Оценка коротких тригонометрических сумм г. Вейля четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №10______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов,

А.З.Азамов, К.И.Мирзоабдугафуров

ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Институт математики АН Республики Таджикистан

В множестве первого класса получена оценка тригонометрических сумм Вейля четвертой степени, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - формула суммирования Пуассона - оценка Хуа Ло-гена - тригонометрический интеграл.

Г.Вейль [1] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(а,ак-1 ,-,4)=Xе(f(п))’ f^)=ак1 к+а-/к—'+-+

П< X

которые в его честь И.М.Виноградов [2] назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы Т(ак,ак_х,...,аг) степени к к оценке суммы к — 1 - степени и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /) в отрезке [а, Ь] ^ [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1. В 1934 г. И.М.Виноградов [2] создал новый метод тригонометрических сумм и опубликовал ряд работ о суммах Вейля, в которых с помощью созданного им метода тригонометрических сумм коренным образом улучшил результаты Г.Вейля. Суммы Вейля при маленьких степенях т < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками, и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону [3]. Короткие тригонометрические суммы Вейля вида

X е(апт), у = Xе, в< 1

х—у<п<х

при т = 2 и т = 3 в множестве первого класса рассматривались в работах [4-7].

Обозначение: х > х0 > 0, у < 0,01х, а = ^ +Л ; (а, д) = 1, q < г, \Л\< ;

( Ьп ^

Ть(а;х,у) = X е ап4------------, Т(а;х,у) = Т0(а\х,у),

д)

x—y<n<x

V

Sb(аq) = Хe — , S(аq) = So(а,q)

Адрес для корреспонденции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: zarullo_r@tajik.net

ч

n=1

Теорема 1. Пусть г > 24х2у, тогда при {4Лх3} < ■1, Л > 0 или {4Лх3} > 1 —-^, Л < 0 имеет место соотношение

Т (а, х, у) = Б(а д) Т (Л; х, у) + 0(д1/2+£), д

а при выполнении условия {4Лх3} > т—-, Л> 0 или {4Лх3} < 1 —-^, Л< 0 имеет место соотношение

£ (а, д)^,.„ ,л , п( „Ъ/4\_____ „V4„1/2

Т(а, х, у) = Т(Л; х, у) + О (д3 41п д + д14х12 .

д к 1

Следствие 1.1. Пусть г> 24х2у и |Л|<—Ц-, тогда имеет место соотношение

-'II ^х

0,5

Т(а,х,у) = —Б(а,д)/(Л;х,у) + 0(д1/2+£), у(Л;х,у) = Г е(Л(х — у + уг1)4)^1.

д —0,5 2

2 1 1

Следствие 1.2. Пусть г > 24х у и --------^ <\ Л \< —, тогда имеет место оценка

8дх дг

Т(а, х, у) ^ д3/41п д + д14х12.

Доказательство теоремы. Пользуясь свойством линейных сравнений, находим

Т (а; х, у) = т (Л; х, у) + Я, Я =1X Т (Л; х, у)£ (а, д). (1)

д дЬ=1

Имея в виду, что 4Лх3 — {4Лх3} - целое число, найдем

Ть (Л; х у) = X е (£(п)), £ (и) = Ли4 — (4 Лх3 — {4 Лх3 })и — Ьи / д.

х—у<п<х

Рассмотрим только случай Л > 0 . При Л < 0 , положив Л = —^, остаточному члену Я давая форму

1 д—1

Я = - X Ть(м; х у)Б1—ь(а q),

сведем его оценку к случаю Л > 0 . Пользуясь монотонностью £ '(и) = 4Л(и3 — х3) + {4Лх3} — Ь / д и

условием на величину г , имеем —1 < £(х — у) < £(и) < £{х) < 1. Применяя к сумме Т (Л; х, у)

формулу суммирования Пуассона [9], находим

1 х

Тъ (Л; х, у) = X I (И, Ь) + 0(1), I (И, Ь) = Г е(/к (и, Ь)^и, /к (и, Ь) = £ (и) — Ни. (2)

И=—1 х—у

Подставляя (2) в (1), найдем

Я = Я— + Я, + Я + О -^Бь(а,д)| , Ян = -XI(И,Ь)Бь(а,д).

) Яьл

Функции /'к(и, Ь) относительно и являются возрастающими и имеют места неравенства {4Лх3} — - — И — £ = /3(х — 3) < /3,*) < З3) = {4Лх3}— - — И,

я д

(3)

(4)

с- 2 2^ чт -,„<1 2 12 х У 12 X V 1

8 = 4Л[3х у - у (3х - у)] < 12Лх у <------------------— <■ ^

<

дт д • 24х у 2д

Оценим каждую сумму отдельно.

Оценка Я . Полагая И = 1 в правой части неравенства (4), имеем

/\(и,Ь) <{4Лх3}-Ъ-1 <—Ь <-Ь <0, \/>,Ь) \= -/\(и,Ь) >Ь> 1

д 2д

2д 2

Пользуясь этим неравенством, оценим интеграл I (1, Ь) по величине первой производной:

х

I(1, Ь) = Г е/и, Щ)йи

«

Подставляя эту оценку в (3), найдем

К = 1 £ I (1, Ь)Бь (а, д) «1 £

д ъ=1 д ъ=1

\БЬ (а д) |.

Оценка Я_:. Полагая И = — 1 в левой части неравенства (4), имеем

/ ' (и Ь) > (4Лх } +--------8>

д

>-

д 2д 2д 2

Поступая аналогично, как в случае оценки Я , получим:

(5)

і д-1 К-. «11

д ъ=1

1 яь (а д) |.

3 1

Оценка Я0 . Если {4Лх } <-—, то полагая И = 0 в правой части неравенства (3), имеем

(6)

2д

Ь 1 Ь Ь

Ъ

/ ’ 0(U, Ь) < (4^х }---<“----------------<-^< 0 1 / ’ 0(U, Ь) |>^./' о(и Ь) >^~ >

д 2д д 2д

2д

2д

Здесь также поступая, как в случае оценки Я, найдем:

Ь

і д-1

к « - ё

д ь=1

1 Яъ (а д) |.

(7)

3 1

Пусть теперь {4Лх } >~1. Интервал изменения функции /'0(и, Ь) обозначим через

иъ = (/'о( х - У, Ь), / 'о( - Ь)] =

{4Ях3} - - -8,{4Ях3} - -

д д

,8<-1. 2д

Расстояние между соседними интервалами, то есть разность между левой границей иь_х и правой границей иъ для всех Ь , 1 < Ь < д — 1 равно

/ '0( х — у, Ь — 1) — / '„( х, Ь) =1 — 8>1 — ± = -1.

д д 2д 2д

Таким образом, интервалы и ±,и 2,^^-4,-,и расположены внутри интервала

(/'о(X - У, д -1), /'„(х, 1)\ = |{4Лх5} -1+1 - 8, {4Дх3} -1

I д д _

2 3

длина которого равна 1------ь8 < 1 —-^— и они между собой не пересекаются. Сумма их длин равна

(д — 1)8 и

(д — 1)8 < ^ <1.

2д 2

Возможны следующие взаимоисключающие варианты:

a) существует целое с, с = q — 1,...,1, что интервал и содержит нуль;

b) существует целое с, с = q — 1,...,1, что между интервалами ис и и^1 лежит нуль.

В варианте Ь) для единообразия рассматриваем интервал ио =({4Лх3} — 8,{4Лх3^ и понадобится этот интервал нам только в том случае, если {4Лх3}—^ < 0 и {4Лх3} — 8 > 0.

Вариант а). Концы интервала ис имеют различные знаки:

{4Лх3} - - > 0,{4Лх3} - --8 < 0.

(8)

д д

Это равносильно тому, что интервал [{4Лх3}д — 8д,{4Лх3}д) , длина которого равна 8д, 8д < ^ , содержит целое число из [1, д — 1]. Пользуясь соотношением (8) соответственно для нижней границы и ., ] > 1 и верхней границы и ., ] > 1, находим оценки

{4Лх3}——8 =

д

с Л

{4 Лх3}—с

V д)

+ 1—8>1—8> 1—— >^~.

д д

д 2д 2д

{4 Лх3} —

с+1

д

{4Лх3}—с—8

д )

Л г 7Л

+ 8 _1

) V д)

<8—1 <-! — 1 <—1; д 2д д 2д

Таким образом, для /'0(и, Ь), Ь Ф с получаем оценку

\/»\>

\ Ь—с \ 2д

Пользуясь этим неравенством, оценим интеграл I (0, Ь) по величине первой производной:

\ I (0, Ь) \«

Ь — с

д

В случае Ь = с интеграл I(0, с) оценивая по величине модуля второй производной [2], имеем

\ I (0, с) « (хТЛг1.

Подставляя эти оценки для I(0, Ь) в выражение для Я0, то есть в (3), полагая И = 0 , имеем

Ко<<д—^ \БЬ (а, д) \ +\Бс (а, д)\

Ь=1 \ Ь — с \

Ьфс

дх\[Л

(9)

Вариант Ь). В этом случае верхняя граница интервала ис отрицательна, нижняя граница интервала и положительна:

/'0(х,с) = {4Лх3}—-<0, f \(х — у,с — 1) = {4Лх3} — — 8> 0.

(10)

Решая эти неравенства относительно с , найдем

{4Лх3 }д < с < {4Лх3 }д +1 — 8д,

а это равносильно тому, что интервал [{4Лх3}д,{4Лх3}д +1 — 8д), длина которого равна 1 — 8д, 1 — 8д > 0,5, содержит целое число с из [1, д — 1]. Пользуясь соотношением (10) соответственно для нижней границы Uc_■v_j, ] > 1 и верхней границы и ■, ] > 1, находим оценки

{4Лх3}———8

д

+1 >1, д д

д

{4 Лх3} —

-1<_1 д ~ д'

Таким образом, для /'0(и, Ь), Ь Ф с — 1, Ь Ф с получаем оценки

\ /\(и, Ь) \> -—1—Ь, если Ь < с — 1, \ /'0(и, Ь) \> Ь—с, если Ь > с.

ч д

Следовательно, оценивая интеграл I (0, Ь) по величине первой производной, найдем

д д

I(0, Ь)«----------, если Ь < с — 1, I(0, Ь)«-------, если Ь > с.

с — Ь — 1 Ь — с

Оценивая интегралы I (0, с — 1) и I (0, с) по величине модуля второй производной [2], имеем

\ I (0, с—1) \« (хл/Л)—, \ I (0, с) \« (х1)—.

Подставляя эти оценки для I(0, Ь) в выражение для Я0, то есть в (3) полагая И = 0 , имеем

$ъ(а д) к д-1 1 $ъ(а д)1 , 1 £--1^ д) М (а д) 1

К « Ё +1

Ь=1 с 1 Ь Ъ=с+

Ь - с

дху/Л

(11)

3 1

Таким образом, при {4Лх } <-1, подставляя найденные оценки для Я, Я_1, Я0 соответственно из (5), (6), (7) в (3), найдем

1 д-1 к « - Ё

д ъ=1

1 Яъ (а д) 1 +1Ё1 Яъ (а д) |«1Ё

д ъ=1 д ъ=1

| Яъ (а д) |

Пользуясь оценкой Хуа Ло-гена — (а, д) « д2+£(д,Ь) ([10] стр. 64), найдем

д-1

К « д-у2+ЕЁ

Ь=1

(Ь, д) < 2д 5 "Ё ^ « д і *"

1<ь<д Ь

Пусть теперь {4Лх3} >-1 и в интервале [{4Лх3}д — 8д,{4Лх ?}д] П[1, д] существует целое

число с (вариант а), то, подставляя найденные оценки для Я, Я_1, Я0 соответственно из (5), (6), (9) в (3), найдем

1 9-1

К «1Ё

д Ь=1

£ (а, д)|+Ё +1М.

" д-V Л

Ь=1 | Ъ - с |

Ь^с

Оценивая первую сумму как выше, затем пользуясь оценкой \ (а, д) \« д3 4 ([8] стр. 61)

найдем

к « д',г++д3,4[ Ё -Ц- + Ё т^] +-^

1<Ь<с-

1 с Ъ с+1<Ь<д-1 Ъ с д1/4 Хл/Л

с-2

Далее, воспользовавшись соотношением

Лх2 = Л > 14Лх1> > ±.± =_1_, (12)

4х 4х 2д 4х 8дх

найдем

Я « д3 4 1п д + д~у4(Лх2)—1/2 « д3/4 1п д + ду4х12. (13)

Пусть, наконец, {4Лх3} > и в интервале [{4Лх3}д,{4Лх3}д + 1 — 8д] П[1, д] существует

целое число с (вариант Ь), то, подставляя найденные оценки для Я, Я_1, Я0 соответственно из (5),

(6), (11), в (3), найдем

—1

1 q-1

R << - У

q ==1

+ g \Sb (a, q)\ + | Sc_i(a, q) \ + \ Sc (a, q) \

b-c+1

b - с qx^JA

Оценивая первую сумму, как выше, затем пользуясь оценкой \ S6(a, q) \< q3 4 ([8] стр. 61) и соотношением (12), получим оценку (13).

Поступило 15.09.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weyl H. - Math. Ann, 1916, 77, рр.313-352.

2. Виноградов И.М. - Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980, 160 с.

3. Vaughan R.C. - Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest, 1981.

4. Рахмонов З.Х. - Матем. заметки, 2003, т.74, вып. 4, с.564-572.

5. Рахмонов З.Х.,Шозиеева С.П. - ДАН РТ, 2002, т. 44, 3-4, с. 7-17.

6. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. - ДАН РТ, 2008, т. 51, 1, с.5-15.

7. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2009, т.135, 2, с.7-18.

8. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

9. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985, 182 с.

ЗД.Рамонов, А.З.Азамов, К.И.Мирзоабдуафуров

БАХ,ОИ СУММА^ОИ КУТО^И ТРИГОНОМЕТРИИ ДАРАЧ,АИ ЧОРУМИ ВЕЙЛ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Бах,ои cyMMax,OH тригонометрии дарачаи чоруми Вейл, ки тагйирёбандаи суммироншш аз интервали кутох кимат кд6ул мекyнад, гирифта шyдааст.

Калимао^и калиди: суммауои тригонометрии Вейл - формулаи суммиронии Пуассон - бауои Хуа Ло-ген - интеграли тригонометрії.

Z.Kh.Rakhmonov, A.Z.Azamov, K.I.Mirzoabdugafurov AN ESTIMATE SHORT EXPONENTIAL WEYL’S SUMS FOURTH DEGREE

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Obtain an estimate of exponential Weyl’s sums fourth-degree variable which takes the summation of the short intervals in the set of the first class.

Key words: Exponential Weyl ’s sums - Poisson summation formula - an estimate of Hua Loo-gene - exponential ’s integral.