CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №8_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
А.О.Рахимов
ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА В МАЛЫХ ДУГАХ
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2015 г.)
В малых дугах найдена нетривиальная оценка коротких тригонометрических сумм Вейля четвёртого порядка.
Ключевые слова: короткая сумма Г.Вейля - нетривиальная оценка - функция делителей - диофан-тово уравнение.
При выводе асимптотических формул в аддитивных задачах с почти равными слагаемыми, к которым относится проблема Варинга, проблема Эстермана, основным моментом наряду с круговым методом Харди-Литлвуда в варианте тригонометрических сумм И.М.Виноградова является также поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида
Т(а; л, у) = £ е(атп), а = а + Л, (а, д) = 1, q <т, \Я\< —
х-у<т< X Я.
в длинных дугах и их оценка в малых дугах. Поведение Т(а; X, у) в длинных дугах последовательно изучено в работах [1 - 8]. В настоящей работе, воспользовавшись методом Г.Вейля, найдена нетривиальная оценка короткой тригонометрической суммы Вейля четвёртого порядка. Лемма 1. Пусть X и у - вещественные числа, 1 < у < X,
Т(а; х, у) = £ в(ат4).
х-у<т<х
Тогда имеет место соотношение
+ 211 у7.
Схема доказательства. Преобразуем \ Т(а; х, у) \2. Имеем \ Т(а; х, у) \2 < 2
\T(a;x,y)\8<211 / £ £ £
0<k<y 0<r<y-k 0<t<y-k-r
£ e(24akrtm)
x-y<m<x-k -r-t
£ £ e(a((m + k)4 -m4))
x-y<m<x 0<k<x-m
+y-
Отсюда, воспользовавшись тождеством (m + k) - m = kfx (m) + k , f (m) = 4m + 6km + 4k m. найдём
Адрес для корреспонденции: Рахимов Алишер Орзухуджаевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт матема-тики АНРТ. E-mail: [email protected]
\T(a;x,y)\2<2 Е \W(k)\ + y, W(k) = Е e(af(m)).
0<k<y x-y<m< x-k
Возводя обе части полученного неравенства в четвёртую степень, затем дважды последовательно воспользовавшись соотношением (a + Ъ) < 2a2 + 2Ъ2 и неравенством Коши, найдем
\ T (а- x, y)\ 8 < 27 y3 ^ \ W (k )\ 4 +23 y4.
0< k < y
Преобразуя \ W(k) \2, найдем
\W (k )\ 2 < 2
Е Е e(ak (f(m + r) - f(m)))
0<r<y-k x-y<m<x-k-r
+y.
Здесь, воспользовавшись тождеством
f (m + r) - f (m) = \2rf2 (m) + 4k 2r + 6kr2 + 4r3, f (m) = m2 + m(k + r),
(1)
находим
\W(k)\2 < 2 E \W(k, r)\ + y, W(k, r) = £ e(\2akrf2(m)). (2)
0<r <y-k x-y<m<x-k-r
Далее, воспользовавшись тождеством f (m +1) - f (m) = 2mt +12 + (k + r)t и поступая аналогично,
как в случае W(k), найдём:
\ W (k, r)\ 2 < 2 Е
Е e(24akrtm)
x-y<m<x-k-r-t
+y.
(3)
0^< у-к-т
Последовательно подставляя в (1) значения Ж (к) и Ж (к, т) соответственно из (2) и (3), каждый раз воспользовавшись соотношением (а + Ъ)2 < 2а2 + 2Ъ2 и неравенством Коши, найдём
\T(а-x,y)\8<211 y4 Е Е Е
0<k<y 0<r<y-k 0<t<y-k-r
Е e(24akrtm)
x-y<m<x-k -r-t
+ 211 y7.
Теорема 1. Пусть x > x0 > 0, y0 < y < 0,01x, а - вещественное число,
а —
a
1 f \ i
<—, ^ q) = 1.
q
Тогда справедлива оценка
__1_ __L _1_ _1 _1_ \ Л_
д 16 + у 16 |П1б д + у 4дЫ ^16 д \ ^16 _
Схема доказательства. Применяя к сумме по т в лемме 1 лемму 4 из [7; с. 94], имеем
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №8
\Г(а- х, у )\ 8 < 211 у4 £ £ £ ш1п (у,
0<к<у 0<г<у-к 0<Ку-к-г V
( 1 ^
= 211 у4 £ ^(и)шт у,|
п<24у3
1
24акщ
+ 211 у7 =
V папп J
+ 211 у7,
^) = £ £ £ 1 <ъ(п).
0<к<у 0<г<у-к 0<Л<у-к-г и=24Ы
Применяя неравенство Коши, затем лемму 5 из [7; с. 94], получим
\Т(а;х,у)\16«/ £ \Ф)\2 Е т1п
п<24у3 п<24уъ
(
У л
V П^пу
+ у4«
(
«.у^Ы1 у £ тт
п<24уъ Г ,,3 Л
У'-,
1
Л
V П^пу
+ у4«
«У^п'у
V
(у + д\пд) + уы «
(
«У
1 д\пд
\
— +
\Ч У У ) Отсюда следует утверждение теоремы.
1п7 у.
Поступило 22.05.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми. — Математические заметки, 2003, т. 74, вып. 4, с. 564-572.
2. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. — ДАН РТ, 2008, т.51, 1, с. 5-15.
3. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. — ДАН РТ, 2010, т. 53, 10, с. 737-744.
4. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. — ДАН РТ, 2011, т. 54, 4, с. 257-264.
5. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. — Ученые записки Орловского университета, сер. естественные, технические и медицинские науки, 2012, 6, ч. 2, с. 194-203.
6. Рахмонов З.Х. Аддитивные задачи с почти равными слагаемыми. — ДАН РТ, 2014, т. 57, 2, с. 8994.
7. Рахмонов З.Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми. — Математические заметки, 2014, т. 95, вып. 3, с. 445-456.
8. Рахмонов З.Х., Нарзублоев Н.Н., Рахимов А.О. Короткие суммы Г.Вейля и их приложения. — Чебышёвский сборник, 2015, т. 16, 1 (53), с. 232-247.
9. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983, 239 с.
2
А.О.Ра^имов
БАХОИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И ТАРТИБИ ЧОРУМИ
Г.ВЕЙЛ ДАР КАМОЩОИ КУТО^
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмои Цумурии Тоцикистон
Дар камонхои кутох баои гайритривиалии суммахои тригонометрии кутохи тартиби чоруми Г.Вейл ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: суммаи кутохи Г.Вейл - бауои гайритривиалй - функсияи тасимшавандауо -муодилаи диофанти.
A.O.Rahimov
ESTIMATE OF SHORT WEYL SUMS OF FOURTH ORDER ON MINOR ARCS.
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
A non-trivial estimate for the short Weyl sums of fourth order on minor arcs is obtained. Key words: short Weyl exponential sum - nontrivial estimations - divisor function - diophantine equation.
