Короткие суммы г. Вейля и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 1 (2015)

УДК 511.524

КОРОТКИЕ СУММЫ Г. ВЕЙЛЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

З. Х. Рахмонов, Н. Н. Назрубллоев, А. О. Рахимов (г. Душанбе)

Аннотация

В множестве точек первого класса изучено поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида

Т (а,х,у) = е(атп),

х-у<т<х

и найдена асимптотическая формула для количества представлений до-

виде с ' N ) 1

статочно большого натурального числа N в виде суммы 33 пятых степеней

11

натуральных чисел Xi, с условиями

Xi ' 33

^ H, H > N5- зш+£.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля, почти равные слагаемые, круговой метод, проблема Варинга.

Библиография: 17 названий.

SHORT WEYL SUMS AND THEIR APPLICATIONS

Z. Kh. Rakhmonov, N. N. Nazrubloev, A. О. Rakhimov (Dushanbe)

Abstract

We shall study the behavior of short Weyl sums of the form

T (a,x,y) = ^ e(amn)

x-y<m<x

on major arcs and obtain an asymptotic formula for the number of representations of a sufficiently large positive integer N as a sum of 33 fifth powers of

positive integers xi, that satisfy

^ " (I)

11

< H, H ^ N5- sin+£.

Keywords: Short Weyl sums, Almost equal summands, Circle metods, Waring's problem.

Bibliography: 17 titles.

1. Введение

Р. Вон [1], изучая суммы Г.Вейля вида

__а 1

Т(а, х) =у е (атп), а = —+ А, ц ^ т, (а,ц) = 1, |А| < —,

ц цт

т^х

в множестве точек первого класса, воспользовавшись оценкой

д

^Ц (акп + Ьк\ £ е\—)

Бъ(а,ц) = у е - < ц2+е(Ь,ц)

принадлежащей Хуа Ло-кену [2], методом Ван дер Корпута доказал: Б(а,Ц)

Ц Jo

а при выполнении условия

Т (а, х) = [ е (Агп) ¿г + о{д1+£ (1 + хпА1) ^ , Б(а,ц) = Бо(а,ц),

|А| <

2ицхп-1 он также доказал:

х Б (а, ц) Ц Jo

Т(а, х) = хБ(а,Ц [1 е (Агп) ¿1 + О (ц1+£)

Воспользовавшись этими оценками, он доказал [3] асимптотическую формулу в проблеме Варинга для восьми кубов.

Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля вида

Т(а,х,у)= ^^ е(атп), \[х ^ у<

х

1п х

х-у<т<х

получающиеся из Т(а,х) заменой условия т ^ х на условие х — у < т < х, в множестве точек первого класса при и = 2, 3, 4 были исследованы в работах [4, 5, 6, 7]. Эти результаты нашли применение при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвертых степеней ) в [8, 9] и кубической задаче Эстермана в [7]. Затем при произвольном фиксированном и сумма Т(а,х,у) была изучена в работах [10, 11]. Основным результатом этой работы является упрощение доказательства и уточнение основной теоремы работы [11], а также вывод асимптотической формулы в проблеме Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми.

Обозначения. N > N - натуральное число, е-произвольное положительное число, не превосходящее 0.00001, ££ = 1п N,

^ (атп \ Г0,5

Б(а, $ = 22 е(- ), 7(А; х,у)=1 е(А(х — У/2 + уи)п)ё.и.

т=1 ^ Ц '

'-0,5

1

Теорема 1. Пусть т > 2n(n — 1)xn 2y и X ^ 0; тогда при [n\xn ^ имеет место формула

T(a,x,y) = T(X; x,y) + O(q2 +),

q

а при {nXxn-1} > имеет .место оценка

.. . . i__1 . __1 __1 i_n__1.

\T(a,x,y)\^ q n lnq + min (yq n ,X kx k q «).

2<k<n

Следствие 1. Пусть т > 2n(n — 1)xn 2y, \X\ ^ 2—, тогда имеет место

„n-2„. , „ _ _

2nqxn

соотношение

T(a, x, y) = y-S(a, q)j(X; x, y) + O(q1 +£). q

Следствие 2. Пусть т > 2n(n — 1)xn-2y, 2nql„-i < \X\ ^ 1, тогда имеет, место оценка

T (a, x,y) ^ q n ln q + min [yq n ,x k qk « I .

Следствия 1 и 2 являются обобщением вышеуказанных результатов Р. Вона для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля T(a,x,y).

Теорема 2. Для числа J(N, H) представлений N суммою 33

1

. . ,. .5

пятых степеней чисел xi, i = 1, 2,..., 33 с условиями

при H ^ N5-з40+£ справедлива асимптотическая формула:

BS(N )H32 + ( H32 )

J(N,H)= vN4 + OlW^) •

где &(N) - особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное, B - абсолютная положительная постоянная, которая определяется соотношением

Xi~ (33)

^ H,

^Зз4

16

B = ^32т£(—1)k Сз(33 — 2k)32. ' k=0

Следствие 3. Существует такое Щ, что каждое натуральное число N > N предстлвимо в виде суммы 33 пятых степеней почти равных чисел хг:

(N3)

xi ■ 33

^ N1-, i = 1, 2,..., 33.

2. Известные леммы

Лемма 1. [13].Пусть х и у - натуральные числа, у/х < у < 0,01х, тогда при и = 5 имеет место оценка

[ 1Т(а; х, у)|32 ¿а « у27+£. 0

Лемма 2. [14]. Пусть х ^ х0 > 0, у0 <у ^ 0,01х, а - вещественное число,

а

а--

ц

1

^ ~2, (а,Ц) = 1-ц2

Тогда при и = 5 справедлива оценка

1Т(а; х,у)1« у1+£(- + 1 +

\ц у4 у5)

3. Доказательство теоремы 1

Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

4-1 (акп\ 1 4-1

Т (а; х,у) = ^2 е(— ) X] е(Атп) = ~^2Тъ(А; x,y)Бъ(a,ц), (2)

к=0 ^ ц ' х-у<т<х ц Ъ=0

m = k(modq)

Тъ(А; х,у)= е(Атп — —) , Бъ(а,ц) = ^2 е[ + ) ■

х—у<т<х ^ ц ' к=1 ^ ц '

1 д-1

К(а; х,у) = Тъ(А; x, У)Sъ(a, ц). (3)

ц ъ=1

Имея в виду, что иАхп-1 — {иАхп-1} - целое число, представим Тъ(А; х, у) в виде

„п-1 Г„ \„п-Ьи

Тъ(А; х,у)= е (I(т, Ь)), I(и, Ь) = Аип — (иАхп-1 — {иАхп-1})и —

Пользуясь монотонностью I'(и, Ь), условием т ^ 2и(и — 1)хп-2у и неравенством

п— 1

Ж = ^(—1)кСк—1хп-1-кук > 0, и ^ 3, 3х ^ (и — 3)у,

к=2

имеем

Ь

/'(и,Ь) '(Х,Ь) = {и\хп-1} - - < 1,

Ь

/'(и, Ь) '(х - у, Ь) = -п(п - 1)Ххп-2у + иХШ + {иХхп-1} - д ^

, 2 Ь ^ п(п - 1)хп-2у Ь 1

^ - п(п - 1)Хх у - - ^------- — ^ -1 + —.

д дт д 2д

Поэтому, применяя к сумме Ть(Х; х,у) формулу суммирования Пуассона ([15], лемма 6) при а = -1, [3 = 1, е = 0, 5, получим

ТЪ(Х; х,у) = I(-1,Ь) + I(0,Ь) + I(1,Ь) + 0(1), (4)

х

I(к, Ь) = в(/н(и, Ь))ё.и, /н(и, Ь) = /(и, Ь) - Ни.

х- у

Функция /Н(и, Ь) = пХ(ип-1 - хп-1) + {пХхп-1} - Ь - к на отрезке и е [х - у,х] является неубывающей функцией, поэтому

/Н(х - у, Ь) ^ /н(и, Ь) ^ /н(х, Ь),

которое представим в виде

ЬЬ {пХхп-1} - - - к - п < /Н(и, Ь) ^ {пХхп-1} - - - к, (5)

П = п(п - 1)Ххп-2у - пХШ ^ п(п - 1)Ххп-2у ^ п(п - ^ 'у ^ —.

дт 2д

Далее подставляя (4) в (2) и (3), найдем

Т(а;х,у) = Т-1 + То + Т + О ( 1 > >ь(а,д)| | , (6)

(~а Е 1&(а,д)|)

ь=о )

Е 1Бь(а,д)^ ,

Я(а;х,у) = Я-1 + По + Я1 + 0[ 1> ]№ь(а,д)1 ) , (7)

1 я-1 1 д-1

Тн = - У^ I(к,Ь)Бь(а,д), Кн = - I(к,Ь)Бь(а, д). 4 ь=о 4 ь=1

Пользуясь оценкой (1), оценим остаточный член:

^ 1Бь(а,д)1« д-2+^(Ь,д) = д-2+^ 5 £ 1 ^

д ь=1 ь=1 6\а 1<Ь^д-1

^ д-1 5 ^ 1 ^ д-2 5 • ^ ^ д2+£т(д).

6\д 1<Ь^д-1 ¿\д

1 Ь = 0(тоа 6)

Оценим каждую сумму Ть и И^ отдельно.

Оценка Т1 и Я1. Полагая к = 1 в (5), имеем

Ь Ъ

I' (и, Ь) ^ {иАхп-1} — ц — 1 ^ — ц< 0.

Оценивая интеграл по величине первой производной, имеем

\I (1,b)\ =

Г'Х

/ e(fi(u,b))du

' x-y

q

« b'

Отсюда и из (1), имеем

В, = i £ I{1,b)St(a, q) « £ « qI + £ {br « q2

q Ъ=1 Ъ=1 Ъ=1

В случае b = 0, воспользовавшись неравенством

ff1 (u, q) ^ n(n - 1) ... (n - k + 1)\(x - y)n-k > \xn-k, k = 2, 3,...,n, оценивая интеграл I(1, 0) по величине k - ой производной ([12], стр.15), найдем

\I(1, 0)\ < min (y,X-£x1-.

V )

Воспользовавшись также оценкой \S(a,q)\ ^ q1-n ([12], с. 61) с учетом оценки В1 получим

\I(1,0)\\S(a, q)\ . t -1 _ i 1-n -i

q

Оценка T-1 и В-1. Полагая h = —1 в (5), имеем

Ti ^ \Bi\ + \J (1, 0)\\S(a,q)\ « q 1+ min (yq-П, X-£ x^ П q-П) .

q 2^k^n V )

I'-1 (и, Ь) > {иАхп-1} + ц—Ь — п > .

цц

Интеграл I(—1,Ь), также оценим по величине перовой производной. Имеем

ц

\I (-1,b)\

/ e(f-i(u,b))du

' x-y

<

q- b

Поступая аналогично как в случае оценки В1 , получим

В = - I(—1,b)Sb(a,q) q- \Sb(a,q)\ q 1 +£qr1 (b,q) qi +2£

В-1 =q ^ v < q ^ ~ < q ■

Ъ=1 4 Ъ=1 4 Ъ=1

T_1 ^ \В-1\ + \I (—1, 0)WS (a,q)\ « q 2 +2£ + ^^ « q 2 +2£.

Оценка Я0. Если {пХхп ^ ^ ^, то полагая к = 0 в (5), имеем

/от.,,) < {пххт-1}- д < ^«- 2д<

Также оценивая интеграл I(0, Ь) по величине первой производной, найдем

iI (0,Ь)1

е(/о(и,Ь))йи

х- у

д

« к

Поступая аналогично как случае оценки Я1, получим

Я = Е 1:(0,Ь)8ь(а,д) « Е 1Бь(а,д)1 « д| +^ (Ъ2я) « д 1 +2, ь=1 д ь=1 Ь ь=1 Ь

Отсюда, из оценок Я1 и Я-1 с учетом (7), получим первое утверждение теоремы 1.

Оценка Т0. При {пХхп-1} ^ определим натуральное число г соотношением

г г + 1

— ^ {пХхп-1} < -—, 1 ^ г ^ 2д - 1. 2д 1 2д ' 4

Отсюда, из неравенства (5) при к = 0 и условия п ^ 1, найдем

Ь г — 2Ь — 1 /0(и,Ь) > {пХхп-1} - - - п > -, (8)

д 2д

Ь г_2Ь + 1

/0(и, Ь) ^ {пХхп-1} - - <-. (9)

д 2д

Пусть г = 2г1 - четное (1 ^ г1 ^ д - 1). Отрезок суммирования 0 ^ Ь ^ д - 1 в сумме Т0 разобьем на следующие три множества:

0 ^ Ь ^ г1 - 1, Ь = г1, г1 + 1 ^ Ь ^ д - 1,

в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

2г1 - 2Ь - 1 г1 - Ь

/0(и, Ь) >^^2д-д-^ , 0 ^ Ь ^ г1 - 1,

д-l — 2b + l п - Ь 1

/о(и,Ь) <-»-^^—, г1 + 1 ^ Ь < д - 1.

2д 2д

Воспользовавшись этими неравенствами, оценим интеграл I(0, Ь) по величине первой производной. Тогда

I(0,Ь)= Г е(/о(и, Ь))ё,и «г^, Ь = П-

V х — у 1г1 - Ь1

х

В случае b = r1, оценивая аналогично как в случае оценки интеграла I(1, 0), найдем

\I(0,r1)\< min (y,\-£x1 -n) .

Воспользовавшись этими оценками и оценкой \S(a,q)\ ^ q1-n ([12], с. 61), получим

( q_ 1 \

- I(0,b)Sъ(a,q) -1

To = У -< q n

q

Ъ=0 4

q-1

q

У^ т-тт + min (y,X ix k )

^ \r-i — b V J

. b=0, \ 1 \ . \b=n J

<

1-• ( -1 Л-1 1-П

ц п 1п ц + шт \уц п , А к х к ц п .

Пусть теперь г = 2г1 + 1 - нечетное (0 ^ г1 ^ ц — 1). Отрезок суммирования 0 ^ Ь ^ ц — 1 в сумме Я0 разобьем на следующие три множества:

0 ^ Ь ^ г1 — 1, Ь = г1, г1 + 1, г1 + 2 ^ Ь ^ ц — 1,

в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

1 (и,Ь) >-~-=-, 0 ^ Ь < Г1 — 11,

2ц ц

,,, ,, 2г1 + 1 — 2Ь +1 г1 — Ь

10 (и, Ь) <—---^ , Г1 + 2 ^ Ь ^ ц — 1.

2ц 2ц

Следовательно

I(0,Ь)= [ е(Ми,Ь)^и «<г^, Ь = Г1 — 1,Г1.

х-у 1г1 — Ь1

В случае Ь = г1 — 1,г1, поступая аналогично как в предыдущем случае при оценке I (0,г1), найдем

\I(0, b)\ < min (y,\ 1 x1 £ ) , b = r1, r1 + 1.

2^k^n V )

Из этих оценок для I(0,b), получим

( q-1 \

\r1 - b\

1q 1

q Ъ=0

To ^ \I(0,b)\\Sъ(a,q)\^ q- 1 £ + min (y,\-£x1-£)

q z—/ z—/ \гл — b\ 2<k<n V /

b=0, У b=ri ,ri + 1

<

1-1i • i -l Л-1 1-n _l\

q n In q + min [yq n , л £ x £ q n .

2^k^n V /

Подставляя оценки для Т1, Т-1 и Т0 в (6), получим второе утверждение теоремы 1.

Замечание. Случай А < 0, сводится к случаю А ^ 0, если формулу (2) приведем к виду

1 я-1 1 Я-1

Т(а; х,у) = - Е Тя-ь(-А;x, у)Зд-ьЫ — а,д) = - Е Ть(—А;х у)3ь(д — а,д).

д ь=0 д ь=0

4. Доказательство теоремы 2

Не ограничивая общности, будем считать, что Н = Nзво +£. Пусть д = 0, 5Н&-1, т = 80{^ + Н)3Н, жт = 1. Имеем

/1-Я

(Т(а; N1 + Н, 2Н) + в)33 e(—аN)йа,

■эз

где \в\ равен 1, если N1 — Н - целое число, и 0 в противном случае. Пользуясь соотношением

(Т(а; N1 + Н, 2Н) + в)33 — Т33(а; N1 + Н, 2Н) < \Т(а; N1 + Н, 2Н)\32 + 1,

и леммой 1, находим

/1-Я Н32 Н 32

\Т(а; N1 + Н, 2Н)\32с1а < Н27+ = • N-340-И& <<

Поэтому

/1-Я / Н 32 \

Т33(а; N1 + Н, 2Н)да + ,

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж, 1 — ж] представимо в виде

а 1

а = - + А, (а, д) = 1, 1 ^ д ^ т, \А\ . (10)

д дт

Легко видеть, что в этом представлении 0 ^ а ^ д — 1, причем а = 0 лишь при д = 1. Через Ш обозначим те а, для которых д ^ д в представлении (10). Через т обозначим оставшиеся а. Множество Ш состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество Ш на множества Ш1 и Ш2:

^ И , 5 1

|а : а € Ш, а — - ^ 5|

Ш1 = | а : а € Ш

Ш2 = < а : а € Ш, 5 <

а

а--

д

1

^ — дт

.

Юд^ + Н)

4 ;

Обозначим через 1 (М1), 1 (М2) и 1 (т) соответственно интегралы по множествам М1, Ш2 и т. Имеем

/ н 32 \

1N, Н) = 1М) + 1М) + 1 (т) + О . (11)

В последней формуле первый член, то есть 1 (М1), доставляет главный член асимптотической формулы для 1N, Н), а 1 (М2) и 1 (т) входят в его остаточный член.

Вычисление интеграла 1 (М1). По определению интеграла 1 (М1), имеем: 1М) = Е Е / Т33(а + А; N1 + Н, 2Н) е (— (^ + а) ^ ¿А. (12)

Для суммы Т + А; N + Н, 2Н), а = а + А Е М1 при х = N + Н, у = 2Н, и = 5 выполняются условия следствия 1, поэтому

2НБ(а, ц)

Т^ц + + Н, 2Н) —

-)

-7(А; N1 + Н, 2Н) « ц2+е.

Отсюда и из соотношения а33 — Ь33 ^ 331а — Ь|(|а|32 + |Ь|32) следует, что

Т33 ( - + А, N1 + Н, 2Н

(

ц

к « ц 2+е

(К

)

(2Н )33Б 33(а,ц)

ц

33

Ч33(А; N1 + Н, 2Н) + К,

13)

14)

- + А, N1 + Н, 2Н ц

)

32

+

2НБ(а, ц)

ц

1 (А; N1 + Н, 2Н)

32

Подставляя эту оценку для К в (14), а затем (14) в (12), найдем 1М) = (2Н )33&^, С) А N) + К1 + К2,

SiN.cn = Е £ ^е (—

15)

д^Я ( а=° 1

ц

33

ц

А N )= у (А; N1 + Н, 2Н) е (—АN) ¿А,

К1« О1/2+ ЕЕ I т(

а = 0 ^ V

д^Я а=0

д-1

- + А; N1 + Н, 2Н ц

)

32

¿А,

К2 « Н32 Е в^,ц) Е

|Б ^^^

32

а = 0

(a,q) = 1

ц

31,5-е

B(N,ц)= j ^ (А; N1 + Н, 2Н^ ¿А.

ц

Оценим Я1. Имея в виду, что выполняется неравенство 5 < 1/дт, д ^ д и то, что Ш1 состоит из непересекающихся отрезков, пользуясь леммой 1, находим

1-Я

1 +£ „о^. Н

Я1 < д2+£ \Т(а; N1 + Н, 2Н)\32 ¿а < (0, 5Н&-1) Н27+£ <

32

Оценим Я2. Для этого оценивая интеграл 7(А; N1 + Н, 2Н), \А\ ^ 5 по величине первой производной, имеем

1

7(АN1 + Н, 2Н) < ш1п(1,5о\А\-1) , 5о

10Н N — н )4'

Подставляя эту оценку в выражение для , д) и имея в виду, что 50 < 5, находим

5]? { 1 1 \ . 32 г 1 31

Отсюда, и воспользовавшись оценкой \$(а,д)\ < д1-п ([12], с. 61), найдем

■та < 5о + ^ - < 315о < нщ-

31 31 32

„ Н V—\ 39 ,, Н 29 I Н . .

Я2 д-10+ • д-Ю +£ < „__(16)

N14 ^ N14

Вычислим теперь интеграл а N). Разбивая отрезок интегрирования в интеграле а N) на две части, имеем

А N) = а^) + ),

где через ) и ^^) обозначены интегралы по отрезкам \А\ ^ 51 и 51 < \А\ ^ 5 соответственно. Оценим сверху интеграл а2 N). Для этого оценивая интеграл 7(А; N1 + Н, 2Н), 51 < \А\ ^ 5 по величине первой производной, найдем

7(Л; ^ + Н,2Н) < щам^—н?) < щНщ■

Подставляя эту оценку в выражение для a2(N), имеем

6

(НЩ)33/" 32^^)335р "" НЩ&32 ^ Н^Ы~4

1 33 1 1

\А2(Ю\ < Гтт ли,33 А-3^А ^33*32 <,, ат4 С/332. <

¿1

Теперь найдем асимптотическое поведение А^^^). Воспользовавшись стандартным методом, легко показать, что

5334 ( [8\п33 * ,

} = (/ -ж-*+0 &-*)

Воспользовавшись формулой ( см. [16] стр. 174 )

япп тг

¿г =2Щ^Г)тЕ—^ ск (и — 2к)п-1.

¡0 гп 2п(и — 1)! =

при т = 1 и и = 33, найдем

) = 5-Ш4Н Е(—[)к°^3(33 — 2к)32 + О (&-32^ =

5п ^М~4Н \233 (2! ^

( Н&32)

в + о' 1

233 Ут Н Н&32

-¡33

5)-32!

5/334 16

В = С^3(33 — 2к)32.

к=0

Отсюда и из оценки А2^), находим А N):

А N) =-+ о( -V (17)

233 Утн )

Вычислим теперь двойную сумму О). Для этого сумму по ц заменим близким к ней бесконечным рядом, не зависящим от С. Воспользовавшись оценкой |Б(а,ц)| « ц1-п ([12], с. 61), имеем

, , д-1 Б33(а,ц) ( V—\ зз ^—л 28 ^ 23

Е Е е — ^ « Е Е ц-Т ^т « С-т « Н .

д>Я ,а=0т 4 7 д>Я /а=^ д>Я

(a,q)=1 (a,q)=1

Поэтому

те д-1

^ / д=1 а = 0 ^ \ Ч. /

(a,q) = 1

Заметим, что сумма особого ряда ) превосходит некоторое число c(N) и сN) > 0 ( см. [17], теоремы 4.6).

Подставляя найденные оценки для К1, К2, значения А N), «(N,0) в соотношение (15), найдем

(М ) = веN)н32 ( н32 \

Оценка интеграла 1 (М2). Имеем

1—ж

1М) ^ шах Т(а; N1 + Н, 2Н^ I Т(а; N1 + Н, 2Н^ ¿а. (18) аеЖ2 I

Оценим Т(а; N + Н, 2Н) для а из множества Ш2. Если а € Ш2, то

а1 а ^ + А, (а,д) = 1, 5< \А\ , 1 ^ д ^ 0, 5НЬ-1. д дт

Согласно следствию 2 теоремы 1, при п = 5 имеем

Т(а^1 + Н, 2Н) < д5 1п д + шт (^Нд-1 ,N1 д 10) < (Н&)4& + N10 (Н&) 10

Н5-£ ( ,Т 47 29 £+£2 , 14 89 1531 £,£9 13 ) Н5-£

= - N- 1700 - 34 £+£ & X + N-3400- ^40 £+£ & 10 ) -

) ^Ж4 &

Подставляя эту оценку в (18), а затем пользуясь леммой 1, находим

1—я

И5-е Г ^ H32

J(M) < H_ \T(a; N1 + H, 2H)|32 da <

vn4— j ' vn4—'

—я

Оценка интеграла J(m). Имеем

1—я

J(m) ^ max \T(a; N1 + H, 2H)\ f \T(a; N1 + H, 2H)\32 da. (19)

a€m J

—я

Оценим T(a; N1 + H, 2H) для a из множества m. Если a £ m, то

a 1

a = - + A, (a, q) = 1, 0, 5H——1 ^ q ^ т = 80N + H)3H, \A\ . q qT

Согласно лемме 2, имеем

/ — 1 N 3\ 16 15 3 3

T(a; N1 + H, 2H) < H1+4 — + — + -N- < Hт« +£— + N80 H4 +£ =

у H H H J

Я 5- £ , ) U5 — £

/ T 3 1663£,2£2rл2 1311 £+2£2 H

I N— Б440 — T6F £+2£ —2 + N— ^40 £+2£ — I ^

Подставляя эту оценку в (19), а затем пользуясь леммой 1, находим

1 я

H5—£ Г 32 H32

J(m) < Б._ \T(a; N1 + H, 2H)\32 da <

-Я

5. Заключение

Работа посвящена изучению поведения коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в множестве точек первого класса и выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы тридцати трёх пятых степеней почти равных натуральных чисел.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vaughan R. C. Some remarks in Weyl sums // Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 34. Topics in classical number theory, Budapest, 1981, North Holland (1984), pp. 1585 - 1602.

2. Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир. 1964. 190 с.

3. Vaughan R. C. On Waring's problem for cubes // J. Reine Angew. Math. 365(1986). pp. 122 - 170.

4. Рахмонов З. Х., Шокамолова Дж. А. Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2009. № 2(135). С. 7- 18.

5. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Об оценках коротких кубических сумм Г. Вейля // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2008. Т. 51. № 1. C. 5 - 15.

6. Рахмонов З. Х., Азамов А. З., Мирзоабдугафуров К. И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля четвертой степени // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2010.Т. 53. № 10. С. 737 - 744.

7. Rakhmonov Z. Kh. The Estermann cubic problem with almost equal summand // Mathematical Notes. 2014. Vol. 95. Issue 3 - 4. 407 - 417.

8. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2008. Т. 51, № 2. С. 83 - 86.

9. Рахмонов З. Х., Азамов А. З. Асимптотическая формула в проблеме Ва-ринга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2011, т. 54, № 3. С. 34 - 42.

10. Рахмонов З. Х., Озодбекова Н. Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2011, т. 54, № 4. С. 257 - 264.

11. Рахмонов З. Х. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля // Ученые записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 2013, № 6, часть 2. С. 194 - 203.

12. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука. 1987. 368 с.

13. Назрублоев Н. Н. О среднем значение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля пятой степени // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 7. С. 531 - 537.

14. Назрублоев Н. Н. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля пятой степени в множестве точек второго класса // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 9. С. -

15. Карацуба А. А., Королёв М. А. Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой // Известия РАН. Cерия математическая. 2007. Т. 71. № 2. С. 123 - 150.

16. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. М:. Физматгиз. 1963. Изд. 2-е. 342 с.

17. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. М.: Мир. 1985. 184 с.

REFERENCES

1. Vaughan, R. C. 1981, "Some remarks in Weyl sums" , Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 34. Topics in classical number theory, Budapest, 1981, North Holland (1984), pp. 1585 - 1602.

2. Hua Loo-Keng 1964. "Method of Trigonometric Sums and Its Applications in Number Theory" , Nauka, Moscow, 190 p. (Russian translation); 1959. "Die Abschдtzung von Exponentialsummen und Ihre Anwendungen in der Zahlentheorie" , Teubner, Leipzig.

3. Vaughan, R. C. 1986, "On Waring's problem for cubes" , J. fiir die reine und angewandte Math., vol. 365, pp. 122 - 170.

4. Rakhmonov, Z. Kh. & Shokamolova, J. A. 2009, "Short quadratic Weil's exponential sums" , Izvestiya Akademii nauk Respubliki Tajikistan. Otdelenie fiziko-m,atem,aticheskikh, himicheskikh, geologicheskikh i tekhnicheskikh nauk, no. 2(135), pp. 7- 18.

5. Rakhmonov, Z. Kh. & Mirzoabdugafurov, K. I. 2008, "About the estimations of short cube Weyl sums" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no. 1, pp. 5 - 15.

6. Rakhmonov, Z. Kh., Azamov, A. Z. & Mirzoabdugafurov, K. I. 2010, "An estimate short exponential Weyl's sums fourth degree" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 53, no. 10, pp. 737 - 744.

7. Rakhmonov, Z. Kh. 2014, "The Estermann cubic problem with almost equal summand" , Mathematical Notes, vol. 95, Issue 3-4, pp. 407 - 417. doi.org /10.1134/S0001434614030122.

8. Rakhmonov, Z. Kh. & Mirzoabdugafurov, K. I. 2008, "Waring's problem for cubes with almost equal summands" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no. 2, pp. 83 - 86.

9. Rakhmonov, Z. Kh. & Azamov, A. Z. 2011, "An asymptotic formula in Waring's problem for fourth powers with almost equal summands" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no. 3, pp. 34 - 42.

10. Rakhmonov, Z. Kh. & Ozodbekova, N. B. 2011, "An estimate short exponential Weyl's sums" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no. 4, pp. 257 - 264.

11. Rakhmonov, Z. Kh. 2013, "Short Weyl exponential sums" , Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya estestvennie, tekhicheskie, meditsinskie nauki. no. 6, part 2, pp. 194 - 203.

12. Arkhipov, G. I., Chubarikov, V. N. & Karatsuba, A. A. 2004, "Trigonometric sums in number theory and analysis" , Berlin-New-York: Walter de Gruyter, 554 p.

13. Nazrubloev, N. N. 2014, "Mean value of the short Weyl fifth degree exponential sums" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no. 7, pp. 531 -537.

14. Nazrubloev, N. N. 2014, "Estimate of short Weyl sums of fifth degree on minor arcs" , Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no. 9, pp. 710 - 716.

15. Karatsuba, A. A. & Korolev, M. A. 2007, "A theorem on the approximation of a trigonometric sum by a shorter one" , Izvestiya: Mathematics, 71(2), pp. 341 -370, doi.org/10.1070/IM2007v071n02ABEH002359

16. Whittaker, E. F. & Watson, G. N. 1927, "A course of modern analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions; with an account of the principal transcendental functions ..." Cambridge University Press.

17. Vaughan, R. C. 1981, The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge.

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан.

Получено 16.02.2015