^ q ^ т.

q qT

x—y<n^x

при k = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при

exp(c(lnlnx)2) < q < x1/3, y>x2/3+s,

основу которой наряду с «решетом Виноградова», при k = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Jk (a; x,y,M,N )= ^ a(m) ^ b(n)e(a(mn)k),

M<m^2M U<n^2N

x—y<mn^x

где a(m) и b(n) - произвольные комплекснозначные функции, M, N - натуральные, N ^ U < 2N, x > xo, y - вещественные числа.

Затем Хейзелгроув [2], В. Статулявычус [3], Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [4], Zhan Tao [5] получили нетривиальную оценку суммы S1(a;x,y), y ^ xe, q — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями |pi — N/3| ^ H, H = Nв, соответственно при

„ 63 279 2 5

О =--+ е,--+ е, —+ е, —+ е.

64 ' 308 ' 3 ' 8

Сумму J2(a; x,y,M, N) изучили Jianya Liu и Zhan Tao [6] и получили нетривиальную оценку суммы S2(a; x,y) при y ^ xи+£.

Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм 7з(а; x, y, M, N), в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах и её доказательство проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [7, 8, 9].

Теорема. Пусть |a(m)| ^ т(m), l = lnxq, yfx < y < xl-1, тогда при выполнении условий

L214+8A+8 < q < y3l

3 «7-214-8A—8

l2a+12'5 < M < y4l

-212- 2A—2

где A — абсолютная постоянная, справедлива оценка

J3(a; x,y,M, N) < .

2. Известные леммы

Лемма 1. [10] Пусть Н и у произвольные целые числа, Н ^ 1. Тогда справедливо соотношение

у+н . 1 .

^ е(ах) < тт(H, ^щ) , НаН = т!п({аЬ 1 — {а})

X — у+1

Лемма 2. [11] При вещественном а, подчинённом условиям

а) для суммы

имеем неравенство

б) а для суммы

имеем неравенство

а О

а = - + , (а, q) = 1, 1 < q < N, |О| < 1, q q2

g+q'

Vg = ^ min ( U,

z=g

МУ

q' < q, U > 0

Vg < U + q ln q,

V = E

1

0<z^0,5g

V ^ q ln q.

IM|

Лемма 3. [12]. При x ^ 2 имеем

n<x

тк (n) < x (ln x)

r — 1

k = 1, 2.

1

3. Доказательство теоремы

Для краткости сумму ,]3(а; х,у,М,Ы) обозначим через Ш и возводя её в квадрат, найдем |Ш|2 = ^ ат ^ ар ^ ^ е(а((ци{)г - (ти)3)).

М<т<2М М<р<2М и<и<2М и<п1<2М

Х — уКгпи^Х Х — у<^и1^Х

Разбивая сумму на три части, для которых соответственно выполняются условия ти < ци,1, ти = ци1 и ти > ци1 и имея в виду, что

( V

^ атар ^ 1 = ^ ^ ат < ^т2(г) < у^3,

М<т,р^2М и<и,и1^:2^ Х-у<Т^Х т\г,М<т^2Ы, I Х-у<Т^Х

х-у<ти = ^и^^х \ и<т/т^:2М /

получим

Ш2 = Ш + Ш2 + О 3) ,

Ш = ^2 ат ар ^2 е(а((ци\)3 - (ти)3)),

М<т<2М М<р<2М и<и<2М и<и1<2М

х-у<ти^х ти<^и1 ^х

Ш2 = ат ^2 ар ^2 е(а((ци\)3 - (ти)3)).

М<т<2М М<р<2М и<и<2М и<и1<2М

х-у<ти^х х-у<^и1 <ти

Имея в виду, что |Ш1| = |Ш2|, оценим только Ш\. В сумме по и1, делая замену переменного, вместо и1 вводим переменную г = ци,1 — ти, для которой выполняются условия

ти + г = 0(то(ц), Пц < ти + г ^ 2Ыц, 0 < г ^ х — ти.

Тогда

(ци1)3 — (ти)3 = (ци1 — ти)((ти)2 + тици1 + (ци1)2) =

I , л2 ти + г ( ти + г\2 1 , , .2 2.

= г \ (ти) + тиц ■--И ц ■- ) ) = г(3(ти) + Зтиг + г ),

и сумма Ш принимает вид

Ш1 = ^2 ат ^2 ар ^2 е(аг(3(ти)2 + Зтиг + г2))

М<т<2М М<р<2М и<и<2И Цр<ти+т^2Мр х-у<ти<х 0<т^х-ти

ти+т=0(то<1р)

= ^2 ат ^2 ар ^2 У^ е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)),

М<т<2М М<р<2М 0<г<у Г<и<С

mu= — r(mod^)

^ . Пц — г х — у\ ^ / „т 2Ыц — г х

^ = шах и, —--,-- , С = шт 2Ж, р

где

^ = шах ( и, П

т т ) \ т ' т,

Разбивая сумму Ш на слагаемые с условием (т, ц) = I, I ^ 2М, имеем

Ш1 = ^2 ат ^2 ар ^2 У^ е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)).

й^2ММ<т<2М М<М<2М 0<г<у Р<и<С

(m,^) = d mu = — r(mod^)

Условия (m, /) = d в сумме W равносильно условиям

m = md, / = /id, (m,/t) = 1.

Следовательно, сравнение mu = — r(mod/) разрешимо только в случае, если r имеет вид r = id. Поэтому, заменив его на сравнение mu = — i(modi), а переменные суммирования m, /, r соответственно на md, id, r = id, найдем

Wi = ^ ^ am ^ -Ad E E e(aid3(3(mu)2 + 3mui + r2)),

d^2M M<md<2M M<pd<2M 0<rd<y Fmp<u<Grpp

(rh ,p) = 1 mu = — r(modp)

^ — i x — y\ ^ 2Ni — i x

Fm/i = max U, —, , Gm/i = min 2N,-?-,—

* m md / V mi md

-1/,___7 ,-Л „„„ ,A,-1

Сравнение ши = — г(шо^Д) равносильно сравнению и = — Дш- (шо^Д), где ггг-^ определяется из сравнения Шш-1 = 1(шо^Д). Поэтому, представляя и в виде и = — гш-1 + Ди, получим

Ш = ^ ^ атл Е Е е(аг^3(г2 + д(и,ш,Д))),

й^2М М<гЫ1<2М М< ра<2М 0<Т(1<у р<й<9тр

(т,р) = 1

~ = ^тт + г?Д/т1 а = д + ДШ/т1

*тт — л + л , Ьт, т — Л + л ,

// // // //

3(Ши)2 + 3шиД + Д2 = 3(Ш(Ди — ДшД--1))2 + 3Ш(Ди — пДг1)^ + г2 = = 3(ШДи — Гшшг1)2 + 3(шДи — гШШ--1)^ + Д2 = д(и, Ш, Д) + Д2.

В сумме ^1, ради удобства, обозначая переменные суммирования Ш, Д, Д и и через ш, г и и, получим

Ш = ^ ^ е^3г3)Ш(г,й),

^2М 0<тё,<у

Ш(М) = ^ а^ Е Е е(3аЫ3д(и, ш,^)),

М<тй<2М М<1^<2М ?т11 <и<5т/_с

(т, /л ) = 1

т = + гш/1 р =тях / ^ — гх — у ^ (1)

=-, = тал и,

mu — ; А mu — 1 ^; ; , I )

ß V т md /

Gmu + rm-^ . / 2Nß - r x \

Gmu = -—, Gmu = min 2N,-, —- ,

ß V m md /

g(u, m, ß) = (mßu — rmm-1)2 + (mßu — rmm-1)r.

Разобьем в Wi отрезок суммирования по d на не более чем l интервалов вида D < d < 2D, D < M. Получим не более l сумм W (D) вида

W(D) < £ Е |W(r, d)|. (2)

D<d^2D 0<rd<y

2. Оценка W(D), D > l2a+6. Оценим сверху длину интервала суммирования по u воспользовавшись условием M ^ y4l-2 -2A-2. Имеем

g f + 1 = Gmu — Fmu + i < y +i < yd + i =

gmu — fmu + i= ß +i < + 1 <m^ + x =

= yd + M2 < yd + y1 = Л + ^^ < 2yd

m 2 < m 2 m 2 1 + dy 1 1 < m 2.

Подставляя эту оценку в правую часть (2), воспользовавшись соотношением |ат| ^ т(т) и леммой 3, найдем

Ш(°) « Е Е Е |°т^| Е Ы(3тр — ?тр + 1) «

В<С^2В 0<тс1<у М <тсС<2М М<^<2М

(т,^) = 1

« Е I Е т (тй) Е т (ц() ММ-2 «

В<й^2В М <тС<2М М<^<2М

(т,^) = 1

у2

« М* £ т2(() Е т(т) £ т(ц) «

В<С42В М<тС<2М М<рС<2М

у2 V- М2 &2 у2&2 ^ 2_ у2&5 у2

« М&2 Е т2(1)^ « ^ Е т2(1) « ^ «

М2 Б2 ^ у 7 Б &'

В<сС^2В В<сС^2В

3. Далее всюду будем считать, что Б < I ^ 2Б и Б ^ &2А+6. Возводя неравенство (2) в квадрат и применяя неравенство Коши, получим

Ш2(Б) < у Е Е |Ш(г, ()|2, (3)

В«С^2В 0<гС<у

|Ш (г, I) |2 = ^ атсарй^ аиса^сЕ Ее(3атд3(д(и1,и,и) — д(и,т,ц)))

М<^^<2М М<п<1^<1<2М ?т^<и<эт^ <и1<дп1,

(т,^) = 1 (п,^) = 1

Рии ТП-1 ( иV — т х — у

--1--—, Рии = ша^ и,-,-—

V V \ п па

(4)

Спи + тп-1 . / 2Nv — т х 4

эп^ = -, пи = шт 2^-,—

V \ п па

Воспользовавшись явным видом д(и1 ,п^) — д(и,т,ц) в (т, !)|2, то есть соотношением д(и1,п, V) — д(и,т,ц) =

= (тщ — тпп-1 )2 + (тщ — тпп-1)т — (тци — ттт-1)2 — (тци — ттт—1)т = (5) = (^и — тпп-1 — тци + ттт-1)(ти1 + тци — ттт--1 — тпп-1 + т),

разбивая сумму |Ш(т, I) |2 на три суммы Ш^, и Ш^, для которых соответственно выполняются условия д(и1,п^) > д(и,т,ц), д(и1,п, V) < д(и,т,ц) и д(и1,п^) = д(и,т,ц), найдем

|ш (т, а)|2 = шгЛ + ШГс + шГС, (6)

ШгС = Е атсарс Е апс^с Е Е е(3атй3(д(и1,п^) — д(и,т,ц))),

M<md,|J,d<2M М<^^<2М ^тп<и<Эта Зп„<и1<9п»

(1т,п) = 1 (п,и) = 1 — —1

4 4 ' ' п^и1-гпп^ >т^и-гт.т^

ШГс = атсарс апса^с ^ ^ е(3атй3(д(иь п, V) — д(и,т,ц)))

М<^,/^<2М M<nd,vd<2M ?и^<и1<9п„

(т,а) = 1 (и,и) = 1 —1. —1

4 4 ' > иии1 -гиии <т^и-гтт^

= ^ атСарС ^ апСакС ^ ^ 1.

М<^,/^<2М М <nd,vd<2M ?и^<и1<9п„

(т,а) = 1 (и,и) = 1 —1 —1

4 4 ' ' п^и1 -гиии =т^и -гтт^

4. Оценка W^. Пользуясь определениями параметров Fmu, Gmu, Fnu и Gnv, то есть соотношениями (1) и (4), легко показать, что условия Fmu < u < smu и Fnv < u1 < Gnv соответственно равносильны условиям

(X _y \ / x \

Um, Uß — r, ——— j < mßu — rmm-1 < min ^2Nm, 2Nß — r, ^ J ,

(X _y \ / x \

Un, Uv — r, ——— j < nvu1 — rnn-1 < min ^2Nn, 2Nv — r, ^J . Поэтому, вводя обозначение d = mßu — rmm-1 = nvu1 — rnn-1, найдем

Wrd = £ w2 (h), w(h) = £ amdaud.

x—y<h<l<x h=mßu-rmm— 1

M<md,ßd<2M, (m,u) = 1 Fm li <u<G m li

Из условий h = mßu — rmm-1 и mm-1 = 1 + ßt, t — целое следует, что

h + r = mßu — r(mm-1 — 1) = ß(mu — rt), то есть ß является делителем числа h + r, следовательно

w

Поэтому

(h) < £ |amd| £ |aMd| < £ |amd| £ laudl =

m\h u\h+r m\h u\h+r

M<md<2M M<ud<2M (m,u) = 1

-1

F +rm- <G

= £ т(md) £ т(ßd) < т2(d) £ т(m) £ т(ß) = т2(d)rs(h)rs(h + r).

m\h u\h+r m\h u\h+r

M« т2 (d) £ тз(^тэ^ + r) «

x-y<hd<x

«т2(d) I £ т2^) £ тз2(h + r) I «

\.x-y<hd<x x-y<hd<x

т 2(d)

« т2 dpL= yL d ■

Отсюда с учетом (6) и (3), имея в виду, что |Wrd| = |Wrd|, получим

w2(d) « y £ £ (|Wrd| + yl8 ■ «

D<d<2D 0<rd<y '

« y £ £ |Wrd| + y3l8. (7)

D<d<2D 0<rd<y

5. Преобразуем Wrd так, чтобы сумма по u стала линейной. Для этого, делая замену переменного, вместо u1 вводим переменную а = nvu1 — mßu, область изменения которой имеет вид

„Г mßu + а _i 11

и = < а : mßu + а = 0(modnv), <- < Gnv, а > rnn- — rmm- > .

При этом воспользовавшись соотношением (5), представим разность g(ul,n, v) — g(u, m, ß) как функцию а, то есть

g(ui,n,v) — g(u,m,ß) =

= (nvul — mßu + rmm-l — rnn-l )(nvul + mßu — rmm-l — rnn-l + r) = = (а + rmm-1 — rnn-l)(a + 2mßu — rmm-1 — rnn-1 + r) = gl(u, а, m, ß, n, v),

и сумма Wrd принимает вид

Wrd = E amd,aßd andaud E {3ard3gi(u,a,m,ß,n,v)) .

M<md,id<2M M<nd,vd<2M Fml<U<Gml стШ

(m,i) = 1 (n,v) = 1

Воспользовавшись определениями областью Q и параметров Fmß, Gnv, найдём возможно допустимую верхнюю границу изменения переменной суммирования а. Имеем

. G . G „ Gnv + rn-1 Fmß +rm-1

а ^ nvGnu — mßu ^ nvGnu — maFmu = nv--mß-— =

v ß

(2Nv_r x

2N,-, —-

n nd

/ Uß — r x — y\ _i _i y i _i

— m тал U,-,-— + rnn,, — rmm.. ^ - — rmm.. + rnn,, .

\ m md J ß d ß

С учётом найденной границы в Wr¿, сделав сумму по u внутренней, найдём Wrd =Е a-mda^d Е a,ndavd^^ ^e (Za^g^u^^, ß,n,v)) ,

M<md,id<2M M<nd,vd<2M UE.U

(m,i) = 1 (n,v) = 1

Ql = j а : 0 < а + rmmß l — rnnv l ^ y^ ,

d.

ПГ i | _ ,-,/ 7 \ fnv nv - О Gnv nv - CT

u = < u : mßu + о = 0(modnv), - < u ^ -, fm„ < u < gm«

[ mß mß

то есть в Wrd внутренняя сумма стала линейной и переменная суммирования u пробегает те значения из своего сплошного интервала изменения, которые являются решением линейного сравнения.

6. Разбивая сумму Wrd на слагаемые с условием (mß,nv) = ö, ö ^ 4M2d-2, имеем

Wrd =Е Е amda«d and.avd Е (3ard3gi(u,o,m,ß,n,v)) .

2d-2 M<md,^d<2M M<nd,vd<2M uEU

(m,ß) = 1 (n,v) = 1, (m^,nv) = 5

Условия (mß, nv) = ö с учётом условий (m, ß) = 1 и (n,v) = 1 в сумме Wrd равносильны условиям

mß = mßö, (m,ß) = i, nv = nvö, (n, v) = i, (mß,nß) = i,

m = mn, n\ö, ß = ßö/n, (n,ö/n) = 1, n = nA, A\ö, v = vö/A, (A, ö/A) = 1. Следовательно, в области u сравнение

mßu + о = 0(modnv)

разрешимо только в случае, если о имеет вид о = vö. Поэтому заменим её на сравнение

m ßu = — V(modnV),

а переменные суммирования ш, д, п, V, а соответственно на ш-п, Дй/п, пА, Дй/А, ай, в результате чего параметры Эт/, Етд, 3т/, От/, , ^, 3 пи, и функция д1 (и, а, ш, д, п, V) соответственно превращаются в $тп,т&/г1, Ртп,т?>1п, , , ^Пг\,р&/\, Fnл,n¿/л, 3пл,м/л, От\,тб/\, и в функцию д1(и) = ^(и^^ш-п, Дй/п, пА, Дй/А), которые имеют вид

тп, /т<5/п

гтп, /¿/п

Дй/п

+

г(ш п)-1

3тп, -¿/п ^ ' +

Дй/п -1

г(ш п)-1

^ . ГТ иДй/п — г х — у\

Ртп,т&/п = тах и---,

1 1 * шп ш па /

2ЖДй/п — г х

£

пл, -¿/Л

3.

'пЛ,М/Л

й/п FnЛ,P¿/Л

Дй/А

GnЛ,n¿/Л

_дй/А"

+

й/п -1

п ¿/Л

Gmп,n¿/п = т!п '

г(пА) 1

+

Дй/А

-1

-¿/Л

FnЛ,т¿/Л = тах I и

шп ш-п^

иДй/А — г х — у

г(пА) 1

Дй/А

л, -¿/Л = тт 2Ж,

пА пА^ 2ЖДй/А — г х — у

пА

' пА^

д1(и,ай,шп, Дй/п,пА,дй/А) = (ай + гш-п (ш-п)-^ — гпА (пА)-^ (ай+

+2шДйи — гш п (шп)//п — гп А (п А)П/Л + г

и сумма представится в виде

^ =Е Е Е ШпКй,п,А),

¿<лм2й-2 п\& Л\$

(Л,»/п) = 1 (Л,5/Л) = 1

Шт*(й,п,А)= Е а*тпadn¿/п £ а*пла*м/л££ е (3аг<а3д1(и)) ,

М<<1т р6/п<2М M<dnЛ,dPS/Л<2M п и

(тр ,р) = 1 (р,р) = 1, (тр р,п р) = 1

где суммирование ведётся по тем а и и, для которых соответственно выполняются условия

• о <ай+г^^-П/п—гпА(пА)п/Л ^ а'

„„ , „ , „ ^пл, -¿/ЛпД , а зпл,г^/лпД ~ . „

• шДи + Д = 0(шОЙпД), -—- < и + тт ^ -—-, ^тп,ш5/п <и < Ъrnп,u¿/п.

ш Д ш Д ш Д />/*//

Подставляя правую часть (8) в соотношение (7), получим

ш2р) « у Е Е Е Е Е |Шт*(й,п,А)|+у3^8.

0<тd<y¿<4M2п\« Л\5

(п,«/п) = 1 (Л,И/Л) = 1

Разбивая отрезок суммирования по й на не более чем ^ интервалов вида В < й ^ 2В, В ^ 2М2а-2, получим не более ^ сумм (Д) вида

ШВ (Д) « у Е Е Е Е Е |Шт*(й,п,А)| + у3^8. (9)

(п,«/п) = 1 (Л,И/Л) = 1

В сумме Шт*(й, п, А), ради удобства, обозначая переменные суммирования ш, п, Д, Д и а соответственно через ш, п, д, V и а, получим

Шт*(й,п,А)= Е а*тп аdт¿/^ Е е (3аг^3^1(и^ ,

M<dmщ,d|J,S/щ<2M М <dnЛ,dvS/Л<2M а и

(т,/) = 1 (п,^) = 1, (т/,пл) = 1

где д1(и) = д1(и, а5,тп, ц5/п,п\^5/\) суммирование ведётся по тем а и и, для которых соответственно выполняются условия

0 <а6 + ттп(тпТ-1/п — тпХ(пХ)-&/\ ^ I; (10)

тци + а = 0(modnV), -—- <и + — < -тц-, 'тп,р8/п <и ^ Этп,р5/п,

где

F = Fmv,ßS/v + r(mn)J/v _ = maYfтт Ußö/n — r x — У\

Fmn, «S/n ¡- / + r- / , Fmn, «S/n U, , j ,

ßö/n ßö/n mn mnd

Gmn, «S/n , r(mn)-s/n „ ■ foAT 2Nßö/n — r x

Gmn, aS/n г / + г / , Gmn, «S/n шш i 2N, ,

ßö/n ßö/n mn mnd

FnX,vS/X , r(nA)—S/X „ Uvö/A — r X — y\

Fnx'vb/x = ~üöJA~ + Fnx,vb/x = ^ wj , (11)

G Gnx, vS/\ , ^^^ _ . 2Nvö/A — r x — y gnX'vS/x = + GnA'vS/A = ™4 -nA-, W

g i (u,vö,mn,ßö/n,nA,vö/A) = (oö + rmn (mn)-l/n — rnA (nA)—/^ (oö+

+2mßöu — rmn (mn)—l/n — rnA (nA)-Sl/A + r j .

Сравнение mßu + o = 0(modnv) равносильно сравнению

u = —om—V ß-V (modnv), где числа m—V и ß—V соответственно определяются из сравнений

mm= 1(modnv), ßß—t = 1(modnv). Поэтому, представляя u в виде u = nvii — om— ß—, получим

Wrd(ö, n, A) = ^ admn adßS/nYladn\advS/\^Yl e (3ard3g2(u, o, m, ß, n, v, ö, n, A))

M<dmn,d^S/n<2M M<dn\,dvS/X<2M a u

g2(u, o, m, ß, n, v, ö, n, A) = gl(nvii — omnv ßnv, oö, mn, ßö/n, nA, vö/A) =

где

^oö + rmn (mn)—s/n — rnA (nA)—s/\) •

• (oö + 2mßö (mii, — omnV ß—V) — rmn (mn)—l/n — —rnA (nA)-S/x + r

= 2mßnvöu (oö + rmn (mn)—l/n — rnA (nA)—//^ + g3, g3 часть g2(u, o, m, ß, n, v, ö, n, A), независящая от u и имеющая вид

g3 = ^oö + rmn (mn)/n — rnA (nA)—i/x

• ioö — 2oömmmV ßß—V — rmn (mn)—s/n — rnA (nA)—s/x + r

область суммирования по и определяется неравенствами, которые получаются из (10) и имеют вид

'^^¿/л а аш' д' 9пЛ, ^¿/л а

-1 -1 -1 -1

пи И'пи

+-^^ <и ^ —---+

шд шдпд пд шд шдпд пд (12)

'тп, т¿/п + ашпи дпи <и ^ Gmп,т¿/п + ашпи дпи пд ^ пд

Переходя к оценкам, получим

,п,А) ^ £|а*тпа*(^/п| У^|а*пЛа*^/Л| £

Г M<dnЛ,dvS/Л<2M

(п,^) = 1, (т |,п/л ) = ]

к = гшп (шп)п¿1/п— гпА (nа)п¿1/л

M<dmn,d /л 5/п<2М М <dnЛ,dvS/Л<2M v^y/d

(т,/) = 1 (п,^) = 1, (т /л,п/л) = 1 a = к(modS)

£ е (баг^3шдпдйаи)

Оценим сверху величину и - длину интервала суммирования по и в Шт*(й, п, А). Воспользовавшись отдельно каждыми неравенствами (12) и определениями параметров 3т/, 'пи и из (11), имеем

3пЛ ^¿/Л 'пЛ, ^¿/Л _ 1 (^пЛ, ^¿/Л г(па)п5/Л РпЛ,^/Л г(nА)п¿/Л^ _

шд шд \ дй/А дй/А дй/А дй/А

^пЛ, ^¿/л — PnЛ,v¿/Л _ 1 / . / 2Ждй/А — г х

шд ■ дй/А шддй/А \ \ ' пА ' пА^

- тах ( и, идй/А — г, )) < ^ ■ < уйа3

пА ' пА^ // ^ шддй/А пА^ ^ М4 '

^ ^ 3тп, /¿/п 'тп, /¿/п ^тп, /¿/п ^тц, /¿/п ^ 1 у ^ уйа

пд пд ■ дй/п дпдй/п шп^ М4

1 с

Отсюда и из условия М ^ у4^п 4 следует, что количество слагаемых в сумме по и в Шт*(й, п, А) не превосходит величину

уйа3 уйа3

* + 1 < ^йаг + 1 « V.

С учётом последнего неравенства, применяя к сумме по и лемму 1, затем воспользовавшись условием ат ^ т(ш) и известным неравенством т(к1) ^ т(к)т(1), найдем

Шт*(й,п,А) < Е |а*тп а^/п| Е |а*пЛ а^/л\ Е т!п( М-, ||6аг^3ш1 д пдйа||) <<

M<dmn,d /л 8/п<2М М <dnЛ,dv5/Л<2M v^y/d 4 11 ^ 117

(т, л) = 1 (п,^) = 1, (т л,пл) = 1 a = к(modS)

« т2(й)т4№ Ет(шд) Е т(пд) Е т!п (М• ||баг*„'дпдйаН) . (13)

M<dрn d,, л/п< 2 М М<г1п\г11,Ь!\< 2 М п<у!г1 \ 11 II/

M<dmr|,d|l5/r|<2M М<dnЛ,dvS/Л<2M rт^:y/d

(т,л) = 1 (п,^) = 1, (т л,пл ) = 1 a = к(modS)

Рассмотрим отдельно два случая: В > ^4А+10 и В ^ ^4А+10.

7. Оценка Шв(Д) при В > ^4А+10. Оценивая в (13) сумму по а тривиально числом

слагаемых, найдем

ШЫ(5, п, Л) « т2(6)тЕт(тц) Е тп) (Ц + ^ М3 «

M<dmn,d^S/n<2M М<dnX,dv5/X<2M (т,^) = 1 (п,и) = 1, (т^,п^) = 1

2

« М + уМр) т^ т( Е т V)) «

2 2 2

,М2 <&сРт<4М2 42

« ^^М + уй (Й + 0 т'« т*(«•

Подставляя найденную оценку в (9), затем пользуясь неравенством В Б2 ^ М2, получим

шв(б) «у Е Е Е Е Е |Ш„с(*,П,Л)|+у3&8«

В<С^2В 0<тС<уБ<ё^2Б М«

(п,б/п)=1 (\&/\)=1

«и*6Ет4№Е ЕЕ Е(М + щ-4)(и + 1) + **«

В<й^2В 0<тй<уБ<5^2Б

(п,б/п)=1 (\&/\)=1

« у4&6Е т4№ Е т4№ (+ М + ¿2 + у^) + у3&8 «

Б<ё^2Б В<С^2В 4 У У /

« у^Ь Б)15 Е ^Б + М + уЬ + Щ4) + у3&8«

Б<ё^2Б 4 У У /

« ✓ Б)15((п В)15 (вБ2 + ^ + уБ + ВМ?) + **« « у4&6(1п б)15(1П В)'5 (вБ + М + ^ + 8.

Далее, пользуясь последовательно условиями Б < &2А+6, В ^ М2Б-2 ^ М2 ^ у, имеем

2, , ( (1пВ)15 (1пВ)15(1пБ)15 (1пВ)15 \ 3 о

^<б) «у4ВВ2(1ВБ)-5 +1 'М ' + ,Б(1пБ)-)+у3«

« у4*6 ( В(( В) 15 + №№ + ) + у^ «

\В((п В)-15 М2 у /

4<?6( 1 &16 ) « у & \В((пВ)-15 + М2 + у ).

Отсюда, воспользовавшись условиями В ^ &4А+10, М ^ &2А+12,5 и у ^ &4А+24, находим

у4 ( ^4А+9 ^4А+25 ^4А+24)

ШБ(Б) « (В(ьВр5 + "М^ + ) «

у4 ( & 4А+9 Л

« &4А+3 у"4A+10((n&4А+10)-15 + у «

« у4 (&4А+9((п&)15 + 1) « у4

&4А+3 \ &4А+10 1 I « &4А+3

8. Оценка WB (D) при B < l4A+10. Представляя оценку (13) в виде

Wrd(5,n, А) <

(yB D3 1

"BD, ||6ard3mßnvM

(т^,п^) = 1 a = n(mod 5)

< т2(«)тV) £ т(i)т4(t) £ mln ("M?. ) .

M 4<td4&2<16M4 a<y/d 4 11 117

затем подставляя её в (9), получим

wB(D)«y £ £ £ £ £ |Wrd(«,n,A)|«

D<d<2D 0<rd<y B<S<2B n\5 Л5

(n,5/n) = 1 (A,5/A) = 1

« y £ т4(d) £ £т4(i) £ т£ mm ("M?, ff60dW

D<d<2D 0<rd<y B<S<2B M4<td4S2<16M4 a<y/d 4 11 11

<

y £ «(h)min( "BD3 ,|ш), ®(h)= £'' т4^)т4(й)т (t)т4(t),

M4 <h< 96y2M4 ^ 11 Н/ h=6d3Srta

R Л D П <h< ■ ,

ВВ3

где '' — означает, что Д < а < 2Д В < й < 2В, г < уД'1, 2п6М4Д4В2 < * < 24М4Д4В2 и а < уДп1. Далее, пользуясь условиями Д < ^2А+6, В < ^4А+10, Л/*га = а3й х Д3В и соотношением т(г) « г£, находим

«(Л) = Е т(*)т4(*) Е т4(а)т4(й) « ^2 Е т(¿М*) Е 1 =

к—¿¡¿та к—¿¡¿та

= l2 £ т (tMt) £ £ 1 = l2 £ т (tMt) ££ £ 1

t\h r\hh =d4a t\h r\h a\££ =d4

< l2 £ т(t)т4(t) £ £ т (А) « l £ т(t)т4(t) £ £ 1 <

t\h r\h a\h v 7 t\h r\h a\hrr

< l £ т(t)т4(t) £ т(£) < l £ т(t)т40)т2(<

t\h r\h ^ 7 t\h ^

< lт2(h) £т(t)т4(t) < lт2(h) £т4(t) < lт7^).

t\h t\h

<

WB(«) « "l £ т7(/,.)min("mm?, ■

M4 <h< 96y2M4 4 11 117

64BD <h< BD3

Применяя неравенство Коши, затем лемму 3, найдём

W4 (D)« y2L2. "2M4L214-^ "BD3 v min ("BD3 ) «

wb(D) « y L BD3 L M4 A mi4 M4 , ||ah|| J «

M4 <h< 96y2M4 4 11 117

64BD <h< BD3

« "5L2"+1 £ 2, min ("f^).

M4 <h< 96y2M4 4 11 117

64BD <h< BD3

у2 М4 у2М 4

Рассмотрим отдельно случаи 3 > 0.5д и ^ 0.5д.

у2М4 ^ , ^ у2М4

При > 0.5д, разбивая интервал изменения п на не более « „ ^„ интервалов вида

ББ3 дББ3

д ^ П ^ д + д', д' < д, применяя утверждение а) леммы 2, найдем

* (Б) < У5^ % - () -

« УМ (У-ББ + д - д)=- - «(* + ^) *2"+2«

8 (1 М) Г214+2 = У8 (Я2Ы+8Л+8 м4 \ у8

« у V д + у У Я = Я 8Л+6 ^ д + у Я-214-8л-8) « Я8Л+6.

у2М4

При ^з ^ 0.5д, воспользовавшись утверждением б) леммы 2, получим

Нф.5д

W4B(D) « y5L2l4+ £ ^ « y5qL214+2

y8 q y8

L8A+6 y3L-214-8A-8 L8A+6 '

4. Заключение

Работа посвящена выводу нетривиальных оценок коротких кубических двойных сумм вида W = ^ a(m) ^ e(a(mu)3), а = a + , (a, q) = l,

M<m<2M U<u<2N q q

в которых имеется «длинная» сплошная сумма в множестве точек второго класса

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1952.

2. Haselgrove C.B. Some theorems in the analytic theory of number // J. London Math.Soc. 26 (1951), pp. 273-277. doi: 10.1112/jlms/s1-26.4.273

3. Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс. Ученые труды университета. Сер. мат., физ. и хим. н. 1955. № 2. С. 5-23.

4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 1990, v.2, pp. 138-147.

5. Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 1991, v. 7, No 3, pp. 135-170. doi: 10.1007/BF02583003

6. Liu J. Y., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I // Mh Math, 1999, 127: pp. 27-41. doi: 10.1007/s006050050020

7. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких тригонометрических сумм с просты-ми

числами // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459. № 2. С. 156-157. doi: 10.7868/

S0869565214320085

8. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56, № 11. С. 853-860.

9. Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. 2011. Серия 1: Математика. Механика. № 3. С. 56-60.

10. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. 1983. 2-е изд. 240 с.

11. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука. 1976. 122 с.

12. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22.№ 7. С. 391-393.

REFERENCES

1. Vinogradov I. M. 1985, "Selected work", Berlin-New York: Springer-Verlag, 401 p.

2. Haselgrove C.B. 1951, "Some theorems in the analitic theory of number", J. London Math.Soc., 26, 273-277. doi: 10.1112/jlms/s1-26.4.273

3. Statulyavichus V. 1955, "On the representation of odd numbers as the sum of three almost equal prime numbers", Vilnius, Uchenie trudi universiteta, Ser. mat. fiz. i khim. nauk, no 3, pp. 5-23.

4. Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao, 1990, "On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III)", Chinese Ann. of Math., vol.2, pp. 138-147.

5. Zhan T. 1991, "On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes", Acta Math Sinica, new ser., vol. 7, No 3, 135-170. doi: 10.1007/BF02583003

6. Liu J. Y., Zhan T. 1999, "Estimation of exponential sums over primes in short intervals I.", Mh. Math, 127: 27-41. doi:10.1007/s006050050020

7. Rakhmonov Z. Kh., Rakhmonov F. Z. 2014, "Sum of Short Exponential Sums over Prime Numbers", Doklady Mathematics, vol. 90, No. 3, pp. 1-2. doi:10.1134/S1064562414070138

8. Rakhmonov F. Z. 2011, "Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers", Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 66, no 3, pp. 129-132. doi: 10.3103/S0027 132211030107

9. Rakhmonov Z. Kh., Rakhmonov F. Z. 2013, "The sum of short double trigonometric sums", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, no. 11, pp. 853-860.

10. Karatsuba A. A. 1993, "Basic Analytic Number Theory", Springer-Verlag Berlin Heidlberg, 223 pp.

11. Vinogradov I. M. 1976, "Special Variants of the Method of Trigonometric Sums", Moscow: Nauka, 122 p.

12. Mardjhanashvili K. K. 1939, "An estimate for an arithmetic sum", Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391-393.

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан.

Получено 09.12.2015 г.

Принято в печать 10.03.2016 г.